2025屆新高考數(shù)學(xué)精準沖刺復(fù)習基本初等函數(shù)

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準沖刺復(fù)習基本初等函數(shù)

考點梳理考情回顧高考預(yù)測函數(shù)的奇偶性2023新高考Ⅱ卷第4題2021新高考Ⅰ卷第13題1.基本初等函數(shù)：重點考查

函數(shù)的圖象和性質(zhì)（單調(diào)

性、奇偶性、最值等）.2.抽象函數(shù)：重點考查抽象

函數(shù)的圖象和性質(zhì)（對稱

性、周期性等）.函數(shù)的單調(diào)性

與最值2023新高考Ⅰ卷第4題2022新高考Ⅰ卷第7題2021新高考Ⅰ卷第15題抽象函數(shù)的性

質(zhì)2023新高考Ⅰ卷第11題2022新高考Ⅰ卷第12題2022新高考Ⅱ卷第8題2021新高考Ⅱ卷第8題

1.（2023·新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

（

x

－

a

）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)

遞減，則實數(shù)

a

的取值范圍是（

D

）A.（－∞，－2]B.[－2，0）C.（0，2]D.[2，＋∞）D2.（2023·天津卷）函數(shù)

f

（

x

）的圖象如圖所示，則函數(shù)

f

（

x

）的解析

式可能為（

D

）D3.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)

f

（

x

）的定義域為R，且

f

（

xy

）＝

y

2

f

（

x

）＋

x

2

f

（

y

），則下列結(jié)論正確的是（

ABC

）A.f（0）＝0B.f（1）＝0C.函數(shù)f（x）是偶函數(shù)D.x＝0為函數(shù)f（x）的極小值點ABC

1.函數(shù)的奇偶性（1）

定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則有①

f

（

x

）是偶函數(shù)?

f

（－

x

）＝

f

（

x

）＝

f

（｜

x

｜）；②

f

（

x

）是奇函數(shù)?

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.（2）

判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法（如“奇函數(shù)×奇

函數(shù)”是偶函數(shù)）.2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.

4.函數(shù)的周期性（1）

若函數(shù)

f

（

x

）滿足

f

（

x

＋

a

）＝

f

（

x

－

a

）或

f

（

x

＋2

a

）＝

f

（

x

），則函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的周期為2｜

a

｜.（2）

雙對稱出周期：若函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于直線

x

＝

a

和直線

x

＝

b

對稱，或函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于點（

a

，0）和點（

b

，0）對稱，則

2｜

b

－

a

｜是函數(shù)

f

（

x

）的一個周期；若函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于點

（

a

，0）和直線

x

＝

b

對稱，則4｜

b

－

a

｜是函數(shù)

f

（

x

）的一個周期.

AABCD

ABCDD解：令

f

（

x

）＝2

x

2－e｜

x

｜，

x

∈[－2，2]，則易知函數(shù)

f

（

x

）是偶函

數(shù).又

f

（2）＝8－e2∈（0，1），所以可排除A，B.當

x

＞0時，

f

（

x

）

＝2

x

2－e

x

，則f'（

x

）＝4

x

－e

x

.因為f'（0）＝－1＜0，f'（1）＝4－e＞

0，所以存在

x

0∈（0，1）使f'（

x

）＝0.所以函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（0，

1）上一定不單調(diào).故排除C.故選D.總結(jié)提煉

（1）

根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖象，一般要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，如奇

偶性、單調(diào)性、對稱性等，并結(jié)合特殊的點排除一些錯誤選項，對于

一些較復(fù)雜的函數(shù)，有時還得通過求導(dǎo)等判斷函數(shù)的圖象規(guī)律；根據(jù)

函數(shù)的圖象選擇函數(shù)解析式，由函數(shù)圖象的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項

