2023-2024學(xué)年上海市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(三)(含解析)

2023-2024學(xué)年上海市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、填空題

1.直線/過點2）且傾斜角為則直線/的方程為.

【正確答案】x=l

【詳解】?.?直線/過點P（l,2）且傾斜角為

二直線/的方程為

故x=l

2.若C：°=C：,則的值為.

【正確答案】20

【分析】通過已知得出〃的值，即可利用公式計算得出答案.

【詳解】c：=c，

n\_n\

10!（n-10）!-9!（n-9）!（即1。=〃-9,

/.H=19,

故20.

3.已知一個圓錐的底面積為TT,側(cè)面積為2兀，則該圓錐的體積為.

【正確答案】叵

3

利用圓的面積公式和圓錐側(cè)面積公式可得到方程組，解方程組求出圓錐的底面半徑和圓錐的

母線長，再利用勾股定理求出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式求出體積即可.

兀r1=TCI7*=1

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長分別為一，兒/，則，.解得7）所以力=6.

7irl=24U=2

圓錐的體積v=gsh=畫.

33

故叵

3

考查了圓錐的側(cè)面積公式和圓錐體積公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.

4.某校從高一新生中隨機抽取了一個容量為20的身高樣本，數(shù)據(jù)從小到大排序如下（單位:

cm）：152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,

170,171.x,176,178,若樣本數(shù)據(jù)的85百分位數(shù)是173,則x的值為.

【正確答案】175

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的意義求解.

【詳解】第85百分位數(shù)是173,因為20x0.85=17,所以空^=173,x=175

故175

5.已知直線/的一個方向向量為，：(1,2,-1),平面a的一個法向量為優(yōu)(5,x,3),若///a,

則實數(shù).

【正確答案】-1

【分析】通過己知得出即可利用垂直向量的數(shù)量積為零列式求解.

【詳解】〃/a,

八Z

dJ.〃，

=5+2%-3=0，

解得x=-l,

故答案為.-1

6.如圖，已知正三棱柱48C-44G的底面邊長為1cm,高為5cm,一質(zhì)點自A點出發(fā)，

沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達4點的最短路線的長為.

【正確答案】而

【分析】曲面最值問題一般都化曲為平，變成兩點間線段最短.

如圖將正三棱柱側(cè)面展開2次，可知曲面上的最小值即為對角線=必備=標

故如

7.設(shè)有4位志愿者隨機選擇到四個不同的核酸檢測點進行服務(wù)，每個檢測點可接納多位志

愿者，則四個核酸檢測點都有志愿者到位的概率是.(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)

3

【正確答案】—

32

【分析】先根據(jù)分步乘法原理得4位志愿者到核酸點位的可能性和四個核酸檢測點都有志愿

者的情況，再根據(jù)古典概型公式求解即可.

【詳解】由題知，4位志愿者到核酸點位的可能性共有"=4x4x4x4=256種，

其中四個核酸檢測點都有志愿者到位的共有加=A：=24種，

所以四個核酸檢測點都有志愿者到位的概率是P='=9.

n25632

故答案,為.以3

8.平面直角坐標系內(nèi)，點/(1,2)、8(6』4)到直線/的距離分別為4和9,則滿足條件的直線

/有條.

【正確答案】3

【分析】動直線和點的距離不變，可理解為直線是圓的切線，從而利用兩圓的位置關(guān)系得出

兩圓公切線的條數(shù)，即是直線/的條數(shù).

【詳解】由已知可把直線/看成是以4(1,2)為圓心，4為半徑的圓的切線，

同時是以8(6,14)為圓心，9為半徑的圓的切線，

由于兩圓圓心距|第=J(6-l)2+(14-2)2=13=4+9,所以兩圓相外切，

根據(jù)外切的兩圓的公切線有3條可知，滿足條件的直線/有3條.

故3.

