2024年高考數(shù)學一輪復習講練測：集合（講義）

第01講集合

目錄

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

高考對集合的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)

容、頻率、題型、難度均變化不大.重

點是集合間的基本運算，主要考查集合

2022年I卷H卷第1題，5分

的交、并、補運算，常與一元二次不等

(1)集合的概念與表示2021年I卷II卷第1題，5分

式解法、一元一次不等式解法、分式不

(2)集合的基本關系2020年I卷H卷第1題，5分

等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)合.

(3)集合的基本運算

同時適當關注集合與充要條件相結(jié)合

的解題方法.

集合

夯基?必備基礎知識梳理

1、元素與集合

（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的關系：屬于或不屬于，數(shù)學符號分別記為：e和-

（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖圖）.

（4）常見數(shù)集和數(shù)學符號

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不

在這個集合中就確定了.給定集合A={1,2,3,4,5},可知1GA，在該集合中，6走A，不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.

集合■4={。,"。}應滿足4工人二0

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同一個集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號汽『’括起來表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎

線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關系

（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元

素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合8的子集，記作（或8衛(wèi)4），讀作“A包含

于8”（或“5包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合AqB，但存在元素xeB，且x走A，我們稱集合A是集合5

的真子集，記作（或.讀作“A真包含于8”或“B真包含A”?

（3）相等：如果集合A是集合8的子集（A=且集合8是集合A的子集（BqA），此時，集合4

與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=a

（4）空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

3、集合的基本運算

（1）交集:一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與8的交集，記作AB，

即A8={k|xeA,月/e8}?

(2)并集:一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為A與B的并集，記作AlB，

即A8={x|xeA,或xeB}?

(3)補集：對于一個集合A，由全集0中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集

U的補集，簡稱為集合A的補集，記作C〃A，即C“A={x|xeU,.且rem.

4、集合的運算性質(zhì)

⑴AcA=A，An0=0'AoB=Br>A-

⑵ADA=A，AU0=A，A<JB=B<JA-

(3)Ac(C04)=0,A3gA)=U,Cv(Ct,A)=A.

【解題方法總結(jié)】

(1)若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2"-1個，非空真

子集有2"-2個.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

(3)AcA3=A=AB=B<=>C(BcQ,A-

(4)C“(AB)=(Cb.A),(Q,B),Q(AiB)=(QA)(Cb.B)■

一提升?必考題型歸納

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

例1.(2023?廣東江門?統(tǒng)考一模)已知集合A={-1,0,1},8={訓/-leAm-leA}，則集合B中所

有元素之和為()

A.0B.1C.-1D.0

【答案】C

【解析】根據(jù)條件分別令蘇7=_1,0,1，解得相=0,±1,土血，

乂機―1eA,所以〃?=-1,+>/2'3={-1,>/2,—',

所以集合B中所有元素之和是t,

故選：C.

例2.(2023?江蘇?高三統(tǒng)考學業(yè)考試)對于兩個非空實數(shù)集合A和B，我們把集合

但x=a+〃,aeA力eB}記作A*B.若集合A={0,l},8={0,-l}，則4*B中元素的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】A={0,l},B={0,-l}.則A*B={0,-l,l},則A*3中元素的個數(shù)為3

故選：C

例3.（2023?全國?高三專題練習）定義集合4+8={x+），keA且yeB}.已知集合人={2,4,6}，

8={—1,1},則A+3中元素的個數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，因為A={2,4,6}，8={-1,1}，

所以A+3={1,3,5,7}.

故選：C.

【解題總結(jié)】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

題型二：集合元素的三大特征

例4.（2023?北京海淀??？寄M預測）設集合M={2機-1,^-3},若-3wM，則實數(shù)〃?=（）

A.0B._[C.0或7D.0或1

【答案】C

【解析】設集合M=—m-3}，若一3eM，

■_-3eM'2/M-I=-3/n-3=-3>

當2加—1=一3時,m=一1，此時例={-3,-4};

當根一3=—3時,m=0,此時M={-3,—1};

所以加=7或0.

故選：C

例5.（2023?江西?金溪一中校聯(lián)考模擬預測）已知集合4={1,〃,.，B={a2,a,ah}，若A=8,則

產(chǎn)+/022=（）

A.TB.0C.1D.2

【答案】A

【解析】由題意A=B可知，兩集合元素全部相等，得到I/=1或,,又根據(jù)集合互異性，可知

[ab=b[ab=\

解得4=1（舍），（“"I和F=l（舍），所以。=一1，〃=0,則*3+產(chǎn)2=（_i嚴3+o2O22=_i,

H=°=i

故選：A

例6,（2023?北京東城?統(tǒng)考一模）已知集合4={才/—2v0}，且awA，則〃可以為（）

A.-2B.-1C.2D.后

【答案】B

【解析】"""X2-2<0,->/2<x<>/2,A-^x\-\[2<x<>/2^<

可知一2eA」比A,0eA，故A、C、D錯誤；_iwA，故B正確.

