江蘇南通市如皋市2023-2024學(xué)年高二年級上冊12月月考數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇南通市如皋市

2023-2024學(xué)年度高二年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求.

1.正項等比數(shù)列｛"）中,?4=1,%%=81,貝產(chǎn)6

B.3C.6D.9

Y22

2.-777＞「'是"方程表示雙曲線”的)

mm—1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知圓C的半徑為2,圓心在無軸的正半軸上,直線3%+4y+4=0與圓。相切，則圓。的方程為

()

A.%2+y2_2%—3=0B.x2+y2+4x-3=0

C.D.x2+y~-4x=0

4.設(shè)a,/,/為不同的平面，，。為不同的直線，下列命題正確的是（）

A.若aua,則

B.若qua,bua,cJ_a,c_L6,則。_La

若。_17,。,aC\/3=b,貝iJb_L/

D.若mua,nuB,m//n,則?！ㄈf

1+為￡

5.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足。〃+1，且則“2023

1一?！?

A.-2B-4C-ID.3

6.已知公差dwO的等差數(shù)列｛4｝前幾項和為"，滿足S2000=S2022,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.S2011是S〃中的最大值B.S20U是S〃中的最小值

^2011D-S*-0

7.已知正四棱臺A8CD-44GA的上、下底面邊長分別為2和4,若側(cè)棱A&與底面A6CD所成的角為

60。，則該正四棱臺的體積為（）

A.28GB.8472

8.已知過點A（-3,0）的直線與拋物線C：產(chǎn)二口了相交于M,N兩點，E為拋物線C的焦點，若

\MF\=2\NF\,則網(wǎng)=（）

9

A.-B.9C.8D.16

2

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

22

9.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：土—2L=i,貝|（）

412

A.。的實軸長為2

B.。的離心率為2

C.C的漸近線方程為y=±[x

D.C的右焦點到漸近線的距離為2g

10.已知正方體ABC。-AAGA的棱長為2,E為CG中點，下列結(jié)論正確的是（）.

A.ACJI面E3OB.點C到平面ABE的距離為亭

C.面面D.二面角E—BD—C的正切值為

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",滿足S“=l—左"（左70且左N1）,則（）

A.數(shù)列是｛&｝等比數(shù)列

S.-S.

B.若k=4,貝IJU―”=16

白4一白2

C.若左＞1,數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列

D.若0（左＜1,數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列

12.已知A（不在x軸上）是圓（x—5『+丁=16上一點，點〃（—3,0）,N（3,0）,直線AN與圓的另一

個交點為2,則（

A.|A^|=||AM|

B.ZAMN=ZBMN

C.口4a0周長的最小值為12百

D.存在點A使得口人臺〃的面積為24

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出滿足：過點（T2）的直線與圓（x—Ip+b+lp=16相交于42兩點，且A3=4省的一條直線

方程為.

2

14.斜率為3的直線與橢圓0+y=1交于A,2兩點,“（一2,1）為線段A3的中點，則橢圓的離心率為

b2

ss

15.記S"為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若。,"+?！?3=5,%“+3+?！?2=9,則3^——-=.

n+1n

16.已知正三棱錐S-ABC的外接球為O,SA=2百，BC=3,則外接球。的半徑為,

點。為的中點，過點。作外接球。的截面，則所得截面面積的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛q｝中，前〃項和為S“，已知q+%=6,4=11.

（1）求工；

,1，,

（2）設(shè)仇=-----,求數(shù)列｛4｝的前〃項和&

18.如圖，四棱錐P-ABCD中,若口尸CD為等邊三角形,底面ABCD為正方形,平面PCD1底面ABCD,

E是的中點，G為PA的中點.

（1）求證：平面。GEL平面A6CQ；

（2）求二面角C—尸?！?的正弦值.

19.記數(shù)列｛a.｝的前幾項和為S”,已知S,=2an-n.

⑴設(shè)勿=4+1,證明：數(shù)列也J為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛&｝的通項公式;

(2)設(shè)%=。葭1。82處+1，求數(shù)列｛5｝的前〃項和？；?

20.在平面直角坐標系xOy中橢圓3+%=l(a>b>0)的離心率為/，直線x=1被橢圓截得的弦長為3.

