鐵人中學2023級高一下學期開學考試-數(shù)學答案

鐵人中學23級高一下學期開學考試數(shù)學試題（含答案）試題說明：1、本試題滿分150分，答題時間120分鐘。2、請將答案填寫在答題卡上，考試結束后只交答題卡。第Ⅰ卷選擇題部分一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．若a,b∈R，則“a<b”是“l(fā)na<A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因函數(shù)y=lnx在0,+∞上單調(diào)遞增，則lna<lnb?0<a<b，而a,b∈R，當a<b時，a，b可能是負數(shù)或者是0，即lna或lnb可能沒有意義，所以“a<b“l(fā)na<lnb”2.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B．1,2 C．2,3 D．3,4【答案】D【解析】函數(shù)fx因為f3=log33-所以函數(shù)fx的其中一個零點所在的區(qū)間是3,43.設，則的最小值為（）A.B.7C.4D.5【答案】B【解析】因為，所以，當且僅當，即時取等號，故選：B4.下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A.最小正周期為B.圖像關于點成中心對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.圖像關于直線成軸對稱【答案】B【解析】函數(shù)，當時，，所以圖象關于點成中心對稱，選項B正確；函數(shù)的最小正周期為，所以A錯誤；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯誤；正切函數(shù)不是軸對稱函數(shù)，所以D錯誤．5.已知，則（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】由題，得，則或，因為，所以，.6．已知a=234，b=312，c=log34，A. B. C.D.【答案】C【解析】依題意，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，于是得，即，函數(shù)在單調(diào)遞增，并且有，則，于是得，即，則，又函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則有，所以.故選：C7．已知函數(shù)的定義域為，且，若，則下列結論錯誤的是（）A．B．C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)是減函數(shù)【答案】C【解析】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故B正確、C錯誤、D正確.8．函數(shù)，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調(diào)遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知：或∴或∴或∵在上單調(diào)遞減，∴∴

①當時，取知此時，當時，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合取時，，此時，當時，滿足在上單調(diào)遞減，∴符合當時，，舍去，當時，也舍去②當時，取知此時，當時，，此時在上單調(diào)遞增，舍去當時，，舍去，當時，也舍去綜上：或2，.二、多選題（共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。）9．已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】由題意，所以的最小正周期，A錯誤；當時，所以的圖象關于直線對稱，B正確；當時，所以的圖象關于點對稱，C正確；當時，，所以在上不具有單調(diào)性，D錯誤；10.下列結論中正確的是（

）A.若函數(shù)，且，則m=2e2B.為偶函數(shù)，則的圖象關于對稱C.若函數(shù)y=6sinωx與y=6cosωxD.若0<φ<π，函數(shù)fx=cos2x+φ在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是【答案】BC【解析】對于A，因為f2x=xln2=ln2x，則fx=lnx，又，則m=e2，故A錯誤。對于B，由為偶函數(shù)，可得f-2x+3=f對于C，作出函數(shù)y=6sinωx與y=6cosωx的圖像，設兩圖像任意相鄰的三個交點分別為A，B由題意可知△ABC為等邊三角形，且AC＝4，所以函數(shù)y=6sinωx的最小正周期T＝AC因為|ω|＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，且ω為正實數(shù)，所以ω＝eq\f(π,2).對于D，當x∈-π6因為0<φ<π，函數(shù)fx=cos2x+φ所以-π3+φ,π3當x∈0,π6因為0<φ<π，fx在區(qū)間0,所以φ<π2<π311.已知函數(shù)，若，且，則下列結論正確的是（）A.B.C.的取值范圍是D.的取值范圍是【答案】ACD【解析】由可得，解得.作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可得，由，可得，即，得，A選項正確；令，解得，當時，令，解得，由于，，所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，則點、關于直線對稱，可得，B選項錯誤；，C選項正確；，下面證明函數(shù)y=x+1x在上為減函數(shù)，任取、且，則，，則，，所以，，所以，函數(shù)y=x+1x在，則，D選項正確.第Ⅱ卷非選擇題部分三、填空題（共3小題，每小題5分，共15分。）12．已知集合，若，則的最小值為______．【答案】【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.13．函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是______．【答案】14.已知x，y∈(0,π2)，且tanxtany+tanxsiny-sinx≤1，則x【答案】π【解析】由tanxtany+tanxsiny-sinx≤1，且x，y∈(0,π2)因為函數(shù)y=tanx，y=sinx均在(0,π2)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=tanx+sinx所以y≤π2-x，所以0<x+y≤π2.則x=-y-當y=2-m時等號成立，且此時0<2-m<π2，所以又函數(shù)fm=2(m-1)2在f2-π2=f(π所以當y=2-π2，x=π-2時，則x2三、解答題（共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．(本小題13分)已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域.（2）求不等式的解集.（3）當為何值時，關于的方程在內(nèi)的實根最多？最多有幾個？（直接給出答案即可，無需說明理由）【解析】（1）因為，所以當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.（2）因為，所以，則，所以，得的解集為.（3）當時，方程在內(nèi)的實根最多，最多有5個.16．(本小題15分)設fx（1）求f(π12)（2）若α∈(0,π2)，fα【解析】函數(shù)f=（1）令x=π12，則令2x+π3∈[2kπ-解得：x∈[kπ-5π12,kπ+則函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-5π12（2）因為fα=1因為α∈(0,π2)，所以2α+則sin=117．(本小題15分)已知函數(shù)（且）．（1）求的定義域；（2）若當時，函數(shù)在有且只有一個零點，求實數(shù)的范圍；（3）是否存在實數(shù)，使得當?shù)亩x域為時，值域為，若存在，求出實數(shù)的范圍；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由，得或．的定義域為；（2）令，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，又，在上為減函數(shù)；函數(shù)在有且只有一個零點，即在上有且只有一個解，函數(shù)在上的值域為，的范圍是．（3）假設存在這樣的實數(shù)，使得當?shù)亩x域為時，值域為，由且，可得．又由（2）知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．則在上為減函數(shù)，得．即在上有兩個互異實根，因，即，有兩個大于3的相異零點．則．由此，a的取值范圍是(0,3-218．(本小題17分)在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh(x)=e（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…（1）解方程：cosh（2）求不等式：的解集；（3）若對任意的t∈[0,ln2]，關于x的方程【解析】（1），故所求解為.（2）因為，恒成立，故是奇函數(shù)；又因為在上的嚴格增，在上的嚴格減，故是上的嚴格增函數(shù)，所以，即所求解集為.（3）因為是上的嚴格增函數(shù)，所以當時，成立；又因為，等號成立當且僅當，而當時，，所以函數(shù)的值域為，所以若關于的方程有解，只需對任意關于都成立，故只需，即.19．(本小題17分)已知函數(shù)fx=log（1）若y=lggx的值域為R（2）若非常數(shù)函數(shù)fx是定義域為-2,2的奇函數(shù)，且fx1-gx【解析】（1）因為函數(shù)y=lggx的值域為R，所以函數(shù)ggx當m=0時，gx=-2當m≠0時，令t=2x,t∈0,+∞當m>0時，ymin=m?2m2所以3-4m≤0當m<0時，2m<0，則函數(shù)y=mt即函數(shù)gx的值域為-綜上所述，0<m≤43，所以滿足條件的整數(shù)m的值為（2）因為函數(shù)fx是定義域為-2,2所以f0=0f-1=-f1，即由函數(shù)fx不是常數(shù)函數(shù)，所以a=2b=1，經(jīng)檢驗，符合題意，所以a=2b=1由?x