2023-2024學(xué)年吉林省通化市梅河口五中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省通化市梅河口五中高三（±）開學(xué)數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)全集U=R,Λ={x∣0<x≤3},B=（x?x<1},則圖中陰影

部分表示的集合為（）

A,{x∣l≤X<3}B.[x∣l<X<3}C.[x∣l<x<3}D.{x∣l≤%≤3}

2.已知αeR,z=黑（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則α=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.已知雙曲線C：l（b>0）的一條漸近線方程為y=則C的焦距為（）

A.y∕~3B.√^5C.2y∏>D.2√^5

4.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直

角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，若4B,CD都是直角圓錐S。底面圓的直徑，且乙4。。=宗

則異面直線SA與BD所成角的余弦值為（）

D,包

式可能為（）

AX一％3

?-f(X)=子

2

B./(χ)=eW?(x-1)

C.f(x~)=X3-ln∣x∣

X3-X

d?/(X)=

e∣M

6.已知集合A={x∈N?X2<8x},B={2,3,6},C={2,3,7},則8U(CAc)=()

A..{2,3,4,5}B..{2,3,4,5,6}

C..{L2,3,4,5,6}D.,{1,3,4,5,6,7}

7.已知復(fù)數(shù)Z=島，則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

4444

?-sB--57D--r

2

8.已知集合4={y∣y=√/一”,B=[x?y=lg(x-2x)),則CRG4nB)=()

11

A.[O,-)B.(-∞,0)U[-,+∞)

11

c.(θ,?)D.(-∞,0]U[i,+∞)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.近年來，新冠疫情波及到千家萬戶，人們的生活方式和習(xí)慣不得不發(fā)生轉(zhuǎn)變，短視頻成了

觀眾空閑時(shí)娛樂活動(dòng)的首選，某電影藝術(shù)中心為了解短視頻平臺(tái)的觀眾年齡分布情況，向各

大短視頻平臺(tái)的觀眾發(fā)放了線上調(diào)查問卷，共回收有效樣本4000份，根據(jù)所得信息制作了如

圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是()

A.圖中α=0.028

B.在4000份有效樣本中，短視頻觀眾年齡在10?20歲的有1320人

C.估計(jì)短視頻觀眾的平均年齡為32歲

D.估計(jì)短視頻觀眾年齡的75%分位數(shù)為39歲

10.已知函數(shù)/。)=5也(3萬+9)(-9<0<勺的圖象關(guān)于直線》=[對(duì)稱，貝∣J()

ZL4

A./(x)滿足/■給+x)=-/(?-%)

B.將函數(shù)f(x)的圖象向左平移,個(gè)單位長度后與g(x)=cos3x圖象重合

C.若If(XI)—/(X2)I=2,則IXl-gI的最小值為方

D.若y=Ifa）I在［α,b］上單調(diào)遞減，那么b-α的最大值是守

11.已知直線Z：%-y+5=0,過直線上任意一點(diǎn)M作圓C：（X-3>+y?=4的兩條切線,

切點(diǎn)分別為4B,則有（）

A.∣M4∣長度的最小值為4l∑-2

B.不存在點(diǎn)M使得NAMB為60°

C.當(dāng)IMCl?MB∣最小時(shí)，直線AB的方程為X-2y-1=0

D.若圓C與X軸交點(diǎn)為P,Q,則稱.質(zhì)的最小值為28

12.已知直三棱柱48。一力/16中4B1BC,AB=BC=BB1=2,

。是AC的中點(diǎn)，。為&C的中點(diǎn).點(diǎn)P是BCi上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確

的是（）

A.無論點(diǎn)P在BCl上怎么運(yùn)動(dòng)，都有&P1OB1

B.當(dāng)直線AlP與平面BBlCl所成的角最大時(shí)，三棱錐P-BCO的外接

球表面積為4兀

C.若三棱柱4BC-4BιG內(nèi)放有一球，則球的最大體積為學(xué)

D.?OPBi周長的最小值為C+。+1

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.If易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、

兌八卦），每一卦由三根線組成（“一“表示一根陽線，”表示一根陰線），從八卦

中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為.

