高中數(shù)學培優(yōu)講義練習：離散型隨機變量的數(shù)字特征

專題7.6離散型隨機變量的數(shù)字特征(重難點題型檢測)

參考答案與試題解析

選擇題(共8小題，滿分24分，每小題3分)

1.(3分)(2022春?江蘇常州?高二期末)下列說法正確的是()

A.離散型隨機變量的均值是［0,1］上的一個數(shù)

B.離散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平

C.若離散型隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X+1)=4

D.離散型隨機變量X的均值E(X)=共

【解題思路】利用離散型隨機變量的均值的定義即可判斷選項AB；

結合離散型隨機變量的均值線性公式即可判斷選項C；

由離散型隨機變量的均值為E(X)=即可得D選項.

【解答過程】對于人離散型隨機變量的均值是一個常數(shù)，不一定在［0,1］上，

故4錯誤，

對于B,散型隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，

故B正確，

對于C,離散型隨機變量X的均值E(X)=2,

則E(2X+1)=2E(X)+1=5,

故C錯誤，

對于D,離散型隨機變量X的均值E(X)=Pi,

故D錯誤.

故選：B.

2.(3分)(2022春.黑龍江綏化.高二期末)設f的分布列如表所示，又設〃=24+5,則E(〃)等于(

1234

1111

P

6633

7171732

A.B.D.

6633

【解題思路】根據(jù)分布列求出E(f),再根據(jù)期望的性質(zhì)計算可得.

【解答過程】解：依題意可得E(f)=1X；+2X；+3X：+4X；=￥，

66336

所以E(〃)=E(2f+5)=2E(f)+5=2x-+5=-.

63

故選：D.

3.(3分)(2023秋?河南焦作?高二期末)設隨機變量X,y滿足：y=3X-1,X?B(2,0,則。(丫)=()

A.4B.5C.6D.7

【解題思路】二項分布與n次獨立重復試驗的模型.先利用二項分布的數(shù)學期望公式求出。(X),再利用方差

的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】解：因為X?8=(2,目，則O(X)=2x：x(l—§=￡

又丫=3X-1,所以。(丫)=D(3X-1)=32￡>(X)=32x^=4.

故選:A.

4.(3分)(2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模)已知隨機變量X的分布列如下：

Pmn

若E(X)=I，則爪=()

1125

A.-B.C.-D.-

6336

【解題思路】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.

【解答過程】由己知得［a+Znnl,

解得Hl=I，

故選：B.

5.(3分)(2022.全國?高三專題練習)已知隨機變量X的分布列如下表(其中。為常數(shù))

X0123

P0.20.30.4a

則下列計算結果正確的是()

A.a=0.2B.P(X>2)=0.7C.E(X)=1.4D.D(X)=6.3

【解題思路】由概率之和為1可判斷A,根據(jù)分布列計算可判斷B,C,D.

【解答過程】因為0.2+0.3+0.4+a=1,解得a=0.1,故A錯誤；

由分布列知P(X>2)=0.4+0.1=0,5,故B錯誤；

E(X)=0x0.2+1x0.3+2x0.4+3x0.1=1.4,故C正確；

D(X)=(0-1.4)2X0.2+(1-1.4)2x0.3+(2-1.4)2X0.4+(3-1.4)2X0,1=0.84,故D錯誤.

故選：C.

6.(3分)(2022秋?浙江寧波?高二期中)設0<a<京隨機變量X的分布列是：

X-112

11aa

P----Q—1—

2222

則當。(X)最大時的a的值是A.；B.卷C.1D.5

416525

【解題思路】先求得E(X)="，E(X2)=1+|,得到D(X)=E(X2)-E2(X)=1+"-竽，結合二次函

2224

數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】根據(jù)隨機變量的分布列和數(shù)學期望與方差的計算公式,

可得E(X)=—1x-a)+1x(|+^)+2x

又由E(X2)=lx(|-a)+lxC+》+22x^=l+|a

可得D(X)=E(X2)_E2(X)=1+聲一等=..(a-農(nóng)產(chǎn)+黑,

因為0<a</所以當D(X)最大時的a的值為套

故選：D.

