北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步精講精練5.3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形-【題型技巧培優(yōu)系列】(原卷版+解析)

5.3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一角平行線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)是：角平分線上的任意一點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；反過來，在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上.要點(diǎn)詮釋：前者的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；后者則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）。知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.題型一角平分線的性質(zhì)【例題1】（2022秋?南陽期末）如圖，是的角平分線，，垂足為．若的面積為26，，，則的長(zhǎng)為A．1 B．2 C．3 D．4解題技巧提煉本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式1-1】（2022秋?鳳凰縣期末）如圖，在中，，平分，若，，則的面積是A．9 B．12 C．15 D．24【變式1-2】（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是①；②；③；④．A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④【變式1-3】（2022秋?安次區(qū)期末）如圖，點(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，已知，則點(diǎn)到的距離是A．18 B．12 C．6 D．9題型二線段的垂直平分線的性質(zhì)【例題2】（2022秋?鳳臺(tái)縣期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于，兩點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是A． B． C． D．解題技巧提煉本題考查線段垂直平分的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，的垂直平分線與邊，分別交于點(diǎn)，已知與的周長(zhǎng)分別為和，則的長(zhǎng)為A． B． C． D．【變式2-2】（2022秋?渝北區(qū)校級(jí)期末）如圖，，，若和分別垂直平分和，則的度數(shù)是A． B． C． D．【變式2-3】（2022秋?東阿縣校級(jí)期末）如圖，線段，的垂直平分線、相交于點(diǎn)．若，則A． B． C． D．題型三等腰三角形的性質(zhì)【例題3】（2022秋?亭湖區(qū)期末）等腰三角形的周長(zhǎng)為，其中一邊長(zhǎng)為．則該等腰三角形的腰長(zhǎng)為A． B． C．或 D．或解題技巧提煉本題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．【變式3-1】（2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【變式3-2】（2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末）如圖，，、分別平分的外角、外角．以下結(jié)論：①；②；③；④平分．其中正確的結(jié)論有A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式3-3】（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知，，，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．題型四等邊三角形的性質(zhì)【例題4】（2022秋?二道區(qū)校級(jí)期末）如圖，，為等邊三角形，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．解題技巧提煉本題考查的是平行線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式4-1】（2023?黔江區(qū)一模）如圖，直線，是等邊三角形，則的大小為A． B． C． D．【變式4-2】（2022秋?安次區(qū)期末）如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)、、、在同一直線上，且，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【變式4-3】（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)向三邊作垂線，垂足分別是、、，，，，則的面積是A．48 B． C．96 D．5.3簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一角平行線的性質(zhì)角平分線性質(zhì)是：角平分線上的任意一點(diǎn)，到角兩邊的距離相等；反過來，在角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上.要點(diǎn)詮釋：前者的前提條件是已經(jīng)有角平分線了，即角被平分了；后者則是在結(jié)論中確定角被平分，一定要注意著兩者的區(qū)別，在使用這兩個(gè)定理時(shí)不要混淆了.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二線段的垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)詮釋：線段的垂直平分線的性質(zhì)是證明兩線段相等的常用方法之一.同時(shí)也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)三等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）。知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)四等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.要點(diǎn)詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.題型一角平分線的性質(zhì)【例題1】（2022秋?南陽期末）如圖，是的角平分線，，垂足為．若的面積為26，，，則的長(zhǎng)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】作于，如圖，根據(jù)角平分線的定義得到，再利用三角形面積公式得到，然后求出的長(zhǎng)．【解答】解：作于，如圖，是的角平分線，，，，，，，．故選：．解題技巧提煉本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．【變式1-1】（2022秋?鳳凰縣期末）如圖，在中，，平分，若，，則的面積是A．9 B．12 C．15 D．24【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，，平分，，的面積．故選：．【變式1-2】（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是①；②；③；④．A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，可證明；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于，可計(jì)算出，，并證明；根據(jù)題目給定的條件，無法證明；根據(jù)結(jié)論①，角平分線的性質(zhì)可證，由此即可求解．【解答】解：結(jié)論①，，，平分，，，，，，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，如圖所示，過點(diǎn)作于，平方，，，，，，故結(jié)論②正確；結(jié)論③，，，平方，，，，，，，，，，且由結(jié)論①正確得，，在中，，即，，條件不足，無法證明，故結(jié)論③錯(cuò)誤；結(jié)論④，由結(jié)論①正確得，，即，由角平分線的性質(zhì)，，可證，，故結(jié)論④正確．