二課時(shí)球體積表面積

第二課時(shí)球的體積和表面積1.知道球的表面積和體積的計(jì)算公式.2.能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求在計(jì)算球的表面積和體積的過(guò)程中，要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并進(jìn)行計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究1球的表面積與體積公式4πR2點(diǎn)睛1.思考辨析，判斷正誤(1)兩個(gè)球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(

)提示兩個(gè)球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶8.(2)球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面.()(3)球的表面積等于它的大圓面積的2倍.(

)提示S表＝4πR2＝4S大圓.×√×2.直徑為1的球的體積是(

)BCA.3π B.12C.12π D.36π4.表面積為8π的球的半徑是______.課堂互動(dòng)題型剖析2題型一球的體積和表面積【例1】

(1)一個(gè)球的表面積是16π，則它的體積是(

)D(2)據(jù)說(shuō)偉大的阿基米德逝世以后，敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑，在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案，圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面.試計(jì)算出圖形中圓錐、球、圓柱的體積比.解設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則V圓柱＝πr2h，公式是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件.思維升華解(1)設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π.題型二球的截面及切、接問(wèn)題角度1球的截面問(wèn)題【例2】

一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積.(1)解當(dāng)截面在球心的同側(cè)時(shí)，如圖(1)所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知AO1∥BO2，且O1，O2為兩截面圓的圓心，則OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.設(shè)球的半徑為Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).同理，得O1A＝20(cm).設(shè)OO1＝xcm，則OO2＝(x＋9)cm.在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，①在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，②聯(lián)立①②可得x＝15，R＝25.∴S球＝4πR2＝2500π(cm2)，故球的表面積為2500πcm2.當(dāng)截面在球心的兩側(cè)時(shí)，如圖(2)所示為球的軸截面，由球的截面性質(zhì)知，O1A∥O2B，且O1，O2分別為兩截面圓的圓心，則OO1⊥O1A，OO2⊥O2B.設(shè)球的半徑為Rcm，∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7(cm).(2)∵π·O1A2＝400π，∴O1A＝20(cm).設(shè)O1O＝xcm，則OO2＝(9－x)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋400.在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋49.∴x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合題意，舍去.綜上所述，球的表面積為2500πcm2.角度2外接球問(wèn)題【例3】

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為(

)A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2B(1)球的截面問(wèn)題的方法歸納：設(shè)球的截面圓上一點(diǎn)A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O(shè)1為直角頂點(diǎn)的直角三角形.解答球的截面問(wèn)題時(shí)，常用該直角三角形求解，并常用過(guò)球心和截面圓心的軸截面進(jìn)行求解.思維升華(2)常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決策略：①處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對(duì)稱性，球心總在特殊位置，比如中心、對(duì)角線的中點(diǎn)等.②解決此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”，作出軸截面圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算.【訓(xùn)練2】

(1)將棱長(zhǎng)為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為_(kāi)_______.(2)在半徑為R的球面上有A，B，C三點(diǎn)，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積.所以球的表面積S＝4πR2＝16π.一、牢記1個(gè)知識(shí)點(diǎn)球的表面積和體積.二、掌握一種方法——公式法三、注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)外接球、內(nèi)切球球心易找錯(cuò).

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.兩個(gè)球的半徑之比為1∶3，那么兩個(gè)球的表面積之比為(

)A.1∶9 B.1∶27C.1∶3 D.1∶1A2.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是(

)C解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則3.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為(

)A解析∵球的半徑為1，且正方體內(nèi)接于球，∴球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，即正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2.4.如圖，圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入3個(gè)相同的鐵球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球，則球的半徑為(

)BA.4cm B.3cmC.2cm D.1cm解析設(shè)球的半徑為r，依題意得三個(gè)球的體積和水的體積之和等于圓柱體的體積，5.(多選題)三棱錐P－ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，PC⊥底面ABC，若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.△PAB是鈍角三角形B.此球的表面積等于5πC.BC⊥平面PACBC解析

如圖，在底面三角形ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.由于PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC.∵PC∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，故C正確；由于PB2＋AB2－PA2>0，即∠PBA為銳角，∴△PAB是頂角為銳角的等腰三角形，故A錯(cuò)誤；取D為AB中點(diǎn)，則D為△BAC的外心，可得三角形ABC外接圓的半徑為1.二、填空題6.已知三個(gè)球的表面積之比是1∶2∶3，則這三個(gè)球的體積之比為_(kāi)____________.7.在半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這個(gè)半球的體積與正方體的體積之比為_(kāi)_______.在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，8.已知三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝2，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積是________，體積是________.12π三、解答題9.有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.解如圖，⊙O是球的最大截面，它內(nèi)切于△ABC，球的半徑為r.∴CD＝3r.(1)棱錐的表面積；解如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于E，連接PE.∵P－ABC為正三棱錐，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心.(2)內(nèi)切球的表面積與體積.解設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐.11.正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)與球它們的體積相等，它們的表面積分別為S正，S柱，S球，下面關(guān)系中成立的是(

)A.S球>S柱>S正 B.S正>S球>S柱C.S正>S柱>S球 D.S柱>S正>S球C∴S正>S柱>S球.12.在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________.13.如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是其內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積.解如圖，設(shè)球O的半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面AC