2023中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)匯編特訓(xùn) 專題20圖形的旋轉(zhuǎn)(共30題)(原卷版+解析)

專題20圖形的旋轉(zhuǎn)（30題）一、單選題1．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落在上，此時(shí)等于（

）

A． B． C． D．2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，把以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A．B．C．D．3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰直角，，，點(diǎn)C是矩形與的公共頂點(diǎn)，且，；點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．連接，，在矩形繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)和最短時(shí)，線段對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度分別為m和n，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．二、填空題5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）以正五邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正五邊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為_(kāi)_____°．6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是______．

7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)D作交于E，將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為_(kāi)_________．

8．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知曲線分別是函數(shù)的圖像，邊長(zhǎng)為的正的頂點(diǎn)在軸正半軸上，頂點(diǎn)、在軸上（在的左側(cè)），現(xiàn)將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)恰好在曲線上，則的值為_(kāi)_________．9．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，在的上方作，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，的面積為_(kāi)__________．

10．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)______．

11．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連接是的角平分線，則________．

12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是___________cm（結(jié)果用含的式子表示）．

13．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為_(kāi)_______．

14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知等腰，，．現(xiàn)將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，得到，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D．則的長(zhǎng)度為_(kāi)______．15．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）一副三角板和中，．將它們疊合在一起，邊與重合，與相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段的長(zhǎng)是___________，現(xiàn)將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），邊與相交于點(diǎn)H，連結(jié)，在旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積是___________．

三、解答題16．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．17．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長(zhǎng)．18．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．

(1)將向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫(huà)出；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，畫(huà)出；(3)在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中請(qǐng)計(jì)算出掃過(guò)的面積．19．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），連接，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過(guò)點(diǎn)作直線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．20．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)【問(wèn)題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，；，，（

）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．【問(wèn)題解決】（1）上述問(wèn)題情境中“（

）”處應(yīng)填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．

①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________；【問(wèn)題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．

21．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校瑸殇J角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．22．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接．當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．23．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；(2)當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問(wèn)題探究]如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

25．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）26．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．27．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線與三角尺角兩邊，分別交于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，求的值．29．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識(shí)后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動(dòng)：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G，以為邊長(zhǎng)向外作正方形，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：（1）當(dāng)在上時(shí)，連接相交于點(diǎn)P，小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn)，如圖①．針對(duì)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接，并延長(zhǎng)與相交，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③，將正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)P是中點(diǎn)，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．30．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，在等腰直角三角形中，，過(guò)點(diǎn)作射線，垂足為，點(diǎn)在上．

(1)【動(dòng)手操作】如圖②，若點(diǎn)在線段上，畫(huà)出射線，并將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意在圖中畫(huà)出圖形，圖中的度數(shù)為_(kāi)______度；(2)【問(wèn)題探究】根據(jù)（1）所畫(huà)圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點(diǎn)在射線上移動(dòng)，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與交于點(diǎn)，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

專題20圖形的旋轉(zhuǎn)（30題）一、單選題1．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D恰好落在上，此時(shí)等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∵，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何—旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．2．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，把以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答．【詳解】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，，故B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意，，故C選項(xiàng)不符合題意，，故A選項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，把以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)為射線、的交點(diǎn)．若，．以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，；④在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段最短時(shí)，的面積為．其中正確結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】證明即可判斷①，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出②，證明得出，即可判斷③；以為圓心，為半徑畫(huà)圓，當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，可得四邊形是正方形，在中，然后根據(jù)三角形的面積公式即可判斷④．【詳解】解：∵和是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正確；設(shè)，∴,∴，∴，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示

∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正確；④如圖所示，以為圓心，為半徑畫(huà)圓，

∵，∴當(dāng)在的下方與相切時(shí)，的值最小，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值時(shí)，∴故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線的性質(zhì)，垂線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知等腰直角，，，點(diǎn)C是矩形與的公共頂點(diǎn)，且，；點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．連接，，在矩形繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)和最短時(shí)，線段對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度分別為m和n，則的值為（

）

A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可求得，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的下方，且，，三點(diǎn)共線，求得，，根據(jù)勾股定理求得，即，當(dāng)線段達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且，，三點(diǎn)共線，則，，根據(jù)勾股定理求得，即，即可求得．【詳解】∵為等腰直角三角形，，∴，當(dāng)線段達(dá)到最長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的下方，且，，三點(diǎn)共線，如圖：

則，，在中，，即，當(dāng)線段達(dá)到最短時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且，，三點(diǎn)共線，如圖：