丙午丁

14.設(shè)直線［過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，/與C交于A,B兩點(diǎn)，MBl為C

的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為.

15.已知橢圓C：捻+，=l(α>b>0)的離心率是好,若以N(0,2)為圓心且與橢圓C有公共

點(diǎn)的圓的最大半徑為小，此時(shí)橢圓C的方程是.

16.已知f(χ)=梵宵,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)X1，X2,無3,均存在以/01)，/(X2)./。3)為

三角形三邊的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為%,已知a3+α7=l8,α1+α5=10,各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)

列｛b7l｝,各項(xiàng)滿足63+生=小?1?5=表.

(1)求數(shù)列｛αll｝與｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cn=①手A.bn,求數(shù)列｛7｝的前Tl項(xiàng)和%.

18.(本小題12.0分)

己知數(shù)列｛a7t｝中，%=1，｛號(hào)｝是公差為義的等差數(shù)列.

(I)求｛αn｝的通項(xiàng)公式；

(2)若勾=^,7；為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，證明：Tn<2.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=)X+(α——2ακ,a€R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若/Q)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實(shí)數(shù)Xi，型使得f(xι)+f(x2)=-3,證

明：Xl+%2>2.

20.(本小題12.0分)

在44BC中，內(nèi)角4B,C的邊長分別為Q,b,c,且c=2.

(1)若4=*b=3,求SinC的值；

(2)若sinAcos??+SiziBcos2?=3s譏C,且△4BC的面積S=?sin?,求α和b的值.

21.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/(x)=Tnx2(Znx+?).

(I)若m=1,求曲線y=/(x)在(1,/(1))處的切線方程；

(H)當(dāng)HiWl時(shí)，要使/(x)>x/nx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

某公園有一塊邊長為3百米的正三角形ABC空地，擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域，用來種

植三種花卉.方案是：先建造一條直道DE將AABC分成面積之比為2：1的兩部分(點(diǎn)D,E分

別在邊4B,AC上)；再取DE的中點(diǎn)M,建造直道AM(如圖).設(shè)AD=X,DE=y1，AM=丫2(單

位：百米).

(1)分別求為，及關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

(2)試確定點(diǎn)Z)的位置，使兩條直道的長度之和最小，并求出最小值.

BC

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：圖中陰影部分表示的集合為4nCuB,

全集U=R,A=[x∣0<X≤3},B=[x∣x<1},CUB={x∣x≥1},

則AncUB={x∣l≤x≤3},

故選：D.

圖中陰影部分表示的集合AncUB，結(jié)合己知中的集合4B,可得答案.

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：Z=罌=鋁揩義=早+&押i為純虛數(shù)，

管l=o

則，J，解得α=-L

l?2≠o

故選:A.

根據(jù)己知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由雙曲線的方程C：9一，=l(b>0)可知，雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，α2=4,即α=2,

所以，雙曲線的漸近線方程為y=±?x=±gx,

因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=iχ,

所以b=1,

所以￠2=a2+b2=5,

所以雙曲線C的焦距為2c=2√-5?

故選：D.

由題知雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，b=l,進(jìn)而得c2=α2+∕√=5,再求焦距即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

S

【解析】解:連接AC,AD,

^]AC∕∕BD,

則異面直線Sa與BD所成角的平面角為ZSaC(或其補(bǔ)角),

設(shè)48=2,

由題意可得：AS=SC=y∕-2fAC=?/-3,

立+"2一5。2_R

貝IJCoSN?S∕C

2×AS×AC-4'

故選：C.

先作出異面直線所成角的平面角，然后結(jié)合余弦定理求解即可.

本題考查了異面直線所成角，重點(diǎn)考查了異面直線所成角的作法，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，對(duì)于4/(x)=≡∑≠,其定義域?yàn)镽,有f(-χ)=袋，不是奇函數(shù)，不

符合題意；

2

對(duì)于B,/(x)=eM?(x-l),其定義域?yàn)镽,有/(一X)=e∣M?(χ2-i)=f(χ),f(χ)是偶函數(shù),

符合題意；

對(duì)于C,f(x)=x3ln∣x∣,其定義域?yàn)閧x∣x≠0},不符合題意；

故選：D.

