2023-2024學(xué)年延安市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年延安市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

（試卷滿分150分，考試時間120分鐘）2023.11

第I卷（選擇題共60分）

一、單項選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.己知直線4與直線4：3x-&y+i°=°垂直，則直線4的傾斜角為（）.

A.30。B.60°c.120。D.150。

2.已知直線1的一個方向向量為（T2D,平面a的一個法向量為（相，3）,若/_La,則〃?+〃=（）

A.-3B.3C.6D.9

3.已知入射光線經(jīng)過點M（°J）被x軸反射，反射光線經(jīng)過點N（2」），則反射光線所在直線的方程為（）

Ax+y+l=0B%—y+i=0c工+y—1=0D%—y—1=0

工22卜=2cos6

4.設(shè)x,"R,則“彳+丫1，，是“資1<,[y=sind,，的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段上，點P在線段AN上，且

13

MN=-ON,AP=-AN?八八八

24,用向量。4。民℃表示°尸，則8=（）

O

為B

-OA+-OB+-OC-OA+-OB+-OC-OA+-OB+-OC-OA+-OB+-OC

A.444B.333c.433D.344

6.2019年1月3日，嫦娥四號探測器在月球背面預(yù)選著陸區(qū)成功軟著陸，并通過鵲橋中繼衛(wèi)星傳回了世界

第一張近距離拍攝的月背影像圖，揭開了古老月背的神秘面紗.如圖所示，地球尸和月球°都繞地月系質(zhì)

心。做圓周運動，尸°=3OQ=Z設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為加，地月距離為R,萬有引力常數(shù)

GMm2

——=mco=Mco2r

為G,月球繞。做圓周運動的角速度為且此,貝IJ(

1

G[M+m)G(M+m)

NC

3

r-y=-x

兩條平行直線6x-4Ay+5=°與"2的距離是（

巫姮5萬

A.13B.26c.13D.26

8.若直線區(qū)+丫+2-2左=°與曲線+有兩個不同的交點，則實數(shù)%的取值范圍是（）

A,i"+8）B.ECg與卜3/"I

二、多項選擇題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分）

9.已知直線’的方程為3尤一2y+6=0,則（）

A.直線/在x軸上的截距為2B.直線/在，軸上的截距為3

C.直線/的傾斜角為銳角D.過原點。且與/垂直的直線方程為2x+3y=°

10.己知圓。：苫2+丁=1和圓C：（》-2）2+（丫-2）2=4相交于人、8兩點，下列說法正確的為（）

A.兩圓有兩條公切線B.直線48的方程為以+分+5=°

C.線段AB的長為2D.點E在圓0上，點下在圓C上，則怛制的最大值為20+3

11.已知方程/+9+2尤-機(jī)=°,下列敘述正確的是（）

A.方程表示的是圓B.方程表示的圓的圓心在x軸上

C.方程表示的圓的圓心在y軸上D.當(dāng)〃7=0時，方程表示以（TR）為圓心，半徑為1的圓

12.已知正方體AB。。一MCQ的棱長為1,動點p滿足AP=xAB+yAD+zA4,,x,y,ze[0,l],則下列說

法正確的是（）

Dy,--------------71c,

2

_1_3

A.x=l'1=了z=]時，BD^CP

B.對任意x，y,存在z,使得平面尸BD//平面ABC

13y/3

x+y—z=-...

C.若2,則滿足條件的動點尸組成圖形的面積為4

11

犬+y+z=——

D.若'2,則三棱錐P-A4c體積為36

第II卷(非選擇題共90分)

三、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)

13.直線仃=履一k+1過定點為

14.圓心在y軸上，經(jīng)過點(3/)且與x軸相切的圓的方程是

15.過點尸(一2，°)引圓尤?+丁-八=0的切線，則該切線長為

X2y2,

-7~1=1(。＞。＞0)D口DZ7_2

16.已知Fl(—c,0),F2(c,0)為橢圓。一廳的兩個焦點，P為橢圓上一點，且3,%=。，則

此橢圓離心率的取值范圍是

四、解答題(本大題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.ABC的三個頂點4-5,0),5(1,-3),CQ2),邊AC,3C的中點分別是E,F.

(1)求E尸所在的直線方程；

(2)求邊AB的高所在的直線方程.

18.已知過點人(°，2)且斜率為左的直線/與圓C：x2+y2=l交于/、N兩點.

(1)求Z的取值范圍；

(2)若O?ON=0.5,其中°為坐標(biāo)原點，求〔MM.

19.已知直線4：,=2》+3,]:y=x+2相交于點c.

