初中數(shù)學(xué)120大招-附7 探究動(dòng)態(tài)幾何問題

探究動(dòng)態(tài)幾何問題【命題趨勢(shì)】數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化面精彩紛呈。動(dòng)態(tài)幾何問題是近年來中考的一個(gè)重難點(diǎn)問題，以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形或函數(shù)與幾何圖形的變化規(guī)律，從而確定某一圖形的存在性問題。隨之產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題。以動(dòng)態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！緷M分技巧】1）動(dòng)態(tài)幾何問題是以幾何圖形為背景的，幾何圖形有直線型和曲線型兩種，那么動(dòng)態(tài)幾何也有直線型的和曲線型的兩類，即全等三角形、相似三角形中的動(dòng)態(tài)幾何問題，也有圓中的動(dòng)態(tài)問題。有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)等。根據(jù)其運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，又可分為(1)動(dòng)點(diǎn)類(點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動(dòng))也包括一個(gè)動(dòng)點(diǎn)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；(2)動(dòng)直線類；(3)動(dòng)圖形問題。2）解決動(dòng)態(tài)幾何題，通過觀察，對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的探索，發(fā)現(xiàn)其中的‘變量”和“定量”動(dòng)中求靜，即在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性;動(dòng)靜互化抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)與靜”的關(guān)系;這需要有極敏銳的觀察力和多種情況的分析能力，加以想象、結(jié)合推理，得出結(jié)論。解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)。解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注--些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系。3）動(dòng)態(tài)幾何形成的存在性問題，重點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準(zhǔn)確地進(jìn)行分類，包括等腰(邊)三角形存在問題，直角三角形存在問題，平行四邊形存在問題，矩形、菱形、正方形存在問題。全等三角形存在問題，相似三角形存在問題等?！鞠迺r(shí)檢測(cè)】A卷（建議用時(shí)：90分鐘）1．（2020·江蘇南通市·中考真題）如圖①，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B﹣E﹣D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s．現(xiàn)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），若y與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖②所示，則矩形ABCD的面積是（）A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2【答案】C【分析】過點(diǎn)E作EH⊥BC，由三角形面積公式求出EH=AB=6，由圖2可知當(dāng)x=14時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，則AD=12，可得出答案．【詳解】解：從函數(shù)的圖象和運(yùn)動(dòng)的過程可以得出：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，x＝10，y＝30，過點(diǎn)E作EH⊥BC，由三角形面積公式得：y＝，解得EH＝AB＝6，∴BH=AE=8,由圖2可知當(dāng)x＝14時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，∴ED=4,∴BC=AD＝12，∴矩形的面積為12×6＝72．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想方法是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川雅安市·中考真題）已知，等邊三角形和正方形的邊長(zhǎng)相等，按如圖所示的位置擺放（C點(diǎn)與E點(diǎn)重合），點(diǎn)共線，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，直到B點(diǎn)與F點(diǎn)重合．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，運(yùn)動(dòng)過程中兩圖形重疊部分的面積為，則下面能大致反映與之間關(guān)系的函數(shù)圖象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分點(diǎn)C在EF中點(diǎn)的左側(cè)、點(diǎn)C在EF中點(diǎn)的右側(cè)、點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的右側(cè)四種情況，分別求出函數(shù)的表達(dá)式即可求解．【詳解】解：設(shè)等邊三角形ABC和正方形DEFG的邊長(zhǎng)都為a，運(yùn)動(dòng)速度為1，當(dāng)點(diǎn)C在EF的中點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)AC交DE于點(diǎn)H，則CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，則S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，可知圖象為開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)點(diǎn)C在EF的中點(diǎn)右側(cè)時(shí)，設(shè)AB與DE交于點(diǎn)M，則EC=t，BE=a-t，ME=，∴S=，可知圖象為開口向下的二次函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，S=，可知圖象為開口向下的二次函數(shù)；當(dāng)點(diǎn)C在F點(diǎn)右側(cè)且B在EF中點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，此時(shí)BF=2a-t，MF=，∴，可知圖象為開口向上的二次函數(shù)；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．3．（2020·遼寧錦州市·中考真題）如圖，在菱形中，P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)E．于點(diǎn)F．若菱形的周長(zhǎng)為20，面積為24，則的值為（）A．4 B． C．6 D．【答案】B【分析】連接BP，通過菱形的周長(zhǎng)為20，求出邊長(zhǎng)，菱形面積為24，求出SABC的面積，然后利用面積法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．【詳解】解：連接BP，∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面積為24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在添加輔助線，通過面積法得出等量關(guān)系，求出PF+PE的值．4．（2020·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）如圖，把某矩形紙片沿，折疊（點(diǎn)E、H在邊上，點(diǎn)F，G在邊上），使點(diǎn)B和點(diǎn)C落在邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為、D點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，若，為8，的面積為2，則矩形的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因?yàn)椤鰽′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，推出D′H＝x，由S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，可解得x=2，分別求出PE和PH，從而得出AD的長(zhǎng).【詳解】解：∵四邊形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，設(shè)AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面積為8，△D′PH的面積為2，又∵，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，則∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D′H=x，∵S△D′PH=D′P·D′H=A′P·D′H，即，∴x=2（負(fù)根舍棄），∴AB=CD=2，D′H=DH=，D′P=A′P=CD=2，A′E=2D′P=4，∴PE=，PH=，∴AD==，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．5．（2020·湖南邵陽市·中考真題）將一張矩形紙片按如圖所示操作：（1）將沿向內(nèi)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，（2）將沿向內(nèi)繼續(xù)折疊，使點(diǎn)P落在點(diǎn)處，折痕與邊交于點(diǎn)M．若，則的大小是（）A．135° B．120° C．112.5° D．115°【答案】C【分析】由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等且可先求出，進(jìn)一步求出，再由折疊可求出，最后在中由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵折疊，且，∴，即，∵折疊，∴，∴在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了折疊問題、三角形內(nèi)角和定理等，記牢折疊問題的特點(diǎn)：折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等即可解題．6．（2020·重慶中考真題）如圖，三角形紙片ABC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把沿著AD翻折，得到，DE與AC交于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F.若，，，的面積為2，則點(diǎn)F到BC的距離為()A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出ABD的面積．根據(jù)三角形的面積公式求出DF，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，根據(jù)?BD?h＝?BF?DF，求出BD即可解決問題．