汽車振動分析與測試-課件合集

汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城

第1章振動基本概念【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】

★了解振動系統(tǒng)的組成、振動系統(tǒng)的分類； ★掌握振動方程的建立及響應(yīng)的求解，熟練掌握簡諧振動表示方法，以及一般周期振動的諧波分析方法； ★熟悉車輛振動系統(tǒng)模型的簡化；【本章學(xué)習(xí)方法】

本章所涉及的內(nèi)容主要是振動的基本概念、基本知識，因此，主要是采用課堂授課學(xué)習(xí)和課下自學(xué)的方法。了解振動基本概念和基本知識，掌握振動系統(tǒng)微分方程的建立及響應(yīng)的求解，熟練掌握簡諧振動的各種表示方法，以及一般周期振動的諧波分析方法，熟悉車輛振動模型的簡化及條件。建立起系統(tǒng)的基本概念和知識，為后續(xù)章節(jié)的深入學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ)。

【本章學(xué)習(xí)要點】一、振動系統(tǒng)組成要素

1.彈簧：2.質(zhì)量：3.阻尼：4.激勵：第1節(jié)振動系統(tǒng)組成要素及等效參數(shù)二、振動系統(tǒng)的等效參數(shù)1.等效剛度:(1)剛度定義；（2）彈簧串聯(lián)、并聯(lián)的剛度；（3）用能量法確定等效剛度

2.等效質(zhì)量:

利用能量法來確定系統(tǒng)的等效質(zhì)量。即根據(jù)實際系統(tǒng)要轉(zhuǎn)化的質(zhì)量的動能，與等效質(zhì)量動能相等的原則，來求系統(tǒng)的等效質(zhì)量，即3.等效阻尼：（1）阻尼的概念；（2）等效阻尼系數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)的阻尼是非線性阻尼時，可以用等效阻尼ce代替。

即等效阻尼在一個周期內(nèi)所作的功，應(yīng)該等于非粘性阻尼在一個周期內(nèi)所作的功

根據(jù)輸入、輸出和系統(tǒng)的特性等的不同，機械振動有以下各種不同的分類。（1）根據(jù)系統(tǒng)的輸入類型分類第3節(jié)振動的分類（2）根據(jù)描述系統(tǒng)的微分方程分類

（3）根據(jù)系統(tǒng)的自由度分類

（4）根據(jù)系統(tǒng)輸出的振動規(guī)律分類

第3節(jié)振動方程建立及響應(yīng)的求解一、簡諧振動1.函數(shù)表示法

2.矢量表示法

3.復(fù)數(shù)表示法

一般都取虛部來表示簡諧振動規(guī)律，即二、諧波分析

把一個周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)，即展開成為一系列簡諧函數(shù)之和，稱為諧波分析。

第4節(jié)車輛振動簡化模型圖汽車振動系統(tǒng)7自由度模型

（1）7自由度模型

（2）4自由度模型

汽車振動系統(tǒng)4自由度模型

把汽車車身質(zhì)量看作為剛體的立體模型，車身主要考慮垂直、俯仰、側(cè)傾3個自由度，四個車輪質(zhì)量有4個垂直自由度，共7個自由度。

當(dāng)汽車對稱于其縱軸線時，車身只有垂直振動和俯仰振動對平順性影響最大。這時，將汽車簡化成4個自由度的平面模型。

（3）2自由度模型

（3）單自由度模型

汽車振動系統(tǒng)2自由度模型

汽車振動系統(tǒng)單自由度模型

汽車前、后軸懸架質(zhì)量分配達到一定值時，前、后懸架系統(tǒng)的垂直振動幾乎是獨立的。于是可以將汽車振動系統(tǒng)進一步簡化為車身和車輪2自由度振動系統(tǒng)模型。

輪胎動變形很小，忽略其彈性和輪胎質(zhì)量，就得到用來分析車身垂直振動的最簡單的單自由度振動模型。

本章介紹了振動的基本概念，包括振動系統(tǒng)的組成、振動的分類、振動的模型建立及其響應(yīng)的求解、振動響應(yīng)的各種表示方法和車輛振動模型的簡化。其中，（1）振動系統(tǒng)是有質(zhì)量、彈簧、阻尼和激勵四部分組成的，以及等效剛度、等效質(zhì)量和等效阻尼的計算；（2）振動系統(tǒng)可以根據(jù)輸入、輸出和系統(tǒng)的特性的不同進行分類；（3）振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型或微分方程一般可由牛頓第二定律或達朗貝爾原理建立；通過求解振動微分方程得到系統(tǒng)的響應(yīng)；（4）系統(tǒng)響應(yīng)可以利用三角函數(shù)來表示，也可以利用矢量或復(fù)數(shù)來表示；對于非簡諧的周期振動，可以利用諧波分析的方法；（5）對于復(fù)雜振動系統(tǒng)，可以通過合理簡化，建立簡化后的振動模型及其振動微分方程。本章小結(jié)汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城

第2章單自由度振動【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ★掌握單自由度系統(tǒng)的自由振動； ★熟練掌握單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的強迫振動； ★熟悉單自由度系統(tǒng)在一般周期激勵下的強迫振動； ★掌握單自由度系統(tǒng)在任意周期激勵下的強迫振動； ★了解振動隔離及振動隔離效果評價；【本章學(xué)習(xí)方法】

單自由度下的自由振動和強迫振動是研究振動的理論基礎(chǔ)。因此，本章應(yīng)該在課堂振動理論學(xué)習(xí)的情況下，加強課下學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)，參閱相關(guān)參考資料，并結(jié)合分析工程中振動隔離的實際應(yīng)用實例，熟練掌握單自由度振動系統(tǒng)的自由振動及其響應(yīng)的理論推導(dǎo)，及在不同阻尼情況下的振動規(guī)律和振動特性；掌握單自由度振動系統(tǒng)在簡諧激勵、一般周期激勵以及任意激勵下的強迫振動及其響應(yīng)的各種求解方法。為實際工程應(yīng)用分析和振動隔離設(shè)計奠定扎實的基礎(chǔ)。

【本章學(xué)習(xí)要點】一、自由振動微分方程及其解第1節(jié)單自由度振系的自由振動汽車振動系統(tǒng)單自由度模型2.振動微分方程1.振動模型3.振動微分方程通解二、在不同阻尼比情況下的解1.阻尼比>1,過阻尼

在不同阻尼比情況下，振動微分方程對應(yīng)三種不同的解2.阻尼比=1,臨界阻尼

這時特征方程的兩根為不相同的負實數(shù)，微分方程的解式中的兩個指數(shù)均為負數(shù)，此時振動微分方程解所表示的運動是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期性蠕動。根據(jù)不同的初始條件，其運動具有如下圖所示的相應(yīng)曲線。

這個方程解所表示的運動是非周期性運動，而是按照指數(shù)規(guī)律衰減的運動，如圖所示。3.阻尼比<1,弱阻尼

這時特征方程的兩根為共軛復(fù)根。令則振動微分方程的解可表示為

利用歐拉公式展開，可得三、阻尼比對振動的影響1.阻尼比，使周期略有增大2.阻尼比，振幅按幾何級數(shù)衰減

設(shè)相鄰兩振幅的比值，為減幅系數(shù)式中，n為衰減系數(shù)，n越大表示阻尼越大，振幅衰減也就越大。系統(tǒng)的對數(shù)衰減率為系統(tǒng)的阻尼比為由于系統(tǒng)阻尼比遠小于1，因此，第2節(jié)單自由度振系的強迫振動在外界激振力作用下的微分方程為激勵不同時，系統(tǒng)所作的強迫振動響應(yīng)也不同。

一、簡諧激勵下的強迫振動

單自由度振系受到簡諧激振力的作用，如圖所示。圖單自由度有阻尼的簡諧激振振動微分方程為（1）自由振動齊次方程的解x1為x1是一種衰減振動，只在振動開始的一段時間內(nèi)才有意義,而實際工程意義不大,可不予考慮（2）振動微分方程的特解x2,代表系統(tǒng)在簡諧激振下所產(chǎn)生的強迫振動，它是一種持續(xù)的等幅振動，故為穩(wěn)態(tài)振動。設(shè)特解x2為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的速度和加速度分別為振動響應(yīng)的幅值X和響應(yīng)與激勵的相位差角ψ,分別為因此，強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為強迫振動的放大因子β為在不同的阻尼比情況下，放大因子與頻率比，以及相位差角與頻率比之間的關(guān)系，分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。曲線如圖所示?？芍?.單位諧波函數(shù)求解強迫振動

設(shè)作用在系統(tǒng)上的激勵為復(fù)數(shù)形式的單位幅值簡諧激振力，即，則系統(tǒng)的運動微分方程可表示為因此，系統(tǒng)的振動響應(yīng)可表示為即單位簡諧激振力作用下響應(yīng)的復(fù)數(shù)位移、復(fù)數(shù)速度和復(fù)數(shù)加速度，分別為將以上三式代入微分方程，可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為因此，復(fù)數(shù)形式簡諧激振力下，復(fù)數(shù)形式的振動響應(yīng)x可表示為（1）若實際激振力為正弦函數(shù)形式，則實際響應(yīng)可表示為（2）若實際激振力為余弦函數(shù)形式，則實際響應(yīng)可表示為2.支座簡諧運動引起的強迫振動

