汽車振動(dòng)分析與測(cè)試-課件合集

汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城

第1章振動(dòng)基本概念【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】

★了解振動(dòng)系統(tǒng)的組成、振動(dòng)系統(tǒng)的分類； ★掌握振動(dòng)方程的建立及響應(yīng)的求解，熟練掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示方法，以及一般周期振動(dòng)的諧波分析方法； ★熟悉車輛振動(dòng)系統(tǒng)模型的簡(jiǎn)化；【本章學(xué)習(xí)方法】

本章所涉及的內(nèi)容主要是振動(dòng)的基本概念、基本知識(shí)，因此，主要是采用課堂授課學(xué)習(xí)和課下自學(xué)的方法。了解振動(dòng)基本概念和基本知識(shí)，掌握振動(dòng)系統(tǒng)微分方程的建立及響應(yīng)的求解，熟練掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各種表示方法，以及一般周期振動(dòng)的諧波分析方法，熟悉車輛振動(dòng)模型的簡(jiǎn)化及條件。建立起系統(tǒng)的基本概念和知識(shí)，為后續(xù)章節(jié)的深入學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

【本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)】一、振動(dòng)系統(tǒng)組成要素

1.彈簧：2.質(zhì)量：3.阻尼：4.激勵(lì)：第1節(jié)振動(dòng)系統(tǒng)組成要素及等效參數(shù)二、振動(dòng)系統(tǒng)的等效參數(shù)1.等效剛度:(1)剛度定義；（2）彈簧串聯(lián)、并聯(lián)的剛度；（3）用能量法確定等效剛度

2.等效質(zhì)量:

利用能量法來(lái)確定系統(tǒng)的等效質(zhì)量。即根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動(dòng)能，與等效質(zhì)量動(dòng)能相等的原則，來(lái)求系統(tǒng)的等效質(zhì)量，即3.等效阻尼：（1）阻尼的概念；（2）等效阻尼系數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)的阻尼是非線性阻尼時(shí)，可以用等效阻尼ce代替。

即等效阻尼在一個(gè)周期內(nèi)所作的功，應(yīng)該等于非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)所作的功

根據(jù)輸入、輸出和系統(tǒng)的特性等的不同，機(jī)械振動(dòng)有以下各種不同的分類。（1）根據(jù)系統(tǒng)的輸入類型分類第3節(jié)振動(dòng)的分類（2）根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程分類

（3）根據(jù)系統(tǒng)的自由度分類

（4）根據(jù)系統(tǒng)輸出的振動(dòng)規(guī)律分類

第3節(jié)振動(dòng)方程建立及響應(yīng)的求解一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.函數(shù)表示法

2.矢量表示法

3.復(fù)數(shù)表示法

一般都取虛部來(lái)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律，即二、諧波分析

把一個(gè)周期函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，即展開(kāi)成為一系列簡(jiǎn)諧函數(shù)之和，稱為諧波分析。

第4節(jié)車輛振動(dòng)簡(jiǎn)化模型圖汽車振動(dòng)系統(tǒng)7自由度模型

（1）7自由度模型

（2）4自由度模型

汽車振動(dòng)系統(tǒng)4自由度模型

把汽車車身質(zhì)量看作為剛體的立體模型，車身主要考慮垂直、俯仰、側(cè)傾3個(gè)自由度，四個(gè)車輪質(zhì)量有4個(gè)垂直自由度，共7個(gè)自由度。

當(dāng)汽車對(duì)稱于其縱軸線時(shí)，車身只有垂直振動(dòng)和俯仰振動(dòng)對(duì)平順性影響最大。這時(shí)，將汽車簡(jiǎn)化成4個(gè)自由度的平面模型。

（3）2自由度模型

（3）單自由度模型

汽車振動(dòng)系統(tǒng)2自由度模型

汽車振動(dòng)系統(tǒng)單自由度模型

汽車前、后軸懸架質(zhì)量分配達(dá)到一定值時(shí)，前、后懸架系統(tǒng)的垂直振動(dòng)幾乎是獨(dú)立的。于是可以將汽車振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為車身和車輪2自由度振動(dòng)系統(tǒng)模型。

輪胎動(dòng)變形很小，忽略其彈性和輪胎質(zhì)量，就得到用來(lái)分析車身垂直振動(dòng)的最簡(jiǎn)單的單自由度振動(dòng)模型。

本章介紹了振動(dòng)的基本概念，包括振動(dòng)系統(tǒng)的組成、振動(dòng)的分類、振動(dòng)的模型建立及其響應(yīng)的求解、振動(dòng)響應(yīng)的各種表示方法和車輛振動(dòng)模型的簡(jiǎn)化。其中，（1）振動(dòng)系統(tǒng)是有質(zhì)量、彈簧、阻尼和激勵(lì)四部分組成的，以及等效剛度、等效質(zhì)量和等效阻尼的計(jì)算；（2）振動(dòng)系統(tǒng)可以根據(jù)輸入、輸出和系統(tǒng)的特性的不同進(jìn)行分類；（3）振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型或微分方程一般可由牛頓第二定律或達(dá)朗貝爾原理建立；通過(guò)求解振動(dòng)微分方程得到系統(tǒng)的響應(yīng)；（4）系統(tǒng)響應(yīng)可以利用三角函數(shù)來(lái)表示，也可以利用矢量或復(fù)數(shù)來(lái)表示；對(duì)于非簡(jiǎn)諧的周期振動(dòng)，可以利用諧波分析的方法；（5）對(duì)于復(fù)雜振動(dòng)系統(tǒng)，可以通過(guò)合理簡(jiǎn)化，建立簡(jiǎn)化后的振動(dòng)模型及其振動(dòng)微分方程。本章小結(jié)汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城

第2章單自由度振動(dòng)【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ★掌握單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)； ★熟練掌握單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)； ★熟悉單自由度系統(tǒng)在一般周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)； ★掌握單自由度系統(tǒng)在任意周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)； ★了解振動(dòng)隔離及振動(dòng)隔離效果評(píng)價(jià)；【本章學(xué)習(xí)方法】

單自由度下的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)是研究振動(dòng)的理論基礎(chǔ)。因此，本章應(yīng)該在課堂振動(dòng)理論學(xué)習(xí)的情況下，加強(qiáng)課下學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，參閱相關(guān)參考資料，并結(jié)合分析工程中振動(dòng)隔離的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例，熟練掌握單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)及其響應(yīng)的理論推導(dǎo)，及在不同阻尼情況下的振動(dòng)規(guī)律和振動(dòng)特性；掌握單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)、一般周期激勵(lì)以及任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)及其響應(yīng)的各種求解方法。為實(shí)際工程應(yīng)用分析和振動(dòng)隔離設(shè)計(jì)奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

【本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)】一、自由振動(dòng)微分方程及其解第1節(jié)單自由度振系的自由振動(dòng)汽車振動(dòng)系統(tǒng)單自由度模型2.振動(dòng)微分方程1.振動(dòng)模型3.振動(dòng)微分方程通解二、在不同阻尼比情況下的解1.阻尼比>1,過(guò)阻尼

在不同阻尼比情況下，振動(dòng)微分方程對(duì)應(yīng)三種不同的解2.阻尼比=1,臨界阻尼

這時(shí)特征方程的兩根為不相同的負(fù)實(shí)數(shù)，微分方程的解式中的兩個(gè)指數(shù)均為負(fù)數(shù)，此時(shí)振動(dòng)微分方程解所表示的運(yùn)動(dòng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期性蠕動(dòng)。根據(jù)不同的初始條件，其運(yùn)動(dòng)具有如下圖所示的相應(yīng)曲線。

這個(gè)方程解所表示的運(yùn)動(dòng)是非周期性運(yùn)動(dòng)，而是按照指數(shù)規(guī)律衰減的運(yùn)動(dòng)，如圖所示。3.阻尼比<1,弱阻尼

這時(shí)特征方程的兩根為共軛復(fù)根。令則振動(dòng)微分方程的解可表示為

利用歐拉公式展開(kāi)，可得三、阻尼比對(duì)振動(dòng)的影響1.阻尼比，使周期略有增大2.阻尼比，振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減

設(shè)相鄰兩振幅的比值，為減幅系數(shù)式中，n為衰減系數(shù)，n越大表示阻尼越大，振幅衰減也就越大。系統(tǒng)的對(duì)數(shù)衰減率為系統(tǒng)的阻尼比為由于系統(tǒng)阻尼比遠(yuǎn)小于1，因此，第2節(jié)單自由度振系的強(qiáng)迫振動(dòng)在外界激振力作用下的微分方程為激勵(lì)不同時(shí)，系統(tǒng)所作的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)也不同。

一、簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

單自由度振系受到簡(jiǎn)諧激振力的作用，如圖所示。圖單自由度有阻尼的簡(jiǎn)諧激振振動(dòng)微分方程為（1）自由振動(dòng)齊次方程的解x1為x1是一種衰減振動(dòng)，只在振動(dòng)開(kāi)始的一段時(shí)間內(nèi)才有意義,而實(shí)際工程意義不大,可不予考慮（2）振動(dòng)微分方程的特解x2,代表系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振下所產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng)，它是一種持續(xù)的等幅振動(dòng)，故為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。設(shè)特解x2為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度和加速度分別為振動(dòng)響應(yīng)的幅值X和響應(yīng)與激勵(lì)的相位差角ψ,分別為因此，強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為強(qiáng)迫振動(dòng)的放大因子β為在不同的阻尼比情況下，放大因子與頻率比，以及相位差角與頻率比之間的關(guān)系，分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。曲線如圖所示?？芍?.單位諧波函數(shù)求解強(qiáng)迫振動(dòng)

