2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一年級(jí)下冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一下冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

選擇題部分

一、選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1-i

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足z-2i=——（i為虛數(shù)單位），則Z的虛部是（）

1+i

A.1B.iC.-iD.-1

2.在A4BC中，已知命題p：?A5C為鈍角三角形，命題^AB?8C>0,則P是q的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2

3.用半徑為3cm,圓心角為一》的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的高為（）

3

A.IcmB.夜CmC.2cmD.2>∕2cm

IT

4.在ZVUSC中，AB=7,BC=8,NC=—,則邊AC的長(zhǎng)為（）

3

A.3B.5C.3或5D.以上都不對(duì)

5.設(shè)〃?，〃是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（〉

A.m±n,n//a,則B.m//β,β±a,則

C.mLa,aVβ,則用〃/D.m±σ,m±β,則0〃,

6.已知Sin-,則sin2a----的值為（

77

2525

7.記α=0.2°J∕=0.1°?2,c=（√∑Γo?5,則（）

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.oa>b

8.有一直角轉(zhuǎn)彎的走廊（兩側(cè)與頂部都封閉），已知走廊的寬度與高度都是3米，現(xiàn)有不能

彎折的硬管需要通過走廊，設(shè)不計(jì)硬管粗細(xì)可通過的最大極限長(zhǎng)度為1米.為了方便搬運(yùn)，

規(guī)定允許通過此走廊的硬管的最大實(shí)際長(zhǎng)度為加=0.9/米，則〃1的值是（）

D.6√2

二、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的

得2分.）

9.如圖，正方體ABeo—4gG2中，AB=2,點(diǎn)。為qG的中點(diǎn)，點(diǎn)N為OA的中

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.。。與JBN為異面直線B.CQ±C1D1

2

C.直線5N與平面ABCr）所成角為30。D.三棱錐Q-NBC的體積為W

1

10.已知q,/是平面單位向量，且e//=］,若該平面內(nèi)的向量。滿足α?q=。?^2=1，

則（）

C.”|心9D?⑷昔

11.已知函數(shù)/（》）=5皿（0%+夕）（口＞0,-5＜/＜］）,則下面說法正確的是（）

JTTT

A.若口=2且/（x）圖象關(guān)于直線X=上對(duì)稱，則e=°

66

B.若勿=2且/（x）圖像關(guān)于點(diǎn)（萼,θ］對(duì)稱，則夕=V

C.若夕=巳且/*）在（θ,f［上單調(diào)遞增，則。的最大值為2

4I8J

π

若工且（）在［詞上的圖象有且僅有個(gè)最高點(diǎn)，則刃的取值范圍為

D.9=/x0,24'4J

4

12.在銳角A46C中，已知AB=4,AC=3,。為邊BC上的點(diǎn)，ZBAD=^CAD,則

線段AO長(zhǎng)的可能取值為（）

A.√6B.√7C.3.3D.2√3

非選擇題部分

三、填空題：（本大題共4小題，每題5分，共20分.）

13.已知復(fù)數(shù)馬=3+i*2=-l+3i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z∣,Z2,

則XOZ區(qū)的面積為.

14.已知直三棱柱ABC—A4G的高為4，AB=AC=2,Zβ4C=90o,則該三棱柱的

外接球的體積為.

15.已知人鉆。滿足48?4。=（48+4。＞3。，則CoSC的最小值為.

16.已知正?ABC邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)。滿足8。=2DC,P為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BA在BP

RP

的投影向量為加一^,則m的取值范圍為________.

?BP?

四、解答題：（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.）

17.（本題滿分10分）已知復(fù)數(shù)z=l+歷（?∈R,i為虛數(shù)單位），z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

在第四象限，且滿足∣z∣=2.

（1）求實(shí)數(shù)6的值；

（2）若復(fù)數(shù)Z是關(guān)于X的方程∕z√+2χ+q=0（p≠0,且p,qwR）的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求

P+4的值.

18.（本題滿分12分）在四棱錐P-ABC。中，PA_L平面ABcD,底面ABcD為正方形,

PA=AB,E和尸分別為PD和BC的中點(diǎn).

(1)證明：EF〃平面243；

(2)求二面角尸一￡。一A的余弦值.

TT

19.(本題滿分12分)在AMBC中，已知8=—,AC=2,B。為邊AC上的高.設(shè)

2

y=BD+DC,記y關(guān)于A的函數(shù)為y=∕(A).

(1)求y=/(A)的表達(dá)式及/(A)的取值范圍；

(2)若不等式時(shí)(A)+m≥∕"A)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

20.(本題滿分12分)如圖，在A45C中，。是線段BC上的點(diǎn)，且OC=23。，。是線

段AD的中點(diǎn)延長(zhǎng)30交AC于E點(diǎn)，設(shè)8。=/IAB+“AC.