簡諧強迫振動不一定都是由激振力引起，許多情況下，振系支座的周期運動同樣可使振系發(fā)生強迫振動，如汽車駛過不平路面產(chǎn)生的振動等。圖支座作簡諧運動引起的強迫振動（1）路面激勵（2）振動微分方程總的激振力相當(dāng)于兩個力的疊加微分方程可寫為利用單位諧函數(shù)法，得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為頻率響應(yīng)函數(shù)的模頻率響應(yīng)函數(shù)的相位差系統(tǒng)在路面激勵作用下的復(fù)數(shù)形式的響應(yīng)為設(shè)路面激勵為正弦形式，則汽車振動系統(tǒng)的實際響應(yīng)可表示為幅值為

位移傳遞率圖位移傳遞率曲線可知：

支座激勵還可以速度或加速度來表達。（1）若支座激勵以速度表達則系統(tǒng)響應(yīng)的位移幅值為（2）若支座激勵以加速度表達則系統(tǒng)響應(yīng)的位移幅值為二.一般性周期激勵下的強迫振動

因為任意一個周期函數(shù)總可以根據(jù)傅里葉級數(shù)分解成一系列具有基頻倍數(shù)的簡諧分量，即進行諧波分析。對這些不同頻率的簡諧激勵，求出各自的響應(yīng)，再根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，將各響應(yīng)疊加起來便可求得一般周期干擾力作用下的總響應(yīng)。一個周期為T的函數(shù)，一定條件下展開為傅里葉級數(shù)基頻：ω=2/T,第j階簡諧頻率jω=2j/T;

a0，aj和b

j稱為傅氏系數(shù)周期激振力f(t)的作用下的微分方程式可表示為

對于線性系統(tǒng)可以按照疊加原理，將所求得的各簡諧分量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進行疊加，便可得到整個周期力函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全解三、任意激勵下的強迫振動

已知任意激勵時，求系統(tǒng)響應(yīng)的方法有好幾種，下面分別介紹三種方法1.杜哈梅積分法

此方法又稱為卷積積分法或疊加積分法，其基本思想是：把任意激勵分解為一系列微沖量的連續(xù)作用，分別求系統(tǒng)對每個微沖量的響應(yīng)，然后根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理把它們疊加起來，即得系統(tǒng)對任意激勵的響應(yīng)。杜哈梅積分法很容易利用計算機來計算，適用于解決復(fù)雜問題及數(shù)值問題。（1）單位脈沖

（2）微分方程

（3）單位脈沖響應(yīng)

如果單位脈沖輸入是在時間t=τ時作用在系統(tǒng)上，則系統(tǒng)響應(yīng)可表示為利用脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t),可求得任意激振力作用下系統(tǒng)的響應(yīng)x(t)。（3）任意激勵的響應(yīng)

這時可把系統(tǒng)響應(yīng)x(t)看作一系列微沖量的疊加,如圖所示圖任意激勵

任意激振力的總響應(yīng)為或無阻尼系統(tǒng)質(zhì)量已有初位移和初始速度,則在有阻尼和無阻尼情況下的響應(yīng),分別為有阻尼：無阻尼：2.傅氏積分法

非周期激振視為具有無限長周期的周期激振時，可以表示成傅氏級數(shù)或積分(1)激振函數(shù)f(t)的傅氏積分(2)響應(yīng)函數(shù)x(t)也是非周期的，它也可以用傅氏積分式(3)把非周期激振函數(shù)f(t),看成是由無數(shù)個復(fù)振幅為諧波分量的疊加求出對應(yīng)于每個諧波分量的響應(yīng),然后疊加,得系統(tǒng)的總響應(yīng)為即可知:(5)脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)之間關(guān)系為(4)頻率響應(yīng)函數(shù)可知:3.拉氏變換法

傅氏變換對函數(shù)有一定的條件限制,為了克服這個缺點，在傅氏變換的基礎(chǔ)上，引入求解線性振動系統(tǒng)比較有效的拉氏變換法。(1)函數(shù)x(t)的拉氏變換(2)函數(shù)x(t)一階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換(3)函數(shù)x(t)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換(4)微分方程的拉氏變換(5)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)(6)振動系統(tǒng)的實際響應(yīng)為三、振動隔離

1.主動隔振

振源是機器本身，使它與地基隔離，減少對周圍環(huán)境的影響，稱為主動隔振，如圖所示圖主動隔振

（1）機器的鉛垂不平衡力（2）系統(tǒng)的響應(yīng)（3）系統(tǒng)響應(yīng)的速度（4）通過彈簧傳遞到地基的力（5）通過阻尼器傳遞到地基的力（6）振源傳遞到地基的總力（7）力傳遞率2.被動隔振

若振源來自支座，為了減少支座位移對機器設(shè)備、儀器儀表等產(chǎn)生的振動，所采用的隔振措施，稱為被動隔振。

隔振后機械設(shè)備的振幅與支座運動的振幅的比值即位移傳遞率，稱為隔振系數(shù)（1）隔振系數(shù)

可知，傳遞率和隔振系數(shù)是相同的為了直接說明隔振效果，有時會用隔振率表示（2）隔振率

（1）本章對單自由度振動系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)及其在不同阻尼情況下的自由振動特性進行分析；對單自由度振動系統(tǒng)在簡諧激勵和一般周期激勵下的強迫振動響應(yīng)和特性進行探討；對單自由度在任意激勵下的振動響應(yīng)的三種基本求解方法進行研究;最后都振動隔離進行了介紹。（2）單自由度振動系統(tǒng)的自由振動和強迫振動的分析方法，是二自由度和多自由度振動系統(tǒng)的分析基礎(chǔ)，通過本章學(xué)習(xí)可掌握單自由度自由振動響應(yīng)及在不同阻尼情況下的振動特性；（3）掌握單自由度振動系統(tǒng)在簡諧激勵和一般周期激勵下的振動響應(yīng)和振動特性；（4）熟悉單自由度振動系統(tǒng)在任意激勵下振動響應(yīng)的三種基本求解方法，即杜哈梅積分法、付氏積分法和拉氏變換法。四、小結(jié)

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第3章二自由度振動【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握二自由度系統(tǒng)在無阻尼和有阻尼情況下的自由振動及振動特性；★掌握二自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的強迫振動及特性，掌握利用頻率響應(yīng)函數(shù)和疊加法求解二自由度系統(tǒng)振動響應(yīng)的方法；★掌握車輪和車身以及雙軸汽車二自由度振動系統(tǒng)，在路面激勵下的振動響應(yīng)及振動特性；【本章學(xué)習(xí)方法】

二自由度振動系統(tǒng)是單自由度系統(tǒng)的擴展，也是研究多自由度系統(tǒng)振動的基礎(chǔ)。因此，本章應(yīng)該在學(xué)好單自由度系統(tǒng)振動的前提下，注重課堂學(xué)習(xí)與課下學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)相結(jié)合，參閱相關(guān)參考資料，熟練掌握二自由度振動系統(tǒng)的自由振動微分方程的建立，以及在無阻尼和有阻尼情況下的自由振動響應(yīng)的求解；在此基礎(chǔ)上，掌握二自由度振動系統(tǒng)在簡諧激勵的強迫振動響應(yīng)及特性，以及利用頻率響應(yīng)函數(shù)和疊加法求解二自由度振動系統(tǒng)振動響應(yīng)的方法；熟悉車輛雙質(zhì)量系統(tǒng)和雙軸汽車振動系統(tǒng)，在路面激勵下的強迫振動響應(yīng)及振動特性?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點】一、二自由振動微分方程第1節(jié)二自由度自由振動二自由度系統(tǒng)2.振動微分方程1.振動模型矩陣形式簡化形式二、二自由度無阻尼自由振動

1.微分方程令2.固有頻率

設(shè)特解為特征方程兩個特征根3.主振型

對應(yīng)于固有頻率的兩振幅A1與A2之間的兩個確定的比值。這兩個比值稱為振幅比。在任一瞬時兩質(zhì)量m2和m1的位移比值也是確定的，并等于振幅比

基頻p1對應(yīng)的振幅比，稱為第一階主振型；第二階固有頻率p2對應(yīng)的振幅比，稱為第二階主振型?？芍海?）β1>0,表示兩質(zhì)量的振幅A1與A2的符號相同，即m1和m2總是按同一方向運動，它們同時經(jīng)過平衡位置，又同時達到最大偏離位置。（2）β2>0,表示兩質(zhì)量的振幅A1與A2的符號相反，即m1和m2總是按相反的方向運動，當(dāng)m1到達最低位置時，m2達到最高位置。如圖所示，

當(dāng)系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型進行振動時，即稱為系統(tǒng)的主振動。按第一階固有頻率p1作自由振動，稱為第一階主振動;4.主振動