則，，在中，，即，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，根據(jù)旋轉(zhuǎn)推出線段最長(zhǎng)和最短時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）以正五邊形的頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則正五邊旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為_(kāi)_____°．【答案】【分析】依據(jù)正五邊形的外角性質(zhì)，即可得到的度數(shù)，進(jìn)而得出旋轉(zhuǎn)的角度．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∴新五邊形的頂點(diǎn)落在直線上，則旋轉(zhuǎn)的最小角度是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握正多邊形的外角和公式的運(yùn)用．6．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的平分線，且，將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形，且，則四邊形旋轉(zhuǎn)的角度是______．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，求得，即可求得旋轉(zhuǎn)的角度．【詳解】∵為的平分線，，∴，∵將四邊形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，得到四邊形，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，，，D是上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)D作交于E，將繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為_(kāi)_________．

【答案】【分析】首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，進(jìn)而得到，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵在中，，，，∴∵∴，∴∴∴∵∴∴∴∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理．8．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知曲線分別是函數(shù)的圖像，邊長(zhǎng)為的正的頂點(diǎn)在軸正半軸上，頂點(diǎn)、在軸上（在的左側(cè)），現(xiàn)將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)恰好在曲線上，則的值為_(kāi)_________．【答案】6【分析】畫(huà)出變換后的圖像即可（畫(huà)即可），當(dāng)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、在軸上時(shí)，根據(jù)為等邊三角形且，可得，過(guò)點(diǎn)、分別作軸垂線構(gòu)造相似，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】當(dāng)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)、在軸上時(shí)，連接，為等邊三角形且，則，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作軸的垂線，交軸分別于點(diǎn)，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．9．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，在的上方作，使，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)最小時(shí)，的面積為_(kāi)__________．

【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)P，由直角三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得垂直平分，為定角，可得點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，由含30度角直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)P，如圖，∵，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴,∴是等邊三角形，∴；∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵，∴垂直平分，，∴點(diǎn)F在射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，∴；∵，∴，∴，∵，∴由勾股定理得，∴，∴；

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，斜邊中線性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑是關(guān)鍵與難點(diǎn)．10．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)______．

【答案】或或【分析】連接，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴∴，∴∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，

當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，則

當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，如圖所示，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是矩形，∴即是直角三角形，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，連接是的角平分線，則________．

【答案】【分析】如圖，，，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可得：，，∵是的角平分線，∴，∵，，∴，則在中，∵，∴，解得：；故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是___________cm（結(jié)果用含的式子表示）．

【答案】【分析】由于旋轉(zhuǎn)到，故C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是的圓弧長(zhǎng)度，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】以A為圓心作圓弧，如圖所示．

在直角中，，則，則．∴．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，又，∴是等邊三角形．∴．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，．故弧的長(zhǎng)度為：；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了含角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．13．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為_(kāi)_______．

【答案】5【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，，，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知等腰，，．現(xiàn)將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，得到，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D．則的長(zhǎng)度為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先求得，當(dāng)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵等腰，，．∴，∴，,∴，如圖所示，當(dāng)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

∵，∴，，在中，，，∵等腰，，．∴，∵以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，如圖所示，當(dāng)以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

在中，，∴在中，∴∴∴∴∴，綜上所述，的長(zhǎng)度為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）一副三角板和中，．將它們疊合在一起，邊與重合，與相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段的長(zhǎng)是___________，現(xiàn)將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），邊與相交于點(diǎn)H，連結(jié)，在旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中，線段掃過(guò)的面積是___________．

【答案】；【分析】如圖1，過(guò)點(diǎn)G作于H，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，然后由可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得線段的長(zhǎng)；如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于，連接，，是旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中任意位置，作于N，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于M，首先證明是等邊三角形，點(diǎn)在直線上，然后可得線段掃過(guò)的面積是弓形的面積加上的面積，求出和，然后根據(jù)線段掃過(guò)的面積列式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1，過(guò)點(diǎn)G作于H，

∵，，∴，，∵，∴，∴；如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，與交于，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴，∵，∴，即垂直平分，∵是等腰直角三角形，∴點(diǎn)在直線上，連接，是旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中任意位置，則線段掃過(guò)的面積是弓形的面積加上的面積，∵，∴，∴，作于N，則，∴，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于M，則，∵，，∴，∴，∴線段掃過(guò)的面積，，，，故答案為：，．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積計(jì)算等知識(shí)，作出圖形，證明點(diǎn)在直線上是本題的突破點(diǎn)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．三、解答題16．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點(diǎn)；（2）；證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長(zhǎng)．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而可得，勾股定理解，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的距離最大，最大值為，當(dāng)在線段上時(shí)，的距離最小，最小值為；