(1)求4+〃的值;

(2)若ZXABC為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，求OE?BC的值.

21.(本題滿分12分)已知銳角ZVLBC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為m6,c,向量

機(jī)=(SinC,cosC),n=(2sinA-cosB,-sinB),且〃zJ_“.

(1)求角C的值；

(2)若α=2,求ZXABC周長(zhǎng)的取值范圍.

22.(本題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=ar2+x+2+∣0χ2—3x+2∣,其中αeR.

(1)α=l時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)已知存在三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)α,尸,7,使得/(a)=/(乃)=/(7)成立，求α+∕+y的

取值范圍.

答案

四、解答題：(本大題共6小題，共70分)

17.(1)；z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.?.b<0

?.?Iz∣=2,1+b~=4,：.b=—?/?

(2)(法一)由題可知，Z=I-Gi,2=1+JGi為關(guān)于X方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根

_2

Z+Z=--

P

Z-Z=—

P

P=-I

：?〈，p+q=—5

q=-4

(法二)將X=I-√5i代入方程可得(—2〃+2+q)+(―-2√3)i=0

—2p+2+q=0

^^-2√3p-2√3=0

P=-I

.*.<?*?p+q=-5

g--4

18.(1)(法一)取的中點(diǎn)連接ME,MB

'：M,E分別為B4,PO的中點(diǎn).?.ME是APAD的中位線

AD且ME=LAO

2

又F為BC的中點(diǎn)

：.8尸〃AD且BF=-AD

2

ME〃BF且ME=BF

.?.四邊形MeEE是平行四邊形

.?.EF〃MB,EF（z平面PAB,MBu平面PAB：.E產(chǎn)〃平面PAB

（法二）取Ao的中點(diǎn)M連接EN,FN

`:E,N分別為Pr>,A￡>的中點(diǎn).?.NE是APAD的中位線.,.NE//PA

'：FTV〃75A,EVZ平面抬氏PAu平面B48/.EN〃平面AzLB

同理.?.FN〃平面P43,ENFN=N

二平面〃平面硒/

又EFU平面ENF

：.￡/〃/平面RLB

(2)(法一)取AD的中點(diǎn)M連接尸N,過N作NG上PD交PD于G,連接尸G

：PA_1_平面ABCD,/Wu平面ABCD：.PA人FN

又FN上AD,PAAD=A

：.FN_L平面

.?.FN1PD又NG±PD

；?PD，平面尸NG

PD±FG

：.NEGN即為二面角產(chǎn)一七D—A的平面角

設(shè)B4=AB=4則FN=4,NG=應(yīng),FG=30

FG2+NG2-FN21

，cosZFGTV=

2FG?NG3

二面角F-ED-A的平面角的余弦值為

3

(法二)取Ar),DE的中點(diǎn)MG,連接NG,FG

設(shè)PA=AB=4,0F=EF=2√5

.,.ADEF為等腰三角形.?.FG±DE

VPA=AB：.AE±PD即NG±DE

：.NEGN即為二面角/一JED-A的平面角

FG2+NG2-FN2?

.?.CoSNFGN=

IFG-NG3

；?二面角F-ED-A的平面角的余弦值為

3

19.解：(1)由己知可得：AB=2cosA,8C=2sinA

.*./(A)=BD+DC=2cosAsinA+2sin2A

sin2A+1-cos2A=V∑sin(2A-?)+1

.八A冗.冗c4式37T

?0<A<—,??—<2A----<—

2444

.?.0</(A)≤0+1即/(A)的取值范圍為伍,、歷+1].

B

(2)由⑴知：/(A)+1>0

/2(A)

.?.m≥

/(A)+1

→.∣(〃-1)~u—-2〃÷11c*(qcΓ^~?IM

記〃=/(A)+l∈(l,2+√2],則lt=1------=-------------=〃+一一2在1,2+√2上單

Uu〃'」

調(diào)遞增.

__Q/?

.?.當(dāng)M=2+JΣ,即/(A)+1=2+JΣ,/(A)=I+√Σ,A=三時(shí),r取到最大值為1+&-.