第二階固有頻率p2作自由振動，稱為第二階主振動系統(tǒng)并非在任何情況下都可能做主振動。一般情況下，二自由度振動系統(tǒng)的自由振動，是兩種不同頻率的主振動的疊加，因此，系統(tǒng)的通解可表示為四個初始條件四個系數(shù)，分別為寫成簡潔形式振型向量例如,汽車簡化二自由度系統(tǒng)圖汽車簡化二自由度系統(tǒng)(1)選質(zhì)心的靜平衡位置為坐標(biāo)原點矩陣形式可知:慣性力不耦合，而彈性力耦合可知：系統(tǒng)振動方程是慣性力耦合，而彈性力不耦合.(2)選坐標(biāo)原點在(3)若垂直振動坐標(biāo)x在質(zhì)心處,且可知：系統(tǒng)振動方程的無耦合項，相當(dāng)于兩個單自由度系統(tǒng)各自獨立地作不同固有頻率的主振動。

這種將聯(lián)立的微分方程獨立化的過程稱為“坐標(biāo)解耦”，它是通過“坐標(biāo)變換”來實現(xiàn)的。解耦是求解多自由度振系響應(yīng)的基礎(chǔ)和必不可少的步驟。(4)研究汽車在垂直平面內(nèi)的振動時，也可以選前、后懸掛離開平衡位置的垂直位移為廣義坐標(biāo)來確定系統(tǒng)的位移，它們與x和的關(guān)系在這種情況下，除慣性力耦合外，彈性力也耦合?，F(xiàn)消去x1和x2,重新組合成在汽車設(shè)計中，希望車輛行駛時，一個懸掛的振動不傳到另一個懸掛上，為此，應(yīng)使車身質(zhì)量分布系數(shù)和前、后輪的位置之間滿足以下條件當(dāng)質(zhì)量分配系數(shù)=1時,方程可簡化為即兩個主振動的固有頻率等于前、后懸掛的偏頻，即式中,此時,對應(yīng)兩個頻率的主振動如圖.當(dāng)質(zhì)量分配系數(shù)不等于1時,應(yīng)該進行疊加,即

在上述汽車自由振動分析中，忽略了簧下質(zhì)量的影響。而事實上，汽車是由簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量所組成的振動系統(tǒng)。所謂的簧上質(zhì)量是指那些重力由懸架彈簧所承受的部件的質(zhì)量，主要是車身質(zhì)量；而簧下質(zhì)量是指那些重力不通過懸架彈簧支撐的部件的質(zhì)量，主要是車輪質(zhì)量。當(dāng)質(zhì)量分配系數(shù)=1時,前、后懸架的振動彼此沒有聯(lián)系，互不影響,可簡化為單輪二自由度振動.如圖所示

車身車輪二自由度振動模型

得主振型為車身與車輪所構(gòu)成的二自由度振系的主振型，如圖所示車身車輪二自由度振系主振型

兩個簡化的單自由度系統(tǒng)

三、二自由度有阻尼的自由振動

二自由度有阻尼振動系統(tǒng)，如圖所示。二自由度有阻尼振系

振動運動微分方程設(shè)式解的形式為代入微分方程得特征行列式為特征方程的形式為設(shè)特征方程式的4個復(fù)數(shù)特征根為由加原理，微分方程組的通解可表示為其中，將復(fù)數(shù)根代入上述各式，則有因此，振動微分方程通解的最終形式為可知，弱阻尼二自由度系統(tǒng)的一般振動，是由兩個頻率為和的衰減自由振動疊加而成的，這是與無阻尼自由振動的相似之處；而不同之處是，在同一頻率的衰減自由振動中，各坐標(biāo)（即各質(zhì)量的運動）之間的相位不同。汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城第2節(jié)二自由度強迫振動一、諧波激振力下的強迫振動

二自由度無阻尼諧波激振系統(tǒng)

1.強迫振動的微分方程

令可簡化為

對于上述非齊次方程組的一個特解，由激振力引起的強迫振動，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動。這里只研究穩(wěn)態(tài)振動，故設(shè)簡諧振動微分方程組的特解為將上兩式求一階及二階導(dǎo)數(shù)，代入微分方程得式中頻率方程：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，可得所以激振力頻率ω等于系統(tǒng)第一階固有頻率p1或第二階固有頻率p2時，系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象。二自由度系統(tǒng)的強迫振動有兩個共振頻率2.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動可得到系統(tǒng)的響應(yīng)表明，在簡諧激振力作用下，系統(tǒng)作與激振力同頻率的簡諧振動。其振幅不僅決定于激振力的幅值F1和F2、激振力的頻率以及系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而且還與系統(tǒng)本身固有頻率有很大關(guān)系。3.兩質(zhì)量的振幅比

說明，在一定幅值和頻率的激振力作用下，系統(tǒng)振幅比同樣也是確定值，也就是說，系統(tǒng)有一定的振型.當(dāng)激振頻率ω=p1當(dāng)激振頻率ω=p2二、疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)

由于振動系統(tǒng)是線性振動系統(tǒng)，因此，二可以利用疊加法，即把二自由度系統(tǒng)視為雙輸入、雙輸出系統(tǒng)，用頻率響應(yīng)函數(shù)法求解系統(tǒng)的振動響應(yīng)，即可得系統(tǒng)強迫振動的解。

(1)m1的響應(yīng)(2)m2的響應(yīng)代入振動微分方程，可得1.m1上單獨作用單位諧波激振力

(3)m1和m2的頻率響應(yīng)函數(shù)

(4)m1和m2的響應(yīng)

(1)m1的響應(yīng)(2)m2的響應(yīng)2.m2上單獨作用單位諧波激振力

(3)m1和m2的頻率響應(yīng)函數(shù)

(4)m1和m2的響應(yīng)3.利用線性系統(tǒng)的疊加原理，求得系統(tǒng)的總響應(yīng)矩陣形式簡潔表示為可知，若系統(tǒng)的激勵是任意周期函數(shù)，則可利用傅氏變換法來求解，即第3節(jié)路面激勵下的強迫振動

一、車身與車輪雙質(zhì)量系統(tǒng)

車身與車輪二自由度系統(tǒng)

1.運動微分方程

2.對路面激勵的頻率響應(yīng)函數(shù)（1）設(shè)路面不平激勵為單位諧波激振力（2）簧下質(zhì)量m1的響應(yīng)（3）簧上質(zhì)量m2的響應(yīng)（4）代入振動微分方程，可得（5）簧下質(zhì)量m1的頻率響應(yīng)函數(shù)（6）簧上質(zhì)量m2的頻率響應(yīng)函數(shù)3.幅頻特性

（1）簧下質(zhì)量m1位移的幅頻特性（2）簧上質(zhì)量m2位移的幅頻特性（3）幅頻特性曲線幅頻特性曲線

（4）響應(yīng)的傅氏變換式中，，為路面不平激勵的付氏變換（5）二自由度系統(tǒng)的振動響應(yīng)二、雙軸汽車振動

1.雙軸汽車二自由度振動模型

雙軸汽車振動模型

2.雙軸汽車的車身平面振動微分方程

即微分方程可簡化為3.頻率響應(yīng)函數(shù)

在單位諧波激勵q1(t)單獨作用情況下,響應(yīng)x1和x2對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為在單位諧波激勵q2(t)單獨作用情況下,響應(yīng)x1和x2對應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為振動系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣為4.系統(tǒng)時域響應(yīng)

汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城

第5章多自由度振動【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握多自由度系統(tǒng)的振動微分方程建立及方法，多自由度系統(tǒng)的振動特性；★掌握多自由度無阻尼振動系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)、坐標(biāo)變換及模態(tài)分析；★掌握多自由度無阻尼系統(tǒng)在自由振動和強迫振動情況下的響應(yīng)計算；★熟悉多自由度有阻尼系統(tǒng)的實模態(tài)分析，在自由衰減振動，在簡諧激勵和任意激勵下的比例阻尼系統(tǒng)的振動響應(yīng)和振動特性；★熟悉多自由度有阻尼系統(tǒng)的復(fù)模分析方法，即狀態(tài)空間法。【本章學(xué)習(xí)方法】

多自由度振動系統(tǒng)是二自由度系統(tǒng)的擴展，二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)的特例，實際振動問題大都屬于多自由度振動系統(tǒng)。因此，本章應(yīng)該在學(xué)好二自由度系統(tǒng)振動的前提下，注重課堂學(xué)習(xí)與課下復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)相結(jié)合，參閱相關(guān)參考資料，注意加強矩陣數(shù)學(xué)運算的基本知識和方法，熟練掌握多自由度振動系統(tǒng)的自由振動微分方程的各種建立方法，以及多自由度系統(tǒng)固有特性的分析和計算；在此基礎(chǔ)上，熟悉多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的實模態(tài)分析和復(fù)模態(tài)分析的方法，及它們的應(yīng)用場合和條件?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點】第1節(jié)多自由度系統(tǒng)振動微分方程1、直接法

如果將實際的工程結(jié)構(gòu)在一定的假設(shè)條件和簡化處理后確定了動力學(xué)模型，并確定其中的慣性、剛度和阻尼參數(shù)之后，就可以應(yīng)用多種方法建立系統(tǒng)的振動微分方程。

