初中數(shù)學(xué)120大招-12 三角形中的最值問題與分類討論問題

三角形中的最值問題與分類討論問題三角形中的最值問題（將軍飲馬模型、瓜豆模型（動(dòng)點(diǎn)軌跡問題）、胡不歸模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型等）在考試中，無論是解答題，還是選擇、填空題，都是學(xué)生感覺有困難的地方，也恰是學(xué)生能力區(qū)分度最重要的地方，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。特殊三角形中的分類討論則體現(xiàn)了另一種數(shù)學(xué)思想，希望通過本專題的講解讓大家對(duì)這兩類問題有比較清晰的認(rèn)識(shí)。1、三角形中的最值問題：將軍飲馬模型【解題技巧】將軍飲馬模型圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對(duì)稱點(diǎn)例1．（2021·湖北省江夏區(qū)初二月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PE的最小值為_____．【答案】【分析】作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，求出AM和AD，再求出DN、EN，根據(jù)勾股定理求出ED，即可得出答案．【解析】作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接ED交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，∵DP=PA，∴PA+PE=PD+PE=ED，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，∴OA=4，∴AM=OA=2，∴AD=2×2=4，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠DNO=∠OAB=90°，∴DN∥AB，∴∠NDA=∠BAM=30°，∴AN=AD=2，由勾股定理得：DN===2，∵E（1，0），∴EN=4﹣1﹣2=1，在Rt△DNE中，由勾股定理得：DE===，即PA+PC的最小值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PE的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·甘肅西峰·八年級(jí)期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EP，CP的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)F，連接CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中垂線，∴點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點(diǎn)，∴F是AB的中點(diǎn)，∴CF=AD=6，即EP+CP的最小值為6，故答案為6．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形和軸對(duì)稱的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·廣東新豐·八年級(jí)期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為12，，則周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長(zhǎng)=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長(zhǎng)最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長(zhǎng)=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長(zhǎng)最小，即要使AM+DM的值最小，∴當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長(zhǎng)最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點(diǎn)共線時(shí)，AM+DM最小，即為AD．變式3．（2021·重慶初二月考）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【答案】16．【詳解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．例2．（2021·上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對(duì)稱的性質(zhì)得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結(jié)果．【解析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等邊三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)月考）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)、，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請(qǐng)利用上述模型解決下列問題：（1）幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說明理由．【答案】（1）；（2），圖和理由見解析【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最?。B接BA′，先根據(jù)勾股定理求出BA′的長(zhǎng)，再判斷出∠A′BA=90°，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：（1）如圖2所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E交BC于P，此時(shí)PA+PE的值最?。B接BA′．由勾股定理得，BA′=BA===2，∵是的中點(diǎn)，∴BE=BA=，∵，，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE的最小值=A′E===．故答案為：；（2）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，連接AC′，則C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC為等邊三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=C′A=1，∴CM+MN的最小值為C′N==．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段．變式5．（2022·安徽安慶·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問題，利用軸對(duì)稱將三角形周長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．變式6．（2021·湖北洪山·八年級(jí)期中）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長(zhǎng)的最小值為___．