根據(jù)題意，用排除法分析：分析函數(shù)的奇偶性排除4B,利用函數(shù)的定義域排除C,即可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：集合4={x∈N?x2<8x}={x∈W∣0<X<8}={1,2,3,4,5,6,7},

B={2,3,6},C={2,3,7),

CIe)=",4,5,6},

所以BU(C4C)={1,2,3,4,5,6}.

故選：C.

化簡集合4根據(jù)補(bǔ)集與并集的定義，計(jì)算即可.

本題考查了集合的化簡與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

5(3-4Q34.

【解析】解：Z=言7

(3+4ι)(3-4i)5-5i

則復(fù)數(shù)Z的虛部為T

故選：B.

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：集合4=(y?y=Vx2-l}=(y?y≥0}=[0,+∞):

B={x?y=Ig(X-2x2)}=[x?x-2x2>0}={x∣0<x<?)=(0,?),

.?.4ClB=(θ,?),

???CRG4nB)=(-∞,0]u[∣,+∞)?

故選：D.

求函數(shù)的值域得集合4求定義域得集合B,

根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.

本題考查了求函數(shù)的定義域和值域的應(yīng)用問題，也考查了集合的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】CD

【解析】解：對(duì)于4,(0.015+0.033+α+0.011+0.011)X10=1,

解得α=0.03,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,由頻率分布直方圖知：短視頻觀眾年齡在10?20歲的人對(duì)應(yīng)頻率為0.15,

二短視頻觀眾年齡在20?30歲的有4000X0.15=600人，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,平均年齡工=(0.015×15+0.033×25+0.03×35+0.011×45+0.011X55)×10=

32,故C正確；

對(duì)于。，設(shè)75%分位數(shù)為X,則0.015X10+0.033X10+(x-30)x0.03=0.75,

解得：x≈39,故力正確.

故選：CD.

根據(jù)頻率之和為1求出ɑ的值，可判斷4由頻率和頻數(shù)的關(guān)系可求出觀眾年齡在10?20歲的人數(shù),

可判斷B,由平均數(shù)和百分位數(shù)的估計(jì)方法可判斷CD.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABCD

【解析】解：函數(shù)/(x)=sin(3x+(p)(-≡<φ<方的圖象關(guān)于直線X=:對(duì)稱，

???函數(shù)/(x)的最小正周期為?且3x*+9=k7r+*kez,

0=-；，f(x)=sin(3x一5.

根據(jù)fa+X)=Sinx,/(?-X)=Sin(-x)=-sinx=-/(x),可得/"舄+x)=-/(?-x),故

A正確；

將函數(shù)f(x)=Sin(3%-力的圖象向左平移3個(gè)單位長度后,可得y=sin(3x+/)=cos3x=g(x)的

圖象，故8正確；

若1/(與)-〃久2)1=2,則出一切的最小值為半個(gè)周期，即TX與=基故C正確；

若y=If(X)I=∣sin(3x-幼在［α,b］上單調(diào)遞減，那么b-α的最大值是半個(gè)周期，即TX空=*

故。正確，

故選:ABCD.

由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：由題知圓C的圓心為(3,0),半徑為r=2,

對(duì)于力：因?yàn)閳A心(3,0)到直線1：刀一丫+5=0的距離為6?=言=4，1，所以IMCImin=4/2，

所以|帆4|向”=JIMW=2/7,

對(duì)于B：假設(shè)存在點(diǎn)M使得NAMB為60。，如圖，則乙4MC=30°,

?AMCΦ,IMCI=2r=4,

由A知IMClrn譏=>4,故矛盾，即不存在點(diǎn)M使得乙4MB為60。，故8正確；

對(duì)于C：由于MCIaB,故四邊形MACB的面積為SΛMCB=T∣MQ?1倜=2SOMC=河川?r=

2?MA?,

所以IMCI?∣AB∣=4∣M川,故當(dāng)IMCI?∣4B∣最小時(shí),IMAl最小,由力選項(xiàng)知IMAlmin=

JIMCl篇lf2=2∕7,

此時(shí)MCIZ,l//AB,即直線AB的斜率為1,由于直線x-2y-1=0的斜率為熱故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：由題知IP(1,0),(2(5,0),設(shè)M(X+5),

