命題、定理與證明（教學(xué)設(shè)計(jì)）-七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（人教版）

5.3.2命題、定理與證明教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“相交線與平行線”5.3.2命題、定理與證明，內(nèi)容包括：命題、定理及證明的概念；命題的題設(shè)和結(jié)論；真假命題.2.內(nèi)容解析新課標(biāo)提出了對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)思考”的要求：“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn).”在學(xué)段目標(biāo)中，進(jìn)一步指出：在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá).而命題是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本依據(jù)，經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的命題如定理可以作為繼續(xù)推理的依據(jù)，所以認(rèn)識(shí)命題的定義、結(jié)構(gòu)、真假是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)之一.而正確找出命題的題設(shè)和結(jié)論是基礎(chǔ)，特別是題設(shè)和結(jié)論不明顯的命題和難以判斷真假的命題是學(xué)習(xí)的重點(diǎn).本節(jié)課將通過(guò)一些具體的例子來(lái)了解基本概念，不必深究，不鉆難題，所以學(xué)習(xí)本節(jié)課特別重要，是后面學(xué)習(xí)定理和證明的前提和基礎(chǔ)，具賄承上啟下的作用.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解命題、定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)(1)理解命題、定理及證明的概念，會(huì)區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論；(2)會(huì)判斷真假命題，知道證明的意義及必要性，了解反例的作用.2.目標(biāo)解析理解命題的概念及構(gòu)成；會(huì)判斷所給命題的真假；初步感知什么是證明；通過(guò)對(duì)命題及其真假的判斷，提高學(xué)生的理性判斷能力；通過(guò)對(duì)證明的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維；初步體會(huì)命題在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用、用證明論證自己的判斷；為今后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)；通過(guò)對(duì)命題、定理、證明的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從理性的角度判斷一件事情的真假，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，并在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)中獲取成功的體驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)的自信心.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行線的判定等內(nèi)容，對(duì)命題已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)，但對(duì)于命題、真假命題的理解，學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生一定的困難，所以教學(xué)中應(yīng)予以簡(jiǎn)單明白，深入淺出的分析.于七年級(jí)學(xué)生的理解能力和思維特征和生理特征，學(xué)生好動(dòng)性，注意力易分散，愛(ài)發(fā)表見(jiàn)解，希望得到老師的表?yè)P(yáng)等特點(diǎn)，所以在教學(xué)中應(yīng)抓住學(xué)生這一生理心理特點(diǎn)，一方面要運(yùn)用直觀生動(dòng)的形象，引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.基于以上學(xué)情分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論，會(huì)判斷命題的真假.四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題引入我們?nèi)粘Ｖv話中，有些話是對(duì)某件事情作出判斷的，有些話只是對(duì)事物進(jìn)行描述的，如：

(1)中華人民共和國(guó)的首都是北京.……()

(2)我們班的同學(xué)多么聰明！……………()

(3)浪費(fèi)是可恥的.………()

(4)春天到了，花兒開(kāi)了.………………()

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，同樣有判斷和描述這兩類(lèi)語(yǔ)言，如：

(1)畫(huà)線段AB=3厘米.……()

(2)兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn).……()自學(xué)導(dǎo)航觀察下列語(yǔ)句，它們有什么共同點(diǎn)？(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；(2)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)對(duì)頂角相等；(4)等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式.像上面這樣，判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.命題的組成一般地，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.

題設(shè)：是已知事項(xiàng)；

結(jié)論：是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫?xiě)成“如果……，那么……”的形式，這時(shí)“如果”后接的部分是_____，“那么”后接的部分是_____.例如，命題(1)中，“兩條直線都與第三條直線平行”是_____，“這兩條直線也互相平行”是_____.(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；有些命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯，要經(jīng)過(guò)分析才能找出題設(shè)和結(jié)論，從而將它寫(xiě)成“如果……，那么……”的形式.例如，命題(3)“對(duì)頂角相等”可以寫(xiě)成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”.(2)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；______________________________________________________________________________(4)等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式.______________________________________________________________________________考點(diǎn)解析考點(diǎn)1：命題的定義和結(jié)構(gòu)例1.判斷下列語(yǔ)句是不是命題，如果是，改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并指出它們的題設(shè)和結(jié)論.(1)畫(huà)線段AB=2cm；(2)你喜歡畫(huà)畫(huà)嗎？(3)分?jǐn)?shù)一定是有理數(shù)；(4)同角的補(bǔ)角相等；(5)兩個(gè)銳角余.解：(1)不是命題，因?yàn)闆](méi)有對(duì)事情作出判斷；(2)不是命題，因?yàn)闆](méi)有對(duì)事情作出判斷；(3)是命題.改寫(xiě)：如果一個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)，那么它一定是有理數(shù).題設(shè)：一個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)；結(jié)論：它一定是有理數(shù).(4)是命題.改寫(xiě)：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.題設(shè)：兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等.(5)是命題.改寫(xiě)：如果兩個(gè)角是銳角，那么這兩個(gè)角互余.題設(shè)：兩個(gè)角是銳角；結(jié)論：這兩個(gè)角互余.【遷移應(yīng)用】1.下列語(yǔ)句中，不是命題的是()A.兩點(diǎn)之間，線段最短B.內(nèi)錯(cuò)角都相等C.連接A，B兩點(diǎn)D.平行于同一直線的兩直線平行2.下列語(yǔ)句中，是命題的有（）①兩直線平行，同旁內(nèi)角相等；②π不是有理數(shù)；③若a≠b，則a≠b；④明天會(huì)下雨嗎？⑤在直線AB上取一點(diǎn)A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)3.把“在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式是___________________________________________________________.4.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論：(1)如果∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，那么∠1=∠2；(2)對(duì)頂角相等；(3)兩個(gè)負(fù)數(shù)的和是負(fù)數(shù).解：(1)題設(shè)：∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角；結(jié)論：∠1=∠2.(2)題設(shè)：兩個(gè)角是對(duì)頂角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等.(3)題設(shè)：兩個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)；結(jié)論：這兩個(gè)數(shù)的和是負(fù)數(shù).自學(xué)導(dǎo)航真假命題真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題；

