不等式的基本性質(zhì)（六大題型）-2023年暑假初三升高一數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（蘇教版2019）（解析版）

專(zhuān)題07不等式的基本性質(zhì)

【題型歸納目錄】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小

實(shí)數(shù)的符號(hào)：

任意xeR,則X>0（x為正數(shù)）、x=0或x<0（x為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.

兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：

①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變

符號(hào)語(yǔ)言：a>O,b>0a+b>0；

a<0,b<0^>a+b<0

②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)

符號(hào)語(yǔ)言：a>0,b>0^>ab>0；

a<0,b<0=>ab>0

③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)

符號(hào)語(yǔ)言：a>0,b<0^>ab<0

④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0

符號(hào)語(yǔ)言：xex2>0,x=0<=>x2=0.

比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：

對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b

?a-b>O<^=>a>b；

@a-b<O<=>a<b；

@a—b=O<=>a=b.

對(duì)于任意實(shí)數(shù)〃、b,a>b,a=b,avb三種關(guān)系有且只有一種成立.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)哼@三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明

不等式與解不等式的主要依據(jù).

知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分

基本性質(zhì)有：

(1)對(duì)稱(chēng)性：a>bob<a

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c

(3)可加性：a>boa+c>b+c(c￡R)

c>。=ac>be

(4)可乘性：a>h,<c=0^>ac=be

c<0=>ac<be

運(yùn)算性質(zhì)有：

(1)可加法則：a>h,c>d=>a+c>b+d.

(2)可乘法則：a>h>0,c>d>0^>a-c>hd>0

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)翰坏仁降男再|(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).

知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法

作差法：

任意兩個(gè)代數(shù)式。、b,可以作差a-h后比較a-6與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較。與〃的大小.

①a-b>Ooa>b；

@a-b<O<=>a<b；

@a—b=O<=>a=b.

作商法:

任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式〃、b,可以作商。+人后比較q與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較〃與b的大小.

?—>1<=>?>Z?；

b

@-<\;

b

③3=1oa=b.

b

中間量法:

若a>6且b>c,則a>c（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.

【典例例題】

題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系

例1.（2023?甘肅酒泉?高一統(tǒng)考期末）鐵路總公司關(guān)于乘車(chē)行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車(chē)組列車(chē)攜帶品的外部

尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm,且體積不超過(guò)720081/,設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別記為“，

b,c（單位：cm）,這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）

A.a+b+c<130§.abc<12000B.a+ft+c>130abc>72000

C.a+0+c4130且欣W72000D.a+b+cN130且曲c272000

【答案】C

【解析】由長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm得a+0+cV130,由體積不超過(guò)72000cm'得/c472000.

故選：C.

例2.（2023?甘肅慶陽(yáng)?高一?？茧A段練習(xí)）在開(kāi)山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，

人跑開(kāi)的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū).為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑

到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）

XXYX

A.4x——<150B.4x——>150C.4x——<150D.4x——>150

0.50.50.50.5

【答案】B

【解析】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為六秒，

人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得4x^2150.

\u.JjUQ

故選：B.

例3.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）鐵路乘車(chē)行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車(chē)組列車(chē)攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之

和不超過(guò)Mem.設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為“、b、c（單位：cm）,這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示

為（）

A.ab+c<MB.a+b+c>MC.a+b+c>MD.a+b+c<M

【答案】A

【解析】長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)Mem,

:.a+b+c<M.

故選：A.

變式1.(2023?高一課時(shí)練習(xí))用不等式表示，某廠最低月生活費(fèi)。不低于300元().

A.?<300B.a>300

C.a>300D.a<300

【答案】B

【解析】依題意：生活費(fèi)a不低于300元，即“2300.

故選：B

題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小

例4.(2023?高一課時(shí)練習(xí))比較大小:

(1)a?+和2(a-6-1)；

h22

(2)—+—a^a+b,其中a<0,/?<0.

ab

【解析】(1)因?yàn)槠?尸一2(4—6—1)=(〃一1)2+。+1)2上0,所以/+/22(。一6—1)；

(2)因?yàn)椤?lt;0,6<0,所以

213333

b+a(a+b\b+aab[a+b)_b+a-ab(a+b)

abababab

b2(b-a)+a?(a-b)(b-a^[b+a)

——?0，

abab

所以一+—<a+b.

ab

例5.(2023?上海浦東新?高一?？茧A段練習(xí))用作差法比較2/+加2與(a+4的大小.

