湖南省長沙市清水塘中學2022年高二數(shù)學文摸底試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖南省長沙市清水塘中學2022年高二數(shù)學文摸底試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.在等差數(shù)列{an}中,a1+a5=8,a4=7,則a5等于()A.3 B.7 C.10 D.11參考答案:C【考點】等差數(shù)列的通項公式.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】設出等差數(shù)列的公差,由已知條件列式求出公差,則a5可求.【解答】解:設公差為d,則,解得,a1=﹣2,d=3,∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10.故選C.【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式,是基礎的運算題.2.如圖所示的坐標平面的可行域內(陰影部分,包括邊界)若目標函數(shù),取得最小值的最優(yōu)解有無窮個,則的最大值是(

)A、

B、

C、

D、參考答案:B略3.在獨立性檢驗中,統(tǒng)計量有兩個臨界值:3.841和6.635;當>3.841時,有95%的把握說明兩個事件有關,當>6.635時,有99%的把握說明兩個事件有關,當3.841時,認為兩個事件無關.在一項打鼾與患心臟病的調查中,共調查了2000人,經計算的=20.87,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,認為打鼾與患心臟病之間(

)A.有95%的把握認為兩者有關 B.約有95%的打鼾者患心臟病C.有99%的把握認為兩者有關

D.約有99%的打鼾者患心臟病參考答案:C略4.若m,n是兩條不同的直線,α、β是兩個不同的平面,則下列命題不正確的是()A.若α∥β,m⊥α,則m⊥β

B.C.若m∥α,m⊥β,則α⊥β

D.若m∥n,m⊥α,則n⊥α參考答案:B略5.下列命題中正確的是()①若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),則m+n=s+t;②若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項的和,則Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等差數(shù)列;③若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和,則Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n成等比數(shù)列;④若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項的和,且;(其中A、B是非零常數(shù),n∈N*),則A+B為零.A.①② B.②③ C.②④ D.③④參考答案:C【考點】命題的真假判斷與應用;等差數(shù)列的性質;等比數(shù)列的性質.【分析】①取數(shù)列{an}為常數(shù)列,即可推出該命題是假命題;②根據(jù)等差數(shù)列的性質,推出2(S2n﹣Sn)=Sn+(S3n﹣S2n),即可得到Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n,…為等差數(shù)列;③利用等比數(shù)列an=(﹣1)n,判斷選項是否正確;④根據(jù)數(shù)列的前n項的和減去第n﹣1項的和得到數(shù)列的第n項的通項公式,即可得到此等比數(shù)列的首項與公比,根據(jù)首項和公比,利用等比數(shù)列的前n項和的公式表示出前n項的和,即可得到結論.【解答】解:①取數(shù)列{an}為常數(shù)列,對任意m、n、s、t∈N*,都有am+an=as+at,故錯;②設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,則Sn=a1+a2+…+an,S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d,同理:S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d,∴2(S2n﹣Sn)=Sn+(S3n﹣S2n),∴Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n是等差數(shù)列,此選項正確;③設an=(﹣1)n,則S2=0,S4﹣S2=0,S6﹣S4=0,∴此數(shù)列不是等比數(shù)列,此選項錯;④因為an=Sn﹣Sn﹣1=(Aqn+B)﹣(Aqn﹣1+B)=Aqn﹣Aqn﹣1=(Aq﹣1)×qn﹣1,所以此數(shù)列為首項是Aq﹣1,公比為q的等比數(shù)列,則Sn=,所以B=,A=﹣,∴A+B=0,故正確;故選C.6.若等差數(shù)列滿足,,則的值是

)A.20

B.24

C.36

D.72參考答案:B7.設,且x+y=5,則的最小值為(

A.0

B.

C.

D.參考答案:D略8.平面上有四個互異的點A、B、C、D,滿足(-)·(-)=0,則三角形ABC是()A.直角三角形

B.等腰三角形C.等腰直角三角形

D.等邊三角形參考答案:B9.為了解某校高三學生的視力狀況,隨機地抽查了該校100名高三學生的視力狀況,得到頻率分布直方圖,如右,由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失,但知道后5組的頻率成等比數(shù)列,設視力在到之間的學生數(shù)為,最大頻率為,則的值分別為(

)A.

B.

C.

D.參考答案:B10.設函數(shù)f(x)=x2﹣4x+3,g(x)=3x﹣2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},則M∩N為()A.(1,+∞) B.(0,1) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,1)參考答案:D【考點】交集及其運算;二次函數(shù)的性質.【分析】由f(x)與g(x)解析式,根據(jù)M與N中的不等式分別求出x的范圍,確定出M與N,找出兩集合的交集即可.【解答】解:∵函數(shù)f(x)=x2﹣4x+3,g(x)=3x﹣2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},∴M={x|g(x)>3或g(x)<1}={x|3x﹣2>3或3x﹣2<1}={x|x>log35或x<1},N={x|3x﹣2<2}={x|3x<4}={x|x<log34},∴M∩N={x|x>log35或x<1}∩{x|x<log34}={x|x<1}.故選:D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設分別是橢圓的左、右焦點,若橢圓上存在一點,為的內心,使,則該橢圓的離心率等于