MP-MQ=(1—x,—x—5)?(5—x,—x—5)=(5—x)(l—%)+(x+5)2=2x2+4x+30=

2(X+1)2+28≥28,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時(shí)等號(hào)，故而?麗的最小值為28,故O正確.

故選：BD.

由題知圓C的圓心為(3,0),半徑為r=2,進(jìn)而根據(jù)圓的切線問題依次討論各選項(xiàng)即可得到答案.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：因?yàn)橹比庵鵄CB-Icl中，BBIl平面ABC,

因?yàn)槠矫嫠?/p>

AB,BCU4BC,BBC4B,BB1LBC,

因?yàn)锳B1BC,

所以48,BC,BBI兩兩垂直，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?8=BC=BBi=2,。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BCl上的動(dòng)點(diǎn)，

則

B(0,0,0),C(2,0,0),4ι(0,2,2),Bl(0,0,2),C1(2,0,2),O(l,l,l),D(1,1,0),P(α,0,α)(0≤α≤2),

對(duì)于4選項(xiàng)，不=(α,-2,α-2),西=(-1,-審?西=-α+2+α-2=0>故審_L

故正確；

^OB^,A1P1OB1,A

對(duì)于B選項(xiàng)，由題已知平面BBICl的法向量為元=(0,1,0),中=(α,-2,α-2),

設(shè)直線4P與平面BBlCl所成的角為。，

所以M'=而麗==E贏=H而，虧,當(dāng)且僅當(dāng)α=l時(shí)等號(hào)成

立，

此時(shí)P是8C］的中點(diǎn)，BD=CD=CP=DP=y∏,,BC=2,

此時(shí)方。中點(diǎn)E到B,C,D,P點(diǎn)的距離均為1,故三棱錐P-BCD的外接球心為E,半徑為1,

所以三棱錐P-BCD的外接球表面積為4兀，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，三棱柱ABC-ABiG，內(nèi)放有一球，當(dāng)球的體積最大時(shí)，為該三棱柱的內(nèi)切球，

由于RtAABC內(nèi)切圓的半徑為r=2-y∏2.<1>故三棱柱ABC-&B1C1內(nèi)切球的半徑為r=2-

√^7.其體積不等于手故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，當(dāng)P是BCl的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)前=(0,-1,0),瓦戶=(1,0,-1),跖=(2,0,2)，

此時(shí)前?殖=0，而?帝=0,即前1跖，方1帝，

所以當(dāng)P是BCl的中點(diǎn)時(shí)，OPIBC1,OPlB1P,即。P,BlP取得最小值，

分別為OP=1，BlP=I∑,因?yàn)镺Bl=C，

所以△OPBi周長的最小值為門+/1+1,故。正確.

故選：ABD.

由題知AB,BC,BBl兩兩垂直，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用中.西=

0判斷4根據(jù)向量求解線面角得P是BCl的中點(diǎn)時(shí)直線4P與平面BBICl所成的角最大，進(jìn)而求解

幾何體的外接球判斷B；根據(jù)Rt△4BC內(nèi)切圓的半徑為r=2-√^I<1判斷C;根據(jù)P是BG的中

點(diǎn)時(shí)求解判斷D.

本題考查了空間中的直線與直線的垂直判斷，考查了線面角的求法，考查了空間想象能力與邏輯

推理能力，屬中檔題.

13.【答案】?

14

【解析】解：觀察八卦圖可知，含3根陰線的共有1卦，含3根陽線的共有1卦，

還有2根陰線1根陽線的共有3卦，含有1根陰線2根陽線的共有3卦，

.??從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線恰有兩根陽線，四根陰線的概率為：

p_￡|±￡i_A

Cl-14?