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)求以點C為圓心，且與直線3x+4y+4=0相切的圓的方程；

(3)若直線x+y+'=°與(2)中的圓C交于A、3兩點，求ABC面積的最大值及實數(shù)f的值.

20.己知圓心為C的圓經(jīng)過A?！?，3(2，-2)兩點，且圓心c在直線/"7+1=°上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)P為圓C上的一個動點，O為坐標(biāo)原點，求OP的中點M的軌跡方程.

3

21.如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA,底面ABCD,點E為棱PD的中點，AB=1,

⑴求證：PB〃平面ACE；

(2)求平面ACE與平面PAB夾角的余弦值；

(3)若F為棱PC的中點，則棱PA上是否存在一點G,使得PC,平面EFG.若存在，求線段AG的長；若

不存在，請說明理由.

22.己知橢圓/十鏟一I">"〉"的四個頂點圍成的菱形的面積為4—,橢圓的一個焦點為(L°).

(1)求橢圓的方程；

k,,k——._3

(2)若M,N為橢圓上的兩個動點，直線ON,QV的斜率分別為《,與，當(dāng)‘2一4時，△MON的面

積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

1.D

【分析】根據(jù)直線間互相垂直直接可得斜率與傾斜角.

I?,=上

【詳解】由4乜，得,

冗、=---==tan150°

43,故直線/的傾斜角為150。.

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)線面垂直的向量表示即可求解.

mn3

［詳解］因為“a,所以=解得相=-3,〃=6,

所以機(jī)+〃=-3+6=3.

故選：B

3.D

【分析】求出M(0，l)關(guān)于x軸的對稱點，由兩點式方程可求.

4

【詳解】可得關(guān)于X軸的對稱點為（°'一1）,則（°'一1）在反射光線上，

y+1_x-0

又反射光線經(jīng)過點N（2，l）,所以反射光線所在直線的方程為1工一二即x-y-l=°.

故選：D.

4.C

【分析】利用橢圓的有關(guān)性質(zhì)、三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的同角公式，結(jié)合充分、必要條件的定義計算

化簡，即可得到結(jié)果.

%22,

---Fy=1

【詳解】若4'，其軌跡為一個橢圓，則一24*42,-I4y41,

X%=2cos8

一147741—=cos0,y=sin0

得2,令2,得尸sind

所以充分性成立;

?X=2cos8丫2

y=sin。⑹CR),得cose*in*y,有儂2。+如。=1+)?=1

由

所以必要性成立.

=2cos6

—+y2=l\CER)

所以“4”是,,[y=sm°”的充分必要條件.

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.

OM=-(OB+OC],ON=-OM=-x-(0B+0C}=-(0B+0c\

【詳解】由題意可知2',332、>3V)

AN=ON-OA=-(OB+OC\-OA,AP=-AN=-X-(OB+OC\--OA,

VV7

3>4434所以

O1Olli

0P=0A+AP=0A+-x-(0B+0C\——OA=-OA+-OB+-OC

43、>4444,\

故選：A

6.B

【分析】根據(jù)題干中的等式結(jié)合R=6+4可求得0、4、G,可得出合適的選項.

GMm2?2GmGM

p_?,---5—=1V￡DT\=MCDKK=--_—q=-z~7

【詳解】對于AB選項，+由R2-可得（oR2,~口-R：

G（M+m）1G（M+m）

所以，一"R-,所以，VR3,A錯B對；

G(M+〃?).蘇R'

CD=

對于c選項，由R3可得M+mC錯;

5

Gm

-GM2L=2L

對于D選項，由“(O2R2,2

①2R2可得mM,

ZL=2L

mM

mR

得力

所以,R="+/"M+,D錯.

故選：B.

7.D

3

y=-x/八

【分析】先將直線方程"2化為：6x-44y=0,再利用兩平行線間的距離公式求解.

3

y=-x'.八

【詳解】直線方程2化為：6尤-4y=0,

3

右/u6y=—x

所以兩條平行直線6x-4y+5=0與2的距離是：

,55V13

d=--------------=-------

臚+(可26

故選：D

【點睛】本題主要考查兩平行線間的距離的求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【分析】由題可知曲線"：(>：1了+1=*，是圓心為C(U),半徑r=2,在直線尤=1及右側(cè)的半圓，作出

直線區(qū)+y+2-2%=0與半圓C:(尤-If+(y-=4(x21),利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】方程履+>+2-2左=°是恒過定點P(2,-2),斜率為此的直線,

曲線也-(yT)'+l=尤,即(x-l)2+(y-l)2=4(xNl),是圓心為C(l,l),半徑廠=2,在直線％=1及右側(cè)的

半圓，半圓弧端點A(LT),8(1,3),

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線區(qū)+"2-2左=0與半圓C:(x-l)2+(y_l)2=4(xNl),如圖,

當(dāng)直線履+丫+2—2左=0與半圓C相切時,

6

1^~31,276.,246.