9.我們知道：C：=CW+C3,相當于從兩個不同的角度考察組合數(shù)：①從〃個不同的元

素中選出m個元素并成一組的選法種數(shù)是C"②對"個元素中的某個元素A,若A必選，

有種選法，若A不選，有C3種選法，兩者結(jié)果相同，從而得到上述等式，試根據(jù)上述

思想化簡下列式子：

2

C°C；；+Ci，C?''+C^C?'++CfC：M=（l<A<w<H,wsneN）.

【正確答案】C，

【分析】根據(jù)題意，分某4（14左<〃?《〃,〃?、〃eN）個元素中選取個數(shù)為0,1,2,3,，女討論求解

即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，從〃+%個不同元素中選出m個元素并成一組的選法種數(shù)是C：；.,

若對其中的某k（\<k<m<n,mjtGN）個元素分別選或不選，

則%（14后〈加4〃,〃?、”eN）個元素一個都沒有選，有C：C：種選法；

有一個元素被選取，有C：C丁種選法；

有兩個元素被選取，有C；C；2種選法；

有三個元素被選取，有種選法；

有左個元素被選取，有種選法；

所以C；“=C：C：+C；C：i+C；C：2++C：C：*,（14%<切《〃,〃?、〃eN）,

故答案為.C，

10.已知/（X1,必）、8（工2，%）為圓/：f+y2=4上的兩點，且xtx2+必為=-2,設(shè)尸（/,乙）為

弦4B的中點，則|3%+4%-10|的最大值為.

【正確答案】15

【分析】由%七+必為=-2可知N/〃B=120。，則|網(wǎng)=1,可得P點軌跡為圓.

又|3x（）+4%-10|=田'5,求出圓上一點到直線3x+4y-10=0距離的最大值即可.

【詳解】注意到牘1=（占,"）山8=區(qū),8）,

則玉%2+M%=MA-MB=\^1A“必81cosZAMB=-2,又畫=畫=

則Z4W5=120°,又由垂徑定理可知，ZAMP=60°,貝U|網(wǎng)=2cos60°=1.

故尸點軌跡是以M為圓心，半徑為1的圓.

注意到|3/+”0—]0]」3%；4y°：10[§,表示尸到直線3x+4y-10=0距離的5倍，又圓上

一點到力+”-1。=。距離的最大值為：X|-10|+I,

則|3x0+4%-10|的最大值為15.

故15

y-

3x+4y-10=Z

11.在直三棱柱/8C-44G中，AB=BC=AC=a,例=6,若該三棱柱的六個頂點都

在同一個球面上，且4+6=2,則該球的表面積的最小值為.

【正確答案】苧

如圖所示：。…a分別為△//￡和48c的中心，易知球心。為。&中點，—

7

S=4乃

n士〒，得到答案.

【詳解】如圖所示：g,。2分別為△44G和4BC的中心，易知球心。為OQ中點，

在必△/0。2中：AO.=—a，00?=g,故R=J4+上，

當a1,6=g時等號成立.

本題考查了三棱柱的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.

12.如圖，正方體的棱長為1,P為的中點，”在側(cè)面上，若

D.M±CP,則叢BCM面積的最小值為.

【分析】取的中點N,4。的中點。，連接D\Q,QN,B、N,AC,容易證得“1平面

D、QNB,,要使CPYD.M,進而得MwB、N,進而得當BM，8戶時，BM最小，此時,叢BCM

的面積最小，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.

【詳解】如圖，取48的中點N,的中點。，連接D\Q,QN,B,N,4c.

由于C尸在面內(nèi)的射影為/C,QNrAC,故。N1CP

因為CP在面內(nèi)的射影為。P,D.Q1DP,所以0QJ.CP.

又D、QcQN=Q,所以CPJ.平面DiQNB、.

要使CP1D.M,必須點M在平面DQNB、內(nèi),

又點M在側(cè)面AA\B[B內(nèi),

所以點M在平面RQNB、與平面AA^B的交線上，即“eB、N.