(1)求橢圓的方程；

(2)過橢圓右焦點￡的直線/與橢圓交于A,B兩點，若三角形AB。面積為?1,求直線/的方程.

7

21.如圖，在多面體ABCDE中，3石_1_平面48。，平面AC。_L平面ABC,AD=AC=CD=4,

AB=BC=2?，BE=5

(1)若點/在AC上，且AE=3EC,求證：BF〃平面CDE；

(2)求0c與平面AOE所成角的正弦值.

22

22.已知雙曲線C與雙曲線匕-土=1有相同的漸近線,

412

(1)求雙曲線C的方程;

(2)在雙曲線C上存在異于點A的兩點M、N,且滿足直線AM、AN斜率之和為0,點O為直線

MN上一點，且ADLMN,是否存在定點尸，使得|。尸|為定值.

2023-2024學(xué)年度高二年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（二）

數(shù)學(xué)試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一

項符合題目要求.

1.正項等比數(shù)列｛%｝中，%=1,%%=81,則4=（）

A.y[3B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%,｝的公比為4,

因為數(shù)列｛4｝為正項等比數(shù)列，所以q>0,

由題。4=1'

則45aH=81=%"=■=81,所以q?=3,

所以4==3.

故選：B

22

2.“勿〉1”是“方程——匚=1表示雙曲線”的（）

mm-1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用方程為表示雙曲線的條件，求得〃?的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷條件

和結(jié)論的關(guān)系.

22

【詳解】因為方程二——匚=1表示雙曲線，

mm-1

所以加（加—1）>0,

解得加<0或7>1,

因為由7>1可推出加<0或%>1,,但是由根<0或%>1,不能推出力>1,

22

所以“必>r’是"方程——匚=1表示雙曲線”的充分不必要條件，

mm-1

故選：A.

3.已知圓。的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為

()

A.尤?+y2_2x—3=0B.x~+y~+4x-3=0

C.x~y~—2,x+3=0D.x~+y~—4-x—0

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)圓心坐標為C(a,0)(a>0)，根據(jù)圓與直線3x+4y+4=0相切可求出。=2,進而得到圓心和半

徑，于是可得圓的方程.

【詳解】由題意設(shè)圓心坐標為C(a,0)(?！?),

因為圓C與直線3x+4y+4=0相切，

|3a+0+4|

則！I-----匕2,且a>0,解得a=2,

V9+16

即圓心為C(2,0),半徑為廠=2,

所以圓C的方程為(x—2)?+/=4,BPx2+y2-4x=0.

故選：D.

4.設(shè)必，,/為不同的平面，仇c為不同的直線，下列命題正確的是()

A.若。〃a,aua,則6〃a

B.若aua,bua,cJ_a,cLb,則c_La

C.若a_L/,/3Ly，aCB=b,則。_L7

D.若根ua,nu/3,m//n,則a〃￡

【答案】C

【解析】

【分析】對于空間中的直線和平面關(guān)系的判斷，一般可以考慮從構(gòu)建長方體(正方體)模型判斷，從結(jié)論的

反面情況考慮能否滿足條件以及從正面推理得出結(jié)論等方法解決.

【詳解】對于A選項，當(dāng)6ua時，也能滿足條件匕〃。，oua,故A項錯誤；

對于B選項，在滿足條件aua,bua,cJ_a,cJ_。時，若a//6,則不能得出c_La,故B項錯

誤;

對于C選項，如圖，設(shè)&□/=/九,，□/=〃，在平面a內(nèi)作直線/J_根，因e_L/,貝同理在平

面夕內(nèi)作直線因貝V，/,所以//”,

luB,tu（3,則〃/，，又/ua,aC/3=b,所以l//b,所以。，人即C項正確;

對于D選項，在滿足條件根ua,九u〃時，若g□，=/,只需使加///,"/〃，即可滿足相〃“，但

此時a,萬不平行，故D項錯誤.

故選：C.

5.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足?！?1----,且q=—,則a,023=（）

l-a?2

A.-2B.—C.-D.3

32

【答案】A

【解析】

【分析】判斷出數(shù)列｛%,｝的周期為4,即可求解.