【答案】18【分析】首先明確要使得△PMB周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知PM=PC，從而可得滿足PC+PB最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定BC即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，AM=AC，PM=PC，∴M點(diǎn)為AB上一個(gè)固定點(diǎn)，則BM長(zhǎng)度固定，∵△PMB周長(zhǎng)=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周長(zhǎng)最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴滿足PC+PB最小即可，顯然，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足PC+PB最小，如圖所示，此時(shí)，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，PC+PB=BC，∴△PMB周長(zhǎng)最小值即為BC+BM，此時(shí)，作DS⊥AB于S點(diǎn)，DT⊥AC延長(zhǎng)線于T點(diǎn)，AQ⊥BC延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，由題意，AD為∠BAC的角平分線，∴DS=DT，∵，，∴，即：，∴，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周長(zhǎng)最小值為BC+BM=3+7+8=18，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．2、三角形中的最值問題：瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡問題）【解題技巧】動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定=1\*GB3①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。如圖，P是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，取AP中點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？當(dāng)P點(diǎn)軌跡是直線時(shí)，Q點(diǎn)軌跡也是一條直線．可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運(yùn)動(dòng)過程中，因?yàn)锳P=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點(diǎn)到BC的距離是定值，故Q點(diǎn)軌跡是一條直線．例1．（2021·成都市石室天府中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，在中，，點(diǎn)分別在上，將沿翻折，點(diǎn)落在處，則線段長(zhǎng)度的最小值為_____．【答案】【分析】過作交延長(zhǎng)線于，連結(jié)，由題意易得，，進(jìn)而可得BN、，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可進(jìn)行求解最小值．【詳解】解：過作交延長(zhǎng)線于，連結(jié)，，，，沿翻折得到，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，線段長(zhǎng)度取得最小值，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及折疊的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角不等式得到線段的最值，進(jìn)而求解即可．變式1．（2021·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是。【答案】﹣2．【分析】先依據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后依據(jù)翻折的性質(zhì)可知PF＝FC，故此點(diǎn)P在以F為圓心，以2為半徑的圓上，依據(jù)垂線段最短可知當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最短，然后依據(jù)題意畫出圖形，最后，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示：當(dāng)PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，，∴AB=12，由翻折的性質(zhì)可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．AF=4,∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂線段最短可知此時(shí)FD有最小值．FD=∴PD＝DF﹣FP＝﹣2．例2.（2021·重慶八年級(jí)月考）在中，，，，點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AD的右惻作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí)，則線段CD的長(zhǎng)度為_______．【答案】3【詳解】解：如圖，以AC為邊向左作等邊三角形ACF，連接DF，∵，，∴，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，DF的長(zhǎng)是最小的，即CE的長(zhǎng)最小，∵，，∴，，∴當(dāng)線段CE的長(zhǎng)度最小時(shí)，則線段CD的長(zhǎng)度為3．故答案是：3．變式2．（2021·東北師大附屬明達(dá)學(xué)校九年級(jí)二模）數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)課上，小致將等腰的底邊與直線重合．（1）如圖(1)，在中，，點(diǎn)在邊所在的直線上移動(dòng)，根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現(xiàn)的最小值是____________．（2）為進(jìn)一步運(yùn)用該結(jié)論，在（1）的條件下，小致發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最短時(shí)，如圖(2)，在中，作平分交于點(diǎn)點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)小致嘗試探索的最小值，小致在上截取使得連結(jié)易證，從而將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化到（1）的情況，則的最小值為；（3）解決問題：如圖(3)，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段連結(jié)，求線段的最小值．【答案】（1）2；（2）；（3）3．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)小致的思路，把將轉(zhuǎn)化為即P，E，N三點(diǎn)共線且時(shí)的值最??；（3）在上取一點(diǎn)，使得，連接，．由，推出，易知時(shí)，的值最小，求出的最小值即可解決問題．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)A作，此時(shí)AP的值最小．∵，，，故答案為：2．（2）根據(jù)小致的思路作出圖形，可知當(dāng)時(shí)的值最小，如圖：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．（3）如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，連接，．，，，，，，，，，時(shí)，的值最小，最小值為3，的最小值為3．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．變式3.