因為。，平面488圈，8Mu平面N88/,所以CB18M,

所以SBCM=；XCB*BM

當時，8M最小，此時，△5CW的面積最小.

又BB\=1,BN=g,故B、N=&

212

,x1亞

由Rt8RN的面積可得/=丁,

T

所以s=Lix亞=逝

2510

V5

故

10

關(guān)鍵點點睛：本題考查空間線面垂直的證明，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意尋求”的軌跡，即

M—進而根據(jù)幾何關(guān)系求解，考查空間想象能力，運算求解能力，是中檔題.

二、單選題

13.“團=2是"直線2x+my+l=0與直線加x+2y-l=0平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【正確答案】D

根據(jù)兩條直線平行的條件以及充要條件的定義可得答案.

【詳解】因為直線2x+〃"+l=0與直線mx+2y-l=0平行等價于2x2-m2=0且

2x（—1）—m0,即泄=2,

所以"=2是"直線2x+wy+l=0與直線機x+2k1=0平行”的充要條件.

故選：D

結(jié)論點睛：本題考查充要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：

（1）若P是4的必要不充分條件，則4對應(yīng)集合是P對應(yīng)集合的真子集；

（2）。是q的充分不必要條件，則p對應(yīng)集合是4對應(yīng)集合的真子集；

（3）。是q的充分必要條件，則p對應(yīng)集合與4對應(yīng)集合相等；

（4）。是q的既不充分又不必要條件，1對的集合與p對應(yīng)集合互不包含.

14.設(shè)A,B是兩個事件，以下說法正確的是（）

A.若P（/）+P（8）=l,則事件A與事件8對立

B.若一（Z）+P（8）=l,則事件A與事件B互斥

C.若P（/B）=P（A）+P（B）,則事件A與事件B互斥

D.若P（/c8）=P（/）P（8）,則事件A與事件B相互獨立

【正確答案】D

【分析】由互斥事件，對立事件，相互獨立事件的定義求解即可

【詳解】對于A,B：例如拋擲一枚均勻的骰子，

記事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B為“出現(xiàn)1點或2點或3點”，

則P（/）=0.5,尸（8）=0.5,P（4）+P（B）=1,

但事件A,8既不互斥也不對立，故A,B錯誤；

對于C：在不同的試驗下，即使尸（/5）=尸（/）+尸（8）,也不能說明事件A與事件8一定

互斥，故C錯誤；

對于D：根據(jù)相互獨立事件的定義可知：

若尸（ZC8）=P（/）尸（8）,則事件A與事件8相互獨立，故D正確;

故選：D

15.記S”為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和.已知％=-4,%=；，則數(shù)列｛，｝（）

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項D.有最大項，有最小項

【正確答案】D

【分析】求出公比q,求出s.，然后分析｛s“｝的性質(zhì)即可.

【詳解】設(shè)公比為/則+[，4=-；，

當〃為偶數(shù)時，$“=一|]-卻對應(yīng)函數(shù)為減函數(shù)，即S2>S4>S6>

當”為奇數(shù)時，S“=-|（l+￡），對應(yīng)函數(shù)為增函數(shù)，即E<S3Vs5V<-|,

所以電,｝有最大項為邑，最小項為S.

故選:D.

本題考查等比數(shù)列的前〃項和形成的數(shù)列的最值問題，解題關(guān)鍵是求得S,后按奇偶數(shù)分類,

QQ

得出奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減，但所有偶數(shù)項比大，所有奇數(shù)項比小，即可確定最

33

值.

16.在三棱臺44G-48C中，點。在4片上，且N4//8。，點”是三角形44G內(nèi)（含

邊界）的一個動點，且有平面8OM//平面N/CG，則動點M的軌跡是（）

A.三角形44G邊界的一部分B.一個點

C.線段的一部分D.圓的一部分

【正確答案】C

【分析】過。作。E//4G交于E，連接"，證明平面5DE//平面44CC，得MGDE,

即得結(jié)論.