（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)均在小正方形的格點(diǎn)上．

(1)將向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，畫(huà)出；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，畫(huà)出；(3)在（2）的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中請(qǐng)計(jì)算出掃過(guò)的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先作出點(diǎn)A、B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，、，然后順次連接即可；（2）先作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，然后順次連接即可；（3）證明為等腰直角三角形，求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積等于的面積加扇形的面積即可得出答案．【詳解】（1）解：作出點(diǎn)A、B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，、，順次連接，則即為所求，如圖所示：

（2）解：作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，順次連接，則即為所求，如圖所示：

（3）解：∵，，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)的面積為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移、旋轉(zhuǎn)作圖，勾股定理逆定理，扇形面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出平移或旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．19．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），連接，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過(guò)點(diǎn)作直線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）可先證，得到，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到和的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到線段與線段的數(shù)量關(guān)系．（2）可先證，得到，進(jìn)而得到，問(wèn)題即可得證．（3）分兩種情況：①點(diǎn)D在線段上，過(guò)點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)，設(shè)，利用勾股定理，可用含的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案．②點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn),令交于點(diǎn),連接,設(shè)，可證，進(jìn)一步證得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代數(shù)式表示，根據(jù)三角形面積公式，即可得到答案【詳解】（1）解：．理由如下：如圖，連接．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．由題意可知，為等腰直角三角形，為等腰直角三角形斜邊上的中線，，．又，．在和中，．，．．．．（2）解：為等腰直角三角形斜邊上的中線，．，．，，．，．，．在和中，．．．（3）解：當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，不滿足條件，故分兩種情況：①點(diǎn)D在線段上，如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作垂直于，交于點(diǎn)．設(shè)，則．根據(jù)題意可知，四邊形和為矩形，為等腰直角三角形．，．由（2）證明可知，．．．根據(jù)勾股定理可知，的面積與的面積之比②點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于，交延長(zhǎng)線于點(diǎn),令交于點(diǎn),連接,由題意知，四邊形，是矩形，∵∴即又∵，∴∴而∴∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，∴中，的面積與的面積之比【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)【問(wèn)題情境】劉老師先引導(dǎo)學(xué)生回顧了華東師大版教材七年級(jí)下冊(cè)第頁(yè)“探索”部分內(nèi)容：如圖，將一個(gè)三角形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)的位置，那么可以得到：，，；，，（

）

劉老師進(jìn)一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學(xué)就是一門哲學(xué)．【問(wèn)題解決】（1）上述問(wèn)題情境中“（

）”處應(yīng)填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置．

①請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)；②如果，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)_________；【問(wèn)題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個(gè)扇形紙板重疊，一個(gè)固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個(gè)在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開(kāi)紙板，使其擺動(dòng)到豎直位置時(shí)靜止，此時(shí)，兩個(gè)紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請(qǐng)你幫助小李解決這個(gè)問(wèn)題．

【答案】問(wèn)題解決（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等（2）①見(jiàn)解析；②問(wèn)題拓展：【分析】問(wèn)題解決（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）①分別作和的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)O；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可；問(wèn)題拓展，連接，交于，連接，，，由旋轉(zhuǎn)得，，在和中求出和的長(zhǎng)，可以求出，再證明，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：【問(wèn)題解決】（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等

（2）①下圖中，點(diǎn)O為所求

②連接，，扇形紙板繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)扇形紙板的位置，，,，設(shè)，，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為以點(diǎn)為圓心，圓心角為，為半徑的所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

【問(wèn)題拓展】解：連接，交于，連接，，如圖所示

．由旋轉(zhuǎn)得，．

在中，．在中，，，．

．．，

在和中，，又，，．又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形．21．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點(diǎn)；第二種：為直角頂點(diǎn)；第三種，為直角頂點(diǎn)，但此種情況不成立，故最終有兩個(gè)答案．【詳解】（1）在中，，在中，．（2）①如圖1，作于點(diǎn)，由（1）得，，則，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，

∴．∵∴．由旋轉(zhuǎn)知，∴．設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉(zhuǎn)得，，又因?yàn)?，所以．情況一：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2．

∵，∴落在線段延長(zhǎng)線上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3．

設(shè)與射線的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得，解得，∴．情況三：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，不符合題意．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，連接．當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)不與，重合），判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)在（2）的條件下，已知，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的基本性質(zhì)以及“斜中半定理”等推出，即可證得結(jié)論；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)推出，再結(jié)合正方形對(duì)角線的性質(zhì)推出，即可證得結(jié)論；（3）結(jié)合已知信息推出，從而利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）證：∵四邊形為正方形，∴，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即：，在與中，∴，∴；（2）解：為等腰直角三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，∴，，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形；（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∴，解得：，（不合題意，舍去），∴．