【詳解】解：∵DG＝GE，∴S△ADG＝S△AEG＝2，∴S△ADE＝4，由翻折可知，ADB≌ADE，BE⊥AD，∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，∴?（AF+DF）?BF＝4，∴?（3+DF）?2＝4，∴DF＝1，∴DB＝＝＝，設(shè)點(diǎn)F到BD的距離為h，則?BD?h＝?BF?DF，∴h＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形的面積，勾股定理二次根式的運(yùn)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．7．（2020·山東聊城市·中考真題）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，在上取點(diǎn)，使，那么點(diǎn)到的距離等于（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，則四邊形是矩形，解Rt△可得的長(zhǎng)，即為FM的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和易得，然后解Rt△可求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．【詳解】解：在中，∵，，∴AC=2AB=4，∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，∴，∴，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)N，如圖，則四邊形是矩形，∴，在Rt△中，，∴FM=1，∵，∴，在Rt△中，，∴，即點(diǎn)到的距離等于．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線、熟練掌握解直角三角形的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2020·浙江九年級(jí)一模）如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點(diǎn)E為AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且BF＝1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，經(jīng)過若干次反彈，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)E時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為（）A．8 B．16+8 C．16 D．16+12【答案】A【分析】利用反射角等于入射角畫出動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再證四邊形OP5EF和OP2P3P4為菱形，然后利用等角對(duì)等邊證出兩個(gè)菱形的邊都相等，再用勾股定理計(jì)算即可.【詳解】如下圖藍(lán)色線為動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn)E時(shí)共彈出六次.∵入射角等于反射角，AD∥BC，AB∥DC∴∠1=∠2=∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8=∠9=∠10，∠11=∠FEB又∵∠4＋∠5=90°，∠6＋∠7=90°，∠10＋∠11=90°∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠7=∠8=∠9=∠10，∠5=∠6=∠11=∠FEB由∠1=∠8，∠3=∠10∴EF∥P5P4，P5E∥P2PF所以四邊形OP5EF為平行四邊形，在△P5AE和△FBE中∴△P5AE≌△FBE（ASA）所以AE=EF∴四邊形OP5EF為菱形同理可證四邊形OP2P3P4為菱形又∵∠2=∠8∴OP4=OF∴兩個(gè)菱形的邊都相等，在Rt△EFB中故動(dòng)點(diǎn)P所經(jīng)過的路程長(zhǎng)為8故選A【點(diǎn)睛】此題考查的是入射角等于反射角，矩形的性質(zhì)，菱形的判定及勾股定理.9．（2020·河北石家莊市·九年級(jí)其他模擬）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心3為半徑的優(yōu)弧分布交，于點(diǎn)，點(diǎn)優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則長(zhǎng)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB=8，然后根據(jù)的性質(zhì)求得NE和OE的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P在M處時(shí)，AC有最小值，此時(shí)，在中應(yīng)用勾股定理即可求解；當(dāng)P在點(diǎn)N處時(shí)，AC有最大值，根據(jù)的性質(zhì)求出CF、FO、AF，然后在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3∴AM=OA-OM=3∴在中，過N點(diǎn)作于點(diǎn)E∴又∵∴∴∴∴，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M、N處時(shí)，AC分別有最小值和最大值；當(dāng)點(diǎn)P在M處時(shí)，AC有最小值∵C是BP的中點(diǎn)，∴∴在中，∴當(dāng)P在點(diǎn)N處時(shí)，AC有最大值∴∵∴∴∴，∴，∴在中，綜上所述，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，題目較為綜合，難度較大，根據(jù)題意討論兩種情況是本題的關(guān)鍵．10．（2020·洛陽市第二外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)二模）如圖1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BA、AC向點(diǎn)C以恒定的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以恒定的速度移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，設(shè)△BPQ的面積為y（cm2）．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），y與x之間關(guān)系如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P恰好為AC的中點(diǎn)時(shí)，PQ的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】C【分析】點(diǎn)P、Q的速度比為3：，根據(jù)x＝2，y＝6，確定P、Q運(yùn)動(dòng)的速度，即可求解．【詳解】解：設(shè)AB＝a，∠C＝30°，則AC＝2a，BC＝a，設(shè)P、Q同時(shí)到達(dá)的時(shí)間為T，則點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，故點(diǎn)P、Q的速度比為3：，故設(shè)點(diǎn)P、Q的速度分別為：3v、v，由圖2知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝6，此時(shí)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×v＝2v，y＝AB×BQ＝6v×2v＝6，解得：v＝1，故點(diǎn)P、Q的速度分別為：3，，AB＝6v＝6＝a，則AC＝12，BC＝6，如圖當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PC＝6，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為AB+AP＝12，需要的時(shí)間為12÷3＝4，則BQ＝x＝4，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣4＝2，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，PC＝6，則PH＝PCsinC＝6×＝3，同理CH＝3，則HQ＝CH﹣CQ＝3﹣2＝，PQ＝＝＝2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是動(dòng)點(diǎn)圖象問題，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時(shí)間段，圖象和圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解．11．（2020·江蘇無錫市·九年級(jí)其他模擬）如圖，動(dòng)點(diǎn)從（0，3）出發(fā)，沿軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止移動(dòng)．點(diǎn)在第一象限內(nèi)，在、移動(dòng)過程中，始終有，且．則在整個(gè)移動(dòng)過程中，點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意過P點(diǎn)作交于D點(diǎn)，作交于E點(diǎn)，并利用全等三角形判定,得出，從而分當(dāng)時(shí)，有（0，3），，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為以及當(dāng)時(shí)，有、O（0，0），、H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，繼而由點(diǎn)移動(dòng)的路徑為一條線段利用兩點(diǎn)間距離公式求得點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng).【詳解】解：由題意過P點(diǎn)作交于D點(diǎn)，作交于E點(diǎn)，如圖，∵，∴,∴,∵,∴,即有,由題意可知，當(dāng)時(shí)，有（0，3），，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由，即有，解得，即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有、O（0，0），、H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由即圖上，即有，解得，即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；由圖可知點(diǎn)移動(dòng)的路徑為一條線段，則點(diǎn)移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定以及兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.12．（2020·安徽）邊長(zhǎng)為4、中心為的正方形如圖所示，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)一周停止，若點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的位置有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】B【分析】依次取的中點(diǎn)，連接．由題意可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到各自所在邊的中點(diǎn)的距離相等時(shí)，，則有六種情況，分類列式計(jì)算求出t的值，即可解答本題．【詳解】解：依次取的中點(diǎn)，連接．根據(jù)題意，得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．