設(shè)作用在系統(tǒng)上的激勵(lì)為復(fù)數(shù)形式的單位幅值簡(jiǎn)諧激振力，即，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為因此，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)可表示為即單位簡(jiǎn)諧激振力作用下響應(yīng)的復(fù)數(shù)位移、復(fù)數(shù)速度和復(fù)數(shù)加速度，分別為將以上三式代入微分方程，可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為因此，復(fù)數(shù)形式簡(jiǎn)諧激振力下，復(fù)數(shù)形式的振動(dòng)響應(yīng)x可表示為（1）若實(shí)際激振力為正弦函數(shù)形式，則實(shí)際響應(yīng)可表示為（2）若實(shí)際激振力為余弦函數(shù)形式，則實(shí)際響應(yīng)可表示為2.支座簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)

簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫振動(dòng)不一定都是由激振力引起，許多情況下，振系支座的周期運(yùn)動(dòng)同樣可使振系發(fā)生強(qiáng)迫振動(dòng)，如汽車駛過(guò)不平路面產(chǎn)生的振動(dòng)等。圖支座作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)（1）路面激勵(lì)（2）振動(dòng)微分方程總的激振力相當(dāng)于兩個(gè)力的疊加微分方程可寫(xiě)為利用單位諧函數(shù)法，得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為頻率響應(yīng)函數(shù)的模頻率響應(yīng)函數(shù)的相位差系統(tǒng)在路面激勵(lì)作用下的復(fù)數(shù)形式的響應(yīng)為設(shè)路面激勵(lì)為正弦形式，則汽車振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)可表示為幅值為

位移傳遞率圖位移傳遞率曲線可知：

支座激勵(lì)還可以速度或加速度來(lái)表達(dá)。（1）若支座激勵(lì)以速度表達(dá)則系統(tǒng)響應(yīng)的位移幅值為（2）若支座激勵(lì)以加速度表達(dá)則系統(tǒng)響應(yīng)的位移幅值為二.一般性周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

因?yàn)槿我庖粋€(gè)周期函數(shù)總可以根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)分解成一系列具有基頻倍數(shù)的簡(jiǎn)諧分量，即進(jìn)行諧波分析。對(duì)這些不同頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，求出各自的響應(yīng)，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各響應(yīng)疊加起來(lái)便可求得一般周期干擾力作用下的總響應(yīng)。一個(gè)周期為T(mén)的函數(shù)，一定條件下展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)基頻：ω=2/T,第j階簡(jiǎn)諧頻率jω=2j/T;

a0，aj和b

j稱為傅氏系數(shù)周期激振力f(t)的作用下的微分方程式可表示為

對(duì)于線性系統(tǒng)可以按照疊加原理，將所求得的各簡(jiǎn)諧分量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行疊加，便可得到整個(gè)周期力函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全解三、任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

已知任意激勵(lì)時(shí)，求系統(tǒng)響應(yīng)的方法有好幾種，下面分別介紹三種方法1.杜哈梅積分法

此方法又稱為卷積積分法或疊加積分法，其基本思想是：把任意激勵(lì)分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求系統(tǒng)對(duì)每個(gè)微沖量的響應(yīng)，然后根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理把它們疊加起來(lái)，即得系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng)。杜哈梅積分法很容易利用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算，適用于解決復(fù)雜問(wèn)題及數(shù)值問(wèn)題。（1）單位脈沖

（2）微分方程

（3）單位脈沖響應(yīng)

如果單位脈沖輸入是在時(shí)間t=τ時(shí)作用在系統(tǒng)上，則系統(tǒng)響應(yīng)可表示為利用脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t),可求得任意激振力作用下系統(tǒng)的響應(yīng)x(t)。（3）任意激勵(lì)的響應(yīng)

這時(shí)可把系統(tǒng)響應(yīng)x(t)看作一系列微沖量的疊加,如圖所示圖任意激勵(lì)

任意激振力的總響應(yīng)為或無(wú)阻尼系統(tǒng)質(zhì)量已有初位移和初始速度,則在有阻尼和無(wú)阻尼情況下的響應(yīng),分別為有阻尼：無(wú)阻尼：2.傅氏積分法

非周期激振視為具有無(wú)限長(zhǎng)周期的周期激振時(shí)，可以表示成傅氏級(jí)數(shù)或積分(1)激振函數(shù)f(t)的傅氏積分(2)響應(yīng)函數(shù)x(t)也是非周期的，它也可以用傅氏積分式(3)把非周期激振函數(shù)f(t),看成是由無(wú)數(shù)個(gè)復(fù)振幅為諧波分量的疊加求出對(duì)應(yīng)于每個(gè)諧波分量的響應(yīng),然后疊加,得系統(tǒng)的總響應(yīng)為即可知:(5)脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)之間關(guān)系為(4)頻率響應(yīng)函數(shù)可知:3.拉氏變換法

傅氏變換對(duì)函數(shù)有一定的條件限制,為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，在傅氏變換的基礎(chǔ)上，引入求解線性振動(dòng)系統(tǒng)比較有效的拉氏變換法。(1)函數(shù)x(t)的拉氏變換(2)函數(shù)x(t)一階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換(3)函數(shù)x(t)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換(4)微分方程的拉氏變換(5)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)(6)振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際響應(yīng)為三、振動(dòng)隔離

1.主動(dòng)隔振

振源是機(jī)器本身，使它與地基隔離，減少對(duì)周圍環(huán)境的影響，稱為主動(dòng)隔振，如圖所示圖主動(dòng)隔振

（1）機(jī)器的鉛垂不平衡力（2）系統(tǒng)的響應(yīng)（3）系統(tǒng)響應(yīng)的速度（4）通過(guò)彈簧傳遞到地基的力（5）通過(guò)阻尼器傳遞到地基的力（6）振源傳遞到地基的總力（7）力傳遞率2.被動(dòng)隔振

若振源來(lái)自支座，為了減少支座位移對(duì)機(jī)器設(shè)備、儀器儀表等產(chǎn)生的振動(dòng)，所采用的隔振措施，稱為被動(dòng)隔振。

隔振后機(jī)械設(shè)備的振幅與支座運(yùn)動(dòng)的振幅的比值即位移傳遞率，稱為隔振系數(shù)（1）隔振系數(shù)

可知，傳遞率和隔振系數(shù)是相同的為了直接說(shuō)明隔振效果，有時(shí)會(huì)用隔振率表示（2）隔振率

（1）本章對(duì)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)及其在不同阻尼情況下的自由振動(dòng)特性進(jìn)行分析；對(duì)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和一般周期激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)和特性進(jìn)行探討；對(duì)單自由度在任意激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)的三種基本求解方法進(jìn)行研究;最后都振動(dòng)隔離進(jìn)行了介紹。（2）單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的分析方法，是二自由度和多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)，通過(guò)本章學(xué)習(xí)可掌握單自由度自由振動(dòng)響應(yīng)及在不同阻尼情況下的振動(dòng)特性；（3）掌握單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和一般周期激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)和振動(dòng)特性；（4）熟悉單自由度振動(dòng)系統(tǒng)在任意激勵(lì)下振動(dòng)響應(yīng)的三種基本求解方法，即杜哈梅積分法、付氏積分法和拉氏變換法。四、小結(jié)

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第3章二自由度振動(dòng)【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握二自由度系統(tǒng)在無(wú)阻尼和有阻尼情況下的自由振動(dòng)及振動(dòng)特性；★掌握二自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)及特性，掌握利用頻率響應(yīng)函數(shù)和疊加法求解二自由度系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的方法；★掌握車輪和車身以及雙軸汽車二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，在路面激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)及振動(dòng)特性；【本章學(xué)習(xí)方法】

二自由度振動(dòng)系統(tǒng)是單自由度系統(tǒng)的擴(kuò)展，也是研究多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的基礎(chǔ)。因此，本章應(yīng)該在學(xué)好單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的前提下，注重課堂學(xué)習(xí)與課下學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)相結(jié)合，參閱相關(guān)參考資料，熟練掌握二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的建立，以及在無(wú)阻尼和有阻尼情況下的自由振動(dòng)響應(yīng)的求解；在此基礎(chǔ)上，掌握二自由度振動(dòng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)及特性，以及利用頻率響應(yīng)函數(shù)和疊加法求解二自由度振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的方法；熟悉車輛雙質(zhì)量系統(tǒng)和雙軸汽車振動(dòng)系統(tǒng)，在路面激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)及振動(dòng)特性?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點(diǎn)】一、二自由振動(dòng)微分方程第1節(jié)二自由度自由振動(dòng)二自由度系統(tǒng)2.振動(dòng)微分方程1.振動(dòng)模型矩陣形式簡(jiǎn)化形式二、二自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)

1.微分方程令2.固有頻率

設(shè)特解為特征方程兩個(gè)特征根3.主振型

對(duì)應(yīng)于固有頻率的兩振幅A1與A2之間的兩個(gè)確定的比值。這兩個(gè)比值稱為振幅比。在任一瞬時(shí)兩質(zhì)量m2和m1的位移比值也是確定的，并等于振幅比

基頻p1對(duì)應(yīng)的振幅比，稱為第一階主振型；第二階固有頻率p2對(duì)應(yīng)的振幅比，稱為第二階主振型?？芍海?）β1>0,表示兩質(zhì)量的振幅A1與A2的符號(hào)相同，即m1和m2總是按同一方向運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)經(jīng)過(guò)平衡位置，又同時(shí)達(dá)到最大偏離位置。（2）β2>0,表示兩質(zhì)量的振幅A1與A2的符號(hào)相反，即m1和m2總是按相反的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)m1到達(dá)最低位置時(shí)，m2達(dá)到最高位置。如圖所示，

當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型進(jìn)行振動(dòng)時(shí)，即稱為系統(tǒng)的主振動(dòng)。按第一階固有頻率p1作自由振動(dòng)，稱為第一階主振動(dòng);4.主振動(dòng)