1+Q”1

【詳解】因為a“+l=^~q=—,

1-42

后+4_3_1+_9〃一1+色_1〃_1+°4_1

所以_3,^3--一一,，a4——7，a5->

1—1—%1—〃331—%2

顯然數(shù)列｛q,｝的周期為4,W2023=4x505+3,因此々023=%=-2.

故選：A.

6.已知公差dwO的等差數(shù)列｛4｝前幾項和為S“，滿足62000=S2022,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.S20U是S”中的最大值B.S20U是S”中的最小值

C.82011=°D.54022=0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由條件可得出011+%012=0,然后分］>0與d<0討論，對選項逐一判斷，即可得到

結(jié)果.

【詳解】因為等差數(shù)列｛?！埃皀項和為S,,且S2000=S2022，

則^2022一^2000=a2001+。2002+。2003。2022=0，

所以11(〃2011+〃2012)=0，即%011+〃2012=0，

且公差當(dāng)4〉0時，由。2011+〃2012=。可得，

“2011<°，“2012>0,則S20U是S"中的最小值,且S2011V0,

當(dāng)d<0時，由。2011+。2012=0可得，

?11>o,S2011S0,ABC

20a201s<0,則是Sn中的最大值，且2011〉故錯誤；

4022+

2011+2012=4+4022=°，>5=D

又。。。4022(^^4022)=Q；故正確；

故選：D

7.已知正四棱臺ABCD-ABJGA的上、下底面邊長分別為2和4,若側(cè)棱A4,與底面A6CD所成的角為

60。，則該正四棱臺的體積為()

A.28GB.8472

2876

D.28A/2

3

【答案】C

【解析】

【分析】作出圖形，結(jié)合正四棱臺48CD-的性質(zhì)求得其高，從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】記正四棱臺ABC?！?51GA的上、下底面的中心為。G，連接。

在平面ACG4中過A作4后平行于。。，交AC于E，如圖,

則由正四棱臺ABC。—的性質(zhì)可知。01，底面ABC。，從而4E，底面ABC。，

所以N^AE為側(cè)棱M與底面ABCD所成的角，即NAAE=60°,

因為正四棱臺ABCD-^B^D,的上、下底面邊長分別為2和4,

所以AG=2血,AC=4a,貝UAE=，4逝—2后）=逝，

故4石=AE?tan60°=后x百=Jd,即正四棱臺ABCD-的高為卡，

所以該正四棱臺的體積為gx（2?+萬菽+42卜指=2等.

故選：C.

8.已知過點A（-3,0）的直線與拋物線C：y2=i2x相交于M,N兩點,尸為拋物線C的焦點，若

\MF\=2\NF\,則網(wǎng)=（）

9

A.-B.9C.8D.16

2

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)直線加：了=左（》+3）,加（藥,芳）,？/（%2?2）聯(lián)立拋物線與直線得交點坐標關(guān)系，再結(jié)合拋物

線的定義聯(lián)立可得次2的值，從而可得ME的值.

【詳解】如圖，過"作直線x=-3的垂線，垂足為過N作直線x=-3的垂線，垂足為N]

設(shè)直線MN:y=左（》+3）,“（石，%）,?/（%2，%）

所以I'—J："人=左2/+（6左2―12）》+9左2=o,

y=左（x+3）'7

6人2—12,12^

貝UX]+%=———6+①,不冗2=9②

由拋物線的定義可^\MF\=\MM^=Xj+3,|A^F|=|AWj=%2+3,

由|用尸|=2|N/|可得％=2%+3③

Q3

聯(lián)立①②③可得：42=—6,%=—

92

所以MF=演+3=9.

故選：B.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

22

9.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C：土—2L=i,則（）

412

A.。的實軸長為2

B.。的離心率為2

c.C的漸近線方程為）=±二上》

3

D.C的右焦點到漸近線的距離為2道

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程可得a=2力=26,0=4,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷ABC即可，根據(jù)點到

直線的距離公式即可求解D.

22

【詳解】由雙曲線C：L—匕=1可得：a2=4,b2=n,c2=a2+b2=16,

412

所以a=2,b=2-\/3,c=4,

故實軸長為2a=4,故A錯誤,

離心率為6=￡=2,故B正確,

漸近線方程為y=±?x=土Gx,故C錯誤,

故選：BD

10.已知正方體ABC。-ABIGA的棱長為2,E為CG中點，下列結(jié)論正確的是（）.