分析題意可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)到各自所在邊的中點(diǎn)的距離相等時(shí)，．當(dāng)時(shí)，顯然；②當(dāng)時(shí)，如圖（1），點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，由，得；③當(dāng)時(shí)，如圖（2），點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，由，得或；④當(dāng)時(shí)，如圖（3），點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，由，得（舍去）或；⑤當(dāng)時(shí)，如圖（4），點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，由，得或；⑥當(dāng)時(shí)，點(diǎn)停在點(diǎn)處，因此當(dāng)時(shí)，，只有時(shí)滿足．綜上，滿足條件的點(diǎn)的位置有7個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查考生空間想象的能力與分析問題、解決問題的綜合能力，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．分析題意時(shí)，需注意時(shí)間的取值范圍不含0和16，第后點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)重合．13．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，等邊中，，點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為_________．【答案】【分析】如圖，作過A、B、F作⊙O,為點(diǎn)F的軌跡，然后計(jì)算出,的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：如圖：作過A、B、F作⊙O,過O作OG⊥AB∵等邊∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同側(cè)的圓周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB,OA=OB∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=∴∠OBG=30°設(shè)OB=x，則OG=x∴，解得x=或x=-（舍）∴的長(zhǎng)度為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及圓周角定理，根據(jù)題意確定點(diǎn)F的軌跡是解答本題的關(guān)鍵．14．（2020·廣西中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，點(diǎn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且與交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意證得，推出∠BPE=60，∠BPD=120，得到C、B、P、D四點(diǎn)共圓，知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】連接BD，∵菱形中，，∴∠C=∠A=60，AB=BC=CD=AD，∴△ABD和△CBD都為等邊三角形，∴BD=AD，∠BDF=∠DAE=60，∵DF=AE，∴，∴∠DBF=∠ADE，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF=∠BDP+∠ADE=∠BDF=60，∴∠BPD=180-∠BPE=120，∵∠C=60，∴∠C+∠BPD=180，∴C、B、P、D四點(diǎn)共圓，即⊙O是的外接圓，∴當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，∴∠BOD=2∠BCD=120，作OG⊥BD于G，根據(jù)垂徑定理得：BG=GD=BD=，∠BOG=∠BOD=60，∵，即，∴，從而點(diǎn)的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)準(zhǔn)確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．15．（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·中考真題）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AM＜AB，△CBE由平移得到，若過點(diǎn)E作EH⊥AC，H為垂足，則有以下結(jié)論：①點(diǎn)M位置變化，使得∠DHC＝60°時(shí)，2BE＝DM；②無論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，都有DM＝HM；③在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEMD不可能成為菱形；④無論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，∠CHM一定大于135°．以上結(jié)論正確的有_____（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．【答案】①②③④【分析】①正確．證明∠ADM＝30°，即可得出結(jié)論．②正確．證明△DHM是等腰直角三角形即可．③正確．首先證明四邊形CEMD是平行四邊形，再證明，DM＞CD即可判斷．④正確．證明∠AHM＜∠BAC＝45°，即可判斷．【詳解】解：如圖，連接DH，HM．由題可得，AM＝BE，∴AB＝EM＝AD，∵四邊形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，∴EH＝AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM＝HM，故②正確；當(dāng)∠DHC＝60°時(shí)，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，∴Rt△ADM中，DM＝2AM，即DM＝2BE，故①正確；∵CD∥EM，EC∥DM，∴四邊形CEMD是平行四邊形，∵DM＞AD，AD＝CD，∴DM＞CD，∴四邊形CEMD不可能是菱形，故③正確，∵點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC＝45°，∴∠CHM＞135°，故④正確；由上可得正確結(jié)論的序號(hào)為①②③．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．16．（2020·湖北鄂州市·中考真題）如圖，半徑為的與邊長(zhǎng)為的正方形的邊相切于E，點(diǎn)F為正方形的中心，直線過點(diǎn)．當(dāng)正方形沿直線以每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)__________秒時(shí)，與正方形重疊部分的面積為．【答案】1或．【分析】將正方形向左平移，使得正方形與圓的重疊部分為弓形，根據(jù)題目數(shù)據(jù)求得此時(shí)弓形面積符合題意，由此得到OF的長(zhǎng)度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)速度求解即可，特別要注意的是正方形沿直線運(yùn)動(dòng)，所以需要分類討論．【詳解】解：①當(dāng)正方形運(yùn)動(dòng)到如圖1位置，連接OA，OB，AB交OF于點(diǎn)E此時(shí)正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OAB-S△OAB由題意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB∴△OAB為等邊三角形∴∠AOB=60°，OE⊥AB在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE=，OE=∴S扇形OAB-S△OAB∴OF=∴點(diǎn)F向左運(yùn)動(dòng)個(gè)單位，所以此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒②同理，當(dāng)正方形運(yùn)動(dòng)到如圖2位置，連接OC，OD，CD交OF于點(diǎn)E此時(shí)正方形與圓的重疊部分的面積為S扇形OCD-S△OCD由題意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD∴△OCD為等邊三角形∴∠COD=60°，OE⊥CD在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE=，OE=∴S扇形OCD-S△OCD∴OF=∴點(diǎn)F向左運(yùn)動(dòng)個(gè)單位，所以此時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1或秒時(shí)，⊙O與正方形重疊部分的面積為故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算及等邊三角形的判定和性質(zhì)，題目難度不大，注意分情況討論是本題的解題關(guān)鍵．17．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，線段BA與線段BQ關(guān)于BP所在的直線對(duì)稱，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積為_____．【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)求出∠ABQ=120°，由矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱性可知，△BOQ≌△DOC，根據(jù)S陰影部分=S四邊形ABQD﹣S扇形ABQ=S四邊形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ可求出答案．【詳解】∵當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段BQ的長(zhǎng)度不變，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，如圖，陰影部分的面積即為線段PQ在平面內(nèi)掃過的面積，∵矩形ABCD中，AB=1，AD=，∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°，∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°，∴∠ABQ=120°，由軸對(duì)稱性得：BQ=BA=CD，在△BOQ和△DOC中，，∴△BOQ≌△DOC，∴S陰影部分=S四邊形ABQD﹣S扇形ABQ=S四邊形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ，=S四邊形ABOD+S△COD﹣S扇形ABQ，=S矩形ABCD﹣S△ABQ=1×-．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，扇形的面積公式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖①，在中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)．圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中H是圖象上的最低點(diǎn)．．那么的值為_______．