2

故選：B

【解題方法總結(jié)】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉(zhuǎn)化為元素間的關系。

題型三：元素與集合間的關系

例7.（2023?河南?開封高中?？寄M預測）已知A={xid—?+]<0},若2W且3史A，貝U〃的

取值范圍是（）

A（5）口（510]「「510、（101

A.-,+ocB.—C.—Dn.-00,—

（2Jl23J[23）I3」

【答案】B

【解析】由題意,22-2?+1<0^-32-3?+1>01

解得3<心12,

23

故選：B

例8.（2023?吉林延邊?統(tǒng)考二模）已知集合4={r加令+2=0}的元素只有一個，則實數(shù)。的值為（）

9

Oc.2或o

A.8-B.D.無解

8

【解析】集合A有一個兀素，即方程4-3x+2=0有一解，

當4=0時,人=卜辰2一31+2=（）}=3-3犬+2=0}={g},符合題意’

當4工0時，加-3%+2=0有一解，

則A=9-8a=0，解得：a=->

8

綜上可得：a=o或〃=2,

8

故選：C.

例9.（2023?全國?高三專題練習）己知集合4=“蒼y）t+]vi,xeZ,yez],則A中元素的個數(shù)

為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由橢圓的性質(zhì)得-242,-應<y<>/2>

又xeZ,yeZ,

所以集合人=｛（一2,（）1（2,0）,（TO）,（1。,（（）,1）,（0,-1卜（（）,（））,（Tl）,（T-l）,（1,1）,（1,-1）｝

共有H個元素.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

1>一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù)，是還是.

題型四：集合與集合之間的關系

例10.（多選題）（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）若非空集合M,N,尸滿足：McN=N,M5=P，則

（）

A.PqMB.MfP=M

C.N2P=PD.McbpN=0

【答案】BC

【解析】由McN=N可得：N=M，山M_P=P，可得M=則推不出P=M，故選項A錯誤；

由M=P可得AfP=M，故選項B正確；

因為N=M且M=所以NqP，則NuP=P，故選項C正確；

由N=M可得：Med。代不一定為空集，故選項D錯誤；

故選：BC

例U.（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）設M=卜卜=*4ez1,N=卜x=%+g,kez）,則（）

A.M\jNB.NUMC.M=ND.McN=0

【答案】B

【解析】因為x=/+g=g（2Z+l），因為AGZ，

所以集合N是由所有奇數(shù)的一半組成，

而集合M是由所有整數(shù)的一半組成，故NUM.

故選：B

例12.（2023?遼寧沈陽?東北育才學校?？寄M預測）已知集合4=卜|%2-》-1240｝，

|x|X2-3//ZX+2m2+m—\<0｝>若"xwA''是"xe8”的必要不充分條件,則實數(shù)，"的取值范圍為（）

A-[-3,2]B,[-1,3]C,-1,|D.2,|

【答案】C

【解析】由題意集合A={x|x2-x-1240}=[—3,4],

B|x2-3mx+2m2+/w—1<0}={x|(x—/?—l)(x—2w+l)<0}>

"m>2，則，此時B=+，

因為“xeA”是"xe8”的必要不充分條件，故5$A，

2m-1<4

故”"?+12—3,2<〃？4*;

2

m>2

行〃2V2，則2/n—1v/72+1，此時3=(2w—1,加+1)，

因為“xeA”是“xeB”的必要不充分條件，故

w+1<4

故,2m-1>—3,-1</n<2：

m<2

若m=2,則2加一1=加+1，此時3=0，滿足3)A，

綜合以上可得加”,|

故選：c

例13.(2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模)已知集合4=卜料41},B={x\2x-a<0},若則實數(shù)a

的取值范圍是()

A.(2,+00)B.[2,+oo)C.(-oo,2)D.(-co,2]

【答案】A

【解析】集合A={x"j41}={x|—14x41}，B=|XL<4.

要使AuB，只需1<@，解得：a>2.