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并熟練運(yùn)用基本圖形的證明方法和性質(zhì)，掌握勾股定理等相關(guān)計(jì)算方式是解題關(guān)鍵．23．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；(2)當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；(3)如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】(1)2；30或210(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析；(3)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，與重合，證明為等邊三角形，得出；當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理逆定理得出，兩種情況討論：當(dāng)在下方時(shí)，當(dāng)在上方時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可；（2）證明四邊形是正方形，得出，求出，得出，求出，根據(jù)求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，即，確定將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓的周長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：∵和中，∴，∴當(dāng)時(shí)，與重合，如圖所示：連接，

∵，，∴為等邊三角形，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，∴，當(dāng)在下方時(shí)，如圖所示：

∵，∴此時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，如圖所示：

∵，∴此時(shí)；綜上分析可知，當(dāng)時(shí)，或；故答案為：2；30或210．（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖所示：

∵，∴，∴，∵，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為．（3）解：∵，為的中點(diǎn)，∴，∴，∴將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定圓的條件，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論．24．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）（1）[問(wèn)題探究]如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）[遷移探究]如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②不變化，，理由見(jiàn)解析；③，理由見(jiàn)解析（2），理由見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，即可得到結(jié)論；②作，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，可得，證明四邊形是矩形，推出，證明，得出，進(jìn)而可得結(jié)論；③作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，證明，即可得出結(jié)論；（2）先證明，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，則四邊形是平行四邊形，可得，都是等邊三角形，進(jìn)一步即可證得結(jié)論．【詳解】（1）①證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴；②的大小不發(fā)生變化，；證明：作，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；③；證明：作交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，如圖，

∵四邊形是正方形，∴，，∴，四邊形是矩形，∴，∴，∵，，∴，作于點(diǎn)M，則，∴，∵，∴，∴；（2）；證明：∵四邊形是菱形，，∴，∴是等邊三角形，垂直平分，∴，∵，∴，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，則四邊形是平行四邊形，，，∴，都是等邊三角形，∴，

作于點(diǎn)M，則，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形、菱形的性質(zhì)，矩形、平行四邊形、等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題．(1)下面是該問(wèn)題的一種常見(jiàn)的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫(xiě)角度數(shù)，④處填寫(xiě)該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，如圖1，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，

由，可知為①三角形，故，又，故，由②可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有③；已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在中，三個(gè)內(nèi)角均小于，且，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”，求的值；

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/，a元/，元/，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為_(kāi)__________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即可得出可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，在根據(jù)可證明，由勾股定理求即可，（3）由總的鋪設(shè)成本，通過(guò)將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，得到等腰直角，得到，即可得出當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為，然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可．【詳解】（1）解：∵，∴為等邊三角形；∴，，又，故，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，∴，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。帧咭阎?dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④．（2）將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由（1）可知當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，最小值為，

∵，∴，又∵∴，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∴最小值為，（3）∵總的鋪設(shè)成本∴當(dāng)最小時(shí)，總的鋪設(shè)成本最低，將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，，，，∴，∴，當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，即取最小值為，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為總的鋪設(shè)成本（元）故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．26．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點(diǎn)在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，在中，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．（3）如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，同（1）可得，進(jìn)而得出在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而求得，，根據(jù)得出，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，分別求得,然后求得，最后根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案為：．（2）∵，且，，∴，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示，

∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，以為邊在上方作，且，，連接，，，

同（1）可得則，∵，則，在中，，，∴在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，此時(shí)如圖所示，則，

在中，∴,，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作，于點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，中，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值問(wèn)題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．27．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）【問(wèn)題呈現(xiàn)】和都是直角三角形，，連接，，探究，的位置關(guān)系．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出，的位置關(guān)系：____________；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】(3)當(dāng)時(shí)，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使三點(diǎn)恰好在同一直線上，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)成立；理由見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）根據(jù)，得出，，證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（2）證明，得出，根據(jù)，求出，即可證明結(jié)論；（3）分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案為：．

（2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，連接，如圖所示：

設(shè)，則，根據(jù)解析（2）可知，，∴，∴，根據(jù)解析（2）可知，，∴，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此時(shí)；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，注意分類討論．28．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組探究了以下幾何圖形．如圖①，把一個(gè)含有角的三角尺放在正方形中，使角的頂點(diǎn)始終與正方形的頂點(diǎn)重合，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)三角尺時(shí)，角的兩邊，始終與正方形的邊，所在直線分別相交于點(diǎn)，，連接，可得．

【探究一】如圖②，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，同時(shí)得到點(diǎn)在直線上．求證：；【探究二】在圖②中，連接，分別交，于點(diǎn)，．求證：；【探究三