【答案】7【分析】過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，交于點(diǎn)D，證明四邊形ABCD為菱形，得到點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，從而得到PA+PE=PD+PE，推出當(dāng)P，D，E共線時(shí)，PA+PE最小，即DE的長(zhǎng)，觀察圖像可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，PD+PE=，分別求出PA+PE的最小值為3，PC的長(zhǎng)，即可得到結(jié)果.【詳解】解：如圖，過B作AC的平行線，過C作AB的平行線，交于點(diǎn)D，可得四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=AC，∴四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于BC對(duì)稱，∴PA+PE=PD+PE，當(dāng)P，D，E共線時(shí)，PA+PE最小，即DE的長(zhǎng)，觀察圖像可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，PD+PE=，∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴BE+BD=3BE=，∴BE=，AB=BD=，∵∠BAC=120°，∴∠ABD=（180°-120°）÷2×2=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴DE⊥AB，∠BDE=30°，∴DE=3，即PA+PE的最小值為3，即點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為a=3，當(dāng)點(diǎn)P為DE和BC交點(diǎn)時(shí)，∵AB∥CD，∴△PBE∽△PCD，∴，∵菱形ABCD中，AD⊥BC，∴BC=2×=6，∴，解得：PC=4，即點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為b=4，∴a+b=3+4=7，故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19．（2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,3），點(diǎn)在軸的正半軸上．直線分別與邊相交于兩點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)并與邊相交于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是________________．【答案】（1，0）或（3，2）【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)D和點(diǎn)M坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)表達(dá)式，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出MN，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m-1），根據(jù)兩點(diǎn)間距離表示出CP，得到方程，求解即可．【詳解】解：∵正方形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴B（3，3），A（3，0），∵直線y=x-1分別與邊AB，OA相交于D，M兩點(diǎn)，∴可得：D（3，2），M（1，0），∵反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)D，k=3×2=6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，令y=3，解得：x=2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，3），∴MN==，∵點(diǎn)P在直線DM上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m-1），∴CP=，解得：m=1或3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（3，2）．故答案為：（1，0）或（3，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)之間的距離，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式.20．（2020·上海中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，點(diǎn)D在邊BC上，CD=3，聯(lián)結(jié)AD．如果將△ACD沿直線AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線BD的距離為____．【答案】．【分析】過E點(diǎn)作EH⊥BC于H，證明△ABD是等邊三角形，進(jìn)而求得∠ADC=120°，再由折疊得到∠ADE=∠ADC=120°，進(jìn)而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函數(shù)即可求出HE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，∴E到直線BD的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，解直角三角形，點(diǎn)到直線的距離，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重點(diǎn)掌握折疊問題的特點(diǎn)：折疊前后對(duì)應(yīng)的邊相等，對(duì)應(yīng)的角相等．21．（2020·浙江杭州市·中考真題）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF．若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2，則DF＝_____，BE＝_____．【答案】2﹣1【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得BE的值．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴，∵把沿直線CE對(duì)折，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)F處∴，，∴，∴∴在和中，∴∴∵∴∵∴∴，即∴解得或（不符題意，舍去）則故答案為：2，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)，正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵．22．（2020·江西宜春市·九年級(jí)一模）如圖，在中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，連接．若以為直徑的與的邊相切，則的值為_______．【答案】或或【分析】分當(dāng)⊙O與BC相切、⊙O與AB相切，⊙O與AC相切時(shí)，三種情況分類討論即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t<2），則BM=5t，CN=4t，BN=8-4t，在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB==10.當(dāng)為直徑的與的邊AB相切時(shí)，∠BMN=90°=∠C，又因?yàn)椤螧=∠B，所以△BMN∽△BCA，∴=，解得t=；當(dāng)為直徑的與的邊BC相切,∠BNM=90°=∠C，又因?yàn)椤螧=∠B，所以△BMN∽△BAC，所以=，解得t=1;當(dāng)為直徑的與的邊AC相切,如圖,過點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H，交PM于點(diǎn)Q，OH=OQ+QH=PM+PC=（8t-8）+（8-4t）=4，∴MN=2OH=8，∴73t2-128t+64=64解得t1=0，t2=.故t的值為或或.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓的綜合知識(shí)；由三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，此類題目為中考的熱點(diǎn)考題之一，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．23．（2020·江蘇無錫市·九年級(jí)二模）如圖，為的內(nèi)接三角形，，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，垂直直線于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)沿弧運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為_______．【答案】【分析】如圖，作OH⊥BC于H，設(shè)OC的中點(diǎn)為K．當(dāng)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)C為直徑的圓弧，圓心角為240°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，作OH⊥BC于H，設(shè)OC的中點(diǎn)為K．∵OH⊥BC，∴BH=CH=，∵∠A=60°，∴∠COH=60°，∴∠OCH=30°，∴OC=，∵∠CEO=90°，∴當(dāng)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)C為直徑的圓弧，圓心角為240°，∴點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心與外接圓，軌跡，弧長(zhǎng)公式以及垂徑定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡．24．（2020·湖北武漢市·）如圖，在△ABC中，AB＝5，D為邊AB上－動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_________．【答案】5【分析】如圖，構(gòu)造等腰Rt△CBG，∠CBG=90°，則由△CGE∽△CBD，得GE=BD，即可求得點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【詳解】如圖：作GB⊥BC于B，取GB=BC，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)E與點(diǎn)G重合，∴∠CBG=90°，∴CG=BC，∠GCB=45，∵四邊形CDEF是正方形，∴CE=DC，∠ECD=45，∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG=45，∴∠BCD=∠GCE，且，∴△CGE∽△CBD，∴，即GE=BD，∵BD=5，∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為GE=BD=5．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．25．（2020·吉林長(zhǎng)春市·九年級(jí)其他模擬）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=BC=20，AB=8，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿B→A的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后再以每秒4cm的速度沿A→D的方向向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以每秒2cm的速度沿B→C的方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)直接寫出BQ的長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示);(2)求△BPQ的面積S(用含t的代數(shù)式表示);(3)求當(dāng)四邊形APCQ為平行四邊形t的值;(4)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，直接寫出當(dāng)△BEP為等腰三角形時(shí)t的值．