假命題：命題中題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題.(1)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；(2)兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)對(duì)頂角相等；(4)等式兩邊加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式.判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子(反例)，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了.考點(diǎn)解析考點(diǎn)2：真命題和假命題例2.判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題舉出一個(gè)反例.(1)鈍角大于它的補(bǔ)角；(2)互補(bǔ)的兩個(gè)角一個(gè)是鈍角，一個(gè)是銳角；(3)在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；(4)若|??|=|??|，則a=b；(5)若a+b=0，則|??|=|??|.解：(1)是真命題；(2)是假命題.反例：兩個(gè)角都是直角，這兩個(gè)角互補(bǔ)，但不是鈍角和銳角.(3)是真命題；(4)是假命題.反例：當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，|??|=|??|，但a≠b.(5)是真命題.【遷移應(yīng)用】1.下列選項(xiàng)中，可以用來(lái)說(shuō)明命題“若a2>4，則a>2”是假命題的反例是()A.a=-3B.a=-2C.a=2D.a=32.“兩直線被第三條直線所截，同位角相等”是____命題(填“真”或“假”)3.下列命題：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②垂線段最短；③同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線相交，則它們只有一個(gè)交點(diǎn)；④若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等.其中是真命題的是________（填序號(hào)）自學(xué)導(dǎo)航定理、證明如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？我們學(xué)過(guò)的一些圖形的性質(zhì)，都是真命題.其中有些命題是基本事實(shí)(公理)，如“兩點(diǎn)確定一條直線”“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”等.還有一些命題，如“對(duì)頂角相等”“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”等，它們的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫做定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).

在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明.考點(diǎn)解析考點(diǎn)3：定理與證明例3.如圖，AB//CD，∠1=∠2，求證：AF//CG.證明：∵AB//CD(已知)，∴∠EAB=∠ECD(兩直線平行，同位角相等).∵∠1=∠2(已知)，∴∠EAB-∠1=∠ECD-∠2(等式的性質(zhì))，即∠EAF=∠ECG，∴AF∥CG(同位角相等，兩直線平行).【遷移應(yīng)用】1.填空完成推理過(guò)程：如圖，∠1=∠2，求證：∠B=∠BCD.證明：∵∠1=_______，∠1=∠2，∴∠2=_______.∴AB//CD(_______________________).∴∠B=∠BCD(_______________________).2.如圖，已知∠A=∠ADE，∠C=∠E.求證：BE//CD.證明：∵∠A=∠ADE(已知)，∴DE//AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行),∴∠ABE=∠E(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).又∠C=∠E(已知),∴∠ABE=∠C(等量代換),∴BE//CD(同位角相等，兩直線平行).考點(diǎn)4：填寫(xiě)推理過(guò)程和依據(jù)例4.完成下面的證明：如圖，BC//DE，BE，DF分別是∠ABC，∠ADE的平分線.求證：∠1=∠2.證明：∵BC//DE，∴∠ABC=∠ADE(________________________).∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADE的平分線，∴∠3=12∠ABC，∠4=1∴∠3=∠4∴_____∥______(________________________).∴∠1=∠2(________________________).【遷移應(yīng)用】1.完成下面的證明：如圖，AB⊥BC，BC⊥CD，且∠1=∠2.求證：BE//CF證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD，∴________=________=90°(___________)∵∠1=∠2，∴∠ABC-∠1=∠DCB-∠2，即________=_________.∴BE//CF(_________________________).2.請(qǐng)補(bǔ)全證明過(guò)程及推理依據(jù)如圖，D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，若AB//EF，∠DEF=∠B.求證：∠AED=∠C.證明：∵AB//EF，∴_______=∠EFC(________________________).∴∠DEF=∠B，∴∠DEF=∠EFC(__________),∴DE//BC(______________________)，∴∠AED=∠C.考點(diǎn)5：填寫(xiě)推理過(guò)程和依據(jù)例5.如圖，∠ACD是∠ACB的鄰補(bǔ)角，請(qǐng)從下面三個(gè)語(yǔ)句中，選出兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題.①CE//AB；②∠A=∠B；③CE平分∠ACD.(1)由上述條件可構(gòu)造出哪幾個(gè)真命題？按“⊕⊕?⊕”的形式寫(xiě)出來(lái)；(2)選擇(1)中的一個(gè)真命題進(jìn)行證明.解：(1)可構(gòu)造三個(gè)真命題，分別是：命題1：①②?③；命題2：①③?②；命題3：②③?①.(2)選擇命題2：①③?②證明：∵CE//AB，∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.∴∠A=∠B.(答案不唯一)【遷移應(yīng)