一2

故選：A

【解題方法總結(jié)】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關系的兩大技巧：

(1)定義法進行判斷

(2)數(shù)形結(jié)合法進行判斷

題型五：集合的交、并、補運算

例14.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知集合4=上卜=3”-2,〃€1>}*},B={6,7,10,11},則集合Ac3

的元素個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因為4=,卜=3〃-2,"€底}，8={6,7,10,11},則AnB={7,10},

故集合AcB的元素個數(shù)為2?

故選：B.

例15.(2023?河北張家口?統(tǒng)考二模)已知集合人={刈"-2)(4_力>0},8止>0卜則

(瘠4)5*)=()

A.(2,3)B.[3,4]C.(-8,2卜[3,+8)D.(-8,3卜[4,+8)

【答案】C

【解析】A={x|(x-2)(4-x)>0}={x[2<x<4},8={x|y^—>o]={x|x<3}，

即A=(2,4),B=(-oo,3),

所以，\A=(-8,2]34,+e),\B=[3,+8),

所以，僭4)U(RB)=(-8,2]33,+8).

故選：C.

例16.(2023?廣東?統(tǒng)考一模)己知集合用={川*(*-2)<0},'={川*-1<0},則下列Venn圖中陰

【答案】B

【解析】x(x-2)<0n0<x<2,x-l<0nx<l,

選項A中Venn圖中陰影部分表示MN=（O,l），不符合題意；

選項B中Venn圖中陰影部分表示&（MN）=[l,2）,符合題意；

選項C中Venn圖中陰影部分表示金（M0%）=（70,0]，不符合題意；

選項D中Venn圖中陰影部分表示MN=（-oo,2）,不符合題意，

故選：B

例17.（2023?全國?高三專題練習）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：

看電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之

歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看

了《建黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和

《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和

《開國大典》的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人,則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.

【答案】3

【解析】把大學社團50人形成的集合記為全集U,觀看了《青春之歌》《建黨偉業(yè)》《開國大典》三

支短視頻的人形成的集合分別記為A,B,C,依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有21_4-6-3=8（人），

因觀看了《建黨偉業(yè)》的有23人，則只看「《建黨偉業(yè)》的有23-4-7-3=9（人），

因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有26-6-7-3=10（人），

因此，至少看了一支短視頻的有3+4+6+7+8+9+10=47（人），

所以沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為50-47=3.

故答案為：3

【解題方法總結(jié)】

1、注意交集與并集之間的關系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合

例18.（2023?全國?高三專題練習）設集合X={《嗎嗎嗎}項N*，定義：集合

Y={q+at\ai,aieX,i,jeN\i力/}，集合S={x-ey},集合T=（2ewy卜分別用|S|,

|T|表示集合S,T中元素的個數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（）

A.|S|=6B.151=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】不妨設14ale生<%<為,則q+勺的值為4+生，4+%嗎+%，/+4嗎+4，

顯然，4+%v4+/<4+&<%+4v4+4，所以集合y中至少有以上5個元素，

不妨設％=4+a2,x2=4+a3,Xy-at+（z4,x4=a2+a4,x5-a3+aA，

XRXJC

則顯然不々<<XjX4<x,x5<,5<x,x5<x4x5>則集合S中至少有7個兀素，

所以|S|=6不可能，故排除A選項；

其次，若4+4二生+/，則集合丫中至多有6個元素，則|5|皿=或=15<16,故排除B項；

對于集合7,取*={1,3,5,7}，則丫={4,6,8,10,12},此時7=也.22，"黑，2,"話提，嗅，31，

［35235453643252J

|T|=16.故D項正確：

對于C選項而言，尸為，則三與2一定成對出現(xiàn)，%—I生—1<0,所以|T|?定是偶

XJxtH人士）

數(shù)，故C項錯誤.

故選：D.

例19.（2023?全國?模擬預測）已知集合4B滿足A|J8={1,2,3},若AWB，且［A&8］，［B&4］

表示兩個不同的“4B互襯對“，則滿足題意的“A8互襯對”個數(shù)為（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】當.=0時,集合B可以為{1,2,3};

當4={1}時,集合8可以為{2,3},{1,2,3};

當4={2}時,集合8可以為{1,3},{1,2,3};

當4={3}時,集合B可以為{1,2},{1,2,3};

當4={1,2}時,集合8可以為⑶,{1,3},{2,3},{1,2,3}:

當4={1,3}時,集合8可以為⑵,{1,2},{2,3},{1,2,3};

當4={2,3}時，集合B可以為⑴,{1,2},{1,3},{1,2,3}:

當-={1,2,3}時，集合8可以為A{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故滿足題意的“A8互襯對”個數(shù)為27.