【答案】(1)BQ=2t(0≤t≤9)；(2)S=2t2(0＜t≤4)，S=8t(4＜t≤9)；(3)t=6；(4)t=5或或或8【分析】(1)先計(jì)算得出點(diǎn)P和點(diǎn)Q走完全程所需時(shí)間，即可直接寫出BQ的長(zhǎng)；(2)分點(diǎn)P在AB上時(shí)和點(diǎn)P在AD上時(shí)，兩種情況討論，由三角形面積公式可求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)點(diǎn)P在AD上，且AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形．由此構(gòu)建方程即可解決問題．(4)分三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)可求解，【詳解】(1)點(diǎn)P走完全程所需時(shí)間：(秒)，點(diǎn)Q走完全程所需時(shí)間：(秒)，∴點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間最多為秒，由題意，得：BQ()；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，S=BQ×BP=×2t×2t=2t2(0＜t≤4)，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，S=BQ×8=8t(4＜t≤9)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在AD上，且AP=CQ時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形，依題意得：4(t-4)=20-2t，解得：t=6．∴t=6時(shí)，四邊形APCQ是平行四邊形；(4)∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，∴BE=EC=10，如圖，若BE=PE=10，過點(diǎn)E作EH⊥AD于H，∵∠ABC=∠BAD=90°，EH⊥AD，∴四邊形ABEH是矩形，∴HE=AB=8，AH=BE=10=HD，∴PH==6，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H左邊時(shí)，∴AP=4，∴5(秒)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)H右邊時(shí)，∴AP=16∴8(秒)，如圖，若BP=PE，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M∴BM=ME=5，∵∠ABC=∠BAD=90°，PM⊥BC，∴四邊形ABMP是矩形，∴AP=BM=5，∴(秒)，若BP=BE=10，∴AP==6∴(秒)，綜上所述：當(dāng)t=5或或或8時(shí)，△BEP為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，三角形的面積，函數(shù)的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．26．（2020·江西九江市·九年級(jí)零模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，．動(dòng)點(diǎn)在上從點(diǎn)向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在射線．上從點(diǎn)沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到EF的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）求的長(zhǎng)．（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變的取值范圍．（3）連接，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）（）；（3）的值為或12【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得：∠B＝90°，在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)；（2）已知，，根據(jù)“當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到EF的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合”，即可求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（3）如圖3-1和3-2中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，根據(jù)相似三角形的判定定理可證得，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得EH，CH的長(zhǎng)，然后分三種情況討論：①，②，③，排除掉不存在的情況，繼而根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．【詳解】(1)∵四邊形是矩形，∴，，，∵，∴，∴．（2）由題意得：，即．∴（）．（3）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠ECD＝∠ECH＝90°，又∵∠BEF＝∠CEH，∴，∴，∴，∴,，①如圖3-1，當(dāng)時(shí)，△HMN∽△HFD，∴，即，解得，②當(dāng)時(shí)，這種情形不存在．③如圖3-2中，當(dāng)時(shí)，△HED∽△HMN，∴，即，∵，解得，綜上所述，滿足條件的的值為或12．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理及其性質(zhì)，以動(dòng)點(diǎn)問題為背景，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，有一定的難度．27．（2020·江蘇淮安市·九年級(jí)一模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．連接（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是軸正半軸上上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）2；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）由拋物線交點(diǎn)式表達(dá)，即可求解；（2）分BD是平行四邊形的一條邊、BD是平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，分別求解即可．【詳解】（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)解得：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2）存在，（方法多種，以下從對(duì)角線出發(fā)來求解）以以為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)分別是、和的中點(diǎn)，則：，易求得：或（舍去）；以為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，同理求得：或4（均舍去）；以為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，同理求得：或（舍去）綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的綜合問題，掌握拋物線的性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊長(zhǎng)是方程的根，連接，，并過點(diǎn)作，垂足為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)為止；點(diǎn)沿線段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)為止，點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（1）線段______；（2）連接和，求的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）(，)或(，)【分析】（1）解方程求出AB的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)可求BD，BC的長(zhǎng)，CN的長(zhǎng)；（2）分三種情況討論，由三角形的面積可求解；（3）分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】（1）解方程得：(舍去)，∴AB=6，∵四邊形是矩形，，∴AB=CD=6，BD=2AB=12，∴BC=AD=，∵，∴，故答數(shù)為：；（2）如圖1，過點(diǎn)M作MH⊥BD于H，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴MH=MD=，∵∠DBC=30°，CN⊥BD，∴BN=，當(dāng)點(diǎn)P在線段BN上即時(shí)，△PMN的面積；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合即時(shí)，s=0，當(dāng)點(diǎn)P在線段ND上即時(shí)，△PMN的面積；∴；（3）如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，當(dāng)PN=PM=9-2t時(shí)，則DM=，MH=DM=，DH=，∵，∴，解得：或，即或，則BE=或BE=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)或(，)；當(dāng)PN=NM=9-2t時(shí)，∵，∴，解得或24（不合題意舍去），∴BP=6，PE=BP=3，BE=PE=3∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為(，)或(，)．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，三角形的面積公式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．29．（2020·廣東廣州市·中考真題）如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），連接，，．（1）求證：是的平分線；（2）四邊形的面積是線段的長(zhǎng)的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)分別在線段，上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到每一個(gè)確定的位置，的周長(zhǎng)有最小值，隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，的值會(huì)發(fā)生變化，求所有值中的最大值．【答案】(1)詳見解析；(2)是，；(3)【分析】(1)根據(jù)等弧對(duì)等角的性質(zhì)證明即可；(2)延長(zhǎng)DA到E,讓AE=DB,證明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面積；(3)作點(diǎn)D關(guān)于直線BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)D1、D2，當(dāng)D1、M、N、D共線時(shí)△DMN取最小值，可得t=D1D2，有對(duì)稱性推出在等腰△D1CD2中,t=，D與O、C共線時(shí)t取最大值即可算出．