第二階固有頻率p2作自由振動(dòng)，稱為第二階主振動(dòng)系統(tǒng)并非在任何情況下都可能做主振動(dòng)。一般情況下，二自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)，是兩種不同頻率的主振動(dòng)的疊加，因此，系統(tǒng)的通解可表示為四個(gè)初始條件四個(gè)系數(shù)，分別為寫(xiě)成簡(jiǎn)潔形式振型向量例如,汽車簡(jiǎn)化二自由度系統(tǒng)圖汽車簡(jiǎn)化二自由度系統(tǒng)(1)選質(zhì)心的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)矩陣形式可知:慣性力不耦合，而彈性力耦合可知：系統(tǒng)振動(dòng)方程是慣性力耦合，而彈性力不耦合.(2)選坐標(biāo)原點(diǎn)在(3)若垂直振動(dòng)坐標(biāo)x在質(zhì)心處,且可知：系統(tǒng)振動(dòng)方程的無(wú)耦合項(xiàng)，相當(dāng)于兩個(gè)單自由度系統(tǒng)各自獨(dú)立地作不同固有頻率的主振動(dòng)。

這種將聯(lián)立的微分方程獨(dú)立化的過(guò)程稱為“坐標(biāo)解耦”，它是通過(guò)“坐標(biāo)變換”來(lái)實(shí)現(xiàn)的。解耦是求解多自由度振系響應(yīng)的基礎(chǔ)和必不可少的步驟。(4)研究汽車在垂直平面內(nèi)的振動(dòng)時(shí)，也可以選前、后懸掛離開(kāi)平衡位置的垂直位移為廣義坐標(biāo)來(lái)確定系統(tǒng)的位移，它們與x和的關(guān)系在這種情況下，除慣性力耦合外，彈性力也耦合?，F(xiàn)消去x1和x2,重新組合成在汽車設(shè)計(jì)中，希望車輛行駛時(shí)，一個(gè)懸掛的振動(dòng)不傳到另一個(gè)懸掛上，為此，應(yīng)使車身質(zhì)量分布系數(shù)和前、后輪的位置之間滿足以下條件當(dāng)質(zhì)量分配系數(shù)=1時(shí),方程可簡(jiǎn)化為即兩個(gè)主振動(dòng)的固有頻率等于前、后懸掛的偏頻，即式中,此時(shí),對(duì)應(yīng)兩個(gè)頻率的主振動(dòng)如圖.當(dāng)質(zhì)量分配系數(shù)不等于1時(shí),應(yīng)該進(jìn)行疊加,即

在上述汽車自由振動(dòng)分析中，忽略了簧下質(zhì)量的影響。而事實(shí)上，汽車是由簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量所組成的振動(dòng)系統(tǒng)。所謂的簧上質(zhì)量是指那些重力由懸架彈簧所承受的部件的質(zhì)量，主要是車身質(zhì)量；而簧下質(zhì)量是指那些重力不通過(guò)懸架彈簧支撐的部件的質(zhì)量，主要是車輪質(zhì)量。當(dāng)質(zhì)量分配系數(shù)=1時(shí),前、后懸架的振動(dòng)彼此沒(méi)有聯(lián)系，互不影響,可簡(jiǎn)化為單輪二自由度振動(dòng).如圖所示

車身車輪二自由度振動(dòng)模型

得主振型為車身與車輪所構(gòu)成的二自由度振系的主振型，如圖所示車身車輪二自由度振系主振型

兩個(gè)簡(jiǎn)化的單自由度系統(tǒng)

三、二自由度有阻尼的自由振動(dòng)

二自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，如圖所示。二自由度有阻尼振系

振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)式解的形式為代入微分方程得特征行列式為特征方程的形式為設(shè)特征方程式的4個(gè)復(fù)數(shù)特征根為由加原理，微分方程組的通解可表示為其中，將復(fù)數(shù)根代入上述各式，則有因此，振動(dòng)微分方程通解的最終形式為可知，弱阻尼二自由度系統(tǒng)的一般振動(dòng)，是由兩個(gè)頻率為和的衰減自由振動(dòng)疊加而成的，這是與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的相似之處；而不同之處是，在同一頻率的衰減自由振動(dòng)中，各坐標(biāo)（即各質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)）之間的相位不同。汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城第2節(jié)二自由度強(qiáng)迫振動(dòng)一、諧波激振力下的強(qiáng)迫振動(dòng)

二自由度無(wú)阻尼諧波激振系統(tǒng)

1.強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程

令可簡(jiǎn)化為

對(duì)于上述非齊次方程組的一個(gè)特解，由激振力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。這里只研究穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，故設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)微分方程組的特解為將上兩式求一階及二階導(dǎo)數(shù)，代入微分方程得式中頻率方程：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，可得所以激振力頻率ω等于系統(tǒng)第一階固有頻率p1或第二階固有頻率p2時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。二自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有兩個(gè)共振頻率2.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)可得到系統(tǒng)的響應(yīng)表明，在簡(jiǎn)諧激振力作用下，系統(tǒng)作與激振力同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其振幅不僅決定于激振力的幅值F1和F2、激振力的頻率以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而且還與系統(tǒng)本身固有頻率有很大關(guān)系。3.兩質(zhì)量的振幅比

說(shuō)明，在一定幅值和頻率的激振力作用下，系統(tǒng)振幅比同樣也是確定值，也就是說(shuō)，系統(tǒng)有一定的振型.當(dāng)激振頻率ω=p1當(dāng)激振頻率ω=p2二、疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)

由于振動(dòng)系統(tǒng)是線性振動(dòng)系統(tǒng)，因此，二可以利用疊加法，即把二自由度系統(tǒng)視為雙輸入、雙輸出系統(tǒng)，用頻率響應(yīng)函數(shù)法求解系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，即可得系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)的解。

(1)m1的響應(yīng)(2)m2的響應(yīng)代入振動(dòng)微分方程，可得1.m1上單獨(dú)作用單位諧波激振力

(3)m1和m2的頻率響應(yīng)函數(shù)

(4)m1和m2的響應(yīng)

(1)m1的響應(yīng)(2)m2的響應(yīng)2.m2上單獨(dú)作用單位諧波激振力

(3)m1和m2的頻率響應(yīng)函數(shù)

(4)m1和m2的響應(yīng)3.利用線性系統(tǒng)的疊加原理，求得系統(tǒng)的總響應(yīng)矩陣形式簡(jiǎn)潔表示為可知，若系統(tǒng)的激勵(lì)是任意周期函數(shù)，則可利用傅氏變換法來(lái)求解，即第3節(jié)路面激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)

一、車身與車輪雙質(zhì)量系統(tǒng)

車身與車輪二自由度系統(tǒng)

1.運(yùn)動(dòng)微分方程

2.對(duì)路面激勵(lì)的頻率響應(yīng)函數(shù)（1）設(shè)路面不平激勵(lì)為單位諧波激振力（2）簧下質(zhì)量m1的響應(yīng)（3）簧上質(zhì)量m2的響應(yīng)（4）代入振動(dòng)微分方程，可得（5）簧下質(zhì)量m1的頻率響應(yīng)函數(shù)（6）簧上質(zhì)量m2的頻率響應(yīng)函數(shù)3.幅頻特性

（1）簧下質(zhì)量m1位移的幅頻特性（2）簧上質(zhì)量m2位移的幅頻特性（3）幅頻特性曲線幅頻特性曲線

（4）響應(yīng)的傅氏變換式中，，為路面不平激勵(lì)的付氏變換（5）二自由度系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)二、雙軸汽車振動(dòng)

1.雙軸汽車二自由度振動(dòng)模型

雙軸汽車振動(dòng)模型

2.雙軸汽車的車身平面振動(dòng)微分方程

即微分方程可簡(jiǎn)化為3.頻率響應(yīng)函數(shù)

在單位諧波激勵(lì)q1(t)單獨(dú)作用情況下,響應(yīng)x1和x2對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為在單位諧波激勵(lì)q2(t)單獨(dú)作用情況下,響應(yīng)x1和x2對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為振動(dòng)系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣為4.系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)

汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城

第5章多自由度振動(dòng)【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立及方法，多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特性；★掌握多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)、坐標(biāo)變換及模態(tài)分析；★掌握多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)在自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)情況下的響應(yīng)計(jì)算；★熟悉多自由度有阻尼系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)分析，在自由衰減振動(dòng)，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和任意激勵(lì)下的比例阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)和振動(dòng)特性；★熟悉多自由度有阻尼系統(tǒng)的復(fù)模分析方法，即狀態(tài)空間法?！颈菊聦W(xué)習(xí)方法】

多自由度振動(dòng)系統(tǒng)是二自由度系統(tǒng)的擴(kuò)展，二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)的特例，實(shí)際振動(dòng)問(wèn)題大都屬于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。因此，本章應(yīng)該在學(xué)好二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的前提下，注重課堂學(xué)習(xí)與課下復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)相結(jié)合，參閱相關(guān)參考資料，注意加強(qiáng)矩陣數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本知識(shí)和方法，熟練掌握多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的各種建立方法，以及多自由度系統(tǒng)固有特性的分析和計(jì)算；在此基礎(chǔ)上，熟悉多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)分析和復(fù)模態(tài)分析的方法，及它們的應(yīng)用場(chǎng)合和條件?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點(diǎn)】第1節(jié)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程1、直接法

如果將實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)在一定的假設(shè)條件和簡(jiǎn)化處理后確定了動(dòng)力學(xué)模型，并確定其中的慣性、剛度和阻尼參數(shù)之后，就可以應(yīng)用多種方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。

直接法就是直接應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的基本定律或定理，例如，利用牛頓第二定律或達(dá)朗伯原理，來(lái)建立系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的方法?；静襟E如下：（1）對(duì)各質(zhì)量取隔離體，進(jìn)行受力分析；（2）根據(jù)牛頓第二定律，建立振動(dòng)微分方程。2.拉格朗日法