（2021·長(zhǎng)沙市望城區(qū)郡維學(xué)校初二月考）如圖，OE是等邊的中線，，點(diǎn)C是直線OE上一動(dòng)點(diǎn)，以AC為邊在直線AC下方作等邊，連接ED，下列說法正確的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED沒有最大值也沒有最小值【答案】B【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后根據(jù)垂線段最短、直角三角形的性質(zhì)即可得．【解析】如圖，連接BD，過點(diǎn)E作，交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，和都是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，OE是等邊的中線，，，即直線BD的位置是固定的，當(dāng)點(diǎn)C在直線OE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D在直線BD上運(yùn)動(dòng)，由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合時(shí)，ED取得最小值，最小值為EF，在中，，即ED的最小值為1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、垂線段最短、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，確定出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．例3．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(1，0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，連接，則的最小值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q′的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：方法一：作QM⊥x軸于點(diǎn)M，Q′N⊥x軸于N，設(shè)Q(，)，則PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，當(dāng)m=2時(shí)，OQ′2有最小值為5，∴OQ′的最小值為，故選：B．方法二：由方法一知：Q′(，)，故得到點(diǎn)Q′的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線l：y=2x-5.∴當(dāng)OQ′垂直于直線l時(shí)，OQ′取的最小值?！军c(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，勾股定理，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．變式4.（2021·重慶八年級(jí)月考）如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰長(zhǎng)分別為4和2，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)M為邊DE的中點(diǎn)，若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，則點(diǎn)B到點(diǎn)M的距離最小值為__________．【答案】【詳解】解：連接AM，如下圖所示：點(diǎn)M為邊DE的中點(diǎn)，且Rt△ADE為等腰三角形，，，在Rt△ADE中，，由勾股定理可知：，故有，當(dāng)A、B、M三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形的三邊關(guān)系可知：此時(shí)一定有，當(dāng)三點(diǎn)共線且M點(diǎn)位于A、B之間時(shí)，此時(shí)有，．故答案為：．3、三角形中的最值問題：費(fèi)馬點(diǎn)模型【解題技巧】費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距高之和最短的點(diǎn)。主要分為兩種情況：（1）當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于120°的三角形，通常將某三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60度，從而將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化在同一條直線上，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題。（2）當(dāng)三角形有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)就是此內(nèi)角的頂點(diǎn).費(fèi)馬點(diǎn)問題解題的核心技巧：旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形將“不等三爪圖”中三條線段轉(zhuǎn)化至同一直線上利用兩點(diǎn)之間線段最短求解問題問題：在△ABC內(nèi)找一點(diǎn)P，使得PA+PB+PC最?。痉治觥吭谥暗淖钪祮栴}中，我們解決的依據(jù)有：兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線的連線中垂線段最短、作對(duì)稱化折線段為直線段、確定動(dòng)點(diǎn)軌跡求最值等．（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點(diǎn)為P，點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn)．（到這一步其實(shí)就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點(diǎn)P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結(jié)論：（1）∠BPD=60°；（2）連接AP，AP平分∠DPE．有這兩個(gè)結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原來在“手拉手全等”就已經(jīng)見過了呀，只是相逢何必曾相識(shí)！例1．（2021·湖北鄂州市·九年級(jí)期末）中，，，，為內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，當(dāng)點(diǎn)B、P、P′、C′在同一直線上時(shí)，最小，求此時(shí)的BC′即可．【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C′，由旋轉(zhuǎn)可知，P′C′=PC，AP=AP′，∠PAP′=60°，∠CAC′=60°，∴△PAP′是等邊三角形，PP′=AP，，當(dāng)點(diǎn)B、P、P′、C′在同一直線上時(shí)，最小，最小值為BC′長(zhǎng)，過點(diǎn)C′作C′M⊥AB，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵∠CAC′=60°，，∴∠C′AM=45°，AC′=，∴AM=MC′=4，∵，∴BM=10，BC′=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，通過旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，把求三條線段和最小問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題是解題關(guān)鍵．變式1．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．變式2．（2021·湖北青山·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例2．（2021·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．【答案】【分析】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．