B.點C到平面ABE的距離為拽

A.ACJI面E3D

5

C.面A3。，面D.二面角E-B?！狢的正切值為

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于選項A：連接AC與3。交于點歹，連接E尸，根據(jù)中位線得出EE〃AG，即可根據(jù)線面

平行的判定來判斷選項A；

對于選項B：取與G的中點G,連接CG與BE交于點H,根據(jù)三角形全等得出角相等，即可得出

CGLBE,由正方體的性質(zhì)得出CGLAB,即可得出CGL面ABE,

則點C到平面ABE的距離為CH，在通過計算即可判斷選項B；

對于選項C：連接AC交于點歹，連接A￡ER，4E，通過等腰三角形的三線合一得出再

通過勾股定理得出AF±EF,即可根據(jù)面面垂直的判定來判斷選項C；

對于選項D：通過等腰三角形的三線合一得出EFLBD,CFL3。,則面CBD與面EBD的二面角的平面

角為NCFE,再在直角三角形CEE中，計算得出tanNCTE,即可判斷選項D.

【詳解】對于選項A：

連接AC與3。交于點歹，連接石尸,

；四邊形4BCD為正方形,

???點/為AC的中點,

???點E為C￡的中點,

.?.EF為△CAG的中位線，

EF//AQ,

?;EFu面EBD,AG<2面班

.?.4。/面防。，故選項A正確；

對于選項B：

取gQ的中點G,連接CG與BE交于點X,

；BCQB］為正方形,點E為CG的中點，

:.CB=Cq=2,CE=GG=1,ZBCE=ACCfi=90°,

^BCE^CC.G,

NBEC=NCGC],

???NGCG+NCGG=90°,

NBEC+ZGCC1=90。，則ZCHE=90°，

CGIBE,

-：AB_L面BCCB,CGu面BCCXB,,

CGIAB,

,/BEu面ABE,ABu面ABE,ABCBE=B,

CG_L面ABE,

點C到平面ABE的距離為CH,

gcH?BE=；BC?CE,即辰H=\x2，解得CH=^

故點C到平面ABE的距離為述，故選項B正確；

5

對于選項C：

連接AC交于點歹，連接4￡￡「，4后，

=點/為3。中點,

：.\FVBD,

0=&,EF=/+（塔2=43,

A[F2+EF2=^E2,

:.\FLEF,

.8。匚面防。，EFu面EBD,BDC\EF=F,

面E3。，

AjFcz面AiBD,

，面\BD±面EBD,故選項C正確;

對于選項D：

?;BE=DE,BC=CD,點/為3。中點，

EF1BD,CFLBD,

???面CBOc面=

面CBD與面EBD的二面角的平面角為NCEE,

1J?

在直角三角形CEE中，tanZCFE=^=—,故選項D錯誤；

V22

故選：ABC.

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為s“，滿足S"=l—左"（左70且以1）,則（）

A.數(shù)列是｛凡｝等比數(shù)列

S-Sk

B.若左=4,則；6—416

“一

C.若左＞1,數(shù)列｛凡｝是遞增數(shù)列

D.若0（左＜1,數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列

【答案】ABD

【解析】

【分析】先根據(jù)前一項和求出a“=/T。-左），再根據(jù)通項公式分別判斷AD選項，特殊值法判斷C選項,

計算判斷B選項即可.

［詳解］?.?〃＞2,an=S"-%=1-F-1+k"T=k"，1）,

n-1,ax=Si=l-k,

kn-\l-k)

a=K〃T(1一人)，=左，左wO且女wl,

nn2

an-\k-(l-k)

數(shù)列是｛凡｝等比數(shù)列,A選項正確;

S-S1-46-（1-44）44-46、

若后"則餐=（1一的；1—j）=E=4-6,B選項正確；

若左＞1,若k=2,:.a”=—2"-i,q=—1,%=—2嗎＜%，數(shù)列｛4｝不是遞增數(shù)列，C選項不正確;

若0（/＜1,左"T（l一次）＞0,心2—=、＜=左＜l,u“＜a“T，數(shù)列｛%,｝是遞減數(shù)列,D

an-l卜（1-K）

選項正確.