【解析】2a2+2b2-(a+b)2

=2a2+2b2-a2-2ab-b2

=c^—2ab+b'

=(a-b)2

V(a-b)2>0

所以2a2+2b,>(a+b)2.

例6.(2023?內(nèi)蒙古興安盟?高一烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí))(1)比較2/-x與V+x-2的大小;

(2)已知c>a>6>0,求證：-Cl->-.

c-ac-b

【可軍析】(1)2x2-x-^x2+x-2^=x2-2x+2=(x-l)2+1>0,

/.2x2-x>x2+x-2;

aba^c-b^-b^c-a)c(a-b)

(-)c-ac-b(c-a)(c-〃)(c-?)(c-Z?)1

c>a>b>0,

:.c-a>0,c-b>09a-b>0,

ab

...--------------->0,

c-ac-b

即，一>—也，證畢.

c-ac-b

變式2.(2023?湖南郴州?高一?？茧A段練習(xí))設(shè)M=(x+2)(x+3),N=(x+l)(x+4),比較M,N的大小.

【解析】M-N=(X+2)(X+3)-(X+1)(X+4)=(X2+5X+6)-(X2+5X+4)=2>0

：.M>N

題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假

例7.（2023?山東濱州?高一?？茧A段練習(xí)）若。>|切，且6<0,則下列各式中成立的是（）

A.a+b>0B.a+b<0C.a<\b\D.h-a>0

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?gt;例乃<0,所以。>一匕>人，即〃+b>0,a-b>0.

故選：A

例8.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)。，〃滿足則下列不等式正確的是（）

A.a-b>0B.ac<bcC.—>-J-D.|。|<|匕|

ab

【答案】C

【解析】對(duì)于A,因?yàn)椤?lt;匕<0,所以。一。<0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤?lt;人<0,當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)樗詀/?〉。,-->0,所以?！?；<b,即丁<一,即一>:，故CF.確；

abababbaab

對(duì)于D,若a<人<0,顯然有|。1>1切，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

例9.（2023?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期中）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作

為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“/符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不

等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若。力,CER,則下列命題正確的是（）

A.若而00且則

ab

B.若a>b,c>d,JIlJac>bd

C.若a>Z?>0月.cv0,則—>-y

a"b~

D.若a>b,c>d,則a-c>〃一d

【答案】C

【解析】對(duì)A,當(dāng)”=-1,。=1時(shí)，■!■<《，故錯(cuò)誤；

ab

對(duì)B,當(dāng)。=2,〃=1,c=-l,d=-2時(shí)，ac=bd,故錯(cuò)誤；

][cc

對(duì)C,a>b>O:.a2>b2>0^則一T<TT，C<0,則—>不，故C正確；

fa~b~ab~

對(duì)D,當(dāng)。=2,Z?=l,c=0,d=-2,滿足前提。,但此時(shí)a-c=2,b-d=3,a-c<b-d,故錯(cuò)

、口

底.

故選：C.

變式3.（2023?河南周口?高一統(tǒng)考期中）設(shè)mb,。為實(shí)數(shù)，且。<力<0,則下列不等式正確的是（）

ac2<be2

A.—a<-b?-B.

cba一）,

C.D.a">ab>b~

ab

【答案】D

【解析】對(duì)于A,由不等式的性質(zhì)知，當(dāng)。<6<0時(shí)，7<-<0,故A錯(cuò)誤；

ba

對(duì)于B,當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,因?yàn)閍<）<0,所以￡>1且2<1,即故C錯(cuò)誤；

baab

對(duì)于D,因?yàn)閍<b<0,由不等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同乘以。得：a2>以,

等式兩邊同乘以b得：ah>b2,

故">b>從，故D正確.

故選：D.

變式4.（2023?全國(guó)■高一專(zhuān)題練習(xí)）已知a>h,其中外力wR,則下列不等式一定成立的是（）

A.a~>b2B.—a>—bC.\fa>yfbD.同>|目

【答案】C

【解析】對(duì)于A,取a=l,8=-2,滿足。>6,而/=1<4=〃，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因a>b,則一。<一匕，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由不等式的性質(zhì)知，若a>b,則媯>昭，故C正確；

對(duì)于D,取a=l/=-2,滿足“〉b,而|a|=l<2=|6],故D錯(cuò)誤.