直接法就是直接應(yīng)用動力學(xué)的基本定律或定理，例如，利用牛頓第二定律或達朗伯原理，來建立系統(tǒng)振動微分方程的方法?；静襟E如下：（1）對各質(zhì)量取隔離體，進行受力分析；（2）根據(jù)牛頓第二定律，建立振動微分方程。2.拉格朗日法

拉格朗日法是從能量的觀點建立系統(tǒng)的動能T、勢能U和功W之間的標(biāo)量關(guān)系，研究靜、動力學(xué)問題的一種方法。它是一種普遍、簡單和統(tǒng)一的方法，適用于簡單或復(fù)雜系統(tǒng)的分析。拉格朗日方程的形式式中，T為系統(tǒng)總動能；qi為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；為qi廣義坐標(biāo)對時間t的導(dǎo)數(shù)；Qi為對應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義力。拉格朗日方程存在以下的幾種表達方式（1）當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時，主動力僅為勢力，廣義力可表達為拉格朗日方程為（2）當(dāng)系統(tǒng)除了勢力作用以外，還存在其它非勢力，其虛功記為拉格朗日方程為（3）如果將因為能量耗散函數(shù)D引起的阻尼力也從其它的非勢力的廣義力中分離出來，并使Qi僅代表外部作用的廣義激振力(力或力矩等)，則可將非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程改寫為（1）系統(tǒng)勢能U的兩倍

拉格朗日方程的深入分析可知：各項的系數(shù)就是剛度矩陣中的元素kij

(2)系統(tǒng)動能T的兩倍可知,各項系數(shù)就是質(zhì)量矩陣中的元素(3)系統(tǒng)能量耗散函數(shù)D的兩倍

可知:各項系數(shù)就是阻尼矩陣中的元素cij三、影響系數(shù)法

1.剛度矩陣的影響系數(shù)法

對于n自由度的振動系統(tǒng)，剛度矩陣K為n×n矩陣，具有n×n個元素kij，這些元素稱為剛度影響系數(shù)。剛度影響系數(shù)的定義為:使系統(tǒng)的第j個坐標(biāo)產(chǎn)生單位位移，而其它坐標(biāo)位移為零時，在第i個坐標(biāo)上所需施加的作用力的大小.即注意：

（1）假定方向與坐標(biāo)方向相同，通過力平衡方程解得值的符號即kij的符號；（2）力和位移都是廣義的，包括角位移和力矩。2.質(zhì)量矩陣的影響系數(shù)法

對于n自由度的振動系統(tǒng)，質(zhì)量矩陣M為n×n矩陣，具有n×n個元素mij，這些元素稱為慣性影響系數(shù)。慣性影響系數(shù)的定義為:使系統(tǒng)的第j坐標(biāo)產(chǎn)生單位加速度，而其它的坐標(biāo)加速度為零時，在第i個坐標(biāo)上所需施加的作用力的大小.即3.柔度矩陣的影晌系數(shù)法

在某些問題中求剛度矩陣比較困難，但柔度矩陣比較容易求得。這時，可以先求得柔度矩陣，利用柔度法建立系統(tǒng)的微分方程。柔度矩陣F中的系數(shù)δij為柔度響應(yīng)系數(shù).

柔度響應(yīng)系數(shù)的定義:在第j個坐標(biāo)上施加單位力作用時，在第i個坐標(biāo)上所引起的位移，根據(jù)互易定理,δij=δji注意：對于彈性系統(tǒng)，剛度矩陣總是存在的，而柔度矩陣不一定存在。當(dāng)系統(tǒng)自由度中包括剛體振型時，就無法確定柔度系數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，系統(tǒng)的剛度矩陣為奇異，不存在逆矩陣，系統(tǒng)為半正定的。第2節(jié)多自由度振動系統(tǒng)的固有特性一、固有頻率

多自由度系統(tǒng)固有頻率，可根據(jù)系統(tǒng)的無阻尼自由振動微分方程得到，即設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)為式中，A為系統(tǒng)自由振動時的振幅向量(列陣),主振型方程令特征方程n個特征值互不相等，可以將它們按照從小到大的次序排列為二、主振型

將任何一個特征值代回主振型方程，都可以得到一個響應(yīng)的非零向量A(r)，即特征向量。對于一個振動系統(tǒng)，一個特征向量描繪了系統(tǒng)振動位移的一種形態(tài)，稱為主振型(主模態(tài))。主振型也只與系統(tǒng)的固有物理特性(慣性和彈性)有關(guān)，而與其它條件無關(guān)。已知系統(tǒng)的特征矩陣，則系統(tǒng)的主振型方程為為特征矩陣H

的逆矩陣為式中，adjH為特征矩陣H的伴隨矩陣。兩邊同時乘以，得到

可知，特征向量A與伴隨矩陣adjH的任意非零列成正比。因此，可以取一列，并對其按照某一元素進行歸一化處理(實際上是乘以一個常數(shù))，得到特征向量A。第3節(jié)多自由度無阻尼振動系統(tǒng)的模態(tài)分析

多自由度系統(tǒng)的振動微分方程是一個相互耦合的二階常微分方程組，按照一般的方法進行求解比較困難，一方面因為微分方程的數(shù)量很多，另一方面各個方程之間存在坐標(biāo)耦合。因此，在實際工程應(yīng)用中，常采用模態(tài)分析方法進行方程組的求解。對于無阻尼多自由度振動系統(tǒng)，需要對系統(tǒng)進行實模態(tài)分析，即首先對原方程進行坐標(biāo)變換，解除方程之間的耦合，使原方程組的求解轉(zhuǎn)化為n個獨立單自由度系統(tǒng)的求解問題，然后，將各階主振型按照一定的比例進行疊加，求得原方程的解。一、廣義坐標(biāo)和坐標(biāo)變換

1.坐標(biāo)耦合

用來描述振動系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是任意選取的，但是，所選擇的廣義坐標(biāo)不同，所得到的振動微分方程不相同，方程的耦合情況也不相同。例如，汽車平面振動模型圖汽車平面振動模型

（1）若選取質(zhì)心C的位移x和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角θ,作為系統(tǒng)坐標(biāo),則振動微分方程為可知：質(zhì)量矩陣為對角陣，而剛度矩陣為非對角陣，稱為“彈性耦合”。（2）若選取轉(zhuǎn)動中心B的位移x和繞轉(zhuǎn)動中心的轉(zhuǎn)角θ作為位移坐標(biāo)可知:剛度矩陣為對角陣，而質(zhì)量矩陣為非對角陣，稱為“慣性耦合”。（3）若選取端點D的位移x和繞端點的轉(zhuǎn)角θ作為位移坐標(biāo)可知:同時存在彈性耦合和慣性耦合。2.坐標(biāo)變換

如果能夠?qū)ふ业玫揭唤M廣義坐標(biāo)，使得振動微分方程之間不再存在耦合，這將大大簡化振動微分方程的求解。下面，闡述獲得能夠使振動微分方程解耦的一組特殊的廣義坐標(biāo)的方法——坐標(biāo)變換。如果存在一組同維線性無關(guān)的向量,則可以將它們作為坐標(biāo)的一組基向量，組成一個基向量空間在該向量空間中的任何向量X都可以利用該基向量的線性組合進行表達，即式中，qi表示向量X在基向量Ai上的分量大小，即坐標(biāo)值。

因此，基向量空間Ap可以看作使一個變量(或坐標(biāo))xi

(i=1,2,…,n)變換成另一個變量)qj

(j=1,2,…,n)的變換因子，所以，稱基向量空間Ap為變換矩陣。如果已知無阻尼多自由度系統(tǒng)的振動微分方程為將坐標(biāo)變換式X=ApQ代入上式，得到兩邊左乘變換矩陣Ap的轉(zhuǎn)置矩陣，可得

顯然，在廣義坐標(biāo)Q下的質(zhì)量矩陣Mp和剛度矩陣Kp，與在原坐標(biāo)X下的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K不同，因此，振動微分方程的耦合情況也不相同。可見，可以通過坐標(biāo)變換將原來廣義坐標(biāo)X下的運動方程，變換到另外的廣義坐標(biāo)Q來表達。變換之后，并沒有改變系統(tǒng)的性質(zhì)，但改變了系統(tǒng)的耦合情況。二、模態(tài)分析

1.特征值、特征向量和振型矩陣

以廣義坐標(biāo)X表達的無阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動微分方程n個特征值和相應(yīng)的n個主振型向量2.主振型向量的正交性、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度

將各個主振型向量按照固有頻率的排列次序，按列排在一個方陣中，則組成主振型矩陣(主模態(tài)矩陣)，即多自由度系統(tǒng)的各階主振型之間存在一定的關(guān)系，表現(xiàn)為主模態(tài)的正交性，即可知，主模態(tài)對于質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K都是正交，因此，如果以主模態(tài)組成的模態(tài)矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣，可以使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時對角化，即3.主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)

主振型方程的特征值為（1）模態(tài)質(zhì)量對角矩陣Mφ

（2）模態(tài)剛度對角矩陣

根據(jù)模態(tài)質(zhì)量矩陣的定義和主振型向量對質(zhì)量矩陣的正交性，得可知，模態(tài)質(zhì)量矩陣為對角矩陣Mφ，其主對角元素分別為各階模態(tài)質(zhì)量。同理，根據(jù)模態(tài)剛度矩陣的定義和主振型向量對剛度矩陣的正交性，得可知，模態(tài)剛度矩陣為對角矩陣Kφ