首先證明當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，想辦法求出AC的長(zhǎng)即可解決問題.【詳解】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，∵M(jìn)G=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等邊三角形，∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，∴當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM=2，∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，∴BC=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題變式3．（2021·綿陽市·八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，當(dāng)AG+BG+CG取最小值時(shí)EF的長(zhǎng)（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖，∵將△ABG繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等邊三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，∴當(dāng)G點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的長(zhǎng)，過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故選：D．變式4．（2021·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級(jí)期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長(zhǎng)；求的最小值．【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)；(4)．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；（3）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；（4）將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．(1)解：連結(jié)PP′，∵≌，∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，在△P′PC中，PC=5，，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，∴∠APB=∠AP′C=150°，故答案為150°；(2)證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，∵△APB≌△AB′P′，∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∴點(diǎn)P在CB′上，∴過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，∴△APB≌△AP′B′，∴AP′=AP，AB′=AB，∵∠PAP′=∠BAB′=60°，∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，∵∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，∵，，，∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=∴BB′=AB=2，∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，∴在Rt△CBB′中，B′C=∴最小=CB′=；(4)解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于F，∴△BCE≌△CE′B′，∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，∵∠ECE′=∠BCB′=60°，∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，∵，∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，∵B′F⊥AF，∴BF=，BF=，∴AF=AB+BF=2+，∴AB′=，∴最小=AB′=．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例3．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值.（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）【答案】【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，過點(diǎn)P作PE⊥A于E，∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．變式5．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值；（4）的最小值；（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；（5）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，然后證明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值為26；（7）由可由（4）得的最小值為；（8）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時(shí)的值最?。谥?，，，過點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線于E，然后求出，的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖3-4，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖3-6，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，過點(diǎn)C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過點(diǎn)A再作的垂線，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值為；（4）如圖3-8，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，∴，，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，∵，∴，∴的最小值為；（5）如圖3-10，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線時(shí)最小，最小為，∵，在中，，，最小為；（6）∵∴由（5）得：的最小值為26；（7）∵∴由（4）得的最小值為；（8）如圖3-12，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線時(shí)的值最?。谥?，，，過點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線，找到P點(diǎn)在什么位置時(shí)，線段的和最小．4、三角形中的最值問題：胡不歸模型【解題技巧】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家。