拉格朗日法是從能量的觀點(diǎn)建立系統(tǒng)的動(dòng)能T、勢(shì)能U和功W之間的標(biāo)量關(guān)系，研究靜、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一種方法。它是一種普遍、簡(jiǎn)單和統(tǒng)一的方法，適用于簡(jiǎn)單或復(fù)雜系統(tǒng)的分析。拉格朗日方程的形式式中，T為系統(tǒng)總動(dòng)能；qi為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；為qi廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；Qi為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義力。拉格朗日方程存在以下的幾種表達(dá)方式（1）當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時(shí)，主動(dòng)力僅為勢(shì)力，廣義力可表達(dá)為拉格朗日方程為（2）當(dāng)系統(tǒng)除了勢(shì)力作用以外，還存在其它非勢(shì)力，其虛功記為拉格朗日方程為（3）如果將因?yàn)槟芰亢纳⒑瘮?shù)D引起的阻尼力也從其它的非勢(shì)力的廣義力中分離出來(lái)，并使Qi僅代表外部作用的廣義激振力(力或力矩等)，則可將非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程改寫(xiě)為（1）系統(tǒng)勢(shì)能U的兩倍

拉格朗日方程的深入分析可知：各項(xiàng)的系數(shù)就是剛度矩陣中的元素kij

(2)系統(tǒng)動(dòng)能T的兩倍可知,各項(xiàng)系數(shù)就是質(zhì)量矩陣中的元素(3)系統(tǒng)能量耗散函數(shù)D的兩倍

可知:各項(xiàng)系數(shù)就是阻尼矩陣中的元素cij三、影響系數(shù)法

1.剛度矩陣的影響系數(shù)法

對(duì)于n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，剛度矩陣K為n×n矩陣，具有n×n個(gè)元素kij，這些元素稱為剛度影響系數(shù)。剛度影響系數(shù)的定義為:使系統(tǒng)的第j個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生單位位移，而其它坐標(biāo)位移為零時(shí)，在第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的作用力的大小.即注意：

（1）假定方向與坐標(biāo)方向相同，通過(guò)力平衡方程解得值的符號(hào)即kij的符號(hào)；（2）力和位移都是廣義的，包括角位移和力矩。2.質(zhì)量矩陣的影響系數(shù)法

對(duì)于n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量矩陣M為n×n矩陣，具有n×n個(gè)元素mij，這些元素稱為慣性影響系數(shù)。慣性影響系數(shù)的定義為:使系統(tǒng)的第j坐標(biāo)產(chǎn)生單位加速度，而其它的坐標(biāo)加速度為零時(shí)，在第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的作用力的大小.即3.柔度矩陣的影晌系數(shù)法

在某些問(wèn)題中求剛度矩陣比較困難，但柔度矩陣比較容易求得。這時(shí)，可以先求得柔度矩陣，利用柔度法建立系統(tǒng)的微分方程。柔度矩陣F中的系數(shù)δij為柔度響應(yīng)系數(shù).

柔度響應(yīng)系數(shù)的定義:在第j個(gè)坐標(biāo)上施加單位力作用時(shí)，在第i個(gè)坐標(biāo)上所引起的位移，根據(jù)互易定理,δij=δji注意：對(duì)于彈性系統(tǒng)，剛度矩陣總是存在的，而柔度矩陣不一定存在。當(dāng)系統(tǒng)自由度中包括剛體振型時(shí)，就無(wú)法確定柔度系數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，系統(tǒng)的剛度矩陣為奇異，不存在逆矩陣，系統(tǒng)為半正定的。第2節(jié)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性一、固有頻率

多自由度系統(tǒng)固有頻率，可根據(jù)系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程得到，即設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)為式中，A為系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的振幅向量(列陣),主振型方程令特征方程n個(gè)特征值互不相等，可以將它們按照從小到大的次序排列為二、主振型

將任何一個(gè)特征值代回主振型方程，都可以得到一個(gè)響應(yīng)的非零向量A(r)，即特征向量。對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，一個(gè)特征向量描繪了系統(tǒng)振動(dòng)位移的一種形態(tài)，稱為主振型(主模態(tài))。主振型也只與系統(tǒng)的固有物理特性(慣性和彈性)有關(guān)，而與其它條件無(wú)關(guān)。已知系統(tǒng)的特征矩陣，則系統(tǒng)的主振型方程為為特征矩陣H

的逆矩陣為式中，adjH為特征矩陣H的伴隨矩陣。兩邊同時(shí)乘以，得到

可知，特征向量A與伴隨矩陣adjH的任意非零列成正比。因此，可以取一列，并對(duì)其按照某一元素進(jìn)行歸一化處理(實(shí)際上是乘以一個(gè)常數(shù))，得到特征向量A。第3節(jié)多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)分析

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程是一個(gè)相互耦合的二階常微分方程組，按照一般的方法進(jìn)行求解比較困難，一方面因?yàn)槲⒎址匠痰臄?shù)量很多，另一方面各個(gè)方程之間存在坐標(biāo)耦合。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，常采用模態(tài)分析方法進(jìn)行方程組的求解。對(duì)于無(wú)阻尼多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)模態(tài)分析，即首先對(duì)原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，解除方程之間的耦合，使原方程組的求解轉(zhuǎn)化為n個(gè)獨(dú)立單自由度系統(tǒng)的求解問(wèn)題，然后，將各階主振型按照一定的比例進(jìn)行疊加，求得原方程的解。一、廣義坐標(biāo)和坐標(biāo)變換

1.坐標(biāo)耦合

用來(lái)描述振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是任意選取的，但是，所選擇的廣義坐標(biāo)不同，所得到的振動(dòng)微分方程不相同，方程的耦合情況也不相同。例如，汽車平面振動(dòng)模型圖汽車平面振動(dòng)模型

（1）若選取質(zhì)心C的位移x和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角θ,作為系統(tǒng)坐標(biāo),則振動(dòng)微分方程為可知：質(zhì)量矩陣為對(duì)角陣，而剛度矩陣為非對(duì)角陣，稱為“彈性耦合”。（2）若選取轉(zhuǎn)動(dòng)中心B的位移x和繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心的轉(zhuǎn)角θ作為位移坐標(biāo)可知:剛度矩陣為對(duì)角陣，而質(zhì)量矩陣為非對(duì)角陣，稱為“慣性耦合”。（3）若選取端點(diǎn)D的位移x和繞端點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ作為位移坐標(biāo)可知:同時(shí)存在彈性耦合和慣性耦合。2.坐標(biāo)變換

如果能夠?qū)ふ业玫揭唤M廣義坐標(biāo)，使得振動(dòng)微分方程之間不再存在耦合，這將大大簡(jiǎn)化振動(dòng)微分方程的求解。下面，闡述獲得能夠使振動(dòng)微分方程解耦的一組特殊的廣義坐標(biāo)的方法——坐標(biāo)變換。如果存在一組同維線性無(wú)關(guān)的向量,則可以將它們作為坐標(biāo)的一組基向量，組成一個(gè)基向量空間在該向量空間中的任何向量X都可以利用該基向量的線性組合進(jìn)行表達(dá)，即式中，qi表示向量X在基向量Ai上的分量大小，即坐標(biāo)值。

因此，基向量空間Ap可以看作使一個(gè)變量(或坐標(biāo))xi

(i=1,2,…,n)變換成另一個(gè)變量)qj

(j=1,2,…,n)的變換因子，所以，稱基向量空間Ap為變換矩陣。如果已知無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為將坐標(biāo)變換式X=ApQ代入上式，得到兩邊左乘變換矩陣Ap的轉(zhuǎn)置矩陣，可得

顯然，在廣義坐標(biāo)Q下的質(zhì)量矩陣Mp和剛度矩陣Kp，與在原坐標(biāo)X下的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K不同，因此，振動(dòng)微分方程的耦合情況也不相同?？梢?jiàn)，可以通過(guò)坐標(biāo)變換將原來(lái)廣義坐標(biāo)X下的運(yùn)動(dòng)方程，變換到另外的廣義坐標(biāo)Q來(lái)表達(dá)。變換之后，并沒(méi)有改變系統(tǒng)的性質(zhì)，但改變了系統(tǒng)的耦合情況。二、模態(tài)分析

1.特征值、特征向量和振型矩陣

以廣義坐標(biāo)X表達(dá)的無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程n個(gè)特征值和相應(yīng)的n個(gè)主振型向量2.主振型向量的正交性、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度

將各個(gè)主振型向量按照固有頻率的排列次序，按列排在一個(gè)方陣中，則組成主振型矩陣(主模態(tài)矩陣)，即多自由度系統(tǒng)的各階主振型之間存在一定的關(guān)系，表現(xiàn)為主模態(tài)的正交性，即可知，主模態(tài)對(duì)于質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K都是正交，因此，如果以主模態(tài)組成的模態(tài)矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣，可以使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時(shí)對(duì)角化，即3.主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)

主振型方程的特征值為（1）模態(tài)質(zhì)量對(duì)角矩陣Mφ

（2）模態(tài)剛度對(duì)角矩陣

根據(jù)模態(tài)質(zhì)量矩陣的定義和主振型向量對(duì)質(zhì)量矩陣的正交性，得可知，模態(tài)質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣Mφ，其主對(duì)角元素分別為各階模態(tài)質(zhì)量。同理，根據(jù)模態(tài)剛度矩陣的定義和主振型向量對(duì)剛度矩陣的正交性，得可知，模態(tài)剛度矩陣為對(duì)角矩陣Kφ

，其主對(duì)角元素分別為各階模態(tài)剛度由于模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ和剛度矩陣Kφ都是對(duì)角陣,因此方程具體形式為可表示為

可知，在廣義坐標(biāo)Q的振動(dòng)微分方程是完全解耦的。因此，可以對(duì)其中的每一個(gè)獨(dú)立的方程，按照單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的方法求得系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q，再將模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q代回到坐標(biāo)變換式，則可以求得系統(tǒng)在原有廣義物理坐標(biāo)X下的響應(yīng)，即