，其主對角元素分別為各階模態(tài)剛度由于模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ和剛度矩陣Kφ都是對角陣,因此方程具體形式為可表示為

可知，在廣義坐標(biāo)Q的振動微分方程是完全解耦的。因此，可以對其中的每一個獨立的方程，按照單自由度振動系統(tǒng)的方法求得系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q，再將模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q代回到坐標(biāo)變換式，則可以求得系統(tǒng)在原有廣義物理坐標(biāo)X下的響應(yīng)，即

由于主振型的不唯一性，主坐標(biāo)也存在多種選擇。為了應(yīng)用的方便，實際上常采用能夠使得模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ正則化為單位矩陣的坐標(biāo)變換矩陣進行坐標(biāo)變換。由于模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ的對角元素各不相同，因此，為了正則化，必須對每一階的主模態(tài)乘以相應(yīng)的因子，使得各階模態(tài)質(zhì)量變?yōu)?。(3)正則坐標(biāo)和正則變換

正則化的條件可以用數(shù)學(xué)形式表達為可得第i階正則化因子αi

由n個正則化因子αi

（i＝1，2,3…n）可以組成一個正則化因子方陣R，正則模態(tài)矩陣φN

以正則模態(tài)矩陣φN作為坐標(biāo)變換矩陣進行坐標(biāo)變換，所得到的模態(tài)方程為正則模態(tài)方程，其主坐稱為正則坐標(biāo)，其坐標(biāo)變換關(guān)系如下對應(yīng)于正則坐標(biāo)的廣義質(zhì)量矩陣MN為單位矩陣I，即所以坐標(biāo)變換關(guān)系變?yōu)檎齽t坐標(biāo)下的所對應(yīng)的廣義剛度矩陣KN

因為所以即正則坐標(biāo)下的廣義剛度矩陣為由特征值組成的對角陣。正則變換后的模態(tài)坐標(biāo)下的方程，可化正則模態(tài)方程，即第4節(jié)多自由度無阻尼振動系統(tǒng)的響應(yīng)計算

一、自由振動響應(yīng)

無阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動振動微分方程為在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為即在模態(tài)坐標(biāo)Q下各個模態(tài)坐標(biāo)的通解為模態(tài)坐標(biāo)Q下的初始條件

將求得的在模態(tài)坐標(biāo)Q下的響應(yīng)，利用主振型變換矩陣變換到原物理坐標(biāo)X下，得到系統(tǒng)在給定初始條件的響應(yīng)則在某一特殊初始條件下，第i階純模態(tài)自由振動的位移向量(主振型)為其中，第j坐標(biāo)處的自由振動為結(jié)論：(1)當(dāng)系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動時，系統(tǒng)中的各個坐標(biāo)以相同的頻率和初相位作簡諧振動。各坐標(biāo)的振幅大小不同，但任意瞬時的幅值保持固定的比例，即系統(tǒng)具有第i階固定的主振型；(2)系統(tǒng)的自由振動X為各階純模態(tài)運動的線性組合。二、強迫振動響應(yīng)

多自由度系統(tǒng)的強迫振動響應(yīng)分析包括：（1）系統(tǒng)在簡諧激振下的響應(yīng)；（2）系統(tǒng)在任意激振下的響應(yīng)。1.簡諧激振下的響應(yīng)

（1）無阻尼多自由度系統(tǒng)在簡諧激振力下的振動微分方程（2）如果利用主振型矩陣進行變換，則在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為（3）如果忽略自由振動，可以得到各個模態(tài)坐標(biāo)的通解為（4）到物理坐標(biāo)X下系統(tǒng)響應(yīng)為（5）響應(yīng)幅值的模態(tài)表達式為2.任意激振下無阻尼多自由度系統(tǒng)振動響應(yīng)

（1）無阻尼多自由度系統(tǒng)在任意激力下的振動微分方程為（2）模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為

（3）由給定的振動系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的初始條件，得到模態(tài)坐標(biāo)下的初始條件，再根據(jù)杜哈梅積分，可得到系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下Q的響應(yīng)為如果假設(shè)初始條件為零，則可簡化為即（4）物理坐標(biāo)下的響應(yīng)為汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城第5節(jié)多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的實模態(tài)分析

一、實模態(tài)分析的條件

（1）對于有阻尼系統(tǒng)，其模態(tài)坐標(biāo)下的振動微分方程為

因此，坐標(biāo)變換后方程組并沒有實現(xiàn)解耦，仍然不方便求解?？梢?，阻尼多自由度系統(tǒng)按照實模態(tài)分析方法求解的條件是：阻尼矩陣在以模態(tài)矩陣坐標(biāo)變換后對角化，即（2）必須滿足一定的條件，阻尼矩陣C是質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合，即比例阻尼（3）比例阻尼的充分必要條件為（4）通過模態(tài)矩陣的坐標(biāo)變換同時實現(xiàn)質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的對角化，方程組解耦，得到相互獨立，互不耦合的方程組為阻尼比可表示為振動方程可表示為二、有阻尼系統(tǒng)的自由衰減振動響應(yīng)

（1）模態(tài)坐標(biāo)Q下的自由振動微分方程為（2）上述各個解耦的方程，按照欠阻尼系統(tǒng)得到自由振動的解為即（3）給定初始條件{x0}和{}下的響應(yīng)為（4）系統(tǒng)在某一特殊初始條件下，第i階純模態(tài)自由振動的位移向量(主振型)為其中，第j坐標(biāo)的自由振動為結(jié)論：

1）當(dāng)系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動時，系統(tǒng)中的各個坐標(biāo)以相同的頻率、相同的初相位和相同的衰減率作衰減；各坐標(biāo)的振幅大小不同，但任意瞬時的幅值保持固定的比例，即系統(tǒng)具有第i階固定的主振型；

2）系統(tǒng)的自由振動X為各階純模態(tài)運動的線性組合，系統(tǒng)的自由振動取決于初始條件。三、比例阻尼多自由度系統(tǒng)在簡諧激振下的振動響應(yīng)

（1）當(dāng)比例粘性阻尼多自由度系統(tǒng)受到簡諧激振力{f(t)}={F}作用時，系統(tǒng)振動微分方程為（2）在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程（3）如果忽略自由衰減振動，可以得到各個模態(tài)坐標(biāo)的通解為（4）將求得的模態(tài)坐標(biāo)Q下的響應(yīng)再變換到物理坐標(biāo)X下的系統(tǒng)響應(yīng)為其中，響應(yīng)幅值的模態(tài)表達式為可知：系統(tǒng)的響應(yīng)為各階主模態(tài)按照一定比例的線性疊加，各階模態(tài)對運動貢獻的大小取決于各階模態(tài)的因子(模態(tài)坐標(biāo))的大小，即取決于各階模態(tài)前面系數(shù)的大小。對于非簡諧的周期激勵，可以先將激振力展開為傅里葉級數(shù)分別按照簡諧激振的情況進行計算，最后將結(jié)果疊加起來。四、任意激振下比例阻尼多自由度系統(tǒng)振動響應(yīng)（1）當(dāng)比例阻尼多自由度系統(tǒng)受到任意激振力{f(t)}作用時，振動微分方程為（2）在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程（3）由給定系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的初始條件，求得在模態(tài)坐標(biāo)下的初始條件，再根據(jù)杜哈梅積分，可以得到系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)為如果假設(shè)初始條件為零，則響應(yīng)可簡化為（4）將所求得的在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)，通過坐標(biāo)變換，求得在物理坐標(biāo)下的響應(yīng)為其中，第1個坐標(biāo)點的位移響應(yīng)為第6節(jié)多自由度有阻尼振動系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析

阻尼系統(tǒng)進行實模態(tài)分析要么對阻尼矩陣有非?？量痰囊?，要么需要做出簡化處理，這又會造成一定的誤差。對于一般的阻尼，例如，粘性阻尼或結(jié)構(gòu)阻尼的多自由度系統(tǒng)，可以利用復(fù)模態(tài)的分析方法進行分析求解。復(fù)模態(tài)分析方法有兩種途徑（1）將n個自由度二階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為2n個一階系統(tǒng)來處理，稱為狀態(tài)空間方法；（2）利用拉氏變換，首先建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的展開式，再求系統(tǒng)的響應(yīng)，稱為拉氏變換方法。一、狀態(tài)空間方法

在狀態(tài)空間內(nèi)，將阻尼系統(tǒng)微分方程一般式，寫作即簡單記為

二、復(fù)特征值、復(fù)特征向量和復(fù)模態(tài)矩陣

令{f(t)}=0，得到系統(tǒng)的自由振動狀態(tài)空間方程為根據(jù)諧函數(shù)方法，假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的解為可得兩邊左乘A-1，得令可得特征方程為由特征方程可以求解得到n對(2n個)具有負實部的共軛復(fù)根，稱為復(fù)特征值，即復(fù)特征向量復(fù)特征值矩陣復(fù)模態(tài)矩陣即三、復(fù)特征同量對矩陣A和B的正交性

