2024屆湖南省新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意專項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如簡改動，用橡皮擦干靜后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的11．設(shè)復(fù)數(shù)z1i，則復(fù)數(shù)z（其中z表示z的共軛復(fù)數(shù)）表示的點在（）上zA．x軸B．y軸C．yxD．yx2．已知角和，則“”是“tantan”的（）A．充分不必要條件C．充要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件3．已知圓錐的底面圓半徑為3，側(cè)面展開圖是一個半圓面，則該圓錐的體積為（）4πA．12πB．9πC．πD．3x2y22π4．已知雙曲線1b0的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為6b6（）A．2B．2C．6D．325．一對夫妻帶著3個小孩和一個老人，手拉著手圍成一圈跳舞，3個小孩不相鄰的站法種數(shù)是（A．6B．12C．18D．36）6．已知遞增的等比數(shù)列a，10，公比為q，且a，a，a成等差數(shù)列，則q的值為（）．B．C．D．2222137．已知平面內(nèi)的三個單位向量a，b，c，且ab，ac，則bc（）221233A．0B．C．D．或0228．設(shè)方程2xx1的兩根為x1，xxx，則（）22121A．0x1，x2B．112x2C．0xx1D．xx31212二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．下列說法正確的是（A．若事件A和事件B互斥，PABB．數(shù)據(jù)4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位數(shù)為8）PAPBC．若隨機變量服從N17,2，P17180.4，則P180.1D．已知y關(guān)于x的回歸直線方程為?0.30.7x，則樣本點3的殘差為1.910．設(shè)函數(shù)fx，gx的定義域都為R，且fx是奇函數(shù)，gx是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．fxgx是奇函數(shù)B．fxgx是偶函數(shù)fxx3x21，則fg1C．若gx上單調(diào)遞減且f1D．若函數(shù)fx在,1，則滿足1fx21的x的取值范圍是1,311．已知體積為2的四棱錐PABCD，底面ABCD是菱形，AB2，PA3，則下列說法正確的是（）πA．若PA平面ABCD，則BAD為6B．過點P作PO平面ABCD，若AOBD，則BDPCC．PA與底面ABCD所成角的最小值為6D．若點P僅在平面ABCD的一側(cè)，且ABAD，則P點軌跡長度為3三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分12．已知關(guān)于x的不等式ax10的解集為M，2M且1M，則實數(shù)a的取值范圍是______．13．已知拋物線y2x的弦AB的中點的橫坐標為2，則弦AB的最大值為______．2sin114．已知cos，cos1，則coscos______，______．322sinsin四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟1513分）cosB1在如圖所示的△ABC中，有（1）求B的大??；sinB0．2π（2）直線BC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)與AB的延長線交于點D，若△ABC為銳角三角形，AB2，求6長度的取值范圍．1615分）x22y22已知橢圓W:1ab0的右頂點為A，左焦點為F，橢圓W上的點到F的最大距離是短半軸長ab3的3倍，且橢圓W過點．記坐標原點為O，圓E過O、A兩點且與直線x6相交于兩個不同的點2P，Q（P，Q在第一象限，且P在QPQOA，直線QA與橢圓W相交于另一個點B．（1）求橢圓W的方程；（2）求QOB的面積．1715分）如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB4，CD2，BC2，PCPD3，平面PCD平面ABCD，PDBC．（1）證明：BC平面PCD；（2）若點Q是線段PC的中點，M是直線AQ上的一點，N是直線PD上的一點，是否存在點M，N使得259MN?請說明理由．1817分）已知函數(shù)fxxlnx的導(dǎo)數(shù)為fx．（1）若fxkx1恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；3（2）函數(shù)fx的圖象上是否存在三個不同的點Ax,y，Bx,y，Cx,y（其中1x23且11223x，x，xAC的斜率等于fx?請說明理由．12321917分）2023年10月11日，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團隊成功構(gòu)建255個光子的量子計算機原型機“九章三號，求解高斯玻色取樣數(shù)學(xué)問題比目前全球是快的超級計算機快一億億倍．相較傳統(tǒng)計算機的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進行計算的．