第十五講線段角相交線與平行線講義（原卷版）

第四章第四章三角形第十五講線段、角、相交線與平行線滿分講義知識梳理夯實基礎(chǔ)知識點1：直線、射線、線段點、線、面、體幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.點動成，線動成，面動成。幾何體中面與面相交形成線，線與線相交形成點。直線、射線、線段（1）直線、射線、線段名稱端點個數(shù)特征圖例表示及讀法直線無可向兩方無限延伸直線AB或直線BA射線1個可向一方無限延伸射線OA線段2個有一定長度，可度量線段AB或線段BA（2）兩個基本事實①直線的基本事實：經(jīng)過兩點一條直線。②線段的基本事實：兩點之間最短。（3）兩點的距離：連接兩點之間的線段長度.例：若線段AB=5cm,BC=4cm,則A,C兩點間的距離是()【易錯】A.1cmB.9cmC.1cm或9cm D.以上答案都不對【答案】D線段的中點及性質(zhì)①定義：把線段分成相等的兩條線段的點，叫做線段的中點。②常用結(jié)論：若C是線段AB中點，則AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．線段的和差運算如圖,點B是線段AC上一點,則有AB=ACBC,BC=ACAB,AC=AB+BC.知識點2：角的相關(guān)概念和性質(zhì)1．角的概念有公共端點的兩條射線組成的圖形。這個公共端點稱為角的頂點，這兩條射線是角的兩邊。2.角的表示角的分類類別銳角直角鈍角平角周角度數(shù)（α）度、分、秒的換算1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．余角與補角（1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；（2）補角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補角．（3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等．6．角平分線的概念及定理（1）定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點把這個角分成兩個相等的角的射線。（2）常用結(jié)論：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．（3）定理文字描述角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角平分線上。圖例已知條件OP平分∠AOB,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.PD=PE,PD⊥OA于點D,PE⊥OB于點E.結(jié)論PD=PEOP平分∠AOB7．方向角和方位角在描述方位角時，一般應先說北或南，再說偏西或偏東多少度，而不說成東偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．當方向角在45°方向上時，又常常說成東南、東北、西南、西北方向．知識點3：相交線三線八角直線a，b被直線l所截，構(gòu)成八個角（如圖）．同位角內(nèi)錯角同旁內(nèi)角對頂角對頂角：（看圖舉例）性質(zhì)：鄰補角鄰補角：（看圖舉例）性質(zhì)：垂線及其性質(zhì)垂線：如圖,在兩條直線AB和CD相交所成的四個角中,如果有一個角是90°,我們就說這兩條直線互相垂直,記作“AB⊥CD”.其中一條直線叫做另一條直線的,它們的交點O叫做.垂線段過直線外一點作已知直線的垂線,該點與垂足之間的線段叫做點到直線的垂線段.點到直線的距離從直線外一點向已知直線作垂線，這一點和垂足之間線段的長度叫做點到直線的距離．垂線的基本性質(zhì)①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，最短.線段垂直平分線的性質(zhì)定理①性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.②逆定理:到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.知識點4：平行線的判定及性質(zhì)相關(guān)概念平行線的概念在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a平行于直線b，可記作a∥b。平行線間的距離定義過平行線上的一點作另一條平行線的垂線，的長度叫做這兩條平行線間的距離。性質(zhì)兩條平行線間的距離處處相等。平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論如果a∥b,c∥b,則a∥c。2.判定和性質(zhì)知識點5：命題定義對某一事件作出正確或不正確判斷的語句叫做命題.命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.舉反例是判定一個命題為假命題的常用方法.互逆命題如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題,其中一個叫做原命題,另一個就叫做原命題的逆命題.典例解析呈現(xiàn)命題點命題點1線段與直線（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，從學校A到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是（）A．① B．② C．③ D．④（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，，在數(shù)軸上，點表示的數(shù)是，點是的中點，線段，則點表示的數(shù)是．（2022·廣西桂林·統(tǒng)考中考真題）如圖，點C是線段AB的中點，若AC＝2cm，則AB＝cm．要把木條固定在墻上至少要釘兩個釘子，這是因為命題點2相交線與角（2023·陜西西安·西安行知中學校考模擬預測）如圖是一把剪刀，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2023·河南周口·淮陽第一高級中學?？寄M預測）如圖，直線相交于點，若，則（

）A． B． C． D．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，直線和交于點，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2023·河南新鄉(xiāng)·校聯(lián)考二模）如圖，直線，相交于點，，垂足為，若，則的補角度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）如圖，直線，相交于點O，，若，則的度數(shù)為（

）A．36° B．54° C．64° D．144°計算：（1）；（2）；（3）；（4）．命題點3平行線的判定及性質(zhì)（2024·陜西西安·校考模擬預測）如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2024·湖北·一模）將含角的直角三角板按如圖所示擺放，直角頂點在直線m上，其中一個銳角頂點在直線n上．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，直線被所截，若，，則∠1的大小是（）A．35° B．40° C．50° D．55°（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）將直角三角板和直尺按照如圖位置擺放，若，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，直線l分別交，于點M，N，的平分線交于點F，，則（

）A． B． C． D．要得知作業(yè)紙上兩相交直線、所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量．兩同學提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2）：方案Ⅰ：①作一直線，交、于點E，F(xiàn)；②利用尺規(guī)作；③測量的大小即可．方案Ⅱ：①作一直線，交、于點E，F(xiàn)；②測量和的大小；③計算即可．對于方案Ⅰ、Ⅱ，說法正確的是（

）A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行（2023·廣東清遠·統(tǒng)考一模）如圖，，將的直角三角板與的內(nèi)角頂點分別放在直線、上，若，則．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路經(jīng)兩次轉(zhuǎn)彎后，方向未變．第一次的拐角是，第二次的拐角是°．如圖，在三角形中，點E、F在上，點D，G分別在，上，已知，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．命題點4命題（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）下列命題中，是真命題的是（

）A．平行四邊形是軸對稱圖形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上D．在中，若，則是直角三角形（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列說法正確的是（

）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）下列命題中是假命題的是（

）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半B．如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等C．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2022·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）下列命題是真命題的是（

）A．對頂角相