7.(3分)(2023秋.上海.高二期末)已知0<p</隨機變量f、4相互獨立，隨機變量f的分布為I

4的分布為｛1二，；｝，則當p在(0弓)內(nèi)增大時()

A.￡(§+〃)減小，￡)&+〃)增大B.E(f+〃)減小，+減小

C.E(f+〃)增大，D(f+〃)增大D.E(f+〃)增大，D(f+〃)減小

【解題思路】利用數(shù)學期望和方差的性質(zhì)直接求解.

【解答過程】由題意可得：F(f)-(-1)x|+1x|=E(〃)=(一1)x(1-p)+1xp=2p-1,

所以E(f+〃)=E(f)+E(〃)=-1+2p-l=2p-1.

所以當p在(0，)內(nèi)增大時，E隹+m增大.

D(f)=(-1+|)x|+(1+Jx|=^；D(j]')=(-2p)2x(1-p)+(2—2P￥xp=4p-4p2.

2

所以。(f+??)=4p—4P2+：=+y.

所以當p在(0,)內(nèi)增大時，D(f+〃)增大.

故選：C.

8.（3分）（2022秋?浙江?高三開學考試）互不相等的正實數(shù)旳,如萬3,%46｛1,2,3,4｝,如,看2，看3，%4是%1，%2，%3，*4

X=max(min{x,x},min{x；,%i)}

的任意順序排列，設隨機變量X,y滿足:ili234則（

Y=min{max{xj1,xi2},max{xi3,xi4}^

A.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y)B.E(X)>E(y),D(X)>D(Y)

C.E(X)<E(y),D(X)=D(K)D.E(X)>E(y),D(X)=D(y)

【解題思路】根據(jù)題意，分｛K1，久2｝=｛1,2｝或｛3,4｝,｛%1*2｝=｛1，3｝或｛2,4｝,｛/，右｝=｛1,4｝或｛2,3｝,得到

x,y的分布列求解.

X=max{min{x,x],min{x,x}]

【解答過程】解：因為隨機變量x,y滿足:ili2i3i4

Y-min[max{xil,Xt2},max{勾3,々4}}'

所以當{%1，%2}={1,2}或{3,4}時，X=3,y=2；

當3，町｝=｛1,3｝或｛2,4｝時，X=2,丫=3；

當｛/，電｝=｛L4｝或｛2,3｝時，X=2,Y=3；

所以x,y的分布列為：

X23

21

P

33

Y23

12

P

33

所以E(X)=2x|+3xq=|,E(y)=2x/3x|號，

D(X)=|x(2-|)2+|x(3-|)2=I，D(Y)*x(2—J+|*(3_/彗，

所以E(X)<E(Y),D(X)=D(Y),

故選：c.

二.多選題(共4小題，滿分16分，每小題4分)

9.(4分)(2022春?山西呂梁?高二期中)已知隨機變量X滿足E(X)=-4,D(X)=5,下列說法正確的是

()

A.E(l—X)=-5B.E(l—X)=5

C.D(1-X)=5D.D(1-X)=-5

【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的知識求得正確答案.

【解答過程】依題意，E(X)=-4,D(X)=5,

所以E(1-X)=1-E(X)=1-(-4)=5,

D(1—X)=(-1)2xD(X)=5.

故選：BC.

10.(4分)(2022春?黑龍江七臺河?高二期中)若隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=0)=；,E(X),D(X)

4

分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結論正確的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(4X+1)=4

?2

C.D(X)=VD.D(4X+1)=4

【解題思路】首先寫出兩點分布，再根據(jù)期望和方差公式求E(X),O(X),再根據(jù)E(4X+1)=4E(X)+1,

D(4X+1)=42。(X),計算期望和方差.