【詳解】如圖，過D作DE〃4a交B￡于E,連接8E,

BD//AA,,平面44。0,44u平面44℃,所以8。//平面44。0,

同理。￡7/平面Z4GC,又BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以平面5DE〃平面44。。，所以"eOE,（M不與。重合，否則沒有平面）,

故選：C.

三、解答題

17.（1）若直線《過點P（T,2）,且與直線3x-4y+5=0垂直，求直線人的方程;

（2）若直線4過點。（1，-2）,且與圓/+/=］相切，求直線4的方程.

【正確答案】⑴4x+3y-2=0；⑵x=l或3x+4y+5=0.

【分析】(1)根據(jù)垂直列出直線4的方程，代入「(-1,2),求出直線4的方程；

(2)考慮直線4的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點到直線距離公式列出方程，求出直

線方程.

【詳解】(1)設(shè)直線4：4x+3y+C=O,將尸(-1,2)代入得：-4+6+C=0,解得：C=-2,

故直線4的方程為4x+3y-2=0；

(2)當直線人的斜率不存在時，x=l，此時與圓/+/=1相切，滿足要求,

當直線4的斜率存在時，設(shè)直線/2：y+2=%(x-i),則圓心到直線距離將"=1,

V1+A'

3

解得：k=——,

4

故直線/2i+2=-臚-1)，整理得：3x+4尸5=0,

故直線4的方程為“1或3x+4y+5=0.

18.如圖，四棱錐P-/8C。的底面為菱形，PZ)_L平面為8c0,PD=AD=2,

48/0=60。，E為8C的中點.

(1)求證：￡0_1_平面尸/。；

⑵求點C到平面的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵浮

【分析】(1)根據(jù)題意得到DE1AD,PDLDE,再根據(jù)線面垂直的判定即可證明.

(2)利用空間向量法求解即可.

【詳解】(1)連接B。，如圖所示:

因為底面為菱形，ABAD=60°,所以△8CD為等邊三角形，

又因為E為3c的中點，所以QE,8c.

因為/O//8C,所以O(shè)E工ZO.

又因為尸￡>_1_平面48C￡),DEu平面4BCD,所以尸OJ.OE.

因為尸。C4D=D,所以E￡>_L平面P/D.

(2)以。為原點，D4,Z)￡,DP分別為xj,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示:

P（0,0,2）,A（2,0,0）,8（1,a,0）,C（-l,V3,0）,

PA=（2,0,-2）,/建（-1,0,（）），。/=（3,一百,0）

設(shè)平面218的法向量〃=(x,y,z),

PA=2x-2z=0

則<,Y令y=l,解得；二(6,1,百),

n-AB——x+v3y=0

19.已知圓C經(jīng)過/(0,1),B(4,a)(a>0)兩點.

(1)如果是圓C的直徑，證明：無論a取何正實數(shù)，圓C恒經(jīng)過除力外的另一個定點,

求出這個定點坐標.

(2)已知點A關(guān)于直線y=X-3的對稱點H也在圓C上，且過點B的直線/與兩坐標軸分別

交于不同兩點M和N,當圓C的面積最小時，試求忸M|*N|的最小值.

【正確答案】(1)證明見解析，定點為(4,1)

(2)網(wǎng)磯,=8

【分析】(1)設(shè)點尸(x,y)是圓C上任意一點，由是圓C的直徑，得/方:必:0,從而

可求出圓。的方程，即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)題意可得點C在直線y=x-3上，要使圓C的面積最小，則圓C是以44'為直徑

的圓，從而可求出圓C的方程，進而可求得8點的坐標，設(shè)出直線/的方程，分別求出

的坐標，再根據(jù)兩點間距離公式結(jié)合基本不等式即可得解.