故選：C

題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式

例10.(2023?河北石家莊?高一?？计谥?(1)設(shè)a>8>0,比較與巴考的大??；

a+b

(2)已知a>8>0,c<d<0,e<0,求證：?

a-cb-d

【解析】(D“">0,.,.4Z4>0，i>0，

a+ba+b

a2-b2

a2+b2(。+力22ab.a2-b2a-h

a+h

(2)Qc<J<0,.,.一c>一d>0,又a>b>Q,

：,a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又evO,

eee(h-d)-e{a-c)e(h-d-a+c)e(b-a+c-d).

------------------===>0,

a-cb-d(a-c)(b-d)------(a-c)(b-d)------(a-c)(b-d)

ee

------>-------.

a-cb-d

例11.(2023?高一課時(shí)練習(xí))閱讀材料：

(1)若x>y>0,且機(jī)>0,則有2VA

xx+m

(2)若avb,c<d,則有a+c〈人+d.

請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問(wèn)題：

已知a,h,c是三角形的三邊，求證：+一竺+'下<2.

【解析】因?yàn)閍,b,c,是三角形的三邊，則"c>a>0,由材料(1)知，=<:+"=2a

b+cb+c+aa+b+c

同理b旦<一2b^,‘c7<一2c^，由材料(2)得：

a-\-ca+b-\-ca+ba+O+c

abc2a2b2c2(a+b+c)

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

所以原不等式成立.

例12.(2023?河北石家莊?高一?？计谥?⑴比較(x+l)，+>l)與(x+f(f+x+l)的大小.

⑵已知求證：常;

【解析】⑴(X+l)(x2+5+l)-(X+g)(x2+X+l)

…+―一4+-JU。

2[222)

所以(X+1)(X2+—+1)>(X4--)^X2+X+1).

(2)因?yàn)閍>A,>0,所以-->0,所以〃x-->hx--,

ababab

所以?>!，即，

bacib

變式5.(2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?高一統(tǒng)考期中)證明不等式.

(l)hc-ad>09bd>0r求證：“”4；

ba

(2)已知。>b>c>0,求證：一\>—2—>—J.

a-ba-ca-c

【解析】(1)證明：&&Hc+d1生味

bdbdbd

因?yàn)?，bc-ad>0所以，ad-bc<0,

又bd>0,所以，吟包40,

bd

(2)證明：因?yàn)椤?gt;0>c>0,

所以有，-b<—c,0<a-h<a-c,b—c>09

則_±____b/(…卜小叫b(b-c),0

、，a—ba-c(a-c)(a_b)(a-c)(a-b)

bh

即有，成立；

a-ba-c

因?yàn)?，a-c>0,所以，—>0,

a-c

hc

又b>c,所以，，一〉上成立.

a-ca-c

所以，.

a-ba-ca-c

變式6.(2023?廣東江門(mén)?高一?？计谥?(1)已知a>6>0,c<(),求證：->7.

ah

(2)比較3f+4x-3與4%2+5x+5的大小.

【解析】(1)a>b>0,.

又：cv0,—>--.

ab

(2)V(4x2+5x+5)-(3x2+4x-3)=x2+x+8=Lr+^)+》>0

3x2+4x-3<4x2+5x+5.

h+ca+d

變式7.（2023?湖南長(zhǎng)沙?高一?？茧A段練習(xí)）若c<d<0,|^|>|c|,求證：修行.

【解析】證明：因?yàn)閏vdvO,所以一c>一d>0,

又因?yàn)椤?gt;b>0,

所以山同向不等式的相加性可將以上兩式相加得d>0,

所以（a-c）2>（Z?-rf）2>0,

八11

所以°<汨?<西廣

因?yàn)椤?gt;〃，d>c,

所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得a+d>"c.

又網(wǎng)>M,所以z?+c>o,

所以0v力+cva+d

b+ca+d

由不等式的同號(hào)可乘性可得〈江了.

題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小

例13.（多選題）（2023?江蘇揚(yáng)州?高一統(tǒng)考階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a<b<0,則B.若ac?〉/?/,則方

ab

C.若〃〉0〉/?,則〃匕<〃2D.若c>a>b,-a-<-----

c-ac-b

【答案】BC

【解析】對(duì)于A,因?yàn)椤?lt;b<0,所以一。>一6>0,

所以0<—所以工故A錯(cuò)誤；

abab

對(duì)于B,因?yàn)榇危?gt;仇？，所以HO,c2>0?