故選：ABD.

12.已知A（不在x軸上）是圓（x—5）?+:/=16上一點，點〃（一3,0）,N（3,0）,直線AN與圓的另一

個交點為3,貝。（）

A.|AA^|=||AM|

B.ZAMN=ZBMN

C.口43知周長的最小值為12百

D.存在點4使得口4瓦0的面積為24

【答案】ABC

【解析】

【分析】由滿足|AN|=的點A軌跡判斷選項A；由左AM=—演小證明NAAW=NBMN判斷選

項B；由|A目的最小值求口45加周長的最小值判斷選項C；計算口4身0的面積為24時的條件，判斷選

項D.

【詳解】點”（—3,0）,N（3,0）,設(shè)A（x,y）,若|AN|=JAM|,

2

則有,（1）2+y=；J（x+3『+y2，化簡得（X-5）+/=16,

即點A軌跡方程為（x—5『+丁=16,故A選項正確；

設(shè)AB所在直線為x=7毆+3,代入圓（x—5）2+;/=16消去尤,

得(療+l)y2-4my-12=0,

設(shè)A(石,%)，2(%2,%),則有M+%=—27，%%=

—24m24m

左AM+kBM=%?為.?%2加%%+6(%+%)加+1療+1,°

玉+3x2+3myi+6my2+6+6)(my2+6)[my1+6)(m.y2+6)

則有"M=—怎M，所以/AMN=/BMN,B選項正確；

\AN\=^\AM\,\BN\=^\BM\,□45”周長為3(|4'+忸師=3|4回，

當(dāng)|A到最小時□ABM周長的最小，A3過N(3,0),|A創(chuàng)最小值為2,4?—2?=，

所以口490周長的最小值為12g，C選項正確;

484,4療+3

|%一%|=4%%=

m2+1m2+1

若用海.同心-止^^=24,解得病=4，不成立，

故D選項錯誤.

故選：ABC

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出滿足：過點(-1,2)的直線與圓(x-l『+(y+l)2=16相交于A,B兩點，且A3=4百的一條直線

方程為.

【答案】x=-l(或5x+12y-19=0)

【解析】

【分析】由弦|AB|=4G,可計算的圓心到直線的距離為2,設(shè)出直線方程根據(jù)點到直線的距離公式可計

算得解.

【詳解】由題，直線過點(T2)與圓(工一以+仆+丁二"相交的弦|A3|=4百，

可得圓心到直線的距離d=J/—網(wǎng)=,42_(26『=2,

當(dāng)直線的斜率不存在時，方程為尤=-1,圓心到直線的距離為2,滿足題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為y-2=左(％+1)，圓心。,-1)到直線的距離為客」匯2=2,

解得左=-卷，所以直線方程為5x+12y—19=0.

綜上，符合題意的直線方程為x=-1或5x+12y-19=o.

故答案為：x=-l（或答案為5x+12y-19=0）.

22

14.斜率為!的直線與橢圓「+與=1交于A,B兩點,“（-2,1）為線段的中點,則橢圓的離心率為

ab

【答案】旦

2

【解析】

玉+%2=—4

【分析】設(shè)4（網(wǎng),％）,3（工2，為），結(jié)合題意得到■（玉—々），＜再代入橢圓方程化

+為=2

簡，結(jié)合橢圓離心率公式即可得到答案.

【詳解】設(shè)45理）,8（尤2，%），

因為M（-2,1）為線段A3的中點,

2二％+/

所以直線A3斜率如="=!一2

1J+為

2

即%—%=9（七一々）,,Xj+x7=—4

/+%=2

2?

因為4（石,%）,3（%2，%）在橢圓二+二=1上，

a"b~

|22

-%--------...........--11

a2b1

所以《21,兩式相減得=0,

22

三+些=1ab

2

U2b

%）

代入化簡得，4"412——=0'

b2

A2

由題意知，玉。X2,玉一九2?！悖曰喌靡?

a4

則/＞尸，顯然，橢圓的焦點位于X軸,

所以橢圓的離心率e

故答案為:

2

15.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若am+an+3=5,am+3+an+2=9,則——一土=.

n+\n

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式帶入即可求解.