故答案為：?.

14

含3根陰線的共有1卦，含3根陽線的共有1卦，還有2根陰線1根陽線的共有3卦，含有1根陰線2根

陽線的共有3卦，由此能求出從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線恰有兩根陽線，四根陰線的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】V?

【解析】【分析】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線通徑的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

設(shè)雙曲線方程，由題意可得IABl=組=2X2a，求得爐=2。2,根據(jù)雙曲線的離心率公式e=

L,即可求得C的離心率.

【解答】

解：設(shè)雙曲線方程：卷一，=l(α>0,b>0),

由于直線E過雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直，因此直線，的方程為：X=C或x=-c,

代入與―4=1,解得：y=+—>

則IaBI=空,

a

由IABI=2×2α,

則爐=2a2,

???雙曲線離心率e=￡=J1+,=√~3,

故答案為

15.【答案】哈+4=1

【解析】解：由e=￡=與，得七Q=L即α2=2∕A

a2a22

得橢圓C的方程為W+4=l.

2bzbz

設(shè)P(X,y)是橢圓上任一點(diǎn)，依題意，IPNl的最大值為√^^,

則∣PN∣2=x2+(y-2)2=(2b2-2y2)+(y-2)2=-(y+2)2+2b2+8(-/?≤y≤b).

2

若b≥2,則y=-2時(shí)，?PN?max=√2b+8=√^26.

???b=3,此時(shí)橢圓方程為《+4=1；

189

若0<b<2,則y=-b時(shí)，?PN?max=b+2=√^26,

.?.b=√^6-2>2,矛盾.

綜上可得橢圓方程為蔣+q=1?

故答案為：2∣+^=ι.

由題意離心率可得α與b的關(guān)系，設(shè)P(X,y)是橢圓上任一點(diǎn)，依題意，IPNl的最大值為√^∕,由兩

點(diǎn)間的距離公式寫出|PN『=X2+(y-2)2=(2b2-2y2)+(y-2)2=-(y+2)2+2b2+

8(-b≤y≤b).分類討論求解b值，則橢圓方程可求.

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，

是中檔題.

16.【答案】一g≤k≤4

【解析】解：因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)%1、乂2、%，都存在以f(Xl)、f(X2)、f(X3)為三邊長的三角形，故/(Xl)+

xe

/(x2)>f(%3)對(duì)任意的%1、％2、3R恒成立.

2

/C(fX.)t日-ix環(huán)+k用x+^l=14+,菽fc-可1令A(yù)t=γ+^1+123,則rty=l+?k-(1t≥3),

當(dāng)k—l>0,即Zc>1時(shí)，該函數(shù)在(3,+8)上單調(diào)遞減，當(dāng)t=3時(shí)，y值最大，y=ι+與I=竽

則ye(1,爭，

當(dāng)k-l=O,BPfc=1時(shí)，y∈｛1),

當(dāng)kT<0,即k<l時(shí)，該函數(shù)在［3,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)k>1時(shí)，,；2</(Xi)+f(%2)-2"：、且1<f(X3)≤~y->故≤2>1</c≤4：

當(dāng)k=1時(shí)，?.?∕(尤1)=/(小)=∕Q?)=1，滿足條件；

當(dāng)k<l時(shí)，V?<<(Xi)+/(x2)<2,且警≤∕(>3)<1,故等≥1，???-2≤k<1;

綜上所述：—g≤/c≤4.

故答案為：—"≤k≤4.

因?qū)θ我鈱?shí)數(shù)匕、上、％3,都存在以/QJ、/(&)、/。3)為三邊長的三角形，則/01)+/(&)>/(X3)

對(duì)任意的與、X2,Λ?CR恒成立，將F(X)解析式用分離常數(shù)法變形，由均值不等式可得分母的取

值范圍，整個(gè)式子的取值范圍由k的大小決定，故分為三類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值

域，然后討論k轉(zhuǎn)化為F(Xi)+/02)的最小值與/。3)的最大值的不等式，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)k的取值范

圍.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于難題.