由于主振型的不唯一性，主坐標(biāo)也存在多種選擇。為了應(yīng)用的方便，實(shí)際上常采用能夠使得模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ正則化為單位矩陣的坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換。由于模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ的對(duì)角元素各不相同，因此，為了正則化，必須對(duì)每一階的主模態(tài)乘以相應(yīng)的因子，使得各階模態(tài)質(zhì)量變?yōu)?。(3)正則坐標(biāo)和正則變換

正則化的條件可以用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為可得第i階正則化因子αi

由n個(gè)正則化因子αi

（i＝1，2,3…n）可以組成一個(gè)正則化因子方陣R，正則模態(tài)矩陣φN

以正則模態(tài)矩陣φN作為坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，所得到的模態(tài)方程為正則模態(tài)方程，其主坐稱為正則坐標(biāo)，其坐標(biāo)變換關(guān)系如下對(duì)應(yīng)于正則坐標(biāo)的廣義質(zhì)量矩陣MN為單位矩陣I，即所以坐標(biāo)變換關(guān)系變?yōu)檎齽t坐標(biāo)下的所對(duì)應(yīng)的廣義剛度矩陣KN

因?yàn)樗约凑齽t坐標(biāo)下的廣義剛度矩陣為由特征值組成的對(duì)角陣。正則變換后的模態(tài)坐標(biāo)下的方程，可化正則模態(tài)方程，即第4節(jié)多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算

一、自由振動(dòng)響應(yīng)

無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)振動(dòng)微分方程為在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為即在模態(tài)坐標(biāo)Q下各個(gè)模態(tài)坐標(biāo)的通解為模態(tài)坐標(biāo)Q下的初始條件

將求得的在模態(tài)坐標(biāo)Q下的響應(yīng)，利用主振型變換矩陣變換到原物理坐標(biāo)X下，得到系統(tǒng)在給定初始條件的響應(yīng)則在某一特殊初始條件下，第i階純模態(tài)自由振動(dòng)的位移向量(主振型)為其中，第j坐標(biāo)處的自由振動(dòng)為結(jié)論：(1)當(dāng)系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中的各個(gè)坐標(biāo)以相同的頻率和初相位作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。各坐標(biāo)的振幅大小不同，但任意瞬時(shí)的幅值保持固定的比例，即系統(tǒng)具有第i階固定的主振型；(2)系統(tǒng)的自由振動(dòng)X為各階純模態(tài)運(yùn)動(dòng)的線性組合。二、強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)

多自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析包括：（1）系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振下的響應(yīng)；（2）系統(tǒng)在任意激振下的響應(yīng)。1.簡(jiǎn)諧激振下的響應(yīng)

（1）無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力下的振動(dòng)微分方程（2）如果利用主振型矩陣進(jìn)行變換，則在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為（3）如果忽略自由振動(dòng)，可以得到各個(gè)模態(tài)坐標(biāo)的通解為（4）到物理坐標(biāo)X下系統(tǒng)響應(yīng)為（5）響應(yīng)幅值的模態(tài)表達(dá)式為2.任意激振下無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)

（1）無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)在任意激力下的振動(dòng)微分方程為（2）模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為

（3）由給定的振動(dòng)系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的初始條件，得到模態(tài)坐標(biāo)下的初始條件，再根據(jù)杜哈梅積分，可得到系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下Q的響應(yīng)為如果假設(shè)初始條件為零，則可簡(jiǎn)化為即（4）物理坐標(biāo)下的響應(yīng)為汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城第5節(jié)多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)分析

一、實(shí)模態(tài)分析的條件

（1）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，其模態(tài)坐標(biāo)下的振動(dòng)微分方程為

因此，坐標(biāo)變換后方程組并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)解耦，仍然不方便求解?？梢?jiàn)，阻尼多自由度系統(tǒng)按照實(shí)模態(tài)分析方法求解的條件是：阻尼矩陣在以模態(tài)矩陣坐標(biāo)變換后對(duì)角化，即（2）必須滿足一定的條件，阻尼矩陣C是質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，即比例阻尼（3）比例阻尼的充分必要條件為（4）通過(guò)模態(tài)矩陣的坐標(biāo)變換同時(shí)實(shí)現(xiàn)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的對(duì)角化，方程組解耦，得到相互獨(dú)立，互不耦合的方程組為阻尼比可表示為振動(dòng)方程可表示為二、有阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)

（1）模態(tài)坐標(biāo)Q下的自由振動(dòng)微分方程為（2）上述各個(gè)解耦的方程，按照欠阻尼系統(tǒng)得到自由振動(dòng)的解為即（3）給定初始條件{x0}和{}下的響應(yīng)為（4）系統(tǒng)在某一特殊初始條件下，第i階純模態(tài)自由振動(dòng)的位移向量(主振型)為其中，第j坐標(biāo)的自由振動(dòng)為結(jié)論：

1）當(dāng)系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中的各個(gè)坐標(biāo)以相同的頻率、相同的初相位和相同的衰減率作衰減；各坐標(biāo)的振幅大小不同，但任意瞬時(shí)的幅值保持固定的比例，即系統(tǒng)具有第i階固定的主振型；

2）系統(tǒng)的自由振動(dòng)X為各階純模態(tài)運(yùn)動(dòng)的線性組合，系統(tǒng)的自由振動(dòng)取決于初始條件。三、比例阻尼多自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振下的振動(dòng)響應(yīng)

（1）當(dāng)比例粘性阻尼多自由度系統(tǒng)受到簡(jiǎn)諧激振力{f(t)}={F}作用時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為（2）在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程（3）如果忽略自由衰減振動(dòng)，可以得到各個(gè)模態(tài)坐標(biāo)的通解為（4）將求得的模態(tài)坐標(biāo)Q下的響應(yīng)再變換到物理坐標(biāo)X下的系統(tǒng)響應(yīng)為其中，響應(yīng)幅值的模態(tài)表達(dá)式為可知：系統(tǒng)的響應(yīng)為各階主模態(tài)按照一定比例的線性疊加，各階模態(tài)對(duì)運(yùn)動(dòng)貢獻(xiàn)的大小取決于各階模態(tài)的因子(模態(tài)坐標(biāo))的大小，即取決于各階模態(tài)前面系數(shù)的大小。對(duì)于非簡(jiǎn)諧的周期激勵(lì)，可以先將激振力展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)分別按照簡(jiǎn)諧激振的情況進(jìn)行計(jì)算，最后將結(jié)果疊加起來(lái)。四、任意激振下比例阻尼多自由度系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)（1）當(dāng)比例阻尼多自由度系統(tǒng)受到任意激振力{f(t)}作用時(shí)，振動(dòng)微分方程為（2）在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程（3）由給定系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的初始條件，求得在模態(tài)坐標(biāo)下的初始條件，再根據(jù)杜哈梅積分，可以得到系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)為如果假設(shè)初始條件為零，則響應(yīng)可簡(jiǎn)化為（4）將所求得的在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)，通過(guò)坐標(biāo)變換，求得在物理坐標(biāo)下的響應(yīng)為其中，第1個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)的位移響應(yīng)為第6節(jié)多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析

阻尼系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)模態(tài)分析要么對(duì)阻尼矩陣有非?？量痰囊螅葱枰龀龊?jiǎn)化處理，這又會(huì)造成一定的誤差。對(duì)于一般的阻尼，例如，粘性阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼的多自由度系統(tǒng)，可以利用復(fù)模態(tài)的分析方法進(jìn)行分析求解。復(fù)模態(tài)分析方法有兩種途徑（1）將n個(gè)自由度二階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為2n個(gè)一階系統(tǒng)來(lái)處理，稱為狀態(tài)空間方法；（2）利用拉氏變換，首先建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的展開(kāi)式，再求系統(tǒng)的響應(yīng)，稱為拉氏變換方法。一、狀態(tài)空間方法

在狀態(tài)空間內(nèi)，將阻尼系統(tǒng)微分方程一般式，寫(xiě)作即簡(jiǎn)單記為

二、復(fù)特征值、復(fù)特征向量和復(fù)模態(tài)矩陣

令{f(t)}=0，得到系統(tǒng)的自由振動(dòng)狀態(tài)空間方程為根據(jù)諧函數(shù)方法，假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解為可得兩邊左乘A-1，得令可得特征方程為由特征方程可以求解得到n對(duì)(2n個(gè))具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，稱為復(fù)特征值，即復(fù)特征向量復(fù)特征值矩陣復(fù)模態(tài)矩陣即三、復(fù)特征同量對(duì)矩陣A和B的正交性

任意選取兩個(gè)不同的特征值，及其相應(yīng)的特征向量，可得對(duì)上兩式兩端分別取轉(zhuǎn)置，得分別減，可得可得復(fù)特征向量和的正交性關(guān)系的表達(dá)式，即因此四、坐標(biāo)變換

狀態(tài)向量Y可表示為對(duì)上述方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，并在方程的兩邊左乘可得即分解寫(xiě)為因此，方程為2n個(gè)互不耦合的一階線性微分方程組，可以對(duì)其中的任何微分方程，求得系統(tǒng)在激振力｛f(t)｝用下的復(fù)模態(tài)空間的響應(yīng)，代入坐標(biāo)變換式，并取上半部分，就可以得到在物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城

