湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個選項中只有一個符合題意，請在答題卷上將正確答案的代號涂黑）1．在?ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，則∠C等于（）A．60° B．80° C．100° D．120°2．下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．3．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，， B．，， C．6，7，8 D．2，3，44．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．對角相等 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相平分5．下列計算錯誤的是（）A．?＝ B．＝2 C．＝2 D．6．已知y＝++1，則x+y的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±17．如圖，在矩形OABC中，點B的坐標(biāo)是（1，3），則A、C兩點間的距離是（）A．4 B． C． D．28．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（）A．3 B．2 C．4 D．2二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）9．計算：＝．10．比較大?。?（填“＞”或“＜”）．11．若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為．12．如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BM交CD于點M，且MC＝2，?ABCD的周長是14，則DM等于．13．如圖，已知OA＝OB，那么數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是．14．一個菱形的兩條對角線長分別為和，則這個菱形的面積為．15．觀察分析下列數(shù)據(jù)：，，3，，，…，按規(guī)律第18個數(shù)據(jù)為．16．如圖，正方形ABCD的面積為16，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上運動，∠EOF＝90°，OG平分∠EOF，與邊BC交于點G．則下列結(jié)論：①OE＝OF；②四邊形OEBF的面積保持4不變；③BG2+CF2＝GF2；④EF的最小值為．其中正確說法的序號是．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將答案寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）17．（6分）計算﹣+（+1）（﹣1）18．（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面積．19．（8分）如圖，點E在邊長為10的正方形ABCD內(nèi)，AE＝6，BE＝8，求陰影部分的面積．20．（9分）中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形解決下列問題：（1）試說明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求（a+b）2的值．21．（9分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN．（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①當(dāng)AM的值為時，四邊形AMDN是矩形；②若AM＝6，求證：四邊形AMDN是菱形．22．（10分）如圖甲，筆直的公路上A，B兩點相距20km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝10km，CB＝5km，現(xiàn)在計劃在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E．（1）若規(guī)劃C，D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠(yuǎn)處？（2）若規(guī)劃C，D兩村到收購站E的距離的和最短，請在圖乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計算得到距離的和最短值為km．23．（10分）如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是（填序號）．（2）【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等”，即，如圖甲，在四邊形ABCD中，若AC⊥BD，則AB2+CD2＝AD2+BC2．請判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由．（3）【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D，E分別是AC，BC的中點，連接AE，BD，有AE⊥BD，求AB．24．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為（10，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動．（1）若E為DP的中點，連接OE的延長線交射線CB于點F．①求證：四邊形PODF為平行四邊形；②當(dāng)點P的坐標(biāo)為時，四邊形PODF為菱形．（2）當(dāng)△ODP等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題參考答案與試題解析一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個選項中只有一個符合題意，請在答題卷上將正確答案的代號涂黑）1．在?ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，則∠C等于（）A．60° B．80° C．100° D．120°【分析】由在?ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，根據(jù)平行四邊形的對角相等，即可求得答案．【解答】解：∵在?ABCD中，∠A＝80°，∠B＝100°，∴∠C＝∠A＝80°．故選：B．【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．2．下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】先化成最簡二次根式，再判斷即可．【解答】解：A、，不能和合并，故本選項錯誤；B、，不能和合并，故本選項錯誤；C、，能和合并，故本選項正確；D、＝2不能和合并，故本選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，同類二次根式的應(yīng)用，注意：幾個二次根式，化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．3．下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）A．1，， B．，， C．6，7，8 D．2，3，4【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：A、12+（）2＝（）2，故是直角三角形，符合題意；B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合題意；C、62+72≠82，故不是直角三角形，不合題意；D、∵22+32≠42，故不是直角三角形，不合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．4．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．對角相等 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相平分【分析】由菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、對角相等，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項A不符合題意；B、對角線互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故選項B符合題意；C、對角線相等，是矩形具有的性質(zhì)，而菱形不具有的性質(zhì)，故選項C不符合題意；D、對角線互相平分，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項D不符合題意；故選：B．