北師大版年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《同步考點(diǎn)解讀專題訓(xùn)練》專題1.5角平分線(知識(shí)解讀)(原卷版+解析)

專題1.5角平分線（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，知道作法的合理性.2.探索并證明角的平分線的性質(zhì).3.掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單的問題.【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線把三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長(zhǎng)度的比?！逜D是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【典例分析】【考點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)】【典例1】（2022春?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分別為D，E，若PD＝2，則PE的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C． D．4【變式1-1】（2021秋?江州區(qū)期末）已知BG是∠ABC的平分線，點(diǎn)D為BG上任意一點(diǎn)，且DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DF＝3，則DE的長(zhǎng)度是（）A．3 B．6 C．8 D．9【變式1-2】（2021?寧德模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D．若AC＝5，AD＝3，則點(diǎn)D到AB邊的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】（2022?梧州模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點(diǎn)D，CD＝4，△CDE周長(zhǎng)為12，則AC的長(zhǎng)是（）A．14 B．8 C．16 D．6【典例2】（2022?沈河區(qū)校級(jí)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）A．10 B．12 C．9 D．6【變式2-1】（2022?鳳翔縣一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積是（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式2-2】如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【變式2-3】（2021秋?木蘭縣期末）如圖，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，OD＝2，△ABC的周長(zhǎng)為28，則△ABC的面積為（）A．28 B．14 C．21 D．7【典例3】（2021秋?綿竹市期末）如圖，直線a、b、c表示三條公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【變式3-1】（2021秋?云浮期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)【變式3-2】（2020春?章丘區(qū)期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（）A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處【變式3-3】（2021秋?綏棱縣期末）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（）A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)【典例4】（2021秋?巢湖市期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的長(zhǎng)．【變式4-1】（2021春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中點(diǎn)，證明：∠B＝∠C．【變式4-2】（2021秋?龍江縣期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長(zhǎng)．【考點(diǎn)2：角平分線的判定】【典例5】（2020秋?饒平縣校級(jí)期末）如圖，D是∠EAF平分線上的一點(diǎn)，若∠ACD+∠ABD＝180°，請(qǐng)說明CD＝DB的理由．【變式5-1】（2021秋?陽江期末）如圖，點(diǎn)P是∠MON中一點(diǎn)，PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B，連接AB，∠PAB＝∠PBA．求證：OP平分∠MON．【變式5-2】（2021秋?紅橋區(qū)期末）在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)．（1）若BE＝CF，求證：AD是△ABC的角平分線．（2）若AD是△ABC的角平分線，求證：BE＝CF．專題1.5垂直平分線（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，知道作法的合理性.2.探索并證明角的平分線的性質(zhì).3.掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單的問題.【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1角的平分線的性質(zhì)（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于123、畫射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。知識(shí)點(diǎn)2角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上。重要拓展：1、三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，且該點(diǎn)到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是該三角形三條角平分線的交點(diǎn)。2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點(diǎn)，這條角平分線把三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長(zhǎng)度的比?！逜D是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵S△ADB=1∴S△ADBS△ADC【典例分析】【考點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)】【典例1】（2022春?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分別為D，E，若PD＝2，則PE的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C． D．4【答案】 A【解答】解：∵P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2．故選：A．【變式1-1】（2021秋?江州區(qū)期末）已知BG是∠ABC的平分線，點(diǎn)D為BG上任意一點(diǎn)，且DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DF＝3，則DE的長(zhǎng)度是（）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】A【解答】解：∵BG是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝3，故選：A．【變式1-2】（2021?寧德模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D．若AC＝5，AD＝3，則點(diǎn)D到AB邊的距離是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：如圖，過D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC，∵AC＝5，AD＝3，∴CD＝5﹣3＝2，∴DE＝2，故選：B．【變式1-3】（2022?梧州模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC于點(diǎn)D，CD＝4，△CDE周長(zhǎng)為12，則AC的長(zhǎng)是（）A．14 B．8 C．16 D．6【答案】B【解答】解：∵BE是△ABC的角平分線，ED⊥BC，∠A＝90°，∴AE＝DE，∵△CDE的周長(zhǎng)為12，CD＝4，∴DE+EC＝8，∴AC＝AE+EC＝8，故選：B．【典例2】（2022?沈河區(qū)校級(jí)模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝3，則△DBE的面積為（）A．10 B．12 C．9 D．6【答案】C【解答】解：過D作DF⊥AB于F，∵∠C＝90°，∴DC⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD＝3，∴DF＝CD＝3，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB＝12，∴BE＝6，∴△DBE的面積＝BE?DF＝×6×3＝9，故選：C．【變式2-1】（2022?鳳翔縣一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若CD＝3，AB＝8，則△ABD的面積是（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【解答】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝3，∴S△ABD＝AB?DE＝×8×3＝12，故選：D．【變式2-2】如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于（）A．10 B．7 C．5 D．4【答案】C【解答】解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC?EF＝×5×2＝5，故選：C．【變式2-3】（2021秋?木蘭縣期末）如圖，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，OD＝2，△ABC的周長(zhǎng)為28，則△ABC的面積為（）A．28 B．14 C．21 D．7【答案】A【解答】解：連接OA，作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥AC于點(diǎn)F，∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝2，∴OD＝OE＝OF＝2，∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBCAB?OE+AC?OF+BBC?OD＝（AB+AC+BC）?OD＝×28×2＝28，故選：A．【典例3】（2021秋?綿竹市期末）如圖，直線a、b、c表示三條公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【答案】D【解答】解：∵△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，∴△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；如圖：點(diǎn)P是△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE＝PF，PF＝PD，∴PE＝PF＝PD，∴點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，∴△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點(diǎn)有3個(gè)；綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，∴可供選擇的地址有4個(gè)．故選：D．【變式3-1】（2021秋?云浮期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)【答案】B【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．故選：B．【變式3-2】（2020春?章丘區(qū)期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（）A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】C【解答】解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選：C．【變式3-3】（2021秋?綏棱縣期末）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（）A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)【答案】A【解答】解：從圖上可以看出點(diǎn)M在∠AOB的平分線上，其它三點(diǎn)不在∠AOB的平分線上．所以點(diǎn)M到∠AOB兩邊的距離相等．故選A．【典例4】（2021秋?巢湖市期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的長(zhǎng)．【答案】（1）略（2）CF＝2．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF與Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：設(shè)CF＝x，則AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD與Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．【變式4-1】（2021春?普寧市期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中點(diǎn)，證明：∠B＝∠C．【答案】略【解答】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C．【變式4-2】（2021秋?龍江縣期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長(zhǎng)．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【解答】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，設(shè)BE＝x，則CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【考點(diǎn)2：角平分線的判定】【典例5】（2020秋?饒平縣校級(jí)期末）如圖，D是∠EAF