任意選取兩個不同的特征值，及其相應(yīng)的特征向量，可得對上兩式兩端分別取轉(zhuǎn)置，得分別減，可得可得復(fù)特征向量和的正交性關(guān)系的表達式，即因此四、坐標(biāo)變換

狀態(tài)向量Y可表示為對上述方程進行坐標(biāo)變換，并在方程的兩邊左乘可得即分解寫為因此，方程為2n個互不耦合的一階線性微分方程組，可以對其中的任何微分方程，求得系統(tǒng)在激振力｛f(t)｝用下的復(fù)模態(tài)空間的響應(yīng)，代入坐標(biāo)變換式，并取上半部分，就可以得到在物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城

第5章固有特性近似計算方法【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握矩陣迭代法，掌握基頻和振型、二階頻率和振型，以及高級頻率和振型的矩陣迭代法；★了解子空間迭代法的基本思想和迭代求解過程；★熟悉瑞利能量法和鄧克萊法求解系統(tǒng)固有特性，了解它們各自的特點；★掌握傳遞矩陣法計算振動系統(tǒng)固有特性，了解傳遞矩陣法的特點，了解分支傳動系統(tǒng)的傳遞矩陣方法；★了解特征方程有零根和重根的系統(tǒng)振型的計算方法。【本章學(xué)習(xí)方法】本章振動系統(tǒng)固有特性的各種計算方法。因此，應(yīng)該在掌握多自由度系統(tǒng)振動的前提下，把握振動系統(tǒng)固有特性各種近似計算方法的特點、過程、應(yīng)用場合和條件，同時，還必須注重結(jié)合實例利用計算機對實際振動問題進行計算練習(xí)，進一步鞏固并掌握各種計算方法，為實際振動系統(tǒng)特性的工程計算打下堅實基礎(chǔ)?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點】

前面已經(jīng)介紹了振動系統(tǒng)固有特性的精確計算方法，但在工程上，有時需要利用比較近似的方法快速估算系統(tǒng)的固有特性，本章對此進行闡述，主要介紹比較常用的矩陣迭代法、子空間迭代法、瑞利法、能量法以及傳遞矩陣方法。第1節(jié)矩陣迭代法

矩陣迭代法是一種最常用和有效的方法，其特點是：

(1)可以求振動系統(tǒng)的各階固有頻率和振型向量；

(2)對預(yù)估振型向量的無精度要求；

(3)能夠控制計算精度；

(4)容錯性好，中問的計算錯誤只影響計算收斂的速度，而不影響最終的計算結(jié)果；

(5)方法簡單，便于微機實現(xiàn)；

(6)有時收斂較慢，計算效率較低。一、基頻和振型的求法

無阻尼多自由度系統(tǒng)的振動微分方程振型方程變形為或

如果將隨意假定的振型向量代入上式，等式不成立，但是通過不斷的迭代卻可以逐步逼近所要求的固有頻率和振型向量。迭代過程如下：（1）假設(shè)初次嘗試的歸一化(假設(shè)按照第一個元素歸一化)向量為X0，計算DX0，并將計算值DX0也按照第一個元素歸一化，得到歸一化因子和第一次迭代的向量X1，即（2）將得到的X1與X0相比較，如果X1≠

X0則繼續(xù)將X1代入上式的右端進行計算，并作歸一化處理，得到歸一化因子和向量X2，即下面對此進行證明。下面對此進行證明。由于振動系統(tǒng)的n個振型向量X(i)(i=1,2,…,n)是線性無關(guān)的，因此，任意假設(shè)的嘗試向量可以表示為各階振型向量的線性組合，即第二次迭代重復(fù)上述過程，第k次迭代后，得(因為)二、二階固有頻率和振型的求法

上面利用迭代方法求基頻和第一階振型向量，主要是基于通過迭代逐漸使第一主振型起主導(dǎo)作用的原理。同樣的，為了求得第二階的頻率和振型，必須設(shè)法使第二階在迭代過程中逐漸起主導(dǎo)作用，為此必須引入適當(dāng)?shù)募s束抑制第一階主振型。如果指定第一主坐標(biāo)的位移等于零，則可以達到上述目的。下面闡述約束矩陣的確定方法。

假設(shè)初始振型向量X0乘以約束第一階振型的動力矩陣D后，迭代結(jié)果后收斂于第二階固有頻率和主振型。同樣，將初始嘗試向量表示為各階振型向量的線性組合，即則從中清除第一階振型成分

所以因此式中，稱為清除一階振型后的清型矩陣。利用清型矩陣按照以下的步驟進行迭代計算，即三、高階固有頻率和振型的求法

依次類推，在順序求出前k階的固有頻率和主振型之后，可以利用以下清型矩陣進行迭代求解：可見，這樣非常便于編程計算。第2節(jié)子空間迭代法

子空間迭代法適合于求解系統(tǒng)的前面幾階特征值和特征向量。這種方法假設(shè)前面r個初始向量同時進行迭代，以求得前s(s<r)個特征值和特征向量。子空間迭代法基本上可以任意假設(shè)初始向量，而且，其迭代收斂性優(yōu)于矩陣迭代法。因此，它成為求解大型矩陣特征值問題的有效方法之一，一般利用計算機進行計算。本節(jié)簡單介紹子空間迭代方法的基本思想，以及求解的基本過程。假設(shè)n自由度系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為M和K。再假設(shè)系統(tǒng)的各個特征向量為Ai(i＝1，2,…,n)，相應(yīng)的特征值為=1/p2，則如果把Ai擴展成為截斷形態(tài)的振型矩陣，即n×r階的矩陣B，上述關(guān)系仍然成立

但是，下面一步不將ψ1重復(fù)迭代，而是需要作一定的處理。由于系統(tǒng)的各階主振型向量的正交性，任意向量可以通過振型向量的線性組合來表示，這對于截斷型振型矩陣同樣適用。同理，可以將系統(tǒng)前r階主振型矩陣的一次近似表示為式中，YI為r階系數(shù)矩陣。由上式可知，如果B

I為真實的截斷主振型矩陣，而試用矩陣非常接近它時，系數(shù)矩陣YI必定趨于r階的單位矩陣。為此，進行正交化處理，亦即對原坐標(biāo)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣構(gòu)成相應(yīng)的廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣，即同時，以Y為廣義坐標(biāo)，求解YI和[λI]，并令YI主對角元素為1。則有求得YI后，可以確定B

I：然后，再對BI左乘算子K-1M，得到再次對原坐標(biāo)進行正交處理，則有相似的求解YII和[λII]，得到主振型矩陣的二次近似BII第3節(jié)瑞利能量法和鄧克萊法

一、瑞利能量法

瑞利能量法是估算多自由度系統(tǒng)基頻的一種方法。該方法的特點是：①需要假定一個比較合理的振型；②估算的結(jié)果總是大于實際值。由于要估算振型，因此，該方法的精度取決于所估計振型的精度。（1）多自由度系統(tǒng)的動能和勢能的計算公式為（2）對于諧波振動在保守系統(tǒng)中所以

顯然，如果已知某階振型，就可以利用式(5-25)得到該階的固有頻率。但是在實際應(yīng)用中，由于估計高階振型非常困難，因此，常常只估計第一階主振型，求系統(tǒng)基頻。這種計算方法稱為第一瑞利商。（3）如果系統(tǒng)的柔度矩陣存在，可化為同樣，可以上式求系統(tǒng)的基頻，稱為第二瑞利商。（4）下面進一步討論瑞利能量法計算基頻的精度。所估計的振型向量總是可以寫作各階振型向量的線性組合，即根據(jù)振型向量的正交性所以可得可以證明，第二瑞利商的計算結(jié)果要小于第一瑞利商的計算結(jié)果，即第二瑞利商的計算結(jié)果精度稍高一些。二、鄧克萊法

鄧克萊法也稱為跡法，用于初步估算系統(tǒng)的基頻。（1）利用柔度法可以得到多自由度系統(tǒng)的特征方程，即將其展開為根據(jù)多項式的根與系數(shù)的關(guān)系，可知由于故基頻遠低于高階固有頻率時，可近似認為顯然，按照鄧克萊法進行計算得到的基頻量值偏小。第4節(jié)傳遞矩陣法實際工程結(jié)構(gòu)常常簡化為由質(zhì)量元件和彈性元件組成的鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，例如，轉(zhuǎn)軸、連續(xù)梁等。系統(tǒng)利用傳遞矩陣法求解固有特性比較方便有效傳遞矩陣的方法的特點是：（1）將整個振動系統(tǒng)分解為多個簡單的單元元件，各單元在界面上利用位移協(xié)調(diào)和力平衡條件相互聯(lián)系；（2）各單元兩端的力和位移的關(guān)系利用單元傳遞矩陣聯(lián)系起來；（3）利用邊界條件確定系統(tǒng)的各階固有頻率和主振型。一、單元傳遞矩陣

將由質(zhì)量元件和彈性元件組成的振動系統(tǒng)分解為多個單元，首先確定各個單元的傳遞矩陣，即質(zhì)量元件傳遞矩陣和彈性元件傳遞矩陣。1.質(zhì)點質(zhì)量元件的傳遞矩陣