排除即可得解.（2）

排除法常與特例法、數(shù)形結(jié)合法聯(lián)合使用，在選擇題的求解中更

有效；極限法（極端值法）是一種基本而重要的數(shù)學(xué)方法，通過考查

問題的極端狀態(tài)，靈活借助極限思想解題，往往可以避開抽象復(fù)雜的

運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度.[對點訓(xùn)練]（2022·全國乙卷）如圖所示為下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[－3，3]上的大致圖象，則該函數(shù)是（

A

）A123456789101112131415161718192021222324

A.－2B.－1C.0D.1B

A.（1，＋∞）D.（－∞，1）B

總結(jié)提煉

函數(shù)性質(zhì)的內(nèi)容豐富，聯(lián)系密切，既有整體性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶

性、周期性，也有局部性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用廣泛，

方程、不等式、最值等高考熱點內(nèi)容都與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)，求解時要研

究函數(shù)各性質(zhì)間的相互聯(lián)系，對性質(zhì)進行整合應(yīng)用，常常需要利用數(shù)

形結(jié)合、分類討論等思想方法.

B

A.函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（0，1）對稱B.函數(shù)g（x）的圖象沒有對稱中心C.對任意的x∈[－a，a]（a＞0），函數(shù)F（x）的最大值與最小值之和

為4ACD解：根據(jù)題意，得函數(shù)

f

（

x

）的定義域為R.因為

f

（

x

）＋

f

（－

x

）

＝lg100＝2，所以函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于點（0，1）對稱.故A正確.根

據(jù)題意，得函數(shù)

g

（

x

）的定義域為R.因為

g

（

x

）＋

g

（－

x

）＝2，

所以函數(shù)

g

（

x

）的圖象關(guān)于點（0，1）對稱.故B錯誤.因為

F

（

x

）＝

f

（

x

）＋

g

（

x

），所以函數(shù)

F

（

x

）的定義域為R.

熱點2

抽象函數(shù)[典例設(shè)計]例3（1）

若定義在R上的奇函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞

減，且

f

（2）＝0，則滿足（2

x

－1）

f

（

x

＋1）≥0的

x

的取值范圍是

（

C

）B.（－∞，－3]∪[1，＋∞）C（2）

已知函數(shù)

f

（

x

）的定義域為R，

f

（

x

－1）是偶函數(shù)，

f

（

x

＋2）

是奇函數(shù)，則

f

（2022）等于（

D

）A.f（1）B.f（2）C.f（3）D.f（4）D[對點訓(xùn)練]4.（多選）（2023·蘇北四市一模）設(shè)函數(shù)

f

（

x

）的定義域為R，

f

（2

x

＋1）是奇函數(shù)，

f

（

x

＋2）是偶函數(shù)，且當

x

∈[0，1]時，

f

（

x

）＝

ax

＋

b

.若

f

（0）＋

f

（3）＝－1，則下列結(jié)論正確的是（

AC

）A.b＝－2B.f（2023）＝－1C.函數(shù)f（x）為偶函數(shù)AC

5.已知函數(shù)

f

（

x

），

g

（

x

）都是定義域為R的函數(shù)，函數(shù)

g

（

x

－1）

為奇函數(shù)，

f

（1＋

x

）－

g

（

x

）＝0，

f

（3－

x

）－

g

（－2－

x

）＝0，

則

f

（2）等于（

B

）A.－1B.0C.1D.2解：因為函數(shù)

g

（

x

－1）為奇函數(shù)，所以函數(shù)

g

（

x

）的圖象關(guān)于點

（－1，0）對稱.所以

g

（

x

）＋

g

（－2－

x

）＝0.又

f

（3－

x

）－

g

（－2－

x

）＝0，所以

f

（3－

x

）＋

g

（

x

）＝0.又

f

（1＋

x

）－

g

（

x

）＝0，所以

f

（1＋

x

）＋

f

（3－

x

）＝0.令

x

＝1，得

f

（2）＋

f

（2）＝0.所以

f

（2）＝0.故選B.B[典例設(shè)計]例4（1）

已知定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）對一切實數(shù)