所以故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)??！担ǎ?gt;〃，所以必<0,/>（）,

所以必〈/,故c正確；

對(duì)于D,取。=5,々=4/=1,滿足c>a>b,

=a4.b11,心…什、口

而——=——=4>—-=—=故D錯(cuò)誤.

c-a5-4c-b5-14

故選：BC.

例14.（多選題）（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)。，b,c滿足。〈匕va,ac<0f那么下列選項(xiàng)中

錯(cuò)誤的是（）

A.ac(a-c)>0B.cb2<ccr

C.ah>acD.

【答案】ABD

【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)〃，b,c滿足cvZ?v〃，ac<0,所以a>0,c<0.

對(duì)于A：因?yàn)?。所以〃—c〉0,因?yàn)楦膙O,所以〃c（a—c）vO,所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若a>b>0,則/>〃，因?yàn)椤?lt;o,所以以2<仍2,所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閍>0f所以所以C正確；

對(duì)于D,因?yàn)槿?lt;。，所以人一?！?,因?yàn)椤?lt;0,所以c（。一a）>0,所以D錯(cuò)誤.

故選：ABD

例15.（多選題）（2023?四川廣安?高一統(tǒng)考期末）下列命題為真命題的是（）

A.ac2>be2,貝lja>bB.若a>b,c>d,則a+c>Z?+d

C.若a>b,c>dy則D.若b>a>0,c>0,則f>,+°

bb+c

【答案】AB

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，&^jac2-be2=c2(a-b)>0,所以/>0且。一人>(),即：*0且。>b,故A項(xiàng)正

確；

對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)可知，若a>b,od,則a+c>力+d正確，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)。=一2,人=一3,c=2,d=l時(shí)，滿足a>b,c>d,但不滿足ac>bd,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

a+c_a(b+c)-b(a+c)_(a-b)c

對(duì)于D項(xiàng),因哈

b+cb(b+c)/?(/?+c)

乂因?yàn)槿?gt;〃>0，c>0,所以。一/?<0,Z?+c>0,

所以器魯即：AM'故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AB.

變式8.（多選題）（2023,河北衡水?高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)〃/為正實(shí)數(shù)，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若〃2一從=],貝ija-bvl

B.若'一,=1,則a—b<l

ha

C.若|6一揚(yáng)卜1,則心一目<1

D.若卜區(qū)邛歸1,^i\a-b\>\\-ab\

【答案】BCD

【解析】對(duì)于A,若〃2一"=1,則（a+A）（a-A）=l>（）,

又。>0,Z?>0,所以一〃>（）,

所以(a-/?)?<(a+6)(a-b)=l,

故0<a-b<l,正確：

對(duì)于B,7—=1,取a=7,b=g則a-%>l,錯(cuò)誤；

ba8

對(duì)于C,J6-囪=1,取a=9,6=4,貝電一4=5>1,錯(cuò)誤；

對(duì)于D,(a-hf-(l-ab)2=a2+b2-l-a2h2=(a2-\)(l-h2)<0,：.\a-b\<\l-ak\,錯(cuò)誤；

故選：BCD.

變式9.(多選題)(2023?廣東廣州?高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)若a,b,c,為實(shí)數(shù)，且則下列命題

正確的是()

A.~<TB.—<—C.a—c<b—cD.ac2<be2

abba

【答案】BCD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)橛刹坏仁叫再|(zhì)可知，7<-,故A錯(cuò)誤；

ba

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?<〃<從由不等式性質(zhì)可知：a2<b2,y<-,故B正確；

ba

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)橛刹坏仁叫再|(zhì)可知，a-c<b-c,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?<a<h,顯然°2之0,由不等式可知，ac2<be2.故D正確.

故選：BCD.

題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍

例16.(2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考)^\-\<a+b<\-\<a-b<\,求2a+3〃的取值范圍

【答案】[一3,3]

【解析】設(shè)2a+3b="a+6)+〃(a—6),則+解得<

1

P=--

故2a+3b=3(a+6)—-(a-b),

由-14<7+641,故一94°(〃+6)4°,

222

山—14a—6Ml,故—4—(a-i>)4一,

222

所以2a+3bw[—3,3].

故答案為：[-3,3].