【詳解】(1)∵△ABC為等邊三角形,BC=AC，∴,都為圓，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分線．(2)是．如圖，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使得AE=DB．連接EC，則∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC．∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC，∴△EAC≌△DBC(SAS)，∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°，故△EDC是等邊三角形，∵DC=x，∴根據(jù)等邊三角形的特殊性可知DC邊上的高為∴．(3)依次作點(diǎn)D關(guān)于直線BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)D1、D2,根據(jù)對(duì)稱性:C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2．∴D1、M、N、D共線時(shí)△DMN取最小值t,此時(shí)t=D1D2,由對(duì)稱有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA,∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°．∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°，在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2，則在Rt△D1CH中，根據(jù)30°特殊直角三角形的比例可得D1H=，同理D2H=∴t=D1D2=．∴x取最大值時(shí),t取最大值．即D與O、C共線時(shí)t取最大值,x=4．所有t值中的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形的綜合以及動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于結(jié)合題意作出合理的輔助線轉(zhuǎn)移已知量．30．（2020·江蘇蘇州市·中考真題）如圖，已知，是的平分線，是射線上一點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，也以的速度沿豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng)．連接，交于點(diǎn)．經(jīng)過、、三點(diǎn)作圓，交于點(diǎn)，連接、．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，其中．（1）求的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得線段的長(zhǎng)度最大？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）8cm；（2）存在，當(dāng)t=4時(shí)，線段OB的長(zhǎng)度最大，最大為；【分析】（1）根據(jù)題意可得，，由此可求得的值；（2）過作，垂足為，則，設(shè)線段的長(zhǎng)為，可得，，，根據(jù)可得，進(jìn)而可得，由此可得，由此可得，則可得到答案；【詳解】解：（1）由題可得：，．∴．（2）當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大．如圖，過作，垂足為，則．∵平分，∴，∴，．設(shè)線段的長(zhǎng)為，則，，．∵，∴，∴，∴，解得：．∴．∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大，最大為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，直徑的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題等相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．B卷（建議用時(shí)：90分鐘）1．（2020·黑龍江大慶市·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別為與的中點(diǎn)，一個(gè)三角形沿豎直方向向上平移，在運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)恒在直線上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)，恰與，兩邊的中點(diǎn)重合．設(shè)點(diǎn)到的距離為，三角形與正方形的公共部分的面積為，則當(dāng)時(shí)，的值為（）A．或 B．或 C． D．或【答案】A【分析】本題應(yīng)該分類討論，從以下三個(gè)情況進(jìn)行討論，分別是：①當(dāng)x<1時(shí)，重疊部分為直角三角形的面積，將其三角形面積用x表示，但是求出，與x<1相違背，要舍去；②當(dāng)1<x<2時(shí)，除去重疊部分，剩下的圖形為兩個(gè)直角梯形的面積，將剩余的直角梯形ANHP用x表示，求出x即可；③當(dāng)x>2時(shí)，重疊部分為一個(gè)多邊形，可以從剩余部分的角度進(jìn)行求解，分別將矩形PQFE、、的面積用x表示，求出x即可，將x求出后，應(yīng)該與前提條件假設(shè)的x的范圍進(jìn)行比較，判斷x的值．【詳解】解：∵在邊長(zhǎng)為2的正方形EFGH中，如圖所示，當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到MN的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E、F恰好與AB、AC的中點(diǎn)重合，即AM=EM=FM=1，且MNEF，∴AME和AMF均為等腰直角三角形，可得：ABC也是等腰直角三角形，其中AB=AC=，BC=4，設(shè)A到EF的距離AM=x，①當(dāng)x<1時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EF交于P點(diǎn)，AC與EF交于Q點(diǎn)，∵AM=x，且△APQ為等腰直角三角形，∴，解得：，但是與前提條件x<1相違背，故不存在該情況；②當(dāng)1<x<2時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于P點(diǎn)，AC與GF交于Q點(diǎn)，∵公共部分面積為，正方形剩余部分，∴，四邊形ANHP是直角梯形，當(dāng)AM=x，則AN=2-x，PE=x-1，HP=3-x，NH=1，∴，解得：；③當(dāng)2＜x＜3時(shí)，此時(shí)圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于K點(diǎn)，AB與HG交于I點(diǎn)，AC與FG交于L點(diǎn)，AC與HG交于J點(diǎn)，BC與EH交于P點(diǎn)，BC與GF交于Q點(diǎn)，∵公共部分面積為，∴，且，解得：或（舍），④當(dāng)x=3時(shí)，H,G分別是AB,AC的中點(diǎn)，此時(shí)重合的部分的面積為2，不符合題意；⑤當(dāng)x≥3時(shí)，重合的面積小于2，也不符合題意；所以，滿足條件的AM的值為或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考察了移動(dòng)圖形間的重疊問題，需要進(jìn)行分類討論，必須要把x的移動(dòng)范圍進(jìn)行分類，根據(jù)不同的x取值，畫出不同重疊的圖形，并將重疊部分的面積用x進(jìn)行表示，解題的關(guān)鍵在于利用剩余部分的面積進(jìn)行倒推求解．2．（2020·江蘇無錫市·中考真題）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)在邊上，，線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，有下列結(jié)論：①與可能相等；②與可能相似；③四邊形面積的最大值為；④四邊形周長(zhǎng)的最小值為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【分析】①通過分析圖形，由線段在邊上運(yùn)動(dòng)，可得出，即可判斷出與不可能相等；②假設(shè)與相似，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)得出的值，再與的取值范圍進(jìn)行比較，即可判斷相似是否成立；③過P作PE⊥BC于E，過F作DF⊥AB于F，利用函數(shù)求四邊形面積的最大值，設(shè)，可表示出，，可用函數(shù)表示出，，再根據(jù)，依據(jù)，即可得到四邊形面積的最大值；④作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點(diǎn)P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時(shí)四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．【詳解】解：①∵線段在邊上運(yùn)動(dòng)，，∴,∴與不可能相等，則①錯(cuò)誤；②設(shè)，∵，，∴，即，假設(shè)與相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，從而得到，解得或（經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根），又，∴解得的或符合題意，即與可能相似，則②正確；③如圖，過P作PE⊥BC于E，過D作DF⊥AB于F，設(shè)，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A=60°，∴,則，，∴四邊形面積為：,又∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積最大，最大值為：，即四邊形面積最大值為，則③正確；④如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D1，作D1D2∥PQ，連接CD2交AB于點(diǎn)P′，在射線P′A上取P′Q′=PQ，此時(shí)四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，其值最小，∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB=120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四邊形P′CDQ′的周長(zhǎng)為：，則④錯(cuò)誤，所以可得②③正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、利用函數(shù)求最值、動(dòng)點(diǎn)變化問題等知識(shí)．解題關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過用函數(shù)求最值、作對(duì)稱點(diǎn)求最短距離，即可得解．3．（2020·河南九年級(jí)一模）在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為__________．【答案】或．【分析】分兩種情況討論，延長(zhǎng)交于，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)可得，，由銳角三角函數(shù)可求，可求的長(zhǎng)，可得的長(zhǎng)，再由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，將沿折疊得，，，，，，，；如圖，設(shè)與交于，將沿折疊得，，，，，，，，，，，，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．