現(xiàn)假設(shè)某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0，上旋表示“1，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立．現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦佥斎氲诙肋壿嬮T后，粒子的自旋狀態(tài)有p的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為X．1（1）若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為2，且p，求兩個粒子通過第一道邏輯門后3上旋粒子個數(shù)為2的概率；nnnN*種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為p，1（2）若一條信息有p，…，p，則稱Hfp（其中fxxx）為這條信息的信息熵．試fpfp2n12n2求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為X的信息熵H；（3）將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復(fù)輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ樱O(shè)停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為Y（Y1，2，3，?，n，?n無限增大時，Y的數(shù)學(xué)期望趨近于一個常數(shù)．參考公式：0q1時，qn，nq0．0nnn2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案題號答案1234567891011CDCABADCBCDACDBCD一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分111i331ii，所以對應(yīng)的點,在直線yx上．2233221．C【解析】zz2．D【解析】當時，tan，tan沒有意義，所以由推不出tantan，2當tantan時，kπkZ，所以由tantan推不出，故“”是“tantan”的既不充分也不必要條件．3．C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓面，則2rπ，所以l2r，2r2r，所以圓錐的高圓錐的體積為hl112Vr2hπ333π．33x2y22ππ34．A【解析】因為雙曲線所以該漸近線的方程為y1b0的一條漸近線的傾斜角為，tan，6b66323b23x，所以，363解得b2或2c22，此雙曲線的右焦點坐標為22,0，3220到一條漸近線3x3y0的距離為2．2233A33A2212．5．B【解析】6．A【解析】由題意知aa2a，即3aaq2q2，又數(shù)列an遞增，10，所以q1，且14311151q32q2，解得q．27．D【解析】如圖，aOA，cOC，bOB（或bOD33π由ac得cosCOA，所以COA，又COAπ，22611π由ab得cosBOA，又BOAπ，所以BOA，2231π（或cosDOA，又DOAπ，所以DOA）23，所以bcππ3所以b，c夾角為或或0．622x128．C【解析】由題意得，0xx，由2x1得log2x2x0，121x21211312令fx0，f10，log2xx0，則f10，f212441212由ff10，ff20得1,1，x1,2，故A錯；21x21x212x212121由xx0得xx，22212221121x21x1由x,1，x1,2得xx0，所以0xx1，故C對，B錯，122212222211由x,1，x1,2，所以xx3，D錯誤．1122二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分9．BCD【解析】對于A，若事件A和事件B互斥，PAB0，未必有PABPAPB，A錯；對于B，對數(shù)據(jù)從小到大重新排序，即：2，4，5，6，7，8，10，12，共8個數(shù)字，由870%5.6，得這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第6個數(shù)8，B正確；對于C，因為變量服從N17,2，且P17180.4，則18P18P17P170.50.40.1，故C正確；對于D，由?0.30.7x，得樣本點3的殘差為30.30.721.9，故D正確；故選BCD．xgx，因為fx是奇函數(shù)，gx是偶10．ACD【解析】令Fxfxgx，則Fxf函數(shù)，所以fxfx，gxgx，所以FxfxgxFx，所以Fxfxgx是奇函數(shù)，A正確；Fx，所以Fx是奇函同樣，令Fxfxgx，則Fxfxgxfxgx數(shù)，B錯誤；令x1代入gxfxx3x21，則g1f113211，又gg，f1，所以g1f11，C正確；f1因為fx為奇函數(shù)，又f11，所以f1，上單調(diào)遞減，要使1fx21成立，則1x21，所以1x3，D正由于fx在,確．11411．BCD【解析】PABCDShABADsinBADhhsinBAD2，則當PA平面3331ππABCD時，hPA3，則sinBAD，即BAD為或，A錯誤；266如圖1，若PO平面ABCD，則POBD，又AOBD，則BD平面PAO，有BDPA，又BDAC，所以BD平面PAC，BDPC，B正確；11設(shè)PA與底面ABCD所成角為，又PABCDShSABCDPA2，ABCD33212則，因為SABCDBAD4，則，SABCDπ則PA與底面ABCD所成角的最小值為，C正確；6133如圖2，當ABAD，根據(jù)PABCDSABCDh2，得h，即P點到底面ABCD的距離為，過A3223233點作底面ABCD的垂線為l，過點P作POl交l于點O，則POAP2AO32，2233點P的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，軌跡長度為3π，D正確．