高中數(shù)學(xué)：定積分及其應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)：定積分及其應(yīng)用

1、基本積分表

(1)JO"=c

(2)，歐=x+c

(3)=

(4)J-L/x=In|x|

(5)Jsinxdx--cosJ-be

(6)Jcosxdx=sinx+c

(7)j/dx=&K+c

(8)…j

2、運(yùn)算公式

(1)[北?/⑴&=可MSMx

(2)f⑶±g(x)]dx=J:/⑶dx+[加㈤dx

(3)J：/(x)dx=[/@)dx+[_/(T)dx(其中a<cv毋

3、[)(x)dx=?\x)|：=?@)-F(a)

Jr3=lim:￡-b----a，⑹

J?-4?)l-l題"

例1、若曲線y=/(x)在X處的導(dǎo)數(shù)為才且曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A

(1,3),求了㈤解析式。

33

解：/(J)=x+e,過(guò)Ae=2?,*/(x)=X+2

例2、求下列不定積分。

rJ1c*sin2x-、，

(----3+-----------1-lWx

(1)JX5^2cosx

]--

=J-Hx-Jx13”於+J2sin差歐+Jldx

x

K

=ln|j|-3V^-Flog3e-3-2cos仄+貢+c

dx

(2)/十2x-3

=〕(-7一一^燦

A-lx+3

=J---dx

x-1x+3

=21n|x-1|-31n|x+3|-l-t:

例3、求下列定積分

T

(1)j-^(2sinx4-cos

XX

=2sinxdx+\cosxdx

ar

=-2cos|o4-sinKR

=-2(0-1)+(1-0)=3

(2)用x，-收

I2p2-l1<X<2

??y=工-1=f

.11[1-x20<x<1

/；卜2-ipx=j;a——)石十j;y—1心

=(x--y-)Io+(-y-x)『

1Q1

=2

例4、M=「］(/-以+方尸小，a力為何值時(shí),M最小。

解：河=【上(/一ax)2+28(1—ax)+方'］小

=2JQ(x6-2aj/+//十V)dx

/--^+-a2?+/初:

53

21

=2(———a+—0

753

2r3、a.28

=35^+2白175

38

。=5力二°時(shí)，小175

例5、已知J；(3ax+l)(x+W&x=0,a.beR,試求°包的取值范

圍。

解：J；(3ax+l)(x+B)dx

=乳3?+(3油+1)x+司杰="+*如匕+D+匕=°

艮口3油+2(a+S)+l=0

&曳+1

設(shè)a七=fAa+6=--。，上為方程

2至+1門

X+十*+￡=°兩根

人一"0

*t工一口v

4,,9塊此1

?a.8e(-0□,一]u[l,+oo)

例6、求拋物線/=x與直線x-2>-3=0所圍成的圖形的面

積。

y2=x

解：由[-2y-3=oA(1,-1)B(9,3)

2K

例7、求由拋物線，=5,/="］所圍成圖形的面積。

V=-5151

,50乂勺,萬(wàn)"勺,一萬(wàn))](10)

解:

例8、由拋物線y=*+4”3及其在點(diǎn)A(0,-3),B

(3,0)處兩切線所圍成圖形的面積。

3_

解：，WA：3=4X-3,?皿：了=-2無(wú)+6P(亍3)

5

s=J祖4x-力一(一一+4x-3)此+1[(—2x+6)-(-A2+4x—3)防

2

_9

-4

例9、曲線C:y=2/-3x-2、1,點(diǎn)嗎?⑼,求過(guò)P的切

線?與C圍成的圖形的面積。

解:設(shè)切點(diǎn)昂。0Jo),則1/=6X；-6XQ-2

切線？：JH2x；-3君-2%+l]=(6君-6xo-2)(Lx())過(guò)P(如)

?-[2年-3x；-2x0+1]=[6x；-6x0-2].[1-x0]

??2

麗(4x；_6%+》=0

...頻=0,%=1A(0,1)

\e，切：1-1=-2(工-0)/.2大+了-1=0

3

y=2/-3/一2汗+1X=—

23.

?[y=~l-2x/=-2B(2'2)

?S=J2(3X2-2X3)^=—

例10、拋物線y=蘇+以在第一象限內(nèi)與直線x+y=4相

切。此拋物線與X軸所圍成的圖形的面積記為So求使

S達(dá)到最大值的a,b值，并求］。

解：依題設(shè)可知拋物線為凸形，它與X軸的交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)分別為勺=0為=-/",所以$=*（#+附必=白.⑴

又直線X+y=4與拋物線y=以2+取相切，即它們有唯一的

公共點(diǎn)

x+了=4

由方程組y=加+E

得&爐+9+1力-4=0,其判別式必須為0,即9+1）2+16”。

12

于是°=-記9+D，代入（1）式得:

112砧“3T）

朋）=------96對(duì)@