82

.?.m≥ι+也^/y

即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為1+、一,+8

22√

20.解：(1)因?yàn)?。為AD的中點(diǎn)，DC=IBD,

BOBA+AOBA+-AD

2

=BA+-(-AB+-Ac}

2(33)

21

=——AB+-AC

36

211

又Bo=∕IA8+4AC,故幾=—,4=—,4+//=—

362

(2)(法一)設(shè)AC=rAE,因?yàn)?。為AD的中點(diǎn)，DC=2BD,

：.AO=-AD=-(AB+BD)=-AB+-BC=-AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

22262636

=-AB+-AE

36

VB,O,E三點(diǎn)共線，所以,+《=1,得，=4

故OE=AE—A。=上AC—-AB+-AC?^--AB+-AC

4(36J312

因?yàn)閆?A5C為邊長(zhǎng)為2的正三角形

故OEBC=(-+AC]?8C=?ABC+-J-C4?CB

312J312

Tt1π

??lBA∣?∣βC∣cos→-∣C4∣?∣CB∣cosy

1n211c215

321226

(法二)設(shè)AC=fAE

OE^AE-AO-AC--ADAC--?~AB+-AC\

t2t2U3J

=—京8+If)AC

—21

又由(1)知BO=--AB+-AC,6。與OE為非零的共線向量。

36

80與。應(yīng)為非零的共線向量，所以?6=-∣?,得，=4

6—3

：.OE=--AB+—AC

312

因?yàn)锳ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形

故OE?3C=(-LΛB+LAC]?BC=UA?BC+LCA?CB

I312J312

1711Tt

=-∣BA∣?∣BC∣cosy+-∣C4∣?∣CB∣cosy

?--~AB+-~Ac?~BC=-~Bλ~BC+-CACB

312J312

/.sinC(2sinA-cosB)_cosCsinS=O

.?.2sinCsinΛ-(sinCcosB÷cosCsinB)=0.*.2asinC-(ccosB+bcosC)二O

，24sinC-a=0/.sinC="

2

7Γ

?.,△ABC為銳角三角形，：.C=-

(1)(法二)Vmln?sinC(2sinΛ-cosB)-cosCsinB=0

.?.2sinCsinA-(sinCcosB÷cosCsinB)=0

.?.2sinCsinA-sin(C+β)=0/.2sinCsinA-sinA=O

/.sinA≠0.*.sinC=—

2

:△ABC為銳角三角形，???C=—

八4_、，asinB(6JCOSA+6SinA∕τcosA

(z2)(法一)b=--------=-------又-------L=------------------=√3+-------

sinAsinAsinAsinA

αsinC1

c=--------=-------

sinAsinA

周長(zhǎng)∕=α+"c=2+6+0+-L=2+G+0D

sinAsinAsinA

2?cos2—A]

=2+?/?d-----------=2+?/?d------------T-

2cos—sin—tan—

222

/冗、??r冗

由于ZVLBC為銳角三角形?.?AG0,-,0<C=———A<-

I262

πTtAππ

解得：A∈—∈

3^,T2^6,7

.?.AABC的周長(zhǎng)/的取值范圍為(3+6,2+2√3).

_asmB_(6)_cosA+?/?sinA_AcosA

(,法一.)D——;---=-----------=-----;------?V?H;---

sinAsinASinAsinA

同法一得Ae

222

由余弦定理得C=y∣a+b-2abcosC=y∣(b-y∕3)+l

周長(zhǎng)/=α+人+C=T(^^)+。+2

記/(Z?)=√0-√3)2+l+h+2

貝∣J/(3在6,竽)單調(diào)遞增

ZXABC的周長(zhǎng)/的取值范圍為(3+0,2+2百).

22.解：(1)當(dāng)α=l時(shí)，解不等式α√-3χ+2≤0得：14χ≤2

當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，

/(x)=X2+X+2-(X2-3X+2]=4X,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(-oo∕)(2,+∞)時(shí)，

/(%)=X2+X+2+(X2-3%+2)=2^%-^+1,對(duì)稱軸為直線x=g<l

此時(shí)/(X)在(一8，；)單調(diào)遞減，在(g/)，(2,+8)單調(diào)遞增.

/(%)在R上連續(xù)，所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(g,+8)

(2)由題意可得：函數(shù)/(X)至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間.

C2

—LX+4yI,無<一

3

(a)當(dāng)Q=O時(shí)，f(x)=X+2+1—3x+21=<?

4x,x>—

13

/(x)在卜8,|)單調(diào)遞減，在(|,+8)單調(diào)遞增.

此時(shí)不存在α,∕7/符合題意；

(b)當(dāng)α>0時(shí)

9

i)A=9-8α<0即“≥—時(shí)，依9一3x+2≥0恒成立

8

則/(x)=2a√一2χ+4,在[-8,單調(diào)遞減，在(A,+8)單調(diào)遞增，

此時(shí)也不存在a,β,γ符合題意;

9?

?i)A=9-84>0即0<α<—時(shí)，記Gr-3x+2=0的兩根為X,w(x∣<々)，

8l

2ax1-2x+4,x<%或X>X

則/(χ)=<