4．（2020·遼寧葫蘆島市·九年級(jí)三模）如圖，為等邊三角形，為其內(nèi)心，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與射線交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為__________【答案】或；【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和內(nèi)心的定義可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC，然后利用銳角三角函數(shù)求出BD、CD、OD和OC，然后根據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)O的相對(duì)位置分類討論，分別畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定及性質(zhì)即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵為等邊三角形，為其內(nèi)心，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AD平分∠BAC，AB=BC=AC∴AD⊥BC，BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°∴BD=CD==，AB=AC=BC=2BD=連接OC;易知OC=OA，∠OCD=30°在Rt△OCD中，OD=CD·tan∠OCD=2，OC=2OD=4①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O上方時(shí)，如下圖所示，設(shè)射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD－PO=3∴∠PCE=∠ACB=60°∴∠ECB=∠PCA∵BC=AC∴△ECB≌△PCA∴BE=AP=3，∠EBC=∠PAC=30°∴EF=BE·sin∠EBC=,BF=BE·cos∠EBC=∴CF=BC－BF=∵EF⊥BC，AQ⊥BC∴EF∥AQ∴△CDQ∽△CFE∴即解得：DQ=；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)O下方時(shí)，如下圖所示，設(shè)射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，連接BE，過點(diǎn)E作EF⊥BC于F∴∠PCE=60°，EC=PC，AP=AD－OD＋PO=5∴∠PCE=∠ACB=60°∴∠ECB=∠PCA∵BC=AC∴△ECB≌△PCA∴BE=AP=5，∠EBC=∠PAC=30°∴EF=BE·sin∠EBC=,BF=BE·cos∠EBC=∴CF=BC－BF=∵EF⊥BC，AQ⊥BC∴EF∥AQ∴△CDQ∽△CFE∴即解得：DQ=；綜上：DQ=或故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的定義、全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的定義、全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．5．（2020·廣西九年級(jí)其他模擬）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，連接，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿過點(diǎn)的直線將矩形折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，__________．【答案】或【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根據(jù)勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，設(shè)＝PD＝x，則AP＝12﹣x，當(dāng)△是直角三角形時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)∠＝90°，②當(dāng)∠＝90°時(shí)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，解之即可得到結(jié)果．【詳解】∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∴AD＝BC＝12，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝6，∴AE＝，∵沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)處，∴＝PD，設(shè)＝PD＝x，則AP＝12﹣x，當(dāng)△A是直角三角形時(shí)，①當(dāng)∠＝90°時(shí)，∴∠＝∠B＝90°，∵AD∥BC，∴∠＝∠AEB，∴△ABE∽△，∴，∴，解得：x＝，即PD＝；②當(dāng)∠＝90°時(shí)，∴∠＝∠B＝90°，∵∠PAE＝∠AEB，∴△∽△EBA，∴，∴，解得：x＝，即PD＝；綜上所述，當(dāng)△是直角三角形時(shí)，PD＝或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用分類思想和方程思想是解題的關(guān)鍵．6．（2020·河南焦作市·九年級(jí)一模）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)E是AD上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交AB于F，將△AEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在△BCD的邊上時(shí)，AE的長(zhǎng)為_____________．【答案】2或【分析】分落在BD上或BC上兩種情況，分別畫出示意圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)落在BD上時(shí)，如下圖：∵在矩形ABCD中，，，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∵EF∥BD∴∴∴；當(dāng)落在BC上時(shí)，如下圖：∵∴∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，考查的范圍較廣，但難度不大，根據(jù)題意畫出示意圖是解此題的關(guān)鍵．7．（2020·吉林長(zhǎng)春市·中考真題）如圖①，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值．（2）用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)．（3）當(dāng)為銳角三角形時(shí)，求的取值范圍．（4）如圖②，取的中點(diǎn)，連結(jié)．當(dāng)直線與的一條直角邊平行時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）或；（3）或；（4）或.【分析】（1）由題意直接根據(jù)AB=4，構(gòu)建方程進(jìn)行分析求解即可；（2）由題意分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解決問題．當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，在Rt△PCE中，求出CE即可；（3）根據(jù)題意求出兩種特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形時(shí)t的值，即可求解當(dāng)△PDQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍；（4）根據(jù)題意分兩種情形：如圖7，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，QM∥AB時(shí)以及如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，QM∥BC時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，．解得．（2）在中，，，所以，，．如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，在中，．所以．如圖4，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，在中，，．所以．（3）先考慮臨界值等腰直角三角形，那么．如圖5，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，在中，．而，由，得．解得．如圖6，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，在中，．而，由，得，解得．再數(shù)形結(jié)合寫結(jié)論．當(dāng)為銳角三角形時(shí)，，或．（4）的值為或．如圖7，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．作于，作于．由，是的中點(diǎn)，可知是的中點(diǎn)．在中，，所以．在中，．由，解得．如圖8，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，作于．由，是的中點(diǎn)，可知．在中，，所以．在中，．由，得，解得．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查解直角三角形，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.8．（2020·山東青島市·中考真題）已知：如圖，在四邊形和中，，，點(diǎn)在上，，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？（2）連接，作于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求的值；（3）連接，，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（4）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使點(diǎn)在的平分線上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）t=；（2）t=3;（3）S與t的函數(shù)關(guān)系式為；（4）存在，t=,【分析】（1）要使點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上，只需證CM=MQ即可；（2）由矩形性質(zhì)得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推導(dǎo)出PH、QN，進(jìn)而得關(guān)于t的方程，解之即可；（3）分別用t表示出梯形GHFM的面積、△QHF的面積、△CMQ的面積，即可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）延長(zhǎng)AC交EF與T，證得AT⊥EF，要使點(diǎn)P在∠AFE的平分線上，只需PT=PH，分別用t表示PT、PH，代入得關(guān)于t的方程，解之即可．