人教A數(shù)學(xué)必修二教案3.2.3 直線的一般式方程

3.2.3直線的一般式方程

(-)教學(xué)目標(biāo)

.1.知識(shí)與技能

.(1)明確直線方程一般式的形式特征；

.(2)會(huì)把直線方程的一般式化為斜截式，進(jìn)而求斜率和截距;

.(3)會(huì)把直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式化為一般式.

2.過(guò)程與方法

.學(xué)會(huì)用分類討論的思想方法解決問(wèn)題.

.3.情態(tài)與價(jià)值觀

.(1)認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化：

.(2)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題.

.(二)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.重點(diǎn)：直線方程的一般式；

.2.難點(diǎn)：對(duì)直線方程一般式的理解與應(yīng)用.

(三)教學(xué)設(shè)想

,教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

教師引導(dǎo)學(xué)生用分類討論的方

法思考探究問(wèn)題(1),即直線存在斜

率和直線不存在斜率時(shí)求出的直線

方程是否都為二元一次方程.對(duì)于

問(wèn)題(2),教師引導(dǎo)學(xué)生理解要判斷

某一個(gè)方程是否表示一條直線，只需

看這個(gè)方程是否可以轉(zhuǎn)化為直線方

程的某種形式.為此要對(duì)B分類討

1.(1)平面直角坐標(biāo)系中論，即當(dāng)BW0時(shí)和當(dāng)3=0時(shí)兩種

的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于情形進(jìn)行變形.然后由學(xué)生去變形使學(xué)生

引入課題X,y的二元一次方程表示嗎？判斷，得出結(jié)論：理解直線和

,形成概念(2)每一個(gè)關(guān)于x,y的二.關(guān)于x,y的二元一次方程，它二元一次方

元一次方程Ax+By+C=O(A,B都表示一條直線.程的關(guān)系.

不同時(shí)為0)都表示一條直線嗎？.教師概括指出：由于任何一條

直線都可以用一個(gè)關(guān)于x,y的二元

一次方程表示；同時(shí)，任何一個(gè)關(guān)

于x,y的二元一次方程都表示一條

直線.

.我們把關(guān)于x,y的二元一次方

程Ar+By+C=0(A,8不同為0)叫

做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式

(generalform).

2.直線方程的一般式與其他學(xué)生通過(guò)相比、討論，發(fā)現(xiàn)直使學(xué)生

概念深化幾種形式的直線方程相比，它有線方程的一般式與其他形式的直線理解直線方

什么優(yōu)點(diǎn)？方程的一個(gè)不同點(diǎn)是：直線的一般程的一般式

2

式方程能夠表示平面上的所有直的與其他形

線，而點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方式的不同點(diǎn).

程，都不能表示與X軸垂直的直線.

3.在方程Ax+By+C=0使學(xué)生

中，A,B,C為何值時(shí)，方程表教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)過(guò)理解二元一

示的直線的與x軸平行和重合,與y軸平行和次方程的系

(1)平行于x軸；(2)平重合的直線方程的形式.然后由學(xué)數(shù)和常數(shù)項(xiàng)

行于y軸；(3)與x軸重合；(4)生自主探索得到問(wèn)題的答案.對(duì)直線的位

與y重合.置的影響.

學(xué)生獨(dú)立完成.然后教師檢查、使學(xué)生

4.例5評(píng)價(jià)、反饋.指出：對(duì)于直線方程的體會(huì)把直線

已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,-4),一般式，一般作如下約定：一般按方程的點(diǎn)斜

斜率為-3,求直線的點(diǎn)斜式和一含X項(xiàng)、含〉項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；式轉(zhuǎn)化為一

3x項(xiàng)的系數(shù)為正；x,y的系數(shù)和常數(shù)般式，把握直

般式方程.項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無(wú)特殊要求時(shí)，線方程一般

求直線方程的結(jié)果寫(xiě)成一般式.式的特點(diǎn).

先由學(xué)生思考解答，并讓一個(gè)使學(xué)生

學(xué)生上黑板板書(shū).然后教師引導(dǎo)學(xué)體會(huì)直線方

生歸納出由直線方程的一般式，求程的一般式

直線的斜率和截距的方法：把一般化為斜截式，

式轉(zhuǎn)化為斜截式可求出直線的斜率和已知直線

的和直線在y軸上的截距.求直線方程的一般

與X軸的截距，即求直線與X軸交點(diǎn)式求直線的

的橫坐標(biāo)，為此可在方程中令y=0,斜率和截距

應(yīng)用舉例解出X值,即為與直線與X軸的截距.的方法.

.在直角坐標(biāo)系中畫(huà)直線時(shí)，通

常找出直線下兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn).

5.例6例6解：將直線/的一般式方

.把直線/的一般式方程x-程化成斜截式y(tǒng)=；x+3.

2y+6=0化成斜截式，求出直

線/的斜率以及它在x軸與y軸,因此，直線/的斜率Z=,，它

上的截距，并畫(huà)出圖形.2

在y軸上的截距是3.在直線/的方

程x-2y+6=0中，令y=0,得工=

-6,

.即直線/在x軸上的截距是-6.

由上面可得直線/與x軸、y軸

的交點(diǎn)分別為4(-6,0),8(0,3),

過(guò)點(diǎn)A,B作直線，就得直線/

的圖形.

3

-4-2O\x

使學(xué)生

進(jìn)一步理解

6.二元一次方程的每一個(gè)解二元一次方

與坐標(biāo)平面中點(diǎn)的有什么關(guān)系？學(xué)生閱讀教材第105頁(yè)，從中程與直線的

直線與二元一次方程的解之間有獲得對(duì)問(wèn)題的理解.關(guān)系，體會(huì)直

什么關(guān)系？角坐標(biāo)系把

直線與方程

聯(lián)系起來(lái).

7.課堂練習(xí)鞏固所學(xué)

學(xué)生獨(dú)立完成，教師檢查、評(píng)價(jià).

第105練習(xí)第2題和第3(2)知識(shí)和方法.

(1)請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出直線方程常見(jiàn)

的幾種形式，并說(shuō)明它們之間的關(guān)

系.使學(xué)生

(2)比較各種直線方程的形式對(duì)直線方程

歸納總結(jié)8.小結(jié)特點(diǎn)和適用范圍.的理解有一

(3)求直線方程應(yīng)具有多少個(gè)個(gè)整體的認(rèn)

條件？識(shí).

(4)學(xué)習(xí)本節(jié)用到了哪些數(shù)學(xué)

思想方法？

布置作業(yè)鞏固課

課后作業(yè)見(jiàn)習(xí)案3.2的第3課時(shí).學(xué)生課后獨(dú)立思考完成.堂上所學(xué)的

知識(shí)和方法.

備選例題

例1已知直線加v+〃y+12=0在x軸，y軸上的截距分另II是一3和4,求m,n.

解法一：將方程，姓+〃丫+12=0化為截距式得：啖+4=1,

mn

m=4

因此有彳，解之得:

士=4n=-3

n

解法二：由截距意義知，直線經(jīng)過(guò)A(-3,0)和8(0,4)兩點(diǎn)，

“士」

因此有＜1"2?:(-3)一+〃?0c+12c=0所“以1！m=4r

[機(jī)?0+〃?4+12=0[〃=一3

例2已知A(2,2)和直線/：3x+4)，-20=0求：

(1)過(guò)點(diǎn)A和直線/平行的直線方程；(2)過(guò)點(diǎn)A和直線/垂直的直線方程

【解析】(1)將與/平行的直線方程設(shè)為3x+4y+G=0,又過(guò)A(2,2),

所以3X2