第5章固有特性近似計(jì)算方法【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握矩陣迭代法，掌握基頻和振型、二階頻率和振型，以及高級(jí)頻率和振型的矩陣迭代法；★了解子空間迭代法的基本思想和迭代求解過(guò)程；★熟悉瑞利能量法和鄧克萊法求解系統(tǒng)固有特性，了解它們各自的特點(diǎn)；★掌握傳遞矩陣法計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)固有特性，了解傳遞矩陣法的特點(diǎn)，了解分支傳動(dòng)系統(tǒng)的傳遞矩陣方法；★了解特征方程有零根和重根的系統(tǒng)振型的計(jì)算方法。【本章學(xué)習(xí)方法】本章振動(dòng)系統(tǒng)固有特性的各種計(jì)算方法。因此，應(yīng)該在掌握多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的前提下，把握振動(dòng)系統(tǒng)固有特性各種近似計(jì)算方法的特點(diǎn)、過(guò)程、應(yīng)用場(chǎng)合和條件，同時(shí)，還必須注重結(jié)合實(shí)例利用計(jì)算機(jī)對(duì)實(shí)際振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算練習(xí)，進(jìn)一步鞏固并掌握各種計(jì)算方法，為實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)特性的工程計(jì)算打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點(diǎn)】

前面已經(jīng)介紹了振動(dòng)系統(tǒng)固有特性的精確計(jì)算方法，但在工程上，有時(shí)需要利用比較近似的方法快速估算系統(tǒng)的固有特性，本章對(duì)此進(jìn)行闡述，主要介紹比較常用的矩陣迭代法、子空間迭代法、瑞利法、能量法以及傳遞矩陣方法。第1節(jié)矩陣迭代法

矩陣迭代法是一種最常用和有效的方法，其特點(diǎn)是：

(1)可以求振動(dòng)系統(tǒng)的各階固有頻率和振型向量；

(2)對(duì)預(yù)估振型向量的無(wú)精度要求；

(3)能夠控制計(jì)算精度；

(4)容錯(cuò)性好，中問(wèn)的計(jì)算錯(cuò)誤只影響計(jì)算收斂的速度，而不影響最終的計(jì)算結(jié)果；

(5)方法簡(jiǎn)單，便于微機(jī)實(shí)現(xiàn)；

(6)有時(shí)收斂較慢，計(jì)算效率較低。一、基頻和振型的求法

無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程振型方程變形為或

如果將隨意假定的振型向量代入上式，等式不成立，但是通過(guò)不斷的迭代卻可以逐步逼近所要求的固有頻率和振型向量。迭代過(guò)程如下：（1）假設(shè)初次嘗試的歸一化(假設(shè)按照第一個(gè)元素歸一化)向量為X0，計(jì)算DX0，并將計(jì)算值DX0也按照第一個(gè)元素歸一化，得到歸一化因子和第一次迭代的向量X1，即（2）將得到的X1與X0相比較，如果X1≠

X0則繼續(xù)將X1代入上式的右端進(jìn)行計(jì)算，并作歸一化處理，得到歸一化因子和向量X2，即下面對(duì)此進(jìn)行證明。下面對(duì)此進(jìn)行證明。由于振動(dòng)系統(tǒng)的n個(gè)振型向量X(i)(i=1,2,…,n)是線性無(wú)關(guān)的，因此，任意假設(shè)的嘗試向量可以表示為各階振型向量的線性組合，即第二次迭代重復(fù)上述過(guò)程，第k次迭代后，得(因?yàn)?二、二階固有頻率和振型的求法

上面利用迭代方法求基頻和第一階振型向量，主要是基于通過(guò)迭代逐漸使第一主振型起主導(dǎo)作用的原理。同樣的，為了求得第二階的頻率和振型，必須設(shè)法使第二階在迭代過(guò)程中逐漸起主導(dǎo)作用，為此必須引入適當(dāng)?shù)募s束抑制第一階主振型。如果指定第一主坐標(biāo)的位移等于零，則可以達(dá)到上述目的。下面闡述約束矩陣的確定方法。

假設(shè)初始振型向量X0乘以約束第一階振型的動(dòng)力矩陣D后，迭代結(jié)果后收斂于第二階固有頻率和主振型。同樣，將初始嘗試向量表示為各階振型向量的線性組合，即則從中清除第一階振型成分

所以因此式中，稱為清除一階振型后的清型矩陣。利用清型矩陣按照以下的步驟進(jìn)行迭代計(jì)算，即三、高階固有頻率和振型的求法

依次類推，在順序求出前k階的固有頻率和主振型之后，可以利用以下清型矩陣進(jìn)行迭代求解：可見(jiàn)，這樣非常便于編程計(jì)算。第2節(jié)子空間迭代法

子空間迭代法適合于求解系統(tǒng)的前面幾階特征值和特征向量。這種方法假設(shè)前面r個(gè)初始向量同時(shí)進(jìn)行迭代，以求得前s(s<r)個(gè)特征值和特征向量。子空間迭代法基本上可以任意假設(shè)初始向量，而且，其迭代收斂性優(yōu)于矩陣迭代法。因此，它成為求解大型矩陣特征值問(wèn)題的有效方法之一，一般利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。本節(jié)簡(jiǎn)單介紹子空間迭代方法的基本思想，以及求解的基本過(guò)程。假設(shè)n自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為M和K。再假設(shè)系統(tǒng)的各個(gè)特征向量為Ai(i＝1，2,…,n)，相應(yīng)的特征值為=1/p2，則如果把Ai擴(kuò)展成為截?cái)嘈螒B(tài)的振型矩陣，即n×r階的矩陣B，上述關(guān)系仍然成立

但是，下面一步不將ψ1重復(fù)迭代，而是需要作一定的處理。由于系統(tǒng)的各階主振型向量的正交性，任意向量可以通過(guò)振型向量的線性組合來(lái)表示，這對(duì)于截?cái)嘈驼裥途仃囃瑯舆m用。同理，可以將系統(tǒng)前r階主振型矩陣的一次近似表示為式中，YI為r階系數(shù)矩陣。由上式可知，如果B

I為真實(shí)的截?cái)嘀髡裥途仃?，而試用矩陣非常接近它時(shí)，系數(shù)矩陣YI必定趨于r階的單位矩陣。為此，進(jìn)行正交化處理，亦即對(duì)原坐標(biāo)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣構(gòu)成相應(yīng)的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣，即同時(shí)，以Y為廣義坐標(biāo)，求解YI和[λI]，并令YI主對(duì)角元素為1。則有求得YI后，可以確定B

I：然后，再對(duì)BI左乘算子K-1M，得到再次對(duì)原坐標(biāo)進(jìn)行正交處理，則有相似的求解YII和[λII]，得到主振型矩陣的二次近似BII第3節(jié)瑞利能量法和鄧克萊法

一、瑞利能量法

瑞利能量法是估算多自由度系統(tǒng)基頻的一種方法。該方法的特點(diǎn)是：①需要假定一個(gè)比較合理的振型；②估算的結(jié)果總是大于實(shí)際值。由于要估算振型，因此，該方法的精度取決于所估計(jì)振型的精度。（1）多自由度系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的計(jì)算公式為（2）對(duì)于諧波振動(dòng)在保守系統(tǒng)中所以

顯然，如果已知某階振型，就可以利用式(5-25)得到該階的固有頻率。但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于估計(jì)高階振型非常困難，因此，常常只估計(jì)第一階主振型，求系統(tǒng)基頻。這種計(jì)算方法稱為第一瑞利商。（3）如果系統(tǒng)的柔度矩陣存在，可化為同樣，可以上式求系統(tǒng)的基頻，稱為第二瑞利商。（4）下面進(jìn)一步討論瑞利能量法計(jì)算基頻的精度。所估計(jì)的振型向量總是可以寫(xiě)作各階振型向量的線性組合，即根據(jù)振型向量的正交性所以可得可以證明，第二瑞利商的計(jì)算結(jié)果要小于第一瑞利商的計(jì)算結(jié)果，即第二瑞利商的計(jì)算結(jié)果精度稍高一些。二、鄧克萊法

鄧克萊法也稱為跡法，用于初步估算系統(tǒng)的基頻。（1）利用柔度法可以得到多自由度系統(tǒng)的特征方程，即將其展開(kāi)為根據(jù)多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系，可知由于故基頻遠(yuǎn)低于高階固有頻率時(shí)，可近似認(rèn)為顯然，按照鄧克萊法進(jìn)行計(jì)算得到的基頻量值偏小。第4節(jié)傳遞矩陣法實(shí)際工程結(jié)構(gòu)常常簡(jiǎn)化為由質(zhì)量元件和彈性元件組成的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，例如，轉(zhuǎn)軸、連續(xù)梁等。系統(tǒng)利用傳遞矩陣法求解固有特性比較方便有效傳遞矩陣的方法的特點(diǎn)是：（1）將整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的單元元件，各單元在界面上利用位移協(xié)調(diào)和力平衡條件相互聯(lián)系；（2）各單元兩端的力和位移的關(guān)系利用單元傳遞矩陣聯(lián)系起來(lái)；（3）利用邊界條件確定系統(tǒng)的各階固有頻率和主振型。一、單元傳遞矩陣

將由質(zhì)量元件和彈性元件組成的振動(dòng)系統(tǒng)分解為多個(gè)單元，首先確定各個(gè)單元的傳遞矩陣，即質(zhì)量元件傳遞矩陣和彈性元件傳遞矩陣。1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量元件的傳遞矩陣

據(jù)牛頓力學(xué)定律，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量mi有在諧振狀態(tài)因此，質(zhì)量右端界面上的作用力為另外，質(zhì)點(diǎn)兩端的位移相同，即則質(zhì)量右端界面上的狀態(tài)向量為令為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量mi的傳遞矩陣。2.圓盤(pán)質(zhì)量元件的傳遞矩陣

據(jù)牛頓力學(xué)定律，對(duì)于圓盤(pán)質(zhì)量Ji有在諧振狀態(tài)因此，作用于質(zhì)量的右端界面上的轉(zhuǎn)矩為另外，圓盤(pán)質(zhì)量?jī)啥说慕俏灰葡嗤|(zhì)量右端面上的狀態(tài)向量為令為圓盤(pán)質(zhì)量Ji的傳遞矩陣3.線彈簧元件的傳動(dòng)矩陣