例17.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若a,夕滿足則a-"的取值范圍是

【答案】（-兀,0]

【解析】因?yàn)橐凰砸粇P<—?

222222

-n<a-p<TI,

Xa-/?<0,

-7i<a—￡V0.

故答案為：（-71,01

例18.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）己知—2<〃+。<4,2<2?！?lt;8,則。+2）的取值范圍為.

【答案】（-6,6）

【解析】令。+2方=〃2（。+人）+〃（2。一人），

則a+2Z?=（m+2〃）a+（m—九）力，

5

m--

pn+2H=13

，解得]

[m-n=2

〃=——

3

.,.a+2人=g(a+/?)-；(2Q-Z7),

—2va+Z?v4,2<2a—b<Sf

_12<5(a+￡,)<20^8^12

33、,333、73

兩不等式相加可得-6<g（“+b）-；（2a-3<6,

即a+2b的取值范圍為（F6）.

故答案為：（d，6）.

變式10.（2023?江西上饒?高一統(tǒng)考期末）若14x43,-2<y<l,則x-y的取值范圍為.

【答案】[0,5]

【解析】由-24y41n-14-y42,而14x43,所以有04x-y45,

因此》一了的取值范圍為[0,5],

故答案為：[0,5]

變式⑵23?內(nèi)蒙古包頭?高二包頭中學(xué)?？计谀┤?。<8,4小6,則吁的取值范圍是

【答案】

【解析】4<y<6,故卜;<；，則一；<彳<4,

7147

又2cx<8,故1￡;<x—<—.

4y6

故答案沏（譚）

變式12.（2023?吉林白城?高一?？计谀┮阎?lWa<3,\<b<2,則2”一人的范圍是.

【答案】[-4,5]

【解析】〃￡1,3]=>2〃且―2,6],bG—bG[—2,—1J

2a—/?e4,5]

故答案為：M,5]

變式13.（2023?河南?高一校聯(lián)考期中）已知實(shí)數(shù)x,y滿足-344x-y43,2<2x+y<9,則5x+y的范圍

為.

【答案】|」5

1

m=—

4m+2〃=52

［解析］設(shè)5x+y=/n(4x_y)+M(2%+y),則?，解得

—m+〃=13

〃二-

2

13

/.5x+y=-(4x-y)+-(2x+y)

313

-3<4x-y<3,J一一<-(4x-y)<-,

327

2W2x+yW9,3—(2x+y)W

3

/.—<5x+y<15.

3

故答案為：于15

變式14.（2023?江蘇淮安?高一江蘇省洪澤中學(xué)校聯(lián)考期中）若14x43,-2<y41,則x-|y|的取值范圍為

【答案】（—1,3]

【解析】因?yàn)?2<y41,所以04M<2,則—2<一僅區(qū)0,

又因?yàn)?4x43,所以T<X-343,

故x—|y|的取值范圍為（T,3].

故答案為：

變式15.（2023?江蘇鹽城?高一統(tǒng)考期中）已知0<c<],則〃的取值范圍是

【答案】（一冗,0）

【解析】0<tz<p^<p<n,

c71

：.-Tt<fj—

-7T"CCX.一0<C0,

即a-/7的取值范圍是（F,0）

故答案為：（-兀,0）

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?重慶?高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足。>6,c<0,則（）

A.ac>beB.ac<beC,a+c<b+c

【答案】B

【解析】因?yàn)閏<0,所以ac<Ac,故A錯(cuò)誤，B正確：

根據(jù)不等式可加性知a+c>b+c，故C錯(cuò)誤.

故選：B

2.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下表是某次運(yùn)動(dòng)會(huì)三種球類(lèi)比賽的門(mén)票價(jià)格，某球迷賽前準(zhǔn)備用1200元預(yù)訂15

張這三種球類(lèi)比賽的各種門(mén)票，其中籃球比賽與乒乓球比賽的門(mén)票張數(shù)相同，且籃球比賽門(mén)票的費(fèi)用不超

過(guò)足球比賽門(mén)票的費(fèi)用.則可預(yù)訂的足球比賽門(mén)票的張數(shù)為（）

比賽項(xiàng)目足球籃球乒乓球

門(mén)票價(jià)格（元）1008060

A.5B.6C.9D.10

【答案】A

【解析】設(shè)籃球比賽的門(mén)票數(shù)為x,足球比賽的門(mén)票數(shù)為九

2x+y=152x+y=15

80x<100y4x<5y

由題設(shè)有：①，故，

x,ywN*X,JGN*

80x+100)?+60A-<12007x+5y<60

2(15-y)45y

故7”、「々、即當(dāng)"45結(jié)合y為整數(shù)，故y=5,

-(15->>)+5>,<607

.2

此時(shí)x=5,檢驗(yàn)符合不等式組①，

故選：A.