由于著急只考慮到了"兩點(diǎn)之間線段最短"，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著"胡不歸？胡不歸？"看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.將這個(gè)問題數(shù)學(xué)化，我們不妨設(shè)總時(shí)間為，則，由可得，提取一個(gè)得，若想總的時(shí)間最少，就要使得最小，例1．（2021·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）∠AOB＝30°，OM＝2，D為OB上動(dòng)點(diǎn)，求MDOD的最小值．【答案】思路引領(lǐng)：(胡不歸經(jīng)典)作∠BON＝∠AOB＝30°，過點(diǎn)M作MC⊥ON于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D′，當(dāng)MC⊥ON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)D′即為點(diǎn)D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的長(zhǎng)，答案詳解：如圖，作∠BON＝∠AOB＝30°，過點(diǎn)M作MC⊥ON于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D′，∴CD′OD′所以當(dāng)MC⊥ON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)D′即為點(diǎn)D）MDOD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的長(zhǎng)，∴在Rt△OCM中，∠OMC＝30°，OM＝2∴OC＝1，∴CM．答：MDOD的最小值為．變式1．（2021·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E，易得2DE=CD，AD=A'D，從而得出AD+DE=A'D+DE，當(dāng)A'，D,E在同一直線上時(shí)，AD+DE的最小值等于A'E的長(zhǎng)是3，進(jìn)而求出2AD十CD的最小值．【詳解】如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A',連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A與A'關(guān)于BC對(duì)稱∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴當(dāng)A'，D,E在同一直線上時(shí)AD+DE的最小值等于A'E的長(zhǎng),在Rt△AA'E中：A'E=×2=3∴AD十DE的最小值為3∴2AD十CD的最小值為6故選B【點(diǎn)睛】本題主要考察了三角形的動(dòng)點(diǎn)最值問題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵．變式2．（2022·廣東高州·九年級(jí)期末）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．【答案】【分析】過點(diǎn)D作于，過點(diǎn)C作于，首先通過勾股定理及求出AE,BE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出，然后通過銳角三角函數(shù)得出，進(jìn)而可得出，最后利用即可求值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于，過點(diǎn)C作于．∵，∴，∵，設(shè)，，∴，∴，∴或（舍棄），∴，∵，，，∴（等腰三角形兩腰上的高相等）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會(huì)添加輔助線并利用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是______．【答案】【分析】作∠OCE=120°，過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得PG=PC；當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，則∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，如圖：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，則∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC=AP+PG，當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PG=AG的值最小，延長(zhǎng)AG交y軸于點(diǎn)F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PC=AP+PG=AG的值最小是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，?ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PD的最小值等于______.【答案】【分析】過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，推出PE=PD，由此得到當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【詳解】過點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD，∵2PB+PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，∴當(dāng)PB+PE最小時(shí)2PB+PD有最小值，此時(shí)P、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3，∴2PB+PD的最小值等于6，故答案為：6.【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形含30°角的問題，動(dòng)點(diǎn)問題，將線段2PB+PD轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的形式是解題的關(guān)鍵.變式4．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋和直線l2：y＝﹣x＋b相交于y軸上的點(diǎn)B，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C．（1）求△ABC的面積；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF＋CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF＋OP的最小值．【答案】（1）S△ABC=；（2）點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，）；PF＋OP的最小值為．【分析】（1）根據(jù)l1的解析式可得A、B坐標(biāo)，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入y＝﹣x＋b可求出b值，進(jìn)而可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，即可求出AC、OB的長(zhǎng)，利用三角形面積公式即可得答案；（2）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′E，交l1于F，根據(jù)A、B、C坐標(biāo)可得△ABC是直角三角形，可得點(diǎn)C′在直線l2上，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得出C′坐標(biāo)，可得C′E為EF＋CF的最小值，利用待定系數(shù)法可得出直線C′E的解析式，聯(lián)立直線C′E與l1解析式即可得出得F的坐標(biāo)；作二、四象限對(duì)角線l3，過點(diǎn)F作FG⊥l3于G，交y軸于P，可得∠GOP=45°，可得PG=，可得FG為PF＋OP的最小值，過點(diǎn)F作FQ⊥x軸，交l3于Q，可得△FGQ為等腰直角三角形，可得FG=FQ，由l3的解析式為y=-x及點(diǎn)F的坐標(biāo)可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，進(jìn)而可得FQ的長(zhǎng)，即可得FG的長(zhǎng)，可得答案．