據(jù)牛頓力學(xué)定律，對于質(zhì)點質(zhì)量mi有在諧振狀態(tài)因此，質(zhì)量右端界面上的作用力為另外，質(zhì)點兩端的位移相同，即則質(zhì)量右端界面上的狀態(tài)向量為令為質(zhì)點質(zhì)量mi的傳遞矩陣。2.圓盤質(zhì)量元件的傳遞矩陣

據(jù)牛頓力學(xué)定律，對于圓盤質(zhì)量Ji有在諧振狀態(tài)因此，作用于質(zhì)量的右端界面上的轉(zhuǎn)矩為另外，圓盤質(zhì)量兩端的角位移相同質(zhì)量右端面上的狀態(tài)向量為令為圓盤質(zhì)量Ji的傳遞矩陣3.線彈簧元件的傳動矩陣

根據(jù)彈簧變形特性，則有則彈簧右端面上的狀態(tài)向量為令為線彈簧k的傳動矩陣4.扭桿彈簧元件的傳遞矩陣

根據(jù)彈簧變形特性，有扭桿彈簧右端面上的狀態(tài)向量為令為扭桿彈簧k的傳遞矩陣由此可得基本質(zhì)量元件和彈性元件的傳遞矩陣，同時建立子系統(tǒng)(基本元件)兩端的狀態(tài)向量之間的關(guān)系為式中，Ci為第i個子系統(tǒng)的傳遞矩陣。二、系統(tǒng)傳遞矩陣

前面已經(jīng)得到了質(zhì)量元件和彈簧元件的傳遞矩陣，現(xiàn)在可以繼續(xù)討論系統(tǒng)的傳遞矩陣。假設(shè)系統(tǒng)的第i個和第i+1個子系統(tǒng)(子系統(tǒng)排序總是從左至右的)的傳遞矩陣分別為Ci和Ci+1，則在第i個和第i+1個子系統(tǒng)(基本單元)連接的界面上位移和作用力都相同，即所以由此建立了第i個子系統(tǒng)左端，到第i+1個子系統(tǒng)右端的傳遞關(guān)系。類推，可得到整個系統(tǒng)最右端與最左端之間的傳遞關(guān)系為式中,[Cs]為系統(tǒng)的傳遞矩陣，為系統(tǒng)從右到左各子系統(tǒng)傳遞矩陣的連乘；N為系統(tǒng)中的子系統(tǒng)數(shù)目；為端點廣義狀態(tài)向量；這里以非常簡單的彈簧串聯(lián)的例子對系統(tǒng)傳遞矩陣進行說明。彈簧k1和彈簧k2的傳遞矩陣分別為和串聯(lián)后的傳遞矩陣為可知，彈簧k1和彈簧k2的串聯(lián)的系統(tǒng)與具有串聯(lián)等效剛度的彈簧傳遞矩陣相同，也證明了彈簧串聯(lián)等效剛度計算的公式。另外，系統(tǒng)的傳遞矩陣的行列式總是等于1的，因為基本單元的傳遞矩陣的行列式都等于1。這一點可以用來檢驗計算的正確性。三、傳遞矩陣方法求固有頻率和振型

（1）系統(tǒng)邊界條件前面已經(jīng)建了系統(tǒng)的首端和末端的狀態(tài)向量關(guān)系，如果能夠確定端部的邊界條件，就可以建立方程計算固有頻率和主振型。系統(tǒng)的邊界條件是指鏈?zhǔn)较到y(tǒng)兩端的位移或作用力情況。 如果為自由端，則；如果為固定端，則。（2）固有頻率和振型

根據(jù)系統(tǒng)總的傳遞關(guān)系，結(jié)合邊界條件，總是可以得到關(guān)于頻率的多項式方程，從而求得固有頻率，進一步得到振型。下面結(jié)合例題進行說明解：振動系統(tǒng)中包括兩個質(zhì)量元件和一個彈性元件。系統(tǒng)的傳遞矩陣為邊界條件：兩端自由，即M1=M2=0，則得到振動系統(tǒng)的振型為例題利用傳遞矩陣法，求如圖所示系統(tǒng)的固有頻率和振型。傳遞矩陣法求固有頻率

解：振動系統(tǒng)中包括兩個質(zhì)量元件和兩個彈性元件。則系統(tǒng)的傳遞矩陣為邊界條件：右端自由，M2=0；左端固定，θ0=0，則即可得振動系統(tǒng)的振型為第5節(jié)具有零特征根和重特征根的系統(tǒng)振型解法

系統(tǒng)的固有頻率有時會出現(xiàn)零根或重根的情況，其主振型的求解需要采取特殊的方法。（1）特征方程具有零根時半正定系統(tǒng)一定會出現(xiàn)零根的情形，零根對應(yīng)于剛體運動形態(tài)，稱為剛體振型。對于剛體振型可以根據(jù)與前面講述的主振型的伴隨矩陣方法進行求解，所得結(jié)果是各個主坐標(biāo)的位移相同。（2）特征方程具有重根時

如果特征方程存在兩個重根，即，則對應(yīng)的兩階主振型向量{X(1)}和{X(2)}就不是唯一的，因為任意線性組合都是滿足振動方程的。假設(shè)，則有顯然{X(1)}和{X(2)}的線性組合，也能夠滿足振動方程，即振型向量的正交性，對于質(zhì)量矩陣正交，即和為所求的主振型。則和

本章介紹了振動系統(tǒng)固有特性的近似計算方法，其中包括：矩陣迭代法、子空間迭代法、瑞利能量法、鄧克萊法和傳動矩陣法。（1）對于傳動矩陣迭代法，詳細介紹了振動系統(tǒng)基頻和振型的求法、二階和高階固有頻率和振型的求法；（2）對于傳遞矩陣法介紹了單元傳遞矩陣、系統(tǒng)傳遞矩陣，介紹了如何利用傳遞矩陣求振動系統(tǒng)的固有頻率和振型，如何利用傳遞矩陣求分支傳動系統(tǒng)的振動特性。（3）介紹了具求解剛體振型和具有重特征根的振動系統(tǒng)振型的特殊求解方法。小結(jié)汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城

第6章連續(xù)系統(tǒng)振動分析

【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★掌握弦的橫向振動微分方程的建立及求解；★熟練掌握連續(xù)體振動微分方程的時間和空間變量分離方法；★掌握桿的縱向振動及軸的扭轉(zhuǎn)振動的微分方程及求解過程；★熟悉梁的橫向振動振動微分方程及其求解；★熟悉薄板彎曲振動微分方程建立及其求解過程，矩形薄板自由振動的levy解，圓形薄板的自由振動，薄板固有頻率的變分式,用Rayleigh-Ritz法分析薄板的自由振動，薄板的強迫振動；★了解連續(xù)系統(tǒng)振動模態(tài)的正交性，了解連續(xù)系統(tǒng)的強迫振動的模態(tài)分析方法【本章學(xué)習(xí)方法】

連續(xù)系統(tǒng)振動，與多自由度離散系統(tǒng)不同，具有較強的理論分析。因此，學(xué)習(xí)本章應(yīng)該在注重理論推導(dǎo)和分析的前提下，注重與實際問題模型相結(jié)合，加深理解課堂理論學(xué)習(xí)的內(nèi)容，掌握連續(xù)系統(tǒng)振動的特點、方程的建立及求解方法，同時，與實際連續(xù)體振動工程計算相結(jié)合，利用所學(xué)的理論來分析實際工程中所遇見的連續(xù)系統(tǒng)的振動問題。

【本章學(xué)習(xí)要點】

所謂連續(xù)系統(tǒng)，其質(zhì)量、彈性及阻尼都是連續(xù)分布的，所以，與離散振動系統(tǒng)相比，其自由度不是有限的，而是無限的，因而又稱為無限自由度振動系統(tǒng)或彈性體振動系統(tǒng)。第1節(jié)弦的橫向振動問題

單位長度質(zhì)量為m的一根柔性張緊弦，其內(nèi)部張力為T，如圖所示。柔性張緊弦的橫向振動

設(shè)弦的橫向變形u既是空間變量x的函數(shù)，又是時間t的函數(shù)，即弦上取微元dx的隔離體，弦的橫向振動微分方程為式中，c

2=T/m解包含4個任意常數(shù)，可由弦的邊界條件和初始條件加以確定2個邊界條件為

2個初始條件為

由于連續(xù)系統(tǒng)無阻尼，可假設(shè)振動模式是簡諧的代入微分方程，并消去正弦項，可得弦的自由振動特征函數(shù)微分方程為解為弦的橫向自由振動解的形式由邊界條件u(0,t)=0,可得B=0由邊界條件u(l,t)=0,可得或上式稱為頻率方程或特征方程由于系統(tǒng)是線性的，其通解為所有主模態(tài)的疊加，即由于是由邊界條件決定的，所以振動模態(tài)決定于邊界條件。通解可表示為應(yīng)用初始條件可得將f(x)和g(x)展開為傅里葉級數(shù)，即可得弦的橫向振動響應(yīng)可表示為第2節(jié)時間與空間變量分離方法