3.（2023?上海徐匯?高一位育中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)則下列不等式一定成立的是（）

b

A1B.c.-+->2D-

-r2ab

【答案】B

【解析】當(dāng)"=時(shí)’戶，故A錯(cuò)誤;

2,2

因?yàn)棰僖?2=/+〃-2必>0,所以"〈土土匕，故B成立;

2

當(dāng)。=1,〃=-1時(shí)，3*2不成立,故C錯(cuò)誤；

ab

當(dāng)當(dāng)a=2,6=-l時(shí)，故D錯(cuò)誤.

ab

故選：B

4.（2023?寧夏銀川?高一銀川唐往回民中學(xué)?？计谀┫铝忻}為真命題的是（）

A.若a>b,則々/>從2B.若々>6,則

ab

C.若av/?v0,則D.若a</?<0,貝Uab〉/

【答案】C

【解析】對(duì)于A：當(dāng)c=0時(shí)，tzc2=bc2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)。=2,b=l時(shí)，a>。，但故B錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于C：,a<bybvO,ab>b2故C正確；

對(duì)-卜D：a<b,a<0,a2>ab，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

5.（2023?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知xeR,那么"0<x<2”是/>1”的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

312I

【解析】取x=；,滿足0<x<2,但±=[<1,推不出上>1：

2x3x

當(dāng)時(shí)，則Ovxvl,則必有0cx<2成立，

X

故"0<xv2"是/>1”的必要不充分條件,

x

故選：B

6.（2023?湖南郴州?高一?？茧A段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)。，。，c下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.若a>b>c,a+b+c=O,則B.若a>l,貝?。菀弧?lt;一1

C.若avb<o,則，D.若a>b,—>7,貝lJ"vO

abab

【答案】B

【解析】當(dāng)a>b>c,。+力+c=O時(shí)，有。>0,由匕,c得。/?>公，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；

當(dāng)時(shí)，則有-，>-1,故B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；

aa

當(dāng)。<8<0,有">0,則=<二，KPy<-,C選項(xiàng)說(shuō)法正確；

ababba

當(dāng)a>b,時(shí)，W--7=-7->0,由b-a<0則a/?<0,D選項(xiàng)說(shuō)法正確；

ababab

故選：B.

7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知a,6wR+,且/一^=1,則（）

A.a-b<0B.a-b<]C.a4-b4<1D.y[a->Jb>\

【答案】B

【解析】對(duì)于A：因?yàn)?2_/=1>0,故/>〃，

又因?yàn)閍>0,b>0,所以。>力，從而。-6>0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由題意可知，a2-b2=（a-b）（a+b）=l,

因?yàn)閍>b>4,所以。-6=-—]<a+b,

a+b

故（a+6）2>I,BPa+b>\,從而a-b=―!—<l,故B正確，

a+b

對(duì)于C：因?yàn)閍?一從=i,所以/印+從，

所以/=1+/+/=1+2/?2>1,故c錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋ㄓ沂唬ㄋ?1尸=。一/>-1-2后<0,

所以y<6+1,即孤-筋<i,故D錯(cuò)誤.

故選：B.

8.（2023?山東濰坊?高一統(tǒng)考期末）若a<b,cwR,則下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.ac>bc

C.D.a3<b3

~a<Tb

【答案】D

【解析】對(duì)于A,當(dāng)。=0<8=1,則合〈從，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤?lt;匕，當(dāng)c>0時(shí)，可得：ac<bc,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,作差：1-1=^,因?yàn)椤?lt;人所以6-4>（）,但"的符號(hào)無(wú)法判斷，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤:

abab

對(duì)于D,因?yàn)閍<〃，由不等式的性質(zhì)可得：a3<b\故選項(xiàng)D正確,

故選：D.