【詳解】（1）∵l1：y＝x＋，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=，當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，∴A（-3，0），B（0，），∵點(diǎn)B直線l2：y＝﹣x＋b上，∴b=，∴直線l2的解析式為y＝﹣x＋，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=1，∴C（1，0），∴AC=4，OB=，∴S△ABC===．（2）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線l1的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′E，交l1于F，∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，∵AC2=AB2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∴點(diǎn)C′在直線l2上，∵點(diǎn)C與點(diǎn)C′關(guān)于直線l1的對(duì)稱，∴CC′=2BC=4，設(shè)點(diǎn)C′（m，﹣m＋，）∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，解得：m1=-1，m2=3，∵點(diǎn)C′在第二象限，∴m=-1，∴﹣m＋=，∵FC=FC′，∴EF＋CF=EF+FC′，∴當(dāng)C′、F、E三點(diǎn)共線時(shí)EF＋CF的值最小，設(shè)直線C′E的解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴直線C′E的解析式為，聯(lián)立直線C′E與l1解析式得，解得：，∴F（1，）．如圖，作二、四象限對(duì)角線l3，過點(diǎn)F作FG⊥l3于G，交y軸于P，過點(diǎn)F作FQ⊥x軸，交l3于Q，∴直線l3的解析式為y=-x，∠GOP=45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG=OP，∴G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，PF＋OP的值最小，最小值為FG的長(zhǎng)，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG=FQ，∵F（1，），直線l3的解析式為y=-x，∴Q（1，-1），∴FQ=-（-1）=+1，∴FG=FQ=×（+1）=，∴PF＋OP的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5、三角形中的最值問題：其他最值問題例1．（2021·廣東深圳市·八年級(jí)期末）如圖，△ABC中，BC=10，AC?AB=4，AD是∠BAC的角平分線，CD⊥AD，則S△BDC的最大值為______.【答案】10【分析】延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于E，可證△ADE≌△ADC（ASA），得出AC＝AE，DE＝CD，則S△BDC＝S△BCE，當(dāng)BE⊥BC時(shí)，S△BEC最大面積為20，即S△BDC最大面積為10．【詳解】如圖：延長(zhǎng)AB，CD交點(diǎn)于E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC﹣AB＝4，∴AE﹣AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BEC，∴當(dāng)BE⊥BC時(shí)，S△BDC面積最大，即S△BDC最大面積＝××10×4＝10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；利用三角形中線的性質(zhì)得到S△BDC＝S△BEC是解題的關(guān)鍵．變式1.（2021·廣西·八年級(jí)期末）如圖，AD為等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F(xiàn)分別為線段AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF，當(dāng)BF＋CE取最小值時(shí)，∠AFB的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．95° D．105°【答案】C【詳解】如圖，作CH⊥BC，且CH=BC，連接HB，交AC于F，此時(shí)△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小，∵AC=BC，∴CH=AC，∵∠HCB=90°，AD⊥BC，∴AD//CH，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH≌△AEC，∴FH=CE，∴FH+BF=CE+BF最小，此時(shí)∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故選：C．變式2.（2021·綿陽市·八年級(jí)期中）如圖，C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，，都是等邊三角形，M，N分別是，的中點(diǎn)，若，則線段的最小值為______．【答案】【解析】連接，∵和為等邊三角形，∴，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，，∴，設(shè)，∴∵，∴，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，的值最小為．答案：．變式3．（2021·武漢六中上智中學(xué)月考）如圖，AB∥DP，E為DP上一動(dòng)點(diǎn)，AB=CB=CD，過A作AN⊥EC交直線EC于N，過D作DM⊥EC交直線EC于點(diǎn)M，若∠B=，當(dāng)AN-DM的值最大時(shí)，則∠ACE=_________【答案】123°【分析】當(dāng)DM與DE重合，AN與AB重合時(shí)，AN-DM的值最大，此時(shí)AN-DM=AB，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)條件，利用三角形的內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角關(guān)系，求出結(jié)果．【解析】如圖所示，當(dāng)DM與DE重合，AN與AB共線時(shí)，AN-DM的值最大，∵∠ABC=114°，∴∠CBN=180°-114°=66°，∴∠BCN=90°-66°=24°，又∵AB=BC，∴∠ACB=（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCN=180°-33°-24°=123°．故答案為：123°．【點(diǎn)睛】考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫出相應(yīng)圖是解決問題的關(guān)鍵．變式4．（2020·湖北中考真題）如圖，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，則的最大值與最小值的差為_____．