【詳解】由％+4+3=5①,4+3+4+2=9②,

②一①得3d—d=4,解得d=2,

又S="（—+1"）則S“

“2n2

.一+i％+4+]”^=，。"+1一?！?=卜=1.

〃+1n2

故答案為：1.

16.已知正三棱錐S-ABC的外接球為O,SA=，BC=3,則外接球O的半徑為

點。為的中點，過點。作外接球。的截面，則所得截面面積的最小值為.

9

答案

4-兀

【解析】

【分析】如圖，a是s在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，當(dāng)截面垂直于。。時

截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.

【詳解】如圖：

。是S在底面的射影，由正弦定理得，DABC的外接圓半徑r=二一X」=百,

sin602

由勾股定理得棱錐的高S。=J又與=3,設(shè)球。的半徑為E,

則R2=（3-7?）2+3,解得R=2,

當(dāng)過點。作球。的截面垂直于。。時，截面面積最小,

3Q7

而3。=—,貝I]=0§2—5￡>2=4——=-,

244

此時截面圓半徑為JR?—。02=/彳,故截面面積為兀|||=（兀.

9

故答案為：2；—71.

4

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的解決關(guān)鍵是利用球的截面性質(zhì)得到截面面積最小時的情況，從而利用勾

股定理即可得解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛。"｝中，前九項和為S"，已知q+%=6,

⑴求S.；

,1,>

（2）設(shè)仇=------,求數(shù)列也｝的前〃項和加

【答案】（1）S?=n2

⑵K=n

2H+1

【解析】

【分析】(1)求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式即可得解;

(2)利用裂項相消法求解即可.

【小問1詳解】

設(shè)公差為d,

由q+%=6,tz6=11,

2a+2d=6卬=1

得《u,「，解得〈

+5a=11d=2

所以=2n-l,

（l+2n-l）n2

故S,=---------—=n；

2

【小問2詳解】

11_____

由(1)得勿=-----

44+1（2n-l）（2n+l）2^2n-l2n+l）

1111n

所以---1---+???+

5572n-l2n+l

18.如圖，四棱錐P-ABCD中，若口PCD為等邊三角形,底面ABCD為正方形，平面PCD，底面ABCD,

E是AB的中點，G為PA的中點.

(1)求證：平面。GEL平面A6C。；

(2)求二面角C—PD—3的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】(1)/為CD中點，連接E4與。E相交于〃點，由已知面面垂直得P/，底面ABC。，可證

GH//PF,則有GH,底面ABC。，可得平面。GE，平面ABCD；

(2)/為中點，可證得C7，PD,BI1PD,二面角C—PD—3的平面角為NC/3,由余弦定理

求出cosNC7B,可得sinNC/B.

【小問1詳解】

廠為CD中點，連接E4與DE相交于H點，連接PF,FE,GH,如圖所示,

□PCD為等邊三角形，PF1CD,

平面PC。，底面ABC。，平面尸CDCl底面ABC。=CD,PFu平面PCD,PR，底面ABC。,

底面ABC。為正方形，歹為CD中點，E是AB的中點，

則DF=AE,DF//AE,四邊形ADFE為平行四邊形，X為Ab中點，

又G為B4的中點，所以GH〃PF,則有GHL底面A6C。，

GHu平面DGE，所以平面DGE1平面ABCD

【小問2詳解】

/為尸。中點，連接如圖所示,

口PCD為等邊三角形，底面ABC。為正方形，不妨設(shè)CD=2,

則C/=PF=百，BF=5PB=^PF-+BF2=2V2=BD>

所以C/，PD,BI1PD,二面角C—PD—3的平面角為NCZB,

BI=ylBD2-DI2=V7>口。/8中，由余弦定理，

CI?+BI?—BC?3+7-4_V21

cosZC/B二

2CIBI2xV3xV77

則sinNQB=H=一

所以二面角C-PD-5的正弦值為2也.

7

19.記數(shù)列｛a*｝的前〃項和為S",已知Sn=2an-n.

⑴設(shè)2=4+1,證明：數(shù)列也｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛&｝的通項公式；

(2)設(shè)g=b“kg2b2W求數(shù)列｛c“｝的前"項和7；.

n

【答案】(1)證明見解析，an=2-l

(2)T“=n-2”+2

【解析】

【分析】(1)利用%=S,-S,T推得。用=24+1,從而利用等比數(shù)列的定義即可證明，進而求得4；

(2)利用錯位相減法結(jié)合分組求和法即可求出.