故選：C

例20.（2023?北京?中央民族大學附屬中學校考模擬預測）已知集合A滿足:①AgN，②Vx,yeA,x工y,

必有|x-y|22,③集合A中所有元素之和為100,則集合A中元素個數(shù)最多為（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】對于條件①A=N，②必有卜-乂22,

若集合中所有的元素是由公差為2的等差數(shù)列構成，例如{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}.集合中有11個

元素，

X0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110>l（X）,（）+2+4+6+8+10+12+14+16+18=90<l（X）

則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合A中兀素個數(shù)最多不能超過1。個，

故若要集合A滿足：①A=N，②必有|x-y|22,③集合A中所有元素之和為100,

最多有10個元素，

例如A={0,2,4,6,8,10,12,15,18,25}.

故選：B.

【解題方法總結(jié)】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法

題型七：集合的創(chuàng)新定義

例21.（2023?全國?校聯(lián)考模擬預測）對于集合A8,定義4-8={x|xeA,且x/邛.若

A={x|x=2上+1,&WN},8={x|x=3A+l,keN},將集合A-B中的元素從小到大排列得到數(shù)列{““}，則

%+%）=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因為A={1,3,5,7,9,11,},B={1,4,7,10,13,16,19,22,25,},

所以A—3={3,5,9/1,15,.}，所以%=21.A―3，相當十集合A中除去x=6〃—5（〃eN*）形式的數(shù),其

前45項包含了15個這樣的數(shù)，所以/。=89.

則％+aM=110>

故選：C.

例22.（多選題）（2023?河南安陽?安陽一中?？寄M預測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19

世紀.直到1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金

分割），并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎上，才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2（X）0

多年的數(shù)學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集。劃分為兩個非空的子集M與M且滿

足MuN=Q,McN=0，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱（M,N）為戴德金分割?試

判斷下列選項中，可能成立的是（）

A.M={x|x<（）},N={xk>（）}是一個戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.例有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

【答案】BD

【解析】對于A,因為M={xk<0},N={x|x>0},MUN={X|XHO}WQ，故A錯誤；

對于B,若加="€。次<0}”={》6。次20},則滿足戴德金分割，

此時M沒有最大元素，N有一個最小元素0,故B正確；

對于C,若M有-一個最大元素，設為a,N有一個最小元素，設為6,則a<6，

則M={xeQ|x4a},N={xeQ\x>b^,而（_a,b）內(nèi)也有有理數(shù)，

則MiN#Q，故C錯誤；

對于D,若M斗eQ|x<碼，N={xeQ\x>>/2\'

則滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，

故選：BD

例23.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）已知X為包含v個元素的集合（peN*，v>3）.設A為由X的一些

三元子集（含有三個元素的子集）組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一

的一個三元子集中，則稱（X,4）組成一個v階的Steiner三元系.若（X,A）為一個7階的Steiner三元系，則

集合A中元素的個數(shù)為.

【答案】7

【解析】由題設，令集合X={a,b,c,d,e,fg},共有7個元素,

所以X的三元子集，如下共有35個：

{a,b,c}-{a,b,d}>[a,b,e}>[a,b,f}-{a,b,g）>[a,c,d]>{a,c,e}、{a,c,f}>{a,c,g}、{a,d,e}、[a,d,f}>

{a,d,g]>{a,e,f]>[a,e,g)-{a,f,g}>{b,c,d}>{b,c,e)-{b,c,f}>[b,c,g}-{b,d,e)>{b,d,f}>{/?,”,g}、

{b,e,f}>{b,e,g}>[b,f,g)>[c,d,e}>{c,</,/}>[c,d,g)>{c,e,f}>{c,e,g}>[c,f,g}>{d,e,f}>[d,e,g]>

因為月中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以月中元

素滿足要求的有:

{a,b,c]>{a,d,e}、{a/g}、也d,f\、{A,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7個;

{a,b,c}>{〃，"、{a，e,g}、{b,d,e}>{bj,g}、{c,d,g}、[c,e,f],共有7個;

{a,b,c}>{a,d,g}、{b,d,e]>{h,f,g].[c,d,f]，[c,e,g),共有7個;

{a,b,d}>{a,c,e}、{b,c,f}，{b,e,g}>[c,d,g)，{d,e,f},共有7個;

{a,b,d}>{a,c,g}>{a,e,f}>{b,c,e}>gJ，g}、{c,d,f}>[d,e,g}>共有7個

{a,b,d}>{a,c,f}>[a,e,g]