2024年中考數(shù)學(xué)核心幾何模型重點(diǎn)突破-31 幾何變換之翻折模型

專題31幾何變換之翻折模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析一

【理論基礎(chǔ)】

翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)

應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程

思想來考查。那么碰到這類題型，我們的思路就要以翻折性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合題中的條件，或

利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程來解題。

對(duì)于翻折和折疊題型分兩個(gè)題型來講，一類題型就是直接計(jì)算型，另一類是涉及到分類討論

型，由淺入深難度逐步加大，，掌握好分類討論型的翻折問題，那么拿下中考數(shù)學(xué)翻折題型

就沒問題了。

解決翻折題型的策略

1.利用翻折的性質(zhì)：

①翻折前后兩個(gè)圖形全等。對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等

②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分

2.結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）

3.運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。

翻折折疊題型（一），直接計(jì)算型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，

或利用勾股定理設(shè)方程來解題。一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，

以及常見的解題套路。

翻折折疊題型（二），分類討論型，運(yùn)用翻的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或

利用勾股定理設(shè)方程來解題。般難度較大，需要綜合運(yùn)用題中的條件，多種情況討論分析，

需要準(zhǔn)確的畫圖，才能準(zhǔn)確分析。

【例1】如圖，在中，點(diǎn)。是線段48上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E〃/C交3c于點(diǎn)E,

將"DE沿DE翻折，得到"'DE，若點(diǎn)C恰好在線段B7）上，若NBCD=90°,DC：CB'