【解答過程】因為隨機變量X服從兩點分布，且P(X=0)=；，所以P(X=1)=

44

￡(X)=0xi+lx|=p所以P(X=1)=E(X),故A正確；

E(4X+l)=4E(X)+l=4x三+1=4,故B正確；

4

￡>(X)=(0-1)2Xi+(1-1)2X故C正確;

D(4X+l)=42D(X)=16x—=3,故D不正確.

16

故選：ABC.

11.（4分）（2022.高二課時練習）設ae（0,9，隨機變量X的分布列如表所示，隨機變量丫=3X+2,則

當a在（0彳）上增大時，下列關于E（y）、D（y）的表述正確的是（）

X-2-10

P2bb—aa

A.E（Y）增大

B.E（Y）先減小后增大

c.。（丫）先增大后減小

D.。（丫）增大

【解題思路】根據(jù)分布列的性質(zhì)求b,再由期望和方差公式求E（X）,D（X）,再由期望和方差的性質(zhì)求

E（y）,D（y）,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定E（y）,。（丫）的單調(diào)性.

【解答過程】"：2b+b-a+a=3b=l,--b=^,

E（X）=（-2）X—+（-1）x―a）+0xu=a—-,

故。（X）=（-2-a+1）x|+（-1-a+|）x（：—a）+（0—a+1）xa,

所以D（X）=-Gt2+<2+

又=3X+2,

E（Y）=3E（X）+2=3a—3,

所以當a在（0,J上增大時，E（K）增大，

D（Y）=9D（X）=-9a2+21a+2,

函數(shù)y=-9a2+21a+2在（—8,J上單調(diào)遞增，

.?.當a在（0,￡）上增大時，。（丫）增大，

故選：AD.

12.（4分）（2022春.廣東潮州?高二期中）2022年世界田聯(lián)半程馬拉松錦標賽，是揚州首次承辦高規(guī)格、

大規(guī)模的國際體育賽事.運動會組織委員會欲從4名男志愿者、3名女志愿者中隨機抽取3人聘為志愿者隊

的隊長，下列說法正確的有（）

A.設“抽取的3人中恰有1名女志愿者”為事件A,則p(a)=,

B.設“抽取的3人中至少有1名男志愿者”為事件8,則P(B)=卷

C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人數(shù)，則E(X)=y

D.用丫表示抽取的3人中男志愿者的人數(shù)，則。(丫)=爲

【解題思路】理解題意，利用超幾何分布，求概率，求期望，求方差即可.

【解答過程】對于A：從7名志愿者中抽取3人，所有可能的情況有C；=35(種)，其中恰有1名女志愿

者的情況有CK：=18(種)，故PQ4)=萼=!|,故A錯誤；

35

對于B：P⑻=盤。嗎產(chǎn)+盤=吧,故B正確；

C735

對于C：由題意知X的可能取值為0,1,2,3,貝UP(X=0)=昌=2，P(x=l)=1f,P(X=2)=魯

3535。735

P(x=3)=鳥=—,

'丿@35

所以E(X)=0x4+lx—+2xi|+3x—=-,故C錯誤.

353535357

對于D：由題可知y的可能取值為0,1,2,3,貝！Jp(y=0)=P(x=3)=親p(y=1)=P(x=2)=!|,

P(Y=2)=P(X=1)=弟P(Y=3)=P(X=0)=親

則E(y2)=0x—+lx—+4x—+9x—=—,

'丿353535357

E(y)=0X—+1X—+2X—+3X—,

'丿353535357

則D(y)=EU)一=g一(半了=笫故口正確

故選：BD.

三.填空題(共4小題，滿分16分，每小題4分)

13.(4分)(2023?全國?高二專題練習)已知隨機變量X服從兩點分布，且P(X=1)=0.4,設f=2X-3,

那么E⑹=-2.2.