.參考答案:12.(4分)已知函數(shù)f(x)=,對任意的x∈[0,1]恒有f(x﹣a)≤f(x)(a>0)成立,則實數(shù)a=_________.參考答案:13.圖中陰影部分的集合表示正確的有________.ABCD參考答案:C略14.已知定義在R上的函數(shù),當時,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為______參考答案:【分析】先根據(jù)構造差函數(shù),再根據(jù)條件化為一元函數(shù),利用導數(shù)確定其單調性,最后根據(jù)單調性解不等式,解得結果.【詳解】由,可得,即.因為,所以問題可轉化為恒成立,記,所以在上單調遞增.又,所以當時,恒成立,即實數(shù)的取值范圍為.15.設分別是雙曲線的左、右焦點.若點在雙曲線上,且,則

參考答案:略16.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4sin2-cos2C=,且a+b=5,c=,則△ABC的面積為________.參考答案:17.已知正數(shù)x,y滿足,則的最小值____________.參考答案:【分析】根據(jù)條件可得,然后利用基本不等式求解即可.【詳解】,,當且僅當,即時取等號,的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了基本不等式及其應用,關鍵掌握“1“的代換,屬基礎題.

三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家、物理學家,對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度,某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生,請他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”,少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下:

0項1項2項3項4項5項5項以上理科生(人)110171414104文科生(人)08106321

(1)完成如下2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為,了解阿基米德與選擇文理科有關?

比較了解不太了解合計理科生

文科生

合計

(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);(ii)從10人的樣本中隨機抽取3人,用X表示這3人中文科生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù):0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

,.參考答案:(1)見解析;(2)(i)文科生3人,理科生7人(ii)見解析【分析】(1)寫出列聯(lián)表后可計算,根據(jù)預測值表可得沒有的把握認為,了解阿基米德與選擇文理科有關.(2)(i)文科生與理科生的比為,據(jù)此可計算出文科生和理科生的人數(shù).(ii)利用超幾何分布可計算X的分布列及其數(shù)學期望.【詳解】解:(1)依題意填寫列聯(lián)表如下:

比較了解不太了解合計理科生422870文科生121830合計5446100

計算,沒有的把握認為,了解阿基米德與選擇文理科有關.(2)(i)抽取的文科生人數(shù)是(人),理科生人數(shù)是(人).(ii)的可能取值為0,1,2,3,則,,,.其分布列為0123

所以.【點睛】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣及超幾何分布,注意在計算離散型隨機變量的概率時,注意利用常見的概率分布列來簡化計算(如二項分布、超幾何分布等).19.(12分)如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:的左、右焦點,拋物線與橢圓C在第一象限的交點到的距離為.設A,B是C上的兩個動點,線段AB的中點M在直線上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點.(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在點M,使以PQ為直徑的圓經過點F2,若存在,求出M點坐標,若不存在,請說明理由。參考答案:(Ⅰ)由離心率可設橢圓C的方程為:,設拋物線和橢圓C的交點為則:,代入橢圓方程:,解得∴橢圓C的方程為.(Ⅱ)當直線AB垂直于x軸時,直線AB的方程為,此時,,,不合題意.當直線AB不垂直于x軸時,設存在點,.設直線AB的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),由,得,則,故,此時,直線PQ的斜率為k1=﹣4m,PQ的直線方程為y﹣m=﹣4m(x+),即y=﹣4mx﹣m.聯(lián)立,消去y,整理,得(32m2+1)x2+16m2x+2m2﹣2=0.∴,x1x2=,由題意=0,

∴=(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=x1x2﹣(x1+x2)+1+(4mx1+m)(4mx2+m)=(1+16m2)x1x2+(4m2﹣1)(x1+x2)+1+m2=++1+m2==0,∴m=.∵M在橢圓內,∴,∴m=符合條件.綜上所述,存在兩點M符合條件,坐標為M(﹣,﹣)和M(﹣,).20.(12分)已知過曲線上任意一點作直線的垂線,垂足為,

且.⑴求曲線的方程;⑵設、是曲線上兩個不同點,直線和的傾斜角分別為和,當變化且為定值時,證明直線恒過定點,并求出該定點的坐標.參考答案:(1)設,則,由得,即所以軌跡方程為(2)如圖,設,由題意得(否則)且所以直線的斜率存在,設其方程為,顯然,將與聯(lián)立消去,得由韋達定理知①(Ⅰ)當時,即時,所以,所以由①知:所以因此直線的方程可表示為,即所以直線恒過定點(Ⅱ)當時,由,得==將①式代入上式整理化簡可得:,所以,此時,直線的方程可表示為即所以直線恒過定點ks5u所以由(Ⅰ)(Ⅱ)知,當時,直線恒過定點,當時直線恒過定點.21.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)已知:a,b,c均為實數(shù),且,,,求證:a,b,c中至少有一個大于0.參考答案:略22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足:,其中為的前n項和.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求的前n項和.參考答案:解:(1)①當n=1時,,得

……1分②當時,

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