廣西壯族自治區(qū)玉林市水鳴中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣西壯族自治區(qū)玉林市水鳴中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.5名運(yùn)動(dòng)員爭奪3項(xiàng)比賽冠軍（每項(xiàng)比賽無并列冠軍），獲得冠軍的可能種數(shù)為（） A．35 B． C． D．53參考答案：D【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 【專題】排列組合． 【分析】每個(gè)冠軍的情況都有5種，共計(jì)3個(gè)冠軍，故分3步完成，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，運(yùn)算求得結(jié)果． 【解答】解：每一項(xiàng)冠軍的情況都有5種，故5名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是53， 故選：D． 【點(diǎn)評】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 2.圓和圓的位置關(guān)系是

相離

相交

外切

內(nèi)切參考答案：B3.已知兩數(shù)列{}，{}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且數(shù)列{}為等差數(shù)列，數(shù)列{}為等比

數(shù)列，若a1=b1，a19=b19，則a10與b10的大小關(guān)系為

(A)al0≤b10

(B)a10≥b10

(c)a10=b10

(D)a10與b10大小不確定參考答案：B4.在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(

)A.10

B.11

C.12

D.15參考答案：B略5.(2x－)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()A．－672

B．672

C．－288

D．288參考答案：B試題分析：Tr＋1＝(2x)9－r(－)r＝(－1)r29－r·x9－r－，令9－r－＝0，得r＝6.∴常數(shù)項(xiàng)為23＝8＝672.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理6.如圖，已知一個(gè)八面體各棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，則下列命題中不正確的是（）A．不平行的兩條棱所在直線所成的角為60°或90°B．四邊形AECF為正方形C．點(diǎn)A到平面BCE的距離為D．該八面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上參考答案：C【考點(diǎn)】MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】由已知求出圖中任意兩棱所成角的大小判斷A、B正確；再由等積法求出點(diǎn)A到平面BCE的距離說明C錯(cuò)誤；由ABCD為正方形，AECF為正方形，且兩正方形邊長相等，中心都為AC的中點(diǎn)說明D正確．【解答】解：∵八面體的各條棱長均為1，四邊形ABCD為正方形，∴在四棱錐E﹣ABCD中，相鄰兩條側(cè)棱所成的角為60°，∵AE=CE=1，AC=，滿足AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，同理AF⊥CF，則四邊形AECF是正方形．再由異面直線所成角概念可知，圖中每一條棱與和其異面的棱所成角為60°．故A、B正確；設(shè)點(diǎn)A到平面BCE的距離h，由VE﹣ABCD=2VA﹣BCE，得×1×1×=2××，解得h=，∴點(diǎn)A到平面BCE的距離為，故C錯(cuò)誤；由ABCD為正方形，AECF為正方形，且兩正方形邊長相等，中心都為AC的中點(diǎn)，∴該八面體的頂點(diǎn)在以AC中點(diǎn)為球心，以為半徑的球面上，故D正確．∴不正確的命題是C．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查立體幾何中線線關(guān)系以及線面關(guān)系，利用了等積法求點(diǎn)到平面的距離，是中檔題．7.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式，求得所求導(dǎo)函數(shù)【詳解】由于，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.8.10．已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.(－1,0)∪(0,1)

B.(－∞,－1)∪(1,+∞)

C.(－1,0)∪(1,+∞)

D.(－∞,－1)∪(0,1)參考答案：A9.已知點(diǎn)和圓一束光線從點(diǎn)經(jīng)軸反射到圓周上的最短路程是

參考答案：D10.在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：48101212356由表中數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，則(4,1)，(m,2)，(8,3)這三個(gè)樣本點(diǎn)中落在回歸直線下方的有(

)個(gè)A．1

B．2

C.3

D．0參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則異面直線與AD所成角的余弦值是________.參考答案：12.函數(shù)的的最小值是