I--z_k=_-p]_卜>--I-]

由&+公得相切時3,又％=-5,所以3,或一心-5,

2」

所以kv—13或左N5.

故選：A.

9.BCD

【分析】根據(jù)直線方程，分別令x=°，y=°即可判斷AB,由直線斜率可判斷C,求出原點0且與/垂直的

直線方程即可判斷D.

【詳解】在%—2>6=0中，令尸。，得x=-2,所以A不正確;

令x=0,得k3,所以B正確；

k=->0

因為直線1的斜率為2,所以直線1的傾斜角為銳角，故C正確；

因為與1垂直的直線方程可設(shè)為2尤+3>+根=°,又直線過原點，所以機(jī)=。，故D正確.

故選：BCD

10.AD

【分析】兩圓相交，由兩條外公切線，將兩圓方程相減可求得交線方程，求公共弦長轉(zhuǎn)化為求相交弦長,

數(shù)形結(jié)合可求得兩圓上動點距離的最大值.

【詳解】解：因為圓O：/+/=1和圓C：（無一2y+（y-2）2=4相交于A、B兩點，

所以兩圓有兩條公切線，A正確；

圓0：/+/=1和圓（x_2y+（y_2y=4的方程相減得4x+4y_5=0,

故直線AB的方程為以+4卜5=0,；.B錯誤；

^_|0+0-5|_55/2

圓0：苫、'?*的圓心為°（0,0）,廠=],0（0,0）到直線AB的距離為V16+168,

河=2折彳=2F/羋]=半

所以線段AB的長為Y'3J4,...C錯誤；

2

圓C：（尤-2）+（y-2）2=4的圓心為C（2,2）,R=2則兩圓圓心距因=20,

點E在圓°上E,點歹在圓C上，則附的最大值為1+2+20=20+3,D正確.故選：AD.

11.BD

【分析】根據(jù)圓的一般方程的條件，對各個選項進(jìn)行逐一判斷.

【詳解】對于選項A：因為。=2,E=0,F=-m,

7

由方程表示圓的條件得刀2+序一4尸＞0,即2,-0--4(-切)＞0,解得加＞_1,

所以只有當(dāng)機(jī)＞T時才表示圓，故A錯誤；

對于選項B、C：因為2,2

若方程表示圓，圓心坐標(biāo)為°(一1'°),圓心在x軸上，故B正確，C錯誤；

r=-VD2+￡2-4F=-M+02-4x0=1

對于選項D：當(dāng)根=°時，半徑22,故D正確；故選：BD.

12.AC

【分析】利用空間向量的線性表示及數(shù)量積運算可得3口,C尸=°可判斷A,利用特值可判斷B,根據(jù)空間

向量的共面定理結(jié)合條件可得動點尸的組成圖形結(jié)合條件可判斷C,由題可得尸在平面4口穌內(nèi)，然后根據(jù)

正方體的性質(zhì)可得平面44穌//平面C4C,進(jìn)而可得平面444與平面ABC的距離，再根據(jù)錐體的體積

公式可判斷D.

13

【詳解】對于A,此時AP-M+Wm+lM,又即=胡+物=-AB+AD+A4),

1.333

CP=AP-AC=AB+-AD+-AA-AB-AD=-AA,——AD

44”4月4,

/\(33、3"32

所以BD.-CP=('-AB+AD+AA,]^\4-AA1.——4ADJ\=-4AA,1——4AD=0,

所以即，C尸即明，CP,故A正確；

對于B,若取了='=1,則尸在棱G。上，此時平面女見與平面〃4c相交，故B錯誤；

AP=xAB+yAD+(x+v--)A4j=2xAB0+2yAD0+(l-2x-2y)A4,)=ADa=AB0=—

對于C,如圖，2'其中2,

72

則尸的軌跡為4,4同的正方體的截面，即為正六邊形4線瓦/G,由題可知其邊長為2,其面積為

出（拒丫373

---X----=-----

4卜2J4,故C正確;