2三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分2a1112．,11【解析】2M且1M，所以a1所以a1．2213．5【解析】方法一：當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x2，代入y2，所以AB4；2y2x得y2或當直線AB的斜率存在時，顯然不為零，設(shè)直線AB的方程為ykxb，y22x消y并整理得k2x22kb2xb0，2代入2kb2xx,122k4kb0時有設(shè)Ax,y，Bx,y，判別式1122b2xx,12k22kb2因為弦AB的中點的橫坐標為2，所以4，所以kb12k2，k24kb16k224AB1k2xx1k21k2，212kk1111k2所以AB214145，k2k2k2112314即k2時取到等號，當且僅當k2k2故弦AB的最大值為5．方法二：設(shè)拋物線的焦點為F，則ABAFBF，112又AFBFxxxx1，12122當弦AB的中點的橫坐標為2時，有xx4，所以AB5，12當直線過焦點F時取到等號，故弦AB的最大值為5．122314．（任意填對一空給3分）131313【解析】由cos得2cos21，則cos2，2212由coscos1得2cos1，則，22223所以，222coscoscossin23222．sinsincos222四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟cosB1B1151）方法一：由sinB0得sinB，兩邊同時平方可得：22B11sin2B，由sin2B2B1整理得2cos2BB10，解得cosB或cosB1，22π又Bπ，則B．3cosB1BBBsinB0，則20，方法二：2222BB12Bππ得0或sin，又Bπ，則，B．22263π2πππ（2）由（1）得ABC，則CBD，由題可知BCD，則D，3366設(shè)BCa，則BDBCa，由余弦定理有CD2BC2BD22BCBDcosCBD，所以CDa，BCAB由正弦定理有，sinAsinACB3sinACBACBAsinACBACBsinACBsinACB3所以a1，tanACBπ0ACB,2ππ因為△ABC為銳角三角形，則得ACB，π620A,231所以tanACB,，則3，3tanACB3所以CDa33,43，tanACB即的取值范圍為3,43．a(chǎn)2c,161）依題有acb，又a2b2c2，所以，bcx2y2所以橢圓W的方程為1，4c2c232119又點在橢圓W上，所以1，24c2c4解得c1，x2y2所以橢圓W的方程為1．43（2）設(shè)PyP，Qy，yPQ0，O0,0，A2,0，Q因為PQOA，所以yy2，①PQyy圓E過點O與A且與直線x6相交于兩個不同的點P，Q，則圓心E的坐標為PQ，2yPQ2yPQ2又EOEP，所以解得yy24，②12612，22PQ（另法一：設(shè)直線x6與x軸交于點G，則有GAGOGQGP，又GA4，GO6，所以yy24，②PQyPyQ另法二：由OAPQ知，61，yy10，②）PQ2由①②解得y6，y4，PQ401，所以Q6,4，kM62所以直線QA的方程為yx2，與橢圓方程聯(lián)立消去y得7x216x40，2解得B點的橫坐標xB，724027QB112xx26，所以QB7211又O到直線QA的距離d2，211402407所以QOB的面積SQBd2．227171）如圖，取的中點O，因為PCPD3，則POCD，因為平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，PO平面PCD，所以PO平面ABCD，又BC平面ABCD，所以POBC，又BCPD，PO平面PCD，PD平面PCD，PDPOP，所以BC平面PCD．（2）因為PCPD3，O為的中點，OC1，所以POPC2OC22，2過點O作OE∥BC交AB于點E，則由BC平面PCD可得BC，則以O(shè)為原點，OE，OC，OP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，12則O0,0,0，A3,0，Q,2，D，P0,0,22，7所以AQ,2，DP22，AD2,0，237xy,nAQ2xy2z2設(shè)與AQ，DP都重直的向量為nx,y,z，則2得2nDPy22zzy,4令y4，則n6,4,2，設(shè)直線AQ與直線DP的距離為d，ADn1282625則dADcosAD,n，3616299n25則不存在點M和N使得MN．9181）fxkx1恒成立即xlnxkx1恒成立，1又x0，所以lnxk恒成立，x111x12今gxlnxx0，所以gx，xxxx2當0x1時，gx0，函數(shù)gx單調(diào)遞減，當x1時，gx0，函數(shù)gx單調(diào)遞增，所以當x1時，gx取到極小值也是最小值，且g11，所以k1，故實數(shù)k的取值范圍為,1．（2）x，x，x成等比數(shù)列且xxx，設(shè)公比為qq1，則x1，3qx，212312321fxxlnx求導(dǎo)得fx1lnx，所以fx21lnx21lnqlnx，12lnqln1y31xxxxq2ln1直線AC的斜率為3311，3131q21若存在不同的三點A，B，C，使直線AC的斜率等于fx2，ln12lnqln1q2則有1lnqlnx1，q21qq211整理成lnq0．2x22xx221114x令hxlnx0，2x1，則hxx2x2xx2