【解題思路】先求出E(X),再由隨機變量的線性關系的期望性質(zhì)，即可求解.

【解答過程】E(X)=1x0.4+0x(1-0.4)=0.4,E(f)=2E(X)-3=-2.2

故答案為：-22

14.(4分)(2023?全國?高三對口高考)隨機變量X的分布列如表所示，若E(X)=扌貝|D(3X-2)=5.

X-101

1

Pab

6

【解題思路】利用離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的性質(zhì)，列出方程組，求出Q,b,由此能求出方差,

再根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得.

a+6+-=1(a=-

【解答過程】依題意可得彳161，解得｛:,

—lx-+Oxa+lxh=-

I63Ib=-2

所以。(*)=(一1-32*3+(。一§2*1+(1一1)2*3=,

所以。(3X-2)=32D(X)=9x|=5.

故答案為：5.

15.(4分)(2022?全國?高三專題練習)袋中有1個白球，2個黃球，2個紅球，這5個小球除顏色外完全

相同，每次不放回地從中取出1個球，取出白球即停，記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差，則E(X)=

0.

【解題思路】按照取出的球的順序羅列出X=0,X=-1;X=1,X=-2-X=2五種可能取值，針對每一種取

值分別求概率即可得出結論.

【解答過程】P(X=0)=|+|x|x|x2+fxix|xix6=^,

5543543215

n?\?.、21,212131

P(X=1)=P(X=-1)=—x—I—X—X—X—x3=一，

'’'丿5454325

7111

m=2)=P(X=-2)=-x-x-=-1

mx)=0xA+lxl+(_1)x|+2x±+(-2)x±=0.

故答案為：0.

16.(4分)(2022.高二單元測試)已知A,8兩個不透明的盒中各有形狀、大小都相同的紅球、白球若干

個，A盒中有m(0<m<10)個紅球與10-m個白球，8盒中有10-6個紅球與機個白球，若從A,8兩盒

中各取1個球，f表示所取的2個球中紅球的個數(shù)，則當。記)取到最大值時，m的值為5.

【解題思路】寫出隨機變量§的可能取值，求出對應概率，再根據(jù)期望和方差公式求出期望與方差，從而可

得出答案.

【解答過程】解：f的可能取值為0,1,2,

?n(10-7n)

P&=0)=S10-m

10100

10-m10-mmm(10-m)2+m2

P(f=1)-------1----一

10101010100

10-mm_

P(f=2)1010—100

所以f的分布列為

012

m(10—m)(10—m)2+m2m(10—m)

p

100100100

(

E(f)=01X10-*2+加+2>2rL^2=1,

5,100100100

，、、m(10-m),(10-m)24-m2,m(10-m)

D(f)=(0-l)2x…―-+(1-I)2x---------7---------+(2—l)2X[八--

屮i丿100i丿100100

=小加4/、(號%)2=|,當且僅當6=5時，等號成立，

所以當D(f)取到最大值時，機的值為5.

故答案為：5.

四.解答題(共6小題，滿分44分)

17.(6分)(2022春?遼寧撫順?高二期末)已知隨機變量X的分布列為

X-2-1012

1111

Pm

43520

(1)求E(X)

(2)若y=2X-3,求E(Y)；

【解題思路】(1)由分布列求出m的值，再根據(jù)隨機變量X期望公式可得答案;

(2)由E(y=ax+6)=aE(X)+b可得答案.

【解答過程】(1)由分布列得;+；+；+巾+2=1,解得爪=3

43520o

L八八一1-1,八1.117

E(X)=-2x--lx-+0x-+wlx-+2x—=——；

'丿43562030

(2)若y=2X-3,

則E(y)=2E(X)-3=2X(-粉—3=—If.

18.(6分)(2022.全國?高三專題練習)己知隨機變量X的分布列如表所示，且E(X)=|.