17.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛α7l｝的公差為d,正項(xiàng)等比數(shù)列｛bn｝的公比為q(q>0),

由償費(fèi)U，得產(chǎn)產(chǎn)二+力嗎解得,d=2,

1

(α1÷α5=10(Ql÷α1÷4α=10

所以αrι=1+2(n-1)=2n—1,

24

(e?+b6=?(b1q+b1q=?^

由1116,得116,又q>0,

〔瓦壇=正也q"=正1

解得瓦=1，Q=|>

所以bn=弓尸T；

2n1bn+2n1n

(2)由(1)可知Cn=~2??-=(3n+l)??,

23n

所以Tn=4x^+7x?+10×(?)+???+(3n+1)×(?,

112

-4XZ^+7X34n+1

2-7;L4?+10×φ+???+(3n+1)×φ,

兩式相減得T7；=4×∣+3[(∣)2+φ3+???+φn]-(3n+1)×φn+1,

即=；+3X斗岸一(3n+1).(獷+1+3-尹(3n+1)?(∣)n+1-

12

所以"=7一去一(3n+1)?(扔=7-(3n+7)?φn.

【解析】⑴設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d，正項(xiàng)等比數(shù)列也｝的公比為q(q>0),根據(jù)二常，

W=18,

[a；+^+4dll0從而求出電與d的值即可得出αn;由，+生：逐可得

(bq2+6Q4=?

\1116,結(jié)合q>0即可求出瓦與q的值，從而可得“；

(^4=?1

2n1n+2

(2)由(1)可知Cη=-+.φn-l=(3n+1),φn,從而利用錯(cuò)位相減求和法即可求出

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減求和法，考查學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能

力，屬于中檔題.

18.【答案】(1)解：由題意，可得?=1,

則數(shù)列｛詈｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

.?.?=l+∣(n-l)=ψ,

?an=""丁),九∈N*?

(2)證明：由⑴可得，兒=今=嬴=2.(卜磊)，

則Tjl=瓦+力2+力3+…+

=2.(1-?)+2?(?-?)+2?(?-?)+--?+2?(?-?)

=2?(l-i+∣-i+i-i+-+i-?

故不等式7；<2對(duì)任意n∈N*恒成立.

【解析】(1)由題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列｛詈｝的通項(xiàng)公式，然后由通項(xiàng)公式的關(guān)系即

可求得數(shù)列｛arι｝的通項(xiàng)公式：

(2)首先確定數(shù)列｛0｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消即可求出〃，即可證明7；<2.

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及數(shù)列求和與不等式的綜合問題.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化

歸思想，裂項(xiàng)相消法，不等式的運(yùn)算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

19.【答案】解：(l)∕(x)的定義域?yàn)?0,+8),因?yàn)?(x)=InX+(α-勺∕-2αχ,

所以「(X)=：+(2α—I)X-2a=Qa-D>j-20x+l=(x$(2；T)曰,

當(dāng)α≤凱寸，令匕'豈>°，得0<x<l,令｛?豈(。，得x>l，

當(dāng)女α<1時(shí)，則/T>1,令夕(凡>°,得O<尤<1,或%>-?-,

22a-llχ>O2α-l

令y'(2<°,得ι<χ<7?

tχ>O2ɑ-l

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)≥0,

當(dāng)a>lE?,則O<Qr<l,令仁(2>°，得O<x<Jπ,或x>l,

2a-llχ>O2a-l

1

令『'(*<°，得τ7<x<l,

綜上，當(dāng)a≤用寸，"X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)上遞減，

當(dāng)"<a<l時(shí)，/(x)在(0,1),(五匕,+8)單調(diào)遞增，在(1,S)上遞減,

當(dāng)a=1時(shí)，/Q)在(0,+8)單調(diào)遞增，

當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在(0,白),(1,+8)單調(diào)遞增,在(白,1)上遞減，

(2)證明：f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，由(1)可知a=l,

此時(shí)f(x)=Er+；/—2x,設(shè)Xl<如

因?yàn)閒(%ι)+］。2)=-3=2/(1),則O<x1<1<xz,

設(shè)g(%)=f(2-%)+/(%)+3,X∈(0,1)?