綜上所述，正確的有①②④．故選：．【變式1-3】（2022秋?安次區(qū)期末）如圖，點(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，已知，則點(diǎn)到的距離是A．18 B．12 C．6 D．9【分析】根據(jù)已知條件利用角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離．【解答】解：點(diǎn)是的角平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)到的距離等于．故選：．題型二線段的垂直平分線的性質(zhì)【例題2】（2022秋?鳳臺(tái)縣期末）如圖，在中，的垂直平分線分別交，于，兩點(diǎn)，若，的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)是A． B． C． D．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，從而求出的周長(zhǎng)．【解答】解：垂直平分，，，的周長(zhǎng)為，，，，的周長(zhǎng)，故選：．解題技巧提煉本題考查線段垂直平分的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2022秋?臨渭區(qū)期末）在一些美術(shù)字中，有的漢字是軸對(duì)稱圖形．下面4個(gè)漢字中，可以看作是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：、不是軸對(duì)稱圖形；、不是軸對(duì)稱圖形；、是軸對(duì)稱圖形；、不是軸對(duì)稱圖形；故選：．【變式2-2】（2022秋?泰興市期末）下列關(guān)于天氣預(yù)報(bào)的圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，確定四個(gè)選項(xiàng)中每個(gè)圖形對(duì)稱軸的數(shù)量，進(jìn)而可得答案．【解答】解：．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：．【變式2-3】（2022秋?沙依巴克區(qū)校級(jí)期末）下面圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項(xiàng)、、的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；故選：．題型三軸對(duì)稱的性質(zhì)【例題3】（2022秋?宣州區(qū)期末）如圖，在面積為4的等邊三角形中，是邊上的高，點(diǎn)、是上的兩點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是2．【分析】根據(jù)是等邊三角形的高可知，是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定定理可求出，故陰影部分的面積等于的面積，由銳角三角函數(shù)的定義可求出的長(zhǎng)，再由三角形的面積公式即可求解．【解答】解：是等邊三角形的高，是線段的垂直平分線，，，，，，故答案為：2．解題技巧提煉本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，即等邊三角形底邊上的高、垂直平分線及頂角的角平分線三線合一．【變式3-1】（2022秋?河北期中）如圖，和△成軸對(duì)稱，若，，則為A． B． C． D．【分析】根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【解答】解：和△成軸對(duì)稱，，，故選：．【變式3-2】（2022秋?寶應(yīng)縣月考）如圖，與△關(guān)于直線對(duì)稱，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】先根據(jù)和△關(guān)于直線對(duì)稱得出△，故可得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【解答】解：和△關(guān)于直線對(duì)稱，，，△，，，，，，．故選：．【變式3-3】（2022秋?寶山區(qū)期末）圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有條．【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有無數(shù)條．【解答】解：圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有無數(shù)條．故答案為：無數(shù)．題型四最短路徑【例題4】（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在銳角中，；點(diǎn)是邊上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)是A． B． C． D．【分析】分別作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，由條件求出的度數(shù)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到，從而求出的度數(shù)．【解答】解：分別作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，，，，，，，，，，．故選：．解題技巧提煉本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)鍵是分別作關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，找到周長(zhǎng)最小的．【變式4-1】（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知的大小為，是內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，若周長(zhǎng)的最小值等于5，則A． B． C． D．【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)、在上時(shí)，的周長(zhǎng)為，此時(shí)周長(zhǎng)最小，根據(jù)可求出的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，于．此時(shí)，的周長(zhǎng)最?。B接，，，．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，垂直平分，，，，同理，可得，，．，，．又的周長(zhǎng)，，是等邊三角形，，．故選：．【變式4-2】（2022秋?南沙區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，平分，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，若，，則的最小值是A． B．6 C． D．10【分析】在上截取，連接，，，交于點(diǎn)，得到是等邊三角形，利用等邊三角形三線合一，得到，進(jìn)而得到，找到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，連接并延長(zhǎng)交于，利用等邊三角形的三條高線相等，以及，求出的長(zhǎng)度，即為的最小值．【解答】解：在上截取，連接，，，交于點(diǎn)，，，是等邊三角形，平分，，，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交于，等邊三角形三條高交于一點(diǎn)，且三條高相等，，，，，，，，最小值為．故選：．【變式4-3】（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，，平分，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是6．【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線段最短，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形