X01X

11

PP

23

⑴求。(X)的值;

(2)若y=X+4,求。(匕)的值；

(3)若Z=2-3X,求D(Z)的值.

【解題思路】(1)利用離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)以及期望和方差的計算公式即可求解；

(2)利用方差的性質(zhì)求解即可；

(3)利用方差的性質(zhì)求解即可.

【解答過程】(1)

由題意可知;+：+p=1,解得p=g

236

又?.?E(X)=0XL+1XN+XX2=2,解得X=2.

2363

.-.D(X)=(0-|)Zxl+(l-|)2x|+(2-|)Zxi=|.

(2)

=x+4,

.?.D(y)=D(x)=|.

(3)

"：Z=2-3X,

；.O(Z)=D(2-3X)=9D(X)=9x|=5.

19.(8分)(2023春?浙江?高三開學考試)第二十二屆世界足球賽于2022年H月21日在卡塔爾舉行，

是歷史上首次在中東國家境內(nèi)舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場設

計了一款足球游戲：場地上共有大、小2個球門，大門和小門依次射門，射進大門后才能進行小門射球，

兩次均進球后可得到一個世界杯吉祥物“拉伊卜”.已知甲、乙、丙3位顧客射進大門的概率均%射進小

門的概率依次為|,p3假設各次進球與否互不影響.

(1)求這3人中至少有2人射進大門的概率；

(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數(shù)為X,求X的分布列及期望.

【解題思路】(1)根據(jù)二項分布求概率公式計算即可求解；

(2)分別求出甲和乙、丙獲得“拉伊卜''的概率，再求出P(X=O)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3),列岀分

布列，結合數(shù)學期望的求法即可求解.

【解答過程】(1)設三人中射進大門的人數(shù)為匕則丫?

???P(.Y22)=P(Y=2)+P(K=3)=第(J)?]+(1=||；

(2)甲獲得“拉伊卜”的概率由=，|=%

乙、丙獲得“拉伊卜”的概率P2=9；=；

434

P(X=0)=(l-|)-(l-i)2=^

，尸(X=1)=9(1書+(1-)?].(1-3=11

P(X=2)=?H1_3+(1_1),G)=9

P(X=3)=X?2=B

X的分布列如下:

X0123

91571

P

32323232

g1671

.?.EW=0.-+l--+2.-+3--=l.

20.(8分)(2022秋?上海浦東新?高三階段練習)某種水果按照果徑大小可分為四類：標準果、優(yōu)質(zhì)果、

精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)如下:

等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

個數(shù)10304020

(1)若將頻率視為概率，從這100個水果中有放回地隨機抽取5個，求恰好有2個水果是禮品果的概率(結

果用分數(shù)表示)；

(2)用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給采購商參考，

方案1：不分類賣出，單價為21元/kg；

方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下：

等級標準果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果

售價(元/kg)16182224

從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案？

(3)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，X表示抽取的是

精品果的數(shù)量，求X的分布列及方差。(X).

【解題思路】(1)根據(jù)題意結合二項分布運算求解；

(2)根據(jù)加權平均數(shù)求方案二的平均單價，結合題意分析判斷；

(3)先根據(jù)分層抽樣求各層應抽取的樣本個數(shù)，再結合超幾何分布求分布列和方差.

【解答過程】(1)記“從這100個水果中隨機抽取1個，這個水果是禮品果”為事件A,則P(4)=蕓=3

從這100個水果中有放回地隨機抽取5個，設禮品果的個數(shù)為匕貝什?

故恰好有2個水果是禮品果的概率P&=2)=xx(l-=|||.

(2)方案2：每公斤的單價為元=16x蕓+18x蓋+22x蕓+20x磊=20.6(元)，

V21>20.6,故從采購商的角度考慮，應該采用第二種方案.

