山東省日照市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試卷與參考答案

山東省日照市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、單項(xiàng)選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，然后利用交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)榧?，又，所以，故選：.2.設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則A. B.C. D.【答案】A【分析】先化簡(jiǎn)，然后用復(fù)數(shù)相等的條件，列方程組求解．【詳解】由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故選A．3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求解分式不等式，然后根據(jù)兩者的關(guān)系判斷是什么條件.【詳解】由可得，，即，可等價(jià)變形為：，即或，顯然“或”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知是兩條不重合的直線，是兩個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.若，，則【答案】C【分析】對(duì)于A項(xiàng)，過直線找一個(gè)平面與平面相交，設(shè)交線為，按照此途徑解決.對(duì)于B項(xiàng)，討論直線與平面的位置關(guān)系.對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)，作直線，按照此途徑解決對(duì)于C項(xiàng)，分和當(dāng)時(shí)兩種情況證明.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，過直線找一個(gè)平面與平面相交，設(shè)交線為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又因?yàn)?，所以，所以，故A不正確.對(duì)于B項(xiàng)，若，，則或，故B不正確.對(duì)于D項(xiàng)，若，設(shè)，作直線，則，，故D不正確.對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椴⑶宜?，或者；?dāng)時(shí)，又因?yàn)楦鶕?jù)面面垂直得判定定理可得，當(dāng)時(shí)，過作平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得：又因?yàn)樗?，又因?yàn)?，所以，綜上若，則，所以C正確.故選：C5.若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，利用斜率成積等于-1，求出曲線y=lnx在點(diǎn)P處的切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入可解.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與曲線y=lnx在點(diǎn)P處的切線垂直，所以曲線y=lnx在點(diǎn)P處的切線的斜率.而y=lnx的導(dǎo)數(shù)，所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以切點(diǎn).故選：D6.我們要檢測(cè)視力時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)視力表中有兩列數(shù)據(jù)，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，如圖所示(已隱去數(shù)據(jù))，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：小數(shù)記錄0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分記錄4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（）(附：)A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8【答案】B【分析】通過表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證，可得選模型①更合適，然后令解出的值即為答案.【詳解】由數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，兩個(gè)都符合，但當(dāng)時(shí)，由，得，與表中的數(shù)據(jù)符合，而，與表中的數(shù)據(jù)不符合，所以選擇模型更合適，此時(shí)令，則，所以.故選：B.7.安排4名小學(xué)生參與社區(qū)志愿服務(wù)活動(dòng)，有4項(xiàng)工作可以參與，每人參與1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至多安排2名小學(xué)生，則不同的安排方式有（）A.168種 B.180種 C.192種 D.204種【答案】D【分析】考慮4名學(xué)生的工作方式：每名小學(xué)生參與不同的工作，有2名小學(xué)生參與相同的工作，4名小學(xué)生兩兩分組分別計(jì)算即可【詳解】分3種情況：①每名小學(xué)生參與不同的工作，則有種安排方式；②有2名小學(xué)生參與相同的工作，則有種安排方式；③4名小學(xué)生兩兩分組，則有種安排方式；所以總的安排方式有種；故選:D.8.已知、分別為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)得出，根據(jù)雙曲線的定義得出，再然后根據(jù)得出以及，根據(jù)得出，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線中，通過化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為雙曲線的下焦點(diǎn)，為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn),因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即，且，所以，，故，，因?yàn)?，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡(jiǎn)得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.二、多項(xiàng)選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選）對(duì)于拋物線上，下列描述正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為 B.開口向上，焦點(diǎn)為C.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 D.準(zhǔn)線方程為【答案】AC【分析】寫出標(biāo)準(zhǔn)形式即，即可得到相關(guān)結(jié)論【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為．故選：AC10.已知數(shù)列滿足，則（）A.≥2 B.是遞增數(shù)列C.{-4}是遞增數(shù)列 D.【答案】ABD【分析】根據(jù)所給的遞推公式，結(jié)合選項(xiàng)構(gòu)造對(duì)應(yīng)的表達(dá)式推導(dǎo)即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，故為遞增數(shù)列，且，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，為遞增數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由，由題意，，即可知不是遞增數(shù)列；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，?故選：ABD11.雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)，距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙扭線C．已知點(diǎn)是雙扭線C上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（）A.雙扭線C關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱；B.；C.雙扭線C上滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)；D.的最大值為．【答案】ABD【分析】對(duì)A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)稱點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；對(duì)B，根據(jù)的面積范圍證明；對(duì)C，若，則在y軸上，代入軌跡方程求解；對(duì)D，根據(jù)余弦定理分析中的邊長(zhǎng)關(guān)系，進(jìn)而利用三角形的關(guān)系證明即可.【詳解】對(duì)A，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意可得的軌跡方程為把關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)代入軌跡方程，顯然成立；對(duì)B，因?yàn)?，故．又，所以，即，故．故B正確；對(duì)C，若，則在的中垂線即y軸上．