x

，

y

都滿足

f

（

x

）≠0，且

f

（

x

＋

y

）＝

f

（

x

）·

f

（

y

）.若函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（0，

＋∞）上的值域為（0，1），則函數(shù)

f

（

x

）的值域是（

C

）A.RB.（0，1）C.（0，＋∞）D.（0，1）∪（1，＋∞）C解：因為定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）對一切實數(shù)

x

，

y

都滿足

f

（

x

）≠0，

且

f

（

x

＋

y

）＝

f

（

x

）·

f

（

y

），所以令

x

＝

y

＝0，可得

f

（0）＝

f

（0）·

f

（0）.又

f

（

x

）≠0，所以

f

（0）＝1.再令

y

＝－

x

，可得

f

（0）

＝

f

（

x

）·

f

（－

x

）＝1.又函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（0，＋∞）上的值域為

（0，1），所以函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（－∞，0）上的值域為（1，＋

∞）.所以函數(shù)

f

（

x

）在R上的值域是（0，＋∞）.故選C.（2）

（2022·新高考Ⅱ卷）若函數(shù)

f

（

x

）的定義域為R，且

f

（

x

＋

y

）

＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）

f

（

y

），

f

（1）＝1，則

等于（

A

）A.－3B.－2C.0D.1A

解：因為

f

（

x

＋

y

）＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）

f

（

y

），所以令

x

＝1，

y

＝0，可得2

f

（1）＝

f

（1）

f

（0）.又

f

（1）＝1，所以

f

（0）＝2.令

x

＝0，可得

f

（

y

）＋

f

（－

y

）＝2

f

（

y

），即

f

（

y

）＝

f

（－

y

）.又函

數(shù)

f

（

x

）的定義域為R，所以函數(shù)

f

（

x

）為偶函數(shù).令

y

＝1，得

f

（

x

＋

1）＋

f

（

x

－1）＝

f

（

x

）

f

（1）＝

f

（

x

）.所以

f

（

x

＋2）＋

f

（

x

）＝

f

（

x

＋1）.所以

f

（

x

＋2）＝－

f

（

x

－1）.所以

f

（

x

－1）＝－

f

（

x

－

4）.所以

f

（

x

＋2）＝

f

（

x

－4），即

f

（

x

）＝

f

（

x

＋6）.所以函數(shù)

f

（

x

）的一個周期為6.因為

f

（2）＝

f

（1）－

f

（0）＝1－2＝－1，

f

（3）＝

f

（2）－

f

（1）＝－1－1＝－2，

f

（4）＝

f

（－2）＝

f

（2）＝－1，

f

（5）＝

f

（－1）＝

f

（1）＝1，

f

（6）＝

f

（0）＝2，所以一個周期內(nèi)的

f

（1）＋

f

（2）＋…＋

f

（6）＝

0.因為22÷6＝3……4，所以

＝

f

（19）＋

f

（20）＋

f

（21）

＋

f

（22）＝

f

（1）＋

f

（2）＋

f

（3）＋

f

（4）＝1－1－2－1＝－3.故

選A.[對點訓(xùn)練]6.若函數(shù)

f

（

x

）的定義域為Z，且

f

（

x

＋

y

）＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）[

f

（

y

）＋

f

（－

y

）]，

f

（－1）＝0，

f

（0）＝

f

（2）＝1，則曲線

y

＝｜

f

（

x

）｜與

y

＝log2｜

x

｜的交點個數(shù)為（

B

）A.2B.3C.4D.5B解：因為函數(shù)

f

（

x

）的定義域為Z，且

f

（

x

＋

y

）＋

f

（

x

－

y

）＝

f

（

x

）·[

f

（

y

）＋

f

（－

y

）]，

f

（－1）＝0，

f

（0）＝

f

（2）＝1，所

以令

y

＝1，則

f

（

x

＋1）＋

f

（

x

－1）＝

f

（

x

）·[

f

（1）＋

f

（－1）]

＝

f

（

x

）

f

（1）.令

x

＝1