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，正確區(qū)分矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．下列計算錯誤的是（）A．?＝ B．＝2 C．＝2 D．【分析】根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的化簡、二次根式的除法及二次根式的加減運算，進(jìn)行各選項的判斷．【解答】解：A、×＝，計算正確，故本選項正確；B、＝2，計算正確，故本選項正確；C、÷＝＝2，計算正確，故本選項正確；D、與不是同類二次根式，不能直接合并，原式計算錯誤，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了二次根式的加減及乘除運算，屬于基礎(chǔ)題，掌握各部分的運算法則是關(guān)鍵．6．已知y＝++1，則x+y的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x，進(jìn)而求出y，根據(jù)平方根的概念解答即可．【解答】解：由題意得，x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得，x＝3，則y＝1，∴x+y＝4，∵4的平方根是±2，∴x+y的平方根是±2，故選：C．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、平方根的概念，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形OABC中，點B的坐標(biāo)是（1，3），則A、C兩點間的距離是（）A．4 B． C． D．2【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：在矩形OABC中，OB＝AC，∵B（1，3），∴OB＝＝，故選：C．【點評】本題考查矩形，解題的關(guān)鍵是熟練運用矩形的性質(zhì)以及勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．8．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（）A．3 B．2 C．4 D．2【分析】連接DN、DB，根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝DN，結(jié)合圖形解答即可．【解答】解：連接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，∴EF＝DN，由題意得，當(dāng)點N與點B重合時DN最大，最大值為4，∴EF長度的最大值為2，故選：D．【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）9．計算：＝2．【分析】分子分母都乘分母有理化因數(shù)計算即可得解．【解答】解：，＝，＝，＝，＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了分母有理化，是基礎(chǔ)題，確定出分母有理化因數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．比較大小：4＞（填“＞”或“＜”）．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出＝4，比較和的值即可．【解答】解：4＝，＞，∴4＞，故答案為：＞．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)和實數(shù)的大小比較等知識點，關(guān)鍵是知道4＝，題目較好，難度也不大．11．若是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為5．【分析】是正整數(shù)，則20n一定是一個完全平方數(shù)，首先把20n分解因數(shù)，確定20n是完全平方數(shù)時，n的最小值即可．【解答】解：∵20n＝22×5n．∴整數(shù)n的最小值為5．故答案為：5．【點評】本題考查了算術(shù)平方根的定義，理解是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BM交CD于點M，且MC＝2，?ABCD的周長是14，則DM等于3．【分析】根據(jù)BM是∠ABC的平分線和AB∥CD，求出BC＝MC＝2，根據(jù)?ABCD的周長是14，求出CD＝5，即可得到DM的長．【解答】解：∵BM是∠ABC的平分線，∴∠ABM＝∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM＝∠BMC，∴∠BMC＝∠CBM，∴BC＝MC＝2，∵?ABCD的周長是14，∴BC+CD＝7，∴CD＝5，則DM＝CD﹣MC＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義，根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出BC+CD是解題的關(guān)鍵，注意等腰三角形的性質(zhì)的正確運用．13．如圖，已知OA＝OB，那么數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是﹣．【分析】首先根據(jù)勾股定理得：OB＝．即OA＝．又點A在數(shù)軸的負(fù)半軸上，則點A對應(yīng)的數(shù)是﹣．【解答】解：由圖可知，OC＝2，作BC⊥OC，垂足為C，取BC＝1，故OB＝OA＝＝＝，∵A在x的負(fù)半軸上，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是﹣．故答案為：﹣．【點評】熟練運用勾股定理，同時注意根據(jù)點的位置以確定數(shù)的符號．14．一個菱形的兩條對角線長分別為和，則這個菱形的面積為2．【分析】直接由菱形面積公式列式計算即可．【解答】解：∵菱形的兩條對角線長分別為和，∴菱形面積＝××＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟記菱形面積公式是解題的關(guān)鍵．15．觀察分析下列數(shù)據(jù)：，，3，，，…，按規(guī)律第18個數(shù)據(jù)為﹣3．【分析】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律為（﹣1）n+1，寫出第18個數(shù)據(jù)即可．【解答】解：∵，，3，，，…，（﹣1）n+1，∴第18個數(shù)據(jù)為：﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了算術(shù)平方根及數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵．16．如圖，正方形ABCD的面積為16，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上運動，∠EOF＝90°，OG平分∠EOF，與邊BC交于點G．則下列結(jié)論：①OE＝OF；②四邊形OEBF的面積保持4不變；③BG2+CF2＝GF2；④EF的最小值為．其中正確說法的序號是①②③④．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，通過推理計算即可得到正確的結(jié)論，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OCF＝∠OBE＝45°，又∵∠EOF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，故①正確；∴△BOE與△COF的面積相等，∴四邊形OEBF的面積與△OBC的面積相等，又∵△BOC的面積等于正方形ABCD面積的四分之一，∴四邊形OEBF的面積保持4不變，故②正確；如圖所示，連接EG，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG＝∠FOG，又∵OE＝OF，OG＝OG，∴△EOG≌△FOG（SAS），∴EG＝FG，∵△BOE≌△COF，∴BE＝CF，∵Rt△BEG中，BG2+BE2＝EG2，∴BG2+CF2＝GF2，故③正確；∵OE＝OF，∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴EF＝OE，當(dāng)OE有最小值時，EF的值最小，∵△AOB是等腰直角三角形，∴當(dāng)OE⊥AB時，OE的最小值等于AB的一半，即OE的最小值等于2，∴EF的最小值為，故④正確．