根據(jù)彈簧變形特性，則有則彈簧右端面上的狀態(tài)向量為令為線彈簧k的傳動(dòng)矩陣4.扭桿彈簧元件的傳遞矩陣

根據(jù)彈簧變形特性，有扭桿彈簧右端面上的狀態(tài)向量為令為扭桿彈簧k的傳遞矩陣由此可得基本質(zhì)量元件和彈性元件的傳遞矩陣，同時(shí)建立子系統(tǒng)(基本元件)兩端的狀態(tài)向量之間的關(guān)系為式中，Ci為第i個(gè)子系統(tǒng)的傳遞矩陣。二、系統(tǒng)傳遞矩陣

前面已經(jīng)得到了質(zhì)量元件和彈簧元件的傳遞矩陣，現(xiàn)在可以繼續(xù)討論系統(tǒng)的傳遞矩陣。假設(shè)系統(tǒng)的第i個(gè)和第i+1個(gè)子系統(tǒng)(子系統(tǒng)排序總是從左至右的)的傳遞矩陣分別為Ci和Ci+1，則在第i個(gè)和第i+1個(gè)子系統(tǒng)(基本單元)連接的界面上位移和作用力都相同，即所以由此建立了第i個(gè)子系統(tǒng)左端，到第i+1個(gè)子系統(tǒng)右端的傳遞關(guān)系。類推，可得到整個(gè)系統(tǒng)最右端與最左端之間的傳遞關(guān)系為式中,[Cs]為系統(tǒng)的傳遞矩陣，為系統(tǒng)從右到左各子系統(tǒng)傳遞矩陣的連乘；N為系統(tǒng)中的子系統(tǒng)數(shù)目；為端點(diǎn)廣義狀態(tài)向量；這里以非常簡(jiǎn)單的彈簧串聯(lián)的例子對(duì)系統(tǒng)傳遞矩陣進(jìn)行說(shuō)明。彈簧k1和彈簧k2的傳遞矩陣分別為和串聯(lián)后的傳遞矩陣為可知，彈簧k1和彈簧k2的串聯(lián)的系統(tǒng)與具有串聯(lián)等效剛度的彈簧傳遞矩陣相同，也證明了彈簧串聯(lián)等效剛度計(jì)算的公式。另外，系統(tǒng)的傳遞矩陣的行列式總是等于1的，因?yàn)榛締卧膫鬟f矩陣的行列式都等于1。這一點(diǎn)可以用來(lái)檢驗(yàn)計(jì)算的正確性。三、傳遞矩陣方法求固有頻率和振型

（1）系統(tǒng)邊界條件前面已經(jīng)建了系統(tǒng)的首端和末端的狀態(tài)向量關(guān)系，如果能夠確定端部的邊界條件，就可以建立方程計(jì)算固有頻率和主振型。系統(tǒng)的邊界條件是指鏈?zhǔn)较到y(tǒng)兩端的位移或作用力情況。 如果為自由端，則；如果為固定端，則。（2）固有頻率和振型

根據(jù)系統(tǒng)總的傳遞關(guān)系，結(jié)合邊界條件，總是可以得到關(guān)于頻率的多項(xiàng)式方程，從而求得固有頻率，進(jìn)一步得到振型。下面結(jié)合例題進(jìn)行說(shuō)明解：振動(dòng)系統(tǒng)中包括兩個(gè)質(zhì)量元件和一個(gè)彈性元件。系統(tǒng)的傳遞矩陣為邊界條件：兩端自由，即M1=M2=0，則得到振動(dòng)系統(tǒng)的振型為例題利用傳遞矩陣法，求如圖所示系統(tǒng)的固有頻率和振型。傳遞矩陣法求固有頻率

解：振動(dòng)系統(tǒng)中包括兩個(gè)質(zhì)量元件和兩個(gè)彈性元件。則系統(tǒng)的傳遞矩陣為邊界條件：右端自由，M2=0；左端固定，θ0=0，則即可得振動(dòng)系統(tǒng)的振型為第5節(jié)具有零特征根和重特征根的系統(tǒng)振型解法

系統(tǒng)的固有頻率有時(shí)會(huì)出現(xiàn)零根或重根的情況，其主振型的求解需要采取特殊的方法。（1）特征方程具有零根時(shí)半正定系統(tǒng)一定會(huì)出現(xiàn)零根的情形，零根對(duì)應(yīng)于剛體運(yùn)動(dòng)形態(tài)，稱為剛體振型。對(duì)于剛體振型可以根據(jù)與前面講述的主振型的伴隨矩陣方法進(jìn)行求解，所得結(jié)果是各個(gè)主坐標(biāo)的位移相同。（2）特征方程具有重根時(shí)

如果特征方程存在兩個(gè)重根，即，則對(duì)應(yīng)的兩階主振型向量{X(1)}和{X(2)}就不是唯一的，因?yàn)槿我饩€性組合都是滿足振動(dòng)方程的。假設(shè)，則有顯然{X(1)}和{X(2)}的線性組合，也能夠滿足振動(dòng)方程，即振型向量的正交性，對(duì)于質(zhì)量矩陣正交，即和為所求的主振型。則和

本章介紹了振動(dòng)系統(tǒng)固有特性的近似計(jì)算方法，其中包括：矩陣迭代法、子空間迭代法、瑞利能量法、鄧克萊法和傳動(dòng)矩陣法。（1）對(duì)于傳動(dòng)矩陣迭代法，詳細(xì)介紹了振動(dòng)系統(tǒng)基頻和振型的求法、二階和高階固有頻率和振型的求法；（2）對(duì)于傳遞矩陣法介紹了單元傳遞矩陣、系統(tǒng)傳遞矩陣，介紹了如何利用傳遞矩陣求振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和振型，如何利用傳遞矩陣求分支傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性。（3）介紹了具求解剛體振型和具有重特征根的振動(dòng)系統(tǒng)振型的特殊求解方法。小結(jié)汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城

第6章連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)分析

【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★掌握弦的橫向振動(dòng)微分方程的建立及求解；★熟練掌握連續(xù)體振動(dòng)微分方程的時(shí)間和空間變量分離方法；★掌握桿的縱向振動(dòng)及軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的微分方程及求解過(guò)程；★熟悉梁的橫向振動(dòng)振動(dòng)微分方程及其求解；★熟悉薄板彎曲振動(dòng)微分方程建立及其求解過(guò)程，矩形薄板自由振動(dòng)的levy解，圓形薄板的自由振動(dòng)，薄板固有頻率的變分式,用Rayleigh-Ritz法分析薄板的自由振動(dòng)，薄板的強(qiáng)迫振動(dòng)；★了解連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)模態(tài)的正交性，了解連續(xù)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)的模態(tài)分析方法【本章學(xué)習(xí)方法】

連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)，與多自由度離散系統(tǒng)不同，具有較強(qiáng)的理論分析。因此，學(xué)習(xí)本章應(yīng)該在注重理論推導(dǎo)和分析的前提下，注重與實(shí)際問(wèn)題模型相結(jié)合，加深理解課堂理論學(xué)習(xí)的內(nèi)容，掌握連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)的特點(diǎn)、方程的建立及求解方法，同時(shí)，與實(shí)際連續(xù)體振動(dòng)工程計(jì)算相結(jié)合，利用所學(xué)的理論來(lái)分析實(shí)際工程中所遇見(jiàn)的連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題。

【本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)】

所謂連續(xù)系統(tǒng)，其質(zhì)量、彈性及阻尼都是連續(xù)分布的，所以，與離散振動(dòng)系統(tǒng)相比，其自由度不是有限的，而是無(wú)限的，因而又稱為無(wú)限自由度振動(dòng)系統(tǒng)或彈性體振動(dòng)系統(tǒng)。第1節(jié)弦的橫向振動(dòng)問(wèn)題

單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m的一根柔性張緊弦，其內(nèi)部張力為T(mén)，如圖所示。柔性張緊弦的橫向振動(dòng)

設(shè)弦的橫向變形u既是空間變量x的函數(shù)，又是時(shí)間t的函數(shù)，即弦上取微元dx的隔離體，弦的橫向振動(dòng)微分方程為式中，c

2=T/m解包含4個(gè)任意常數(shù)，可由弦的邊界條件和初始條件加以確定2個(gè)邊界條件為

2個(gè)初始條件為

由于連續(xù)系統(tǒng)無(wú)阻尼，可假設(shè)振動(dòng)模式是簡(jiǎn)諧的代入微分方程，并消去正弦項(xiàng)，可得弦的自由振動(dòng)特征函數(shù)微分方程為解為弦的橫向自由振動(dòng)解的形式由邊界條件u(0,t)=0,可得B=0由邊界條件u(l,t)=0,可得或上式稱為頻率方程或特征方程由于系統(tǒng)是線性的，其通解為所有主模態(tài)的疊加，即由于是由邊界條件決定的，所以振動(dòng)模態(tài)決定于邊界條件。通解可表示為應(yīng)用初始條件可得將f(x)和g(x)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，即可得弦的橫向振動(dòng)響應(yīng)可表示為第2節(jié)時(shí)間與空間變量分離方法

設(shè)偏微分方程滿足如下形式的函數(shù)：將上式代入微分方程得

由于上述方程的左側(cè)與t無(wú)關(guān)，方程的右側(cè)與x無(wú)關(guān)，而等式對(duì)所有的x與t都成立，所以，方程兩側(cè)都等于一個(gè)常數(shù)。假設(shè)該常數(shù)為ω2

，則上式可得到兩個(gè)常微分方程,即解解可表示為式中，系數(shù)A，B，C和D是由邊界條件與初始條件確定的常數(shù)。第3節(jié)桿的縱向振動(dòng)及軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

圖桿的縱向振動(dòng)