(3)用分層抽樣的方法從這100個水果中抽取10個，則標準果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果應抽取的個數(shù)

分別為1,3,4,2,即4個精品果，6個非精品果，

由題意可得：X的可能取值有：0,1,2,3,則有：

P(X=0)=尋=,P(X=1)=等="(X=2)=等=S，P(X=3)=m=表,

Cio6Jo2<-io1。Jo30

X的分布列如下：

X0123

131

P1

621030

則E（X）=0x/lx|+2x》3x點.

2222

P（X）=（0-|）xi+（l-|）x|+（2-gx^+（3-|）x^=j|.

21.（8分）（2022春?湖北?高二期中）某知名電腦品牌為了解客戶對其旗下的三種型號電腦的滿意情況,

隨機抽取了一些客戶進行回訪，調(diào)查結果如表：

電腦型號IIIIII

回訪客戶（人數(shù)）250400350

滿意度0.50.40.6

滿意度是指，回訪客戶中，滿意人數(shù)與總人數(shù)的比值用滿意度來估計每種型號電腦客戶對該型號電腦滿意

的概率，且假設客戶是否滿意相互獨立.

（1）從型號I和型號II電腦的所有客戶中各隨機抽取1人，記其中滿意的人數(shù)為X,求X的分布列和期望;

（2）用“厶=1”，“厶=1“，"3=1”分別表示I，II,III型號電腦讓客戶滿意，"1=0“，"2=0"，*3=0”

分別表示I,n,III型號電腦讓客戶不滿意，比較三個方差D（fi）、。記2）、。管3）的大小關系.

【解題思路】（1）由題意得X的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)

學期望.

（2）由題意口,厶,厶都服從兩點分布，由此能求出。（無）＞。（厶）=。管3）.

【解答過程】解：（1）由題意得X的可能取值為0,1,2,

設事件A為“從型號I電腦所有客戶中隨機抽取的人滿意”，

事件B為“從型號II電腦所有客戶中隨機抽取的人滿意”，且A,2為獨立事件，

根據(jù)題意，PQ4）=P（B）=|,

PCX=0）=P（AB）=P（A）P（B）=（1-0X（1-|）=A

P（x=l）=p（aM+M）=p（a萬）+P（而）=^X（1—1）+（1—3x|=5

-171

P（X=2）=P（AB）=P（4）P⑻=：xL，

；.X的分布列為:

X012

311

P

1025

E(X)=0x-+lx-+2x-=-.

'丿102510

(2)由題意fi，42,天3都服從兩點分布,

則=(x(i_y=1,

Da)=|x(l—|)6

25’

6

W3)=|x(l-|)

25

?"?)>鞏厶)=*?

22.（8分）（2022春?江蘇宿遷?高二期末）在做數(shù)學卷多選題時考生通常有以下兩種策略：

策略A：為避免有選錯得。分，在四個選項中只選出一個自己最有把握的選項，將多選題當作“單選題”來做,

選對得2分；

策略8：爭取得5分，選出自己認為正確的全部選項，漏選得2分，全部選對得5分.

本次期末考試前，某同學通過模擬訓練得出其在兩種策略下作完成下面小題的情況如下表：

概率

策略每題耗時（分鐘）

第H題第12題

A選對選項0.80.53

部分選對0.60.2

B6

全部選對0.30.7

已知該同學作答兩題的狀態(tài)互不影響，但這兩題總耗時若超過10分鐘，其它題目會因為時間緊張而少得1

分.根據(jù)以上經(jīng)驗解答下列問題：

（1）若該同學此次考試決定用以下方案：第11題采用策略B,第12題采用策略A,設他這兩題得分之和為X,

求X的分布列、均值及方差；

（2）若該同學期望得到高分，請你替他設計答題方案.

【解題思路】(1)先求出隨機變量X的可能取值，然后求出其對應的概率，列出分布列，即可求岀數(shù)學期

望與方差；

(2)依題意列出所有可能情況，分別求出數(shù)學期望，即可判斷；

【解答過程】(1)

解：設事件當為“第11題得0分”，事件為為“第