【答案】12【分析】以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，可證得△ECB≌△DCA從而得到BE=AD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖1，以CD為邊向外作等邊三角形CDE，連接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴則的最大值與最小值的差為12．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等與三角形的三邊關(guān)系，解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)建全等三角形把AD轉(zhuǎn)化為BE從而求解，是一道較好的中考題．1、等腰三角形中的分類討論：【解題技巧】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1.無圖需分類討論①已知邊長(zhǎng)度無法確定是底邊還是腰時(shí)要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時(shí)要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類討論。2.“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）例1．（2021·上虞市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個(gè)三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個(gè)三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個(gè)．【答案】7【分析】①當(dāng)AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時(shí)；②當(dāng)AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時(shí)；③當(dāng)APB，PB=BQ，PQ=CQ時(shí)；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時(shí)；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖所示，共有9種情況，∠C的度數(shù)有7個(gè)，分別為80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①當(dāng)AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ時(shí)；②當(dāng)AB=AP，BP=BQ，PQ=QC時(shí)，③當(dāng)AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ時(shí)．④當(dāng)AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ時(shí)，⑤當(dāng)AP=BP，CP=CQ，QB=PQ時(shí)，⑥當(dāng)AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ時(shí)；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC時(shí)．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC時(shí)．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2021·保定市第三中學(xué)分校初二期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在軸上確定點(diǎn)，使為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】先計(jì)算OA的長(zhǎng)，再以O(shè)A為腰或底分別討論，進(jìn)而得出答案．【解析】解：如圖，，當(dāng)AO＝OP1，AO＝OP3時(shí)，P1（﹣，0），P3（，0），當(dāng)AP2＝OP2時(shí)，P2（1，0），當(dāng)AO＝AP4時(shí)，P4（2，0），故符合條件的點(diǎn)有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題以平面直角坐標(biāo)系為載體，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定義，屬于?？碱}型，全面分類、掌握解答的方法是關(guān)鍵．例2．（2022·福建·廈門一中八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0）、B（0，3），以AB為邊在第一象限作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，分類討論，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)與判定即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】解：如圖，當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則,作軸，又,同理可得根據(jù)三線合一可得是的中點(diǎn)，則，綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·黑龍江密山·八年級(jí)期末）如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點(diǎn)，．(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)O到AB的距離為，求線段AB的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，x軸上是否存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形，若存在請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)A（0，6），B（8，0）；(2)AB=10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知OA=6，OB=8，據(jù)此可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)求解可得；（3）先設(shè)點(diǎn)P（a，0），根據(jù)A（0，6），B（8，0）得，再分PA=AB和AB=PB兩種情況分別求解可得．(1)∴OA-6=0OB-8=0則A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，6），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）(2)，(3)存在點(diǎn)P，使△ABP是以AB為腰的等腰三角形設(shè)點(diǎn)P（a，0），根據(jù)A（0，6），B（8，0）得①若PA=AB，則，即，解得a=8(舍)或a=?8，此時(shí)點(diǎn)P(?8，0)；②若AB=PB，即，即解得a=18或a=?2，此時(shí)點(diǎn)P(18，0)或(?2，0)；綜上，存在點(diǎn)P，使△ABP使以AB為腰的等腰三角形，其坐標(biāo)為(?8，0)或(18，0)或(?2，0)．【點(diǎn)睛】本題考察了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的面積求法、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解決第3問的關(guān)鍵例3．（2021·北京·北方工業(yè)大學(xué)附屬學(xué)校八年級(jí)期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為____．