設(shè)偏微分方程滿足如下形式的函數(shù)：將上式代入微分方程得

由于上述方程的左側(cè)與t無關(guān)，方程的右側(cè)與x無關(guān)，而等式對所有的x與t都成立，所以，方程兩側(cè)都等于一個常數(shù)。假設(shè)該常數(shù)為ω2

，則上式可得到兩個常微分方程,即解解可表示為式中，系數(shù)A，B，C和D是由邊界條件與初始條件確定的常數(shù)。第3節(jié)桿的縱向振動及軸的扭轉(zhuǎn)振動

圖桿的縱向振動

為桿上微元dx的軸向位移令由虎克定律可知，桿的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系式中，P為微元dx處的力；A為桿的橫截面；E為桿材料彈性模量。根據(jù)牛頓第二定律得桿縱向振動的微分方程為若AE為常量式中，可知：桿的縱向振動微分方程，與弦的振動方程形式相同同理，也可以導(dǎo)出軸扭轉(zhuǎn)振動的微分方程為若IpG為常量，則上式可化為式中，可知，軸的扭轉(zhuǎn)振動微分方程，也與弦的振動微分方程的形式相同第4節(jié)梁的橫向振動

圖梁的橫向振動

梁上一微元dx的隔離體圖，由牛頓第二定律，梁橫向的振動微分方程為或式中，m為單位長度的質(zhì)量；V為剪力。將微元dx右側(cè)面處所有彎矩相加，得出或由材料力學(xué)知識可知，梁的曲率與彎矩的之間關(guān)系為式中，EI為梁的彎曲剛度。梁的橫向振動的振動方程可化為若EI為常數(shù)，又定義a2=，則上述梁的橫向振動微分方程簡化為汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城第5節(jié)薄板的彎曲振動

一、薄板振動微分方程

在薄板彎曲理論中已經(jīng)知道，薄板承受垂直板面的靜態(tài)分布載荷，薄板彈性彎曲變形曲面微分方程為

薄板微面積受力情況

薄板振動的微分方程可表示為對于矩形薄板對于圓形薄板上述微分方程要有定解，還必須給出薄板的邊界條件和初始條件。對于鉸支、固定和自由三種常見支承，每邊在任一時刻要滿足的邊界條件是（1）鉸支邊矩形和圓形薄板，如圖所示。矩形圓形如果是圓環(huán)形薄板，還應(yīng)該列出內(nèi)圓周的邊界條件。（2）固定邊

矩形薄板圓形薄板（3）自由邊

矩形薄板圓形薄板對于矩形薄板兩相鄰邊都是自由邊，例如圖6.5(a)中，y＝b和x＝a兩邊有公共點，它們都是自由邊，就是這種情況，這時還需要附加一個角點條件。如果這個角點(x＝a，y＝b)處沒有集中質(zhì)量，也沒有集中動載荷作用，那么該角點條件是和靜力彎曲問題一樣，這個條件表示任一瞬時角點處都沒有集中力作用。對于彈性支承情況，根據(jù)支承的剛性程度也不難列出相應(yīng)的邊界條件。在方程(6-35)中，由于出現(xiàn)了待求函數(shù)對時間t的二階導(dǎo)數(shù)項，故還需要給出位移和速度兩個初始條件，該條件是當(dāng)t＝0時，有式中，是兩個給定的函數(shù)。求出了薄板中面上各點位移的動力響應(yīng)，薄板橫截面內(nèi)內(nèi)力的動力響應(yīng)可按下列熟知的公式確定矩形薄板圓形薄板

式中，和 表示對應(yīng)截面內(nèi)的總剪力。二、矩形薄板自由振動的levy解矩形薄板的自由振動方程為用分離變量法求解，設(shè)微分方程解的形式為可得上式方程的兩邊除以上式左邊是x和y的函數(shù)，右邊是t的函數(shù)，因此，它們要相等只能等于一個常數(shù)。令這個常數(shù)為ω2

，可得解形式容易寫成式中，ω正好就是薄板自由振動的固有頻率；α表示相角，對于自由振動，這個量可以忽略去。事實上，總可以選擇一個時間參考坐標(biāo)，使得α＝0。A是一個任意常數(shù)。因此可知,w(x,y)就是薄板的振型?？梢缘玫搅硗庖粋€方程對于一組對邊是鉸支的矩形板，如圖所示，利用薄板靜力彎曲中的Levy法可以求解。鉸支的矩形板

設(shè)振型w(x,y)為顯然，它滿足在x＝0和x＝a兩邊上撓度和彎矩為零的條件?？傻眠@個方程解的形式取決于的值是否大于的值。(6-50)已知截面為l×h的矩形梁，兩端鉸支，跨度與a相等，如果它是柱面彎曲，那么這根梁的固有頻率為恰好是對于如圖所示的矩形板，只要y＝0和y＝b兩邊不都是自由，而且b/a的值不很大，則在中部沿x方向切割一根單位寬度的板條，它的剛度一般地說比上述同材料的簡支梁剛度要大，因此可以斷定，即方程的解可以寫成為式中，(6-52)下面通過具體例子加以分析1.另外一組對邊固定

根據(jù)邊界條件有將式(6-52)代入上式，可得上式有非零解的條件是它的系數(shù)行列式為零，展開后得通常對于一個指定的m值，方程有無窮多個根進一步來求方板的振型，記在代數(shù)方程組中，用系數(shù)A來表示其它三個系數(shù)。取前三個方程，移項后得因此將式(6-59)代入式(6-52)和式(6-50)，并令A(yù)＝1，得(6-59如下圖中，畫出了方板前9個振型的大致形狀，圖方板前9個振型

2.另外一組對邊也為鉸支

這時，邊界條件為將式(6-52)代入上式，可得根據(jù)系數(shù)行列式為零的條件，可得將上式代入(6-62)下表列出了方程前9個的值確定相應(yīng)的振型，同前作法。由式（6-52）可得A=B=C=0因此，令E＝1，由得薄板的振型為3.另外一組對邊是一邊鉸支一邊固定如圖所示一邊鉸支一邊固定邊界條件為將式(6-52)代入上式，得故頻率方程記頻率方程的根為(6-68)下表列出了矩形薄板各邊長比情況下的根據(jù)式(6-68)，有同樣，令E＝1，得薄板的振型為4.另外一組對邊自由如圖所示圖另外一組對邊自由

為了計算方便，現(xiàn)在把坐標(biāo)原點置于x＝0邊的中點。板的振型不外乎由對稱和反對稱兩種類型組成，因此無論是哪一種類型，都只需討論半塊板(y>0)。這時邊界條件是對稱型：反對稱型：(6-71a)(6-71b)對于這種情況下的矩形薄板的固有頻率是本節(jié)討論的各種矩形薄板中最低的一種。時應(yīng)分兩種情況討論(1)當(dāng)這種情況下，方程(6-51)的解就是式(6-52)。（a）對于對稱型振型，舍去其中的奇函數(shù)項后，可得根據(jù)邊界條件式(6-71a)，則有故頻率方程為由此，可解出固有頻率作法同前，取C＝1，可求得薄板的振型為（b）對于反對稱振型，舍去偶函數(shù)項后，可得根據(jù)邊界條件(6-71b)，則有故頻率方程為由此可解出反對稱型自由振動的固有頻率同樣，取E＝1，可求得振型為(2)當(dāng)在這種場合下，方程(6-51)的解應(yīng)該是式中，（a）對于對稱型的振型，B＝E＝0，采用和上述相同的步驟，可求得相應(yīng)的頻率方程為由此解出固有頻率后，得薄板的相應(yīng)振型為(6-79)（b）對于反對稱型的振型，在式(6-79)中，令A(yù)=C=0，可求得相應(yīng)的頻率方程為由此解出固有頻率后，得薄板的相應(yīng)振型為一組對邊鉸支另一組對邊自由的矩形板一部分的汽車振動分析與測試山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院周長城第5節(jié)薄板的彎曲振動

三、圓形薄板的自由振動在方程中令外加激勵載荷＝0圓形薄板的自由振動方程為設(shè)動撓度為式中，ω就是圓形薄板的固有頻率；w(r,θ)為對應(yīng)的振型。代入微分方程得記，則方程可寫為上述微分方程的解就是下列兩個微分方程通解之和采用分離變量法來解上述兩個微分方程。設(shè)它們的解為代入微分方程可得于是(6-92a，b)方程(6-91)的通解為(6-93)（6-91）現(xiàn)在引進一個新變量則方程式(6-92a，b)可寫成(6-94)(6-95)將式(6-93)和式(6-95)，代入式(6-89)，歸并積分常數(shù)后可得(6-96)再根據(jù)圓形薄板周邊給出的兩個邊界條件，就可得出對應(yīng)的頻率方程。如果是環(huán)形薄板，則這時需要同時考慮內(nèi)、外周邊給出的4個邊界條件，建立頻率方程。下面以周邊固定、半徑為a的圓形薄板為例，具體計算其固有頻率和振型。周邊的兩個邊界條件是即再將式(6-95)，令，并代入上式可得故周邊固定的圓形薄板的頻率方程是(6-100)(6-99)下