故答案為：①②③④．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形、直角三角形解決問題．三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，請將答案寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）17．（6分）計算﹣+（+1）（﹣1）【分析】直接化簡二次根式以及結(jié)合平方差公式計算得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2+3﹣1＝+2．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．18．（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面積．【分析】根據(jù)兩個正方形木板的面積分別為18dm2和32dm2，分別求得18和32的算術(shù)平方根，則可得兩個正方形的邊長，然后用小正方形的邊長乘以兩個正方形的邊長之差即可得出答案．【解答】解：∵兩個正方形木板的面積分別為18dm2和32dm2，∴這兩個正方形的邊長分別為：＝3（dm），＝4（dm），∴剩余木料的面積為：（4﹣3）×3＝×3＝6（dm2）．【點評】本題考查了二次根式在正方形和長方形面積計算中的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的計算是解題的關(guān)鍵．19．（8分）如圖，點E在邊長為10的正方形ABCD內(nèi)，AE＝6，BE＝8，求陰影部分的面積．【分析】利用勾股定理的逆定理可判斷△ABE是直角三角形，利用正方形減去直角三角形的面積即可．【解答】解：在△ABE中，∵62+82＝102，∴AE2+BE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形，∠AEB＝90°；∴陰影部分的面積S＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝102﹣×6×8＝76．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，也考查了勾股定理的逆定理，解本題的關(guān)鍵就是利用勾股定理的逆定理判斷出△ABE是直角三角形．20．（9分）中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，請你利用這個圖形解決下列問題：（1）試說明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是3，求（a+b）2的值．【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）根據(jù)完全平方公式的變形解答即可．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為ab，小正方形面積為（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；（2）由圖可知：（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【點評】本題考查了對勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．21．（9分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一動點（不與點A重合），延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN．（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①當(dāng)AM的值為3時，四邊形AMDN是矩形；②若AM＝6，求證：四邊形AMDN是菱形．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得∠DNE＝∠AME，再由點E是AD邊的中點，可得AE＝DE，從而可證明△NDE≌△MAE（AAS），則NE＝ME，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；（2）①當(dāng)AM的值為3時，四邊形AMDN是矩形．根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定；②根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DNE＝∠AME，∵點E是AD邊的中點，∴AE＝DE，在△NDE和△MAE中，，∴△NDE≌△MAE（AAS），∴NE＝ME，∴四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①解：當(dāng)AM的值為3時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD＝6，∵點E是AD邊的中點，∴AE＝AD＝3，∴AM＝AE＝3，∵∠DAB＝60°，∴△AEM是等邊三角形，∴EM＝AE，∵NE＝EM＝MN，∴MN＝AD，∵四邊形AMDN是平行四邊形，∴四邊形AMDN是矩形．故答案為：3；②證明：∵AB＝AD＝6，AM＝6，∴AD＝AM，∵∠DAB＝60°，∴△AMD是等邊三角形，∴ME⊥AD，∵四邊形AMDN是平行四邊形，∴四邊形AMDN是菱形．【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖甲，筆直的公路上A，B兩點相距20km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝10km，CB＝5km，現(xiàn)在計劃在公路的AB段上建一個土特產(chǎn)品收購站E．（1）若規(guī)劃C，D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點多遠(yuǎn)處？（2）若規(guī)劃C，D兩村到收購站E的距離的和最短，請在圖乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計算得到距離的和最短值為25km．【分析】（1）設(shè)AE＝xkm，則BE＝（20﹣x）km，在Rt△ADE與Rt△BCE中，由勾股定理結(jié)合DE＝CE得出方程求出x的值即可求解；（2）作點C關(guān)于AB的對稱點C'，連接DC'交AB于點E，則點E即為所求，DC'長即為距離的和最短值，在Rt△DFC'中由勾股定理求出DC'的長即可．【解答】解：（1）設(shè)AE＝xkm，則BE＝（20﹣x）km，在Rt△ADE與Rt△BCE中，由勾股定理得，AD2+AE2＝DE2，BE2+BC2＝CE2，∵DE＝CE，∴AD2+AE2＝BE2+BC2，∴102+x2＝（20﹣x）2+52，解得x＝，即收購站E應(yīng)建在離A點km處；（2）如圖，作點C關(guān)于AB的對稱點C'，連接DC'交AB于點E，則點E即為所求，DC'長即為距離的和最短值，過點C'作C'F⊥DA交DA的延長線于點F，則DC'＝（km），故答案為：25．【點評】本題考查了作圖﹣應(yīng)用設(shè)計作圖，勾股定理，軸對稱﹣最短路線問題，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．（10分）如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美四邊形的是②④（填序號）．（2）【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等”，即，如圖甲，在四邊形ABCD中，若AC⊥BD，則AB2+CD2＝AD2+BC2．請判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由．（3）【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D，E分別是AC，BC的中點，連接AE，BD，有AE⊥BD，求AB．【分析】（1）利用垂美四邊形的定義依次判斷，可求解；（2）由勾股定理可得結(jié)論；（3）由三角形中位線定理可得AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，由垂美四邊形的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的對角線互相垂直，∴菱形、正方形是垂美四邊形，故答案為：②④；（2）猜想正確，理由如下：∵四邊形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）∵BC＝3，AC＝4，D、E分別是AC、BC的中點，∴AD＝AC＝2，BE＝BC＝，DE＝AB，∵AE⊥BD，∴AB2+ED2＝