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當(dāng)時(shí)，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長(zhǎng)為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式3．（2021·浙江余杭·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，，，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，按的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．(1)出發(fā)2秒后，求CP的長(zhǎng)．(2)出發(fā)幾秒鐘后，CP恰好平分的周長(zhǎng)．(3)當(dāng)t為何值時(shí)，為等腰三角形？【答案】(1)PC=(2)出發(fā)3秒鐘后，CP恰好平分△ABC的周長(zhǎng)(3)t＝3或5.4或6或6.5時(shí)，△BCP為等腰三角形【分析】（1）勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)速度求得出發(fā)2秒后的長(zhǎng)，中勾股定理求解即可；（2）由于CP恰好平分的周長(zhǎng)，則P點(diǎn)不可能位于線段BC和AC上，即對(duì)P點(diǎn)在線段AB上進(jìn)行探究，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程求解即可；（3）①當(dāng)P在AB上時(shí)，若BP＝BC時(shí)，②當(dāng)P在AC上時(shí)，若BP＝BC時(shí)，③當(dāng)P在AC上時(shí)，若CB＝CP時(shí)，④當(dāng)P在AB上時(shí)，若PC＝PB時(shí)，根據(jù)題意列出一元一次方程解方程求解即可(1)由∠B＝90°，AC＝10，BC＝6，∴AB＝8，∵P從點(diǎn)B開始，按B→A→C→B，且速度為2，∴出發(fā)2秒后，則BP＝4，AP＝6，∵∠B＝90°，∴在中，由勾股定理得PC＝；(2)P點(diǎn)不可能位于線段BC和AC上，即對(duì)P點(diǎn)在線段AB上進(jìn)行探究，根據(jù)題意可得，6＋2t＝10＋8－2t；解得t＝3出發(fā)3秒鐘后，CP恰好平分△ABC的周長(zhǎng)(3)①當(dāng)P在AB上時(shí)，若BP＝BC時(shí)，得到2t＝6；則t＝3，②當(dāng)P在AC上時(shí)，若BP＝BC時(shí)，過點(diǎn)作，則在中，在中，即解得③當(dāng)P在AC上時(shí)，若CB＝CP時(shí)，即解得④當(dāng)P在AC上時(shí)，若PC＝PB時(shí)，得到2t＝6；則t＝6.5．綜上可得t＝3或5.4或6或6.5時(shí)，△BCP為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，一元一次方程的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·江西宜春·八年級(jí)期末）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對(duì)的銳角為30°．等腰三角形ABC中，于點(diǎn)D，若，則底角的度數(shù)為______．【答案】或或【分析】分兩種情況：①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求解即可．【詳解】①BC為腰，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，，∴∠ACD=30°，如圖1，AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，底角∠B=75°；如圖2，延長(zhǎng)BC，過A作AD⊥BC于D，AD在△ABC外部時(shí)，底角∠B==15°；②BC為底，如圖3，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，，∴AD=BD=CD，∴△ABC是等腰直角三角形，∴底角∠B=45°，綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．變式4．（2021·重慶市榮昌初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，點(diǎn)B、D、C、F在同一直線上，點(diǎn)A在DE上．如圖2，△ABC固定不動(dòng)，將△EDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，當(dāng)直線E′F′與直線AC、BC所圍成的三角形為等腰三角形時(shí)，α的大小為___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】設(shè)直線E′F′與直線AC、BC分別交于點(diǎn)P、Q，根據(jù)△CPQ為等腰三角形，分三種情況：①當(dāng)∠PCQ為頂角時(shí)，∠CPQ=∠CQP，如圖1，可求得α=7.5°；如圖2，△CPQ為等腰三角形中，∠PCQ為頂角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②當(dāng)∠CPQ為頂角時(shí)，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如圖3，進(jìn)而求得α=90°-15°=75°；③如圖4，當(dāng)∠CQP為頂角時(shí)，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，進(jìn)而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【詳解】解：設(shè)直線E′F′與直線AC、BC分別交于點(diǎn)P、Q，∵△CPQ為等腰三角形，∴∠PCQ為頂角或∠CPQ為頂角或∠CQP為頂角，①當(dāng)∠PCQ為頂角時(shí)，∠CPQ=∠CQP，如圖1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如圖2，∵△CPQ為等腰三角形中，∠PCQ為頂角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②當(dāng)∠CPQ為頂角時(shí)，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如圖3，∵∠DE′F′=∠CQP+∠QDE′，∴∠QDE′=∠DE′F′-∠CQP=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如圖4，當(dāng)∠CQP為頂角時(shí)，∠CPQ=∠PCQ=45°，∴∠CQP=90°，∴∠QDF′=90°-∠DF′E′=60°，∴∠QDE′=∠E′DF′-∠QDF′=30°，∴α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°；綜上所述，α的大小為7.5°或75°或97.5°或120°．故答案為：7.5°或75°或97.5°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想思考解決問題．2、直角三角形中的分類討論：【解題技巧】1.無圖需分類討論——經(jīng)典運(yùn)用：已知邊長(zhǎng)度無法確定是直角邊還是斜邊時(shí)要分類討論。2.“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）③當(dāng)時(shí)，以為直徑作圓，點(diǎn)在該圓上（，除外）例1．（2022·江西九江·八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時(shí)，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時(shí)，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重