【詳解】(1)設(shè)點尸(X/)是圓C上任意一點，

因為48是圓C的直徑，所以/P8尸=0，

即口/_1>(》_4,'_")=耳工-4)+('_1)(、_a)=0,

所以圓C的方程為：x(x-4)+(y-D(y-a)=0,

則x=4,y=l時等式恒成立，故定點為(4,1),

所以無論a取何正實數(shù)，圓C恒經(jīng)過除工外的另一個定點，定點坐標為(4,1)：

(2)因點/關(guān)于直線y=x-3的對稱點4也在圓C上，

所以點C在直線y=x-3上，

又圓C的面積最小，所以圓C是以44,直徑的圓，

設(shè)過點Z與直線N=x-3垂直的直線方程為少=-x+1,

由方程組［；：二:［得”2,-1),則|/C|=7(2-0)2+(-1-1)2=272

所以圓C的方程為(x-2『+(y+i『=8,

當x=4時，a=l或a=-3,又a>0,所以a=l,即8(4,1),

由題意知直線1斜率存在且不為零，設(shè)直線I的方程為V-1=〃(x-4),

當x=0時、=1一4左，當y=0,x=4--,

k

所以1|?18N|=J16+16公?Jl+2="以+'+2>4/2后.*[=&,

（當且僅當公=A，即k=±1時取等號）

則當*=±1時，忸叫?忸M*=8

20.正X5C的邊長為4,C。是工3邊上的高，￡尸分別是/C和8c邊的中點，現(xiàn)將ABC沿

CO翻折成直二面角Z-OC-8.

(1)求證：直線NB平面。EF；

(2)求二面角E-DF-C的余弦值；

(3)在線段BC上是否存在一點P,使NPJ.OE?若存在，請指出尸點的位置，若不存在，請

說明理由.

【正確答案】(1)證明過程見詳解

⑵亙

7

(3)存在，靠近a的三等分點

【分析】(1)判定線面關(guān)系，可以從線線關(guān)系尋找，由線段中點，可利用中位線性質(zhì)的線線

平行，再利用線面平行判定定理確定；

(2)求二面角，一般利用空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的數(shù)量積解決：先建立空間直角坐

標系，再分別計算兩平面的法向量，最后利用空間向量數(shù)量積求夾角的余弦值，經(jīng)判斷所求

二面角為銳角即可得出結(jié)論：

(3)確定點的位置，一般利用空間直角坐標系求出點的坐標，再明確位置關(guān)系.要求點P的坐

標，只需列兩個獨立條件，一個為在直線上，另一個為垂直，利用這兩個條件可得點P的位

置，進而求解.

【詳解】(1)如圖，在/8C中，由瓦f分別是NC、8c中點，得EF//4B,

又（Z平面DEF,EFu平面DEF,:.AB平面DEF.

（2）由題知，ADVCD,平面平面5DC,且交線為。C,

平面因為5D,Z）Cu平面53C,所以49,8Z）,DC,

又已知8。_^。，.?.3,8。,。＞兩兩垂直，以點O為坐標原點，直線。8、OC、D4為x軸、歹

軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示,

則4（0,0,2）,5（2,0,0）40,2百,0）,網(wǎng)0,31）,尸（1,戊0）

平面CZ）廠的法向量為1（0,0,2）,設(shè)平面比）戶的法向量為與=（x,弘z）,

TX

cos<DA,n>=

???二面角石-。廠-C的余弦值為叵.

7

（3）設(shè)P（*J,0）,因為則4P―七=揚一2=0,.?.歹=得~

又8P=（x_2,y,0）,PC=bx,27J_y,0）,

BP//PC,1.（x—2）（2百一。二-xy9:.y/3x+y=2^3,

7/T4■,*i

把夕=把代入上式得x=—BP=—BC,

,333

在線段8c上存在點尸〔右乎,0,即靠近B的三等分點，使/尸，。及

21.設(shè)各項均為整數(shù)的無窮數(shù)列｛?｝滿足4=1,且對所有“eN*,舊川-凡|=〃均成立.

(1)求6+出