4

8

對于D,如圖，AP=xAB+yAD+zAA<=2xAB?+2yAD?+2zAA,其中1A421TA0。1=恒聞=5

因為2x+2y+2z=l,即P在平面A。?！鰞?nèi)，由正方體的性質(zhì)可知,

所以2穌//BQ,又。。穌<z平面RBC,8|，u平面所以。（///平面〃B|C,

同理可證4紇〃平面Age,又DM。A,B0=Ba；故平面4AA〃平面。固C?,

由正方體的性質(zhì)可知CG，平面ABC2,AG，BQU平面A4CR,

故c"AG，cc,又AC14%AGCC,=c,且兩相交線在平面內(nèi)，故旦2,平面AC。，

又AC】u平面4GCA,

所以同理AG_LBC,又B。4。=4，旦。，4。u平面2片。，

所以A￡平面￡）]與。，則A￡_L平面4￡）0線，又A￡=V§,DXBX=CDX=BXC=>/2

'立X（⑸2a』']d=B

設(shè)加到平面〃4c的距離為d,則4秋3X2X,可得3,同理可得A到平面444的距

■6-@一旦@

離為6,故平面441與平面"3。的距離為36-2,

1273731

所以三棱錐P-24c體積sc-342一4,所以D錯誤.

故選：AC.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用空間向量的關(guān)系得到動點的軌跡，進(jìn)而結(jié)合正方體的有關(guān)知識進(jìn)行分析處

理即得.

13.（U）

【分析】先把直線化為點斜式，從而可確定定點.

【詳解】直線/可化為點斜式k1=4—1）,

所以直線力=履一左+1過定點°」）.

9

故答案為：°」）.

14+y2-lOj=0

【分析】先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用條件建立方程求出參數(shù)即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意，設(shè)圓的方程為/+（，+0）2=42,因為圓經(jīng)過點（3』），

所以把點（3』）代入圓的方程，得33+（1+"）2=/，整理得2a=70,

所以圓的方程為Y+（>-5）2=（-5）2,即/+/-10y=0,

故答案為：Y+y2_i0y=0.

15.2括

【分析】由圓的一般方程可確定圓心和半徑，由此可得圓心到點尸的距離，根據(jù)切線長為必不可求得

結(jié)果.

【詳解】由圓的方程知其圓心為僅內(nèi)），半徑7=2；

，圓心到點尸的距離4=4,切線長為‘笛一心=716-4=273.

故答案為：26.

一.叵

石F

16.L」

【解析】設(shè)尸（X，1），由數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出?不珠=*-c2+y2=/,再由點p在橢圓上得出

2/〃，，（3c2-a2）a2

y=b——-xx.....——■2］

。，聯(lián)立兩個方程得出。,再由L'」化簡得出2c4a<3c,結(jié)合離心率

的公式即可求解.

［詳解］設(shè)P（羽?。?，貝|。片.%=（_0_%，_'）,（0_羽_'）=尤2_02+,2=。29

將。代入①式解得

(3c2—a2}a2

丫22]0<-----——WQ

922929

又X￡|_U,?！梗?2:.2c<a<3c

10

c「豆行

.'.e=—G——,—

a32

如叵

故答案為：L」

【點睛】本題主要考查了求橢圓離心率的取值范圍，屬于中檔題.

]7(1)2x+4y+l=0(2)2x—y+2=0

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式求出直線斯的斜率，再利用點斜式公式即可寫出直線方程.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，即可寫出直線方程.

【詳解】(1)解：4F0),B(l,-3)；C(0,2),邊AC,8c的中點分別是E,F,

；?所所在的直線方程為--22,即2x+4y+l=0.

(2)解：設(shè)邊的高線為4，

,0-(-3)1

kk1M

..ih-AB=-(~-5-]2,.,.與=2,

又高線人過c點,

???高線乙的方程為'=2》+2,

所以邊AB的高線所在的直線方程為V=2尤+2,即2x-y+2=0.

18.⑴E")(后+可；⑵

【解析】(1)可知直線/的方程為、=丘+2,利用圓心到直線/的距離小于半徑可得出關(guān)于左的不等式,

解出即可；

⑵由網(wǎng)=網(wǎng)-叫，然后利用平面向量數(shù)量積可求出網(wǎng).

【詳解】(1)易知直線/的方程為丁=丘+2,即區(qū)7+2=0,

由于直線/與圓c：/+y2=i交于河、N兩點，則圓心到直線/的距離為

解得&<-6或左>石

11

(2)由于原點。為圓C的圓心，且圓C的半徑長為1,則門"卜"M=l,

:.^IN\=\pN-OM\=^(ON-OM^=ON2-2OMON+OM2=Vl2-2x0.5+l2即河=]

【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，同時也考查了直線截圓所得弦長的計算，涉及平面向

量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(1)(T」)；⑵(x+iy+(yT)=1；⑶：=1或r=T.