【詳解】（1）當(dāng)=時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，理由為：由題意，CE=2，CM∥BF，∴即：，解得：CM=，要使點(diǎn)在線段的垂直平分線上，只需QM=CM=，∴t=；（2）如圖，∵，，，∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=，在Rt△APH中，AP=2t，∴PH=AP·sin∠PAH=，在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，在Rt△QNF中，QF=10-t-=，∴QN=QF·sin∠EFB=()×=，四邊形為矩形，∴PH=QN，∴=，解得：t=3；（3）如圖，過Q作QN⊥AF于N，由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=，∴BH=GC=8-，∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，∴===，∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：；（4）存在，t=．證明：如圖，延長(zhǎng)AC交EF于T，∵AB=BF,BC=BF,，∴△ABC≌△EBF，∴∠BAC=∠BEF，∵∠EFB+∠BEF=90o，∴∠BAC+∠EFB=90o，∴∠ATE=90o即PT⊥EF，要使點(diǎn)在的平分線上，只需PH=PT，在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=，CT=CE·sin∠BEF=，PT=10+-2t=，又PH=，=，解得：t=．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形的綜合題，考查了解直角三角形、銳角三角函數(shù)、垂直平分線、角平分線、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的面積等知識(shí)、解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析相關(guān)知識(shí)，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，是中考?？碱}型．9．（2020·吉林中考真題）如圖，是等邊三角形，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，交折線于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，使點(diǎn)，在異側(cè)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重疊部分圖形的面積為．（1）的長(zhǎng)為______（用含的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．（3）求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)“路程速度時(shí)間”即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后在中，利用直角三角形的性質(zhì)列出等式求解即可得；（3）先求出點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)x的值，再分、和三種情況，然后分別利用等邊三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)、以及三角形的面積公式求解即可得．【詳解】（1）由題意得：故答案為：；（2）如圖，和都是等邊三角形，即，在和中，在中，，即解得；（3）是等邊三角形當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，則，解得結(jié)合（2）的結(jié)論，分以下三種情況：①如圖1，當(dāng)時(shí)，重疊部分圖形為由（2）可知，等邊的邊長(zhǎng)為由等邊三角形的性質(zhì)得：PQ邊上的高為則②如圖2，當(dāng)時(shí)，重疊部分圖形為四邊形EFPQ則在中，，在中，，即則③如圖3，當(dāng)時(shí)，重疊部分圖形為同②可知，，在中，，即則綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），依據(jù)題意，正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．10．（2020·四川樂山市·中考真題）點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），分別過點(diǎn)、向直線作垂線，垂足分別為點(diǎn)、．點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，線段和的關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（3）如圖3，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，試探究線段、、之間的關(guān)系．【答案】（1）；（2）補(bǔ)圖見解析，仍然成立，證明見解析；（3），證明見解析【分析】（1）證明△AOE≌△COF即可得出結(jié)論；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AOE≌△CGO，得OE＝OG，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；（3）FC＋AE＝OE，理由是：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，與（2）類似，同理得，得出，，再根據(jù)，，推出，即可得證．【詳解】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF；（2）補(bǔ)全圖形如圖所示，仍然成立，證明如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段、、之間的關(guān)系為，證明如下：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，由（2）可知，∴，，又∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，以構(gòu)建全等三角形和證明三角形全等這突破口，利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件，從而使問題得以解決．11．（2020·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，點(diǎn)P、Q分別是等邊邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)．（1）如圖1，連接AQ、CP求證：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ、CP相交于點(diǎn)M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù),（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AQ、CP相交于M，的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）不變；60°；（3）不變；120°．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，可得BQ=AP，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證全等即可；（2）由（1）中全等可得∠CPA=∠AQB，再由三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AMP的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得的度數(shù)；（3）先證出，可得∠Q=∠P，再由對(duì)頂角相等，進(jìn)而得出∠QMC=∠CBP=120°．【詳解】解：（1）證明：∵三角形ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，∵點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，∴BQ=AP，在△ABQ與△CAB中，∴．（2）角度不變，60°，理由如下：∵∴∠CPA=∠AQB，在△AMP中，∠AMP=180°-（∠MAP+∠CPA）=180°-（∠MAP+∠AQB）=∠ABC=60°，∴∠QMC=∠AMP=60°，故∠QMC的度數(shù)不變，度數(shù)為60°．（3）角度不變，120°，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P、Q在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有AP=BQ，∴BP=CQ∵∠ABC=∠BCA=60°，∴∠CBP=∠ACQ=120°，∴∴∠Q=∠P，∵∠QCM=∠BCP，∴∠QMC=∠CBP=120°，故∠QMC的度數(shù)不變，度數(shù)為120°．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)證全等是解題的關(guān)鍵．12．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線分別與邊、相交于點(diǎn)、，點(diǎn)、分別在線段、上運(yùn)動(dòng)，且滿足，連接．（1）求證：．（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，試判斷的值是否變化？如果不變，求出這個(gè)值，如果變化，請(qǐng)說明理由．（3）設(shè)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，若點(diǎn)落在的內(nèi)部，試寫出的范圍，并說明理由．【答案】（1）證明見詳解；（2）不變，；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在的內(nèi)部．【分析】（1）由“”可證；（2）連接，過點(diǎn)作于，由“”可證，可得，，，由直角三角形的性質(zhì)可求，由銳角三角函數(shù)可求，由全等三角形的性質(zhì)可求，即可求；（3）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，分別求出點(diǎn)落在上和上時(shí)的值，即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，,∴,∴即有：，∵四邊形是正方形，∴在和中∴（2）的值不變，理由如下：如圖1，連接，過點(diǎn)作于，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，；（3）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖2示，，，，是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，△，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，同理可求：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在的內(nèi)部．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．13．（2020·山東聊城市·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)，垂直于軸的動(dòng)直線分別交拋物線和線段于點(diǎn)和點(diǎn)，動(dòng)直線在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)（不含對(duì)稱軸）沿軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)．（1）求出二次函數(shù)和所在直線的表達(dá)式；（2）在動(dòng)直線移動(dòng)的過程中，試求使四邊形為平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，，在動(dòng)直線移動(dòng)的過程中，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)是．【分析】（1）將，代入，解