多選題

9.（2023?高一單元測(cè)試）下列命題中真命題的是（）

A.ua>b>0”是>片”的充分條件

B.“a>b”是的充要條件

C.“a>b”是“同>|中的充分條件

22

D.“a>b”是“ac<he”的必要條件

【答案】AB

【解析】當(dāng)a>6>0時(shí)a?〉/,A選項(xiàng)正確；

a>。時(shí)有3a>36,3a>36時(shí)有a>b,B選項(xiàng)正確；

當(dāng)a=l,A=—2時(shí)，滿足a>。，但同<同，故C選項(xiàng)不正確；

“"與ac'濟(jì)沒(méi)有關(guān)系，不能相互推出，因此D選項(xiàng)不正確.

故選：AB.

10.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.x=ynf=y2B.x2=y2=>x=y

C.x>l=>x2>lD.x2>1=>X>1

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,由*=丫，兩邊平方可得f=y2,故正確；

對(duì)于B,當(dāng)X=y=-1,滿足V=y2,但不滿足》=兒故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由x>l,由不等式的性質(zhì)兩邊平方可得r>1,故正確；

對(duì)于D,當(dāng)x=-2時(shí)，滿足但不滿足x>l,故錯(cuò)誤.

故選：BD.

II.（2023?貴州黔東南?高一統(tǒng)考期末）若a>8>0,d>c>0,則下列不等式成立的是（）

A.ac>bcB.a-d>b-c——>——D.y/a>4b

adbe

【答案】AD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)閍>6>0,c>0,故。。>火，故A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，取〃=d,b=c,^\a-d=h-c,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)閍>Z?>0,d>c>0,故ad>Z?c>0,得」

adbe

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閍>6>0,故筋，故D正確.

故選：AD.

12.（2023?吉林遼源?高一校聯(lián)考期末）下列命題中正確的是（）

A.若〃02>歷2,則〃B.若標(biāo)>按,則4>人

若a>h>0則

C.92c0+2D.若；芬則〃泌

aa+2

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,若7c2,又〃>0,則。>b,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于B,若a=-2,b=l,滿足〃2>/落但是〃<從故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

bb+2b(a+2)-40+2)2[b-a)<0,即2<空，故選項(xiàng)c

又寸于C,若。>b>0,則。一。<0,所以—

a(a+2)a(a+2)aa+2

正確；

對(duì)于D,若。=一2,b=\,滿足Lvl，但是“6,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

ab

故選：AC.

三、填空題

13.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)寫(xiě)出“。>方”的一個(gè)充要條件：.

【答案】〃卜2+1）>。卜2+1）（答案不唯一）

【解析】由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)閊+1>0,貝心>。0”卜2+1）>。卜2+1）,

所以：。卜2+1）>81+1）是“a>b”的一個(gè)充要條件.

故答案為：“1+1）>2（/+1）（答案不唯一）.

14.（2023?湖南?高一湖南省東安縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）如果a>6,c>",那么a-4b-c

（填“>”或“<”）.

【答案】>

【解析】因?yàn)閍>b,c>d,則-d>-c,

根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，a-d>b-c.

故答案為：>.

15.（2023?上海虹口?高一上外附中?？茧A段練習(xí)）己知命題：①若a<》<0,則“2>〃；②若！>1,則

a

a<1；③若l<a<2且0<bv3,則—2<a—6<2.其中真命題的序號(hào)是

【答案】①②③

【解析】①若->1,則”<0,則。（。-1）<0,貝U0<?<1,因此①正確；

aa

②若a<b<Q,則一。>一6>0.則/因此②正確;

③：0<b<3,.\-3<-b<0,又\<a<2,:.-2<a-b<2,因此③正確.

故答案為：①②③

16.（2023?浙江杭州?高一校聯(lián)考期中）實(shí)數(shù)x,y滿足-l<x-y<2,]<3x+y<4,那么x—2y的取值范

圍是

1113

【答案】()

44

［解析］令%=*一^，M=3x+y,則》=空，y=^^,

44

由已知可得一1<相<2,1<〃<4,

71

則x-2y=—m——n,

444424~4

1113

故答案為：(—^―).

44

四、解答題

17.(2023?廣東佛山?高一佛山市南海區(qū)南海執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí))(1)已知x，ywR,求證：

x2+2y2>2xy-^2y-1.

(2)已知—2<aK3,lKZ?<2,求代數(shù)式?+人和2。一36的取值范圍.

【解析】(1)丁+2/-(2盯+2y—l)=(d—2盯+y2)+(/-2y+l)