【分析】(1)聯(lián)立直線方程，解方程可得交點C；

(2)運用直線和圓相切的條件d=J由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得所求圓的方程；

(3)運用三角形的面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，可得最大值，再由點到直線的距離公式，可得t的值.

(y=2x+3(x=-l

【詳解】⑴把直線4：丫=2尤+3,4：y=x+2聯(lián)立，1y=x+2,解得[y=l,

_|3x(-l)+4xl+4|_i

(2)圓心C(TJ),半徑'-5,

所以圓c的方程為a+iy+(yT)2=i.

S.=-r-rsinZACB=-sinZACB

(3)因RC.22,

j_

顯然當(dāng)sinNACB=l,即NAC8=90。時，$*吹取到最大值萬，

叵

此時，直角ABC的斜邊A3上的高為2,

H+1+0=M

又圓心c到直線無+y+r=0的距離為0近,

/=正

由近2,解得f=l或f=_l.

(3丫/八225

99XH+(V+1)―

20.⑴(x+3r+(y+2)J25；⑵I2；4.

【分析】(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(”㈤，可得4-"1=。，結(jié)合條件可得〃-36-3=0,進(jìn)而求得圓心的坐

標(biāo)，半徑，即得；

(2)設(shè)'(物幾)，進(jìn)而可得尸(2羽2)0,然后代入圓C的方程，化簡求得M點的軌跡方程.

12

【詳解】（1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（.力），半徑為r,

?.?圓心c在直線/：x-y+i=°上,

.?.。-b+l=O,

?.?圓C經(jīng)過A(L1),3(2,一2)兩點，

.\CA\=\CB\

即1了+(6-1)2=J—2)2+(6+2)2,

化簡得：a-3b-3=0,又a-b+l=。，

所以a=-3,b=~2,

圓心C的坐標(biāo)為(一3，-2)「=IAC|=J(l+3)2+(1+2)2=5

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(尤+3)、(y+2)2=25；

(2)設(shè)加(“'，)，7P(知兒)，

：M為0P的中點，

x0+0

,-2=1%=2彳

、,_%+。1%=2y

,?，

,P(2x,2y)

TP在圓C上，

...(2x+3)2+(2y+2)2=25,即[3]+(y+i)2=~

(x+巧)+(y+iy弓

」.OP的中點M的軌跡方程為I2>4.

21.(1)見解析

如

⑵6

（3）棱以上不存在點G,使得尸C,平面跳6

【分析】（1）由題意可以A為原點，AB,仞,4尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面

13

ACE的一個法向量為“，利用向量法證明即可；

（2）易得仞=（02°）是平面PAB的一個法向量，利用向量求出求解即可;

（3）EF與尸C不垂直，則PC不可能垂直平面EFG,進(jìn)而即可求解

【詳解】（1）因為底面ABCD是矩形，

所以

因為叢，平面ABC。，

又ABu平面ABC。，ADu平面ABC。,

所以B4_LAD,PA±AB,

以A為原點，.，的，”所在直線分別為龍，-z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,2,0),r>(0,2,0),P(0,0,2),￡(0,l,l),F[1,l,l

所以AC=(l,2,O),AE=(O,l,l),P8=(l,O,_2)

設(shè)平面ACE的一個法向量為"(X%z),

"?AC=x+2y=°Jx=—2y

則l",AE=y+z=°,即=T,

令，=1,貝產(chǎn)=(一2,1,-1),

n,PB=-2+0+2=0,日PBa平面ACE,

所以PB〃平面ACE；

（2）由（1）可知PAAB=At尸AA8u平面上4s

所以AD,平面刈8,

所以AE）=（0,2,0）是平面PR的一個法向量，

設(shè)平面P鉆與平面ACE的夾角為”

14

ADn2_A/6

cos6=cos(AD,〃

\AD\-\n\V6X2-6

\/6

所以平面上鉆與平面ACE的夾角的余弦值為T；

叮=(4，。，。]喬",￡FPC=-+0+0=-^0

(3)因為12人尸。一(1,2,-2),所以22,

所以所與尸C不垂直，

而EFu平面段G,所以PC不可能垂直平面跳G,

所以棱以上不存在點G,使得尸C,平面呼G

22

工+匕=1

22.(1)43.(2)是，定值G.

【解析】(1)由題設(shè)條件，列出方程組，結(jié)合〃=62+02,求得的值，即可求解.

(2)設(shè)加(%，%),當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)方程為片人相，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系

數(shù)的關(guān)系和弦長公式，及三角形的面積公式，求得三角形的面積；當(dāng)直線MN的斜率不存在時，結(jié)合橢圓

的對稱性和三角形的面積公式，即可求解.

—+—=1廠

【詳解】(1)由橢圓/b°