故此時(shí)，代入，可得，即，僅有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，故，，因?yàn)椋?，故．即，所以．又，?dāng)且僅當(dāng)，，共線時(shí)取等號(hào)．故，即，解得，故D正確．故選：ABD.12.已知三棱錐的棱長(zhǎng)均為，其內(nèi)有個(gè)小球，球與三棱錐的四個(gè)面都相切，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個(gè)面和球都相切（，且），球的表面積為，體積為，則（）A. B.C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AD【分析】根據(jù)題意求出三棱錐內(nèi)切球和球的半徑，找出半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知三棱錐的內(nèi)切球的球心在高上，如圖1所示，由正三角形中心的性質(zhì)可得：，則，設(shè)球的半徑為，則利用等體積法：，即，解得：，所以球體積，故選項(xiàng)正確；如圖2所示：易知，，.設(shè)球與平面切于點(diǎn)，球的半徑為，連接，則，所以，即，所以，則，所以，如此類推，.所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由可得，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選項(xiàng)正確；故選：.三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則的值為______．【答案】1【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，令，根據(jù)常數(shù)項(xiàng)的值可列等式，求得的值.【詳解】由題意可得二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則，解得，故答案為：114.已知向量夾角為，且，，則______．【答案】【分析】由，再根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)?故答案為：15.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為和，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，所以，又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.16.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且存在唯一的，使得．則公比的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)可得范圍及韋達(dá)定理的結(jié)論，由可進(jìn)一步確定；由可知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，分析可知當(dāng)，符合題意，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，，解得：，，，，解得：，；不滿足，則存在唯一的，使得，，，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，即；若，則均不滿足，不合題意；，又唯一，則，，解得：，即公比取值范圍為.故答案為：.四、解答題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，求的最小值及取得最小值時(shí)的x的取值集合.【答案】（1）（2）﹣1；【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再結(jié)合的單調(diào)性即可求得的單調(diào)增區(qū)間；（2）先利用三角函數(shù)的圖像變換得到的解析式，再結(jié)合的性質(zhì)即可求得的最小值及取得最小值時(shí)的x的取值集合.【小問1詳解】因?yàn)椋?，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】將函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得函數(shù)圖象向下平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，所以，故當(dāng)，即時(shí)，，即取得最小值，所以的最小值為，此時(shí)x的取值集合為.18.如圖，長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，將矩形沿折痕翻折，使得兩點(diǎn)均落于邊上的點(diǎn)，若.（1）當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形寬的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形寬的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)利用二倍角公式求出，再用余弦定理結(jié)合面積公式即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合面積公式表示出即可討論最值.【小問1詳解】依題意,在△中,,,,的長(zhǎng)度即為△的邊上的高,當(dāng)時(shí)，,所以，設(shè)，①由余弦定理得,得,，,②.【小問2詳解】在中，，①，②.19.如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，，是側(cè)面上一點(diǎn)．（1）過點(diǎn)作一個(gè)截面，使得與都與平行．作出與四棱錐表面的交線，并證明；（2）設(shè)，其中．若與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）答案和證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分別在幾何體表面作出與平行的直線即可求解；（2）根據(jù)表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面的法向量，從而表示得與平面所成角的正弦值，解方程求解.【小問1詳解】過點(diǎn)作的平行線，分別交于點(diǎn)，過作的平行線，交于點(diǎn)，過作的平行線交于點(diǎn)，則截面為所求截面，證明如下：因?yàn)榻孛?截面,所以截面,因截面,截面,所以截面.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，為軸建系如圖，則所以，所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，所以令，所以，設(shè)與平面所成角為，則，整理得，解得（舍），.20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，且.（1）若，求的值；（2）若，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.【答案】（1）1（2）證明過程見解析，前項(xiàng)和為【分析】（1）令得到，結(jié)合得到，利用求出；（2）得到，累乘法得到，當(dāng)時(shí)，，相減后得到，得到數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，利用，求出，寫出和的通項(xiàng)公式，合并得到，利用定義法證明出數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其前項(xiàng)和.【小問1詳解】中令得：，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以，因?yàn)椋?，即，解得：；【小?詳解】，即，所以，，，……，，以上式子相乘得：，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，所以，，故?shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，，所以，所以，，故，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到時(shí)，數(shù)列往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別求出通項(xiàng)公式，最后再檢驗(yàn)?zāi)懿荒芎喜橐粋€(gè)，這類題目的處理思路可分別令和，用累加法進(jìn)行求解.21.設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓圓心在原點(diǎn)，半徑為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，試說明直線與圓的位置關(guān)系，并證明.【答案】（1），橢圓的方程為；（2）直線與圓相切，證明見解析.【分析】(1)由題意可得，設(shè)，由，可得，代入橢圓方程得，從而可得，再由即可求得橢圓的方程；(2)先證明直線與圓相切，分直線的斜率存在與不存在兩種情況分別證明；當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，只要求出點(diǎn)到直線的距離即可；直線的斜率不存在時(shí)，只要求出直線的方程為或即可；從而可得直線與圓相切；同理可證線與圓相切.【小問1詳解】解：由題意可得，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，代入橢圓方程得：，所以，所以，因數(shù)，即，所以，又因?yàn)椋?，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】解：直線與圓相切.證明：因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，，所以，設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，