.參考答案：13.設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為_______．參考答案：414.某電腦用戶計(jì)劃用不超過500元的資金購買單價(jià)分別為60元，70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據(jù)需要軟件至少買3件，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有___________種.參考答案：6略15.在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C．現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為

（寫最簡分?jǐn)?shù)）參考答案：【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】設(shè)AC=x，則0＜x＜12，若矩形面積為小于32，則x＞8或x＜4，從而利用幾何概型概率計(jì)算公式，所求概率為長度之比【解答】解：設(shè)AC=x，則BC=12﹣x，0＜x＜12若矩形面積S=x（12﹣x）＜32，則x＞8或x＜4即將線段AB三等分，當(dāng)C位于首段和尾段時(shí)，矩形面積小于32，故該矩形面積小于32cm2的概率為P==故答案為：16.已知且

為偶函數(shù)，則

參考答案：-617.直線的斜率為

.參考答案：2將直線方程整理為斜截式即：，據(jù)此可得直線的斜率為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)．（1）若，求a的值及曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在區(qū)間[0,2]上的最大值．參考答案：、解：∵

∴

……1分（1）∵

∴

……2分

∴

……3分

∴

……4分

∴

……5分

∴切點(diǎn)為，切線的斜率

……6分

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即

……7分

綜上述：，切線方程為

……8分（2）∵由（1）知∴易知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上為增函數(shù)

……10分∴函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最大值

……12分略19.（12分）如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn)；

(1)求

(2)求

(3)

(4)求CB1與平面A1ABB1所成的角的余弦值.參考答案：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴|

|=.（2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.（3）證明：依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.略20.在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的兩邊對x求導(dǎo)，得（﹣sin2x）?2=4cosx（﹣sinx），化簡后得等式sin2x=2cosxsinx．（1）利用上述方法，試由等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），①證明：n[（1+x）n﹣1﹣1]=kxk﹣1；②求C101+2C102+3C103+…+10C1010．（2）對于正整數(shù)n≥3，求（﹣1）kk（k+1）Cnk．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）①對二項(xiàng)式定理的展開式兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，移項(xiàng)得到恒等式；②對①，令x=1，n=10，由恒等式計(jì)算即可得到所求值；（2）對①中的x賦值﹣1，整理得到恒等式（﹣1）kk=0；對二項(xiàng)式的定理的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，再對得到的等式對x兩邊求導(dǎo)數(shù)，給x賦值﹣1化簡可得（﹣1）kk2=0，相加即可得到所求（﹣1）kk（k+1）Cnk．【解答】解：（1）①證明：等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+…+Cnn﹣1xn﹣1+Cnnxn（x∈R，正整數(shù)n≥2），兩邊對x求導(dǎo)，可得n（1+x）n﹣1=Cn1+2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，即有n[（1+x）n﹣1﹣1]=2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1=kxk﹣1；②由①令x=1可得，n（2n﹣1﹣1）=k，可得，C101+2C102+3C103+…+10C1010=10+10（29﹣1）=5120；（2）在①式中，令x=﹣1，可得n[（1﹣1）n﹣1﹣1]=k（﹣1）k﹣1，整理得（﹣1）k﹣1k=0，所以（﹣1）kk=0；由n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3，兩邊對x求導(dǎo)，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3?2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3?2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2即k（k﹣1）（﹣1）k﹣2=0，亦即（k2﹣k）（﹣1）k=0，又（﹣1）kk=0，兩式相加可得，（﹣1）kk2=0，綜上可得，（﹣1）kk（k+1）Cnk=（﹣1）kk2+（﹣1）kk=0．21.在程序語言中，下列符號(hào)分別表示什么運(yùn)算

*；＼；∧；SQR（）；ABS（）？參考答案：乘、除、乘方、求平方根、絕對值22.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB=5，AC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）證明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進(jìn)一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由已知求得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個(gè)法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，求出|cosθ|．則二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，則EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，則EF⊥BD，∴EF⊥DH，則EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==