【小問1詳解】

因為Sn=2an-n,

當(dāng)〃=1時，S[=2q—1,解得得ax=1；

當(dāng)〃>2時，由S〃=2Q〃—〃，得=2%_(〃+1),

兩式相減得—2a〃+i-2an—1,即an+i=2an+1,

則4+i+1=2(4+1),即％]=26,,

b

又4=。1+1=2,故。“彳0,所以常^=2,

所以｛〃｝是以4=2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以a=2-2'1=2",即4+1=2",

所以4=2"—1.

【小問2詳解】

由⑴得d=2",

2+1

所以g="?log2b2n+1=2"-log22?=(2n+l)-2\

所以7；=3x21+5x2?+7x23+…+(2”+1〉2”,

則27；=3x2?+5x23+7x2，+…+（2〃+1）2計1,

兩式相減，得-T“=3x2'+2x22+2x23+---+2x2"-（2n+l）-2,!+1

2（1-2"'）

=2+2x:2，—（2〃+l）.2"+i=—（2”一

所以北=（2“_1）-2角+2.

22

20.在平面直角坐標系xOy中橢圓,+%=1.〉6〉0）的離心率為:，直線x=1被橢圓截得的弦長為3.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓右焦點耳的直線/與橢圓交于A,B兩點,若三角形A3。面積為包2,求直線/的方程.

7

22

【答案】（1）土+上=1

43

(2)x-y-l=0或x+yT=0

【解析】

【分析】（1）將x=l代入橢圓方程可直接得出交點坐標，根據(jù)弦長和即可求得橢圓方程；

（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理和三角形面積，就可以解出直線方程.

【小問1詳解】

1c1

橢圓離心率為則e=—=—,即a=2c,

2a2

—a2—c1—3c2，

則橢圓方程化為=1

將x=l代入橢圓方程可得，+《=1,得,J；-3,如=±J12；-3

因此弦長為2>'12。2二3=3,所以。=1,貝1］。=2,片=3

2

22

所以橢圓方程為土+乙=1.

43

【小問2詳解】

由⑴可知耳（1,0）,則直線/與橢圓必定有兩個交點，設(shè)交點為A（X［，M）,5（x2,y2）.

設(shè)直線/的方程為x="+L

%=Zy+1

聯(lián)立方程《X2y2得(3/+4)/+60—9=0

[43

—61—9

則有％+為=短百'環(huán)=鏟百

所即rI=J（…）f%=J層了+^^12&+1

3r+4

而S口ABO=S”耳。+s匚BFQ=5*|。4+5XQ4|x昆I=,x|o用xQyJ+良|)=7

所以gxlx"]一%|)=罕，即|%一%|=^^?

所以＜|=苧，解得j即7

故直線/的方程為X=±y+1,即X—y—1=0或x+y—l=0.

【點睛】方法點睛：直線與橢圓的位置關(guān)系基本解題方法：

（1）設(shè)直線方程，注意考慮斜率是否存在；

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程并化簡，注意判斷是否有交點；

（3）韋達定理代入題設(shè)條件并化簡求解.

21.如圖，在多面體A5CDE中，BE_L平面ABC,平面AC。_L平面ABC,AD=AC=CD=4,

AB=BC=2?，BE=6

D

(1)若點廠在AC上，且AE=3EC,求證：BE〃平面CDE；

(2)求OC與平面ADE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)也

19

【解析】

【分析】(1)取AC,中點。,G,根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得。。，平面ABC,進而得到RG〃D0〃3E,

結(jié)合長度關(guān)系可證得四邊形B/GE為平行四邊形，得到BE〃EG,由線面平行的判定定理可得結(jié)論；

(2)以。為坐標原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

取4。,。中點。,6,連接DO,BF,EG,FG,

?.-AD=AC=CD,為等邊三角形，??.DOLAC,

???平面AC。，平面ABC,平面AC。口平面ABC=AC,DOu平面ACO,

_L平面ABC,又平面ABC,DCV/3E,

vAF=3FC,AO=OC=」AC,；.尸為0c中點，又G為CD中點，