為桿上微元dx的軸向位移令由虎克定律可知，桿的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式中，P為微元dx處的力；A為桿的橫截面；E為桿材料彈性模量。根據(jù)牛頓第二定律得桿縱向振動(dòng)的微分方程為若AE為常量式中，可知：桿的縱向振動(dòng)微分方程，與弦的振動(dòng)方程形式相同同理，也可以導(dǎo)出軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的微分方程為若IpG為常量，則上式可化為式中，可知，軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程，也與弦的振動(dòng)微分方程的形式相同第4節(jié)梁的橫向振動(dòng)

圖梁的橫向振動(dòng)

梁上一微元dx的隔離體圖，由牛頓第二定律，梁橫向的振動(dòng)微分方程為或式中，m為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量；V為剪力。將微元dx右側(cè)面處所有彎矩相加，得出或由材料力學(xué)知識(shí)可知，梁的曲率與彎矩的之間關(guān)系為式中，EI為梁的彎曲剛度。梁的橫向振動(dòng)的振動(dòng)方程可化為若EI為常數(shù)，又定義a2=，則上述梁的橫向振動(dòng)微分方程簡(jiǎn)化為汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城第5節(jié)薄板的彎曲振動(dòng)

一、薄板振動(dòng)微分方程

在薄板彎曲理論中已經(jīng)知道，薄板承受垂直板面的靜態(tài)分布載荷，薄板彈性彎曲變形曲面微分方程為

薄板微面積受力情況

薄板振動(dòng)的微分方程可表示為對(duì)于矩形薄板對(duì)于圓形薄板上述微分方程要有定解，還必須給出薄板的邊界條件和初始條件。對(duì)于鉸支、固定和自由三種常見(jiàn)支承，每邊在任一時(shí)刻要滿足的邊界條件是（1）鉸支邊矩形和圓形薄板，如圖所示。矩形圓形如果是圓環(huán)形薄板，還應(yīng)該列出內(nèi)圓周的邊界條件。（2）固定邊

矩形薄板圓形薄板（3）自由邊

矩形薄板圓形薄板對(duì)于矩形薄板兩相鄰邊都是自由邊，例如圖6.5(a)中，y＝b和x＝a兩邊有公共點(diǎn)，它們都是自由邊，就是這種情況，這時(shí)還需要附加一個(gè)角點(diǎn)條件。如果這個(gè)角點(diǎn)(x＝a，y＝b)處沒(méi)有集中質(zhì)量，也沒(méi)有集中動(dòng)載荷作用，那么該角點(diǎn)條件是和靜力彎曲問(wèn)題一樣，這個(gè)條件表示任一瞬時(shí)角點(diǎn)處都沒(méi)有集中力作用。對(duì)于彈性支承情況，根據(jù)支承的剛性程度也不難列出相應(yīng)的邊界條件。在方程(6-35)中，由于出現(xiàn)了待求函數(shù)對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，故還需要給出位移和速度兩個(gè)初始條件，該條件是當(dāng)t＝0時(shí)，有式中，是兩個(gè)給定的函數(shù)。求出了薄板中面上各點(diǎn)位移的動(dòng)力響應(yīng)，薄板橫截面內(nèi)內(nèi)力的動(dòng)力響應(yīng)可按下列熟知的公式確定矩形薄板圓形薄板

式中，和 表示對(duì)應(yīng)截面內(nèi)的總剪力。二、矩形薄板自由振動(dòng)的levy解矩形薄板的自由振動(dòng)方程為用分離變量法求解，設(shè)微分方程解的形式為可得上式方程的兩邊除以上式左邊是x和y的函數(shù)，右邊是t的函數(shù)，因此，它們要相等只能等于一個(gè)常數(shù)。令這個(gè)常數(shù)為ω2

，可得解形式容易寫(xiě)成式中，ω正好就是薄板自由振動(dòng)的固有頻率；α表示相角，對(duì)于自由振動(dòng)，這個(gè)量可以忽略去。事實(shí)上，總可以選擇一個(gè)時(shí)間參考坐標(biāo)，使得α＝0。A是一個(gè)任意常數(shù)。因此可知,w(x,y)就是薄板的振型?？梢缘玫搅硗庖粋€(gè)方程對(duì)于一組對(duì)邊是鉸支的矩形板，如圖所示，利用薄板靜力彎曲中的Levy法可以求解。鉸支的矩形板

設(shè)振型w(x,y)為顯然，它滿足在x＝0和x＝a兩邊上撓度和彎矩為零的條件?？傻眠@個(gè)方程解的形式取決于的值是否大于的值。(6-50)已知截面為l×h的矩形梁，兩端鉸支，跨度與a相等，如果它是柱面彎曲，那么這根梁的固有頻率為恰好是對(duì)于如圖所示的矩形板，只要y＝0和y＝b兩邊不都是自由，而且b/a的值不很大，則在中部沿x方向切割一根單位寬度的板條，它的剛度一般地說(shuō)比上述同材料的簡(jiǎn)支梁剛度要大，因此可以斷定，即方程的解可以寫(xiě)成為式中，(6-52)下面通過(guò)具體例子加以分析1.另外一組對(duì)邊固定

根據(jù)邊界條件有將式(6-52)代入上式，可得上式有非零解的條件是它的系數(shù)行列式為零，展開(kāi)后得通常對(duì)于一個(gè)指定的m值，方程有無(wú)窮多個(gè)根進(jìn)一步來(lái)求方板的振型，記在代數(shù)方程組中，用系數(shù)A來(lái)表示其它三個(gè)系數(shù)。取前三個(gè)方程，移項(xiàng)后得因此將式(6-59)代入式(6-52)和式(6-50)，并令A(yù)＝1，得(6-59如下圖中，畫(huà)出了方板前9個(gè)振型的大致形狀，圖方板前9個(gè)振型

2.另外一組對(duì)邊也為鉸支

這時(shí)，邊界條件為將式(6-52)代入上式，可得根據(jù)系數(shù)行列式為零的條件，可得將上式代入(6-62)下表列出了方程前9個(gè)的值確定相應(yīng)的振型，同前作法。由式（6-52）可得A=B=C=0因此，令E＝1，由得薄板的振型為3.另外一組對(duì)邊是一邊鉸支一邊固定如圖所示一邊鉸支一邊固定邊界條件為將式(6-52)代入上式，得故頻率方程記頻率方程的根為(6-68)下表列出了矩形薄板各邊長(zhǎng)比情況下的根據(jù)式(6-68)，有同樣，令E＝1，得薄板的振型為4.另外一組對(duì)邊自由如圖所示圖另外一組對(duì)邊自由

為了計(jì)算方便，現(xiàn)在把坐標(biāo)原點(diǎn)置于x＝0邊的中點(diǎn)。板的振型不外乎由對(duì)稱和反對(duì)稱兩種類型組成，因此無(wú)論是哪一種類型，都只需討論半塊板(y>0)。這時(shí)邊界條件是對(duì)稱型：反對(duì)稱型：(6-71a)(6-71b)對(duì)于這種情況下的矩形薄板的固有頻率是本節(jié)討論的各種矩形薄板中最低的一種。時(shí)應(yīng)分兩種情況討論(1)當(dāng)這種情況下，方程(6-51)的解就是式(6-52)。（a）對(duì)于對(duì)稱型振型，舍去其中的奇函數(shù)項(xiàng)后，可得根據(jù)邊界條件式(6-71a)，則有故頻率方程為由此，可解出固有頻率作法同前，取C＝1，可求得薄板的振型為（b）對(duì)于反對(duì)稱振型，舍去偶函數(shù)項(xiàng)后，可得根據(jù)邊界條件(6-71b)，則有故頻率方程為由此可解出反對(duì)稱型自由振動(dòng)的固有頻率同樣，取E＝1，可求得振型為(2)當(dāng)在這種場(chǎng)合下，方程(6-51)的解應(yīng)該是式中，（a）對(duì)于對(duì)稱型的振型，B＝E＝0，采用和上述相同的步驟，可求得相應(yīng)的頻率方程為由此解出固有頻率后，得薄板的相應(yīng)振型為(6-79)（b）對(duì)于反對(duì)稱型的振型，在式(6-79)中，令A(yù)=C=0，可求得相應(yīng)的頻率方程為由此解出固有頻率后，得薄板的相應(yīng)振型為一組對(duì)邊鉸支另一組對(duì)邊自由的矩形板一部分的汽車振動(dòng)分析與測(cè)試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長(zhǎng)城第5節(jié)薄板的彎曲振動(dòng)

三、圓形薄板的自由振動(dòng)在方程中令外加激勵(lì)載荷＝0圓形薄板的自由振動(dòng)方程為設(shè)動(dòng)撓度為式中，ω就是圓形薄板的固有頻率；w(r,θ)為對(duì)應(yīng)的振型。代入微分方程得記，則方程可寫(xiě)為上述微分方程的解就是下列兩個(gè)微分方程通解之和采用分離變量法來(lái)解上述兩個(gè)微分方程。設(shè)它們的解為代入微分方程可得于是(6-92a，b)方程(6-91)的通解為(6-93)（6-91）現(xiàn)在引進(jìn)一個(gè)新變量則方程式(6-92a，b)可寫(xiě)成(6-94)(6-95)將式(6-93)和式(6-95)，代入式(6-89)，歸并積分常數(shù)后可得(6-96)再根據(jù)圓形薄板周邊給出的兩個(gè)邊界條件，就可得出對(duì)應(yīng)的頻率方程。如果是環(huán)形薄板，則這時(shí)需要同時(shí)考慮內(nèi)、外周邊給出的4個(gè)邊界條件，建立頻率方程。下面以周邊固定、半徑為a的圓形薄板為例，具體計(jì)算其固有頻率和振型。周邊的兩個(gè)邊界條件是即再將式(6-95)，令，并代入上式可得故周邊固定的圓形薄板的頻率方程是(6-100)(6-99)下