223

則g'(x)=-∕,(2-x)+∕,(x)=-?≤-+竺3-=?Ξk>o，對(duì)任意尤∈((U)恒成立，

所以g(x)在(0,1)是增函數(shù)，

所以對(duì)任意X∈(0,1),有g(shù)(x)<g(l)=2/(1)+3=0,

即對(duì)任意X∈(0,1),有/(2-X)+f(x)+3<0,

因?yàn)镺V%ι<l,所以f(2—x1)+f(?i)+3V0,

即有∕Q?)>/(2-Xi),又/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，

2

所以工>2—x1,即Xl+X2>2.

【解析】(1)定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得廣(X)=(XT)K2；I)A1],分三種情況當(dāng)α≤T時(shí)，當(dāng)：<α<1

時(shí)，當(dāng)Q=I時(shí)，當(dāng)α>l時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

(2)由(1)可知Q=1,此時(shí)"%—2%,設(shè)％1<%2，/(%ι)+∕Q?)=-3=2/(1),則

0<x1<1<x2,設(shè)g(x)=/(2一x)+f(x)+3,Xe(0,1),求導(dǎo)得g<χ)=釜著>0,對(duì)任意

X∈(0,1)恒成立，所以g(x)在(0,1)是增函數(shù)，所以對(duì)任意X∈(0,1),有g(shù)(x)<g(l)=2/(1)+3=

0,即對(duì)任意％∈(0,1),有f(2-X)+f(x)+3<0,因?yàn)镺<x1<1,所以f(2-XI)+f(x1)+3<0,

即有>∕(2-X1)，又/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以％2>2-%I,即可得出結(jié)論.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴AABC中，c=2,A=^,/)=3；

由余弦定理得，

a2=b2+C2-2bccosA=9+4—2×3×2×CoST-7,

解得α=√^^7;…(3分)

由正弦定理后=.，

SinCr

得SMC=誓=號(hào)；...(6分)

V77

(2)由InAcos2?+SinBcos2%=3sinC,

1+cosB1+cosA

降幕得siτM-+SinB?=3sinC，

22

化簡得sin4÷SinB=SsinC,...(8分)

即α+b=5c=10①；

又S=^absinC=ysinC,

得ab=25②；...(10分)

由①②解得α=6=5....(12分)

【解析】(1)由余弦定理和正弦定理，即可求得sin。；

(2)由題意，利用降基公式和正弦定理，結(jié)合三角形的面積公式，即可求得a、b的值.

本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，也考查了三角形的面積公式應(yīng)用問題，是綜合題.

21.【答案】解：(I)當(dāng)Jn=I時(shí)，可得i(X)=2xbn:+2x,

則切線的斜率k=∕,(1)=2,又/■⑴=?,

所以切線方程為y—?=2(%—1),即為4%—2y—3=0；

(II)當(dāng)Tn≤1時(shí)，要使f(%)>XznX恒成立，

等價(jià)為m%(?ι%÷?)>"%恒成立，且Tn≤1,

當(dāng)"％=-?,即％=言時(shí)，0>一3恒成立;

當(dāng)Lnx時(shí)，巾>:襄工恒成立,

ZX^inX+2)

1-1-11

可設(shè)C="1>一2，由-2(t+l)(2t-1)>0,可得一tv1可得g'(%)>0,g(χ)遞增;

t>?,可得g'(x)vθ,g(%)遞減，可得g(x)在t=%%=處取得最大值，

即有2；^Vm≤1;

當(dāng)"％?一；時(shí)，HlV工島恒成立，

zNu十刃

—lnxIfX-∣(Zmf+l)(2Znx-l)

設(shè)g⑺-χ(ta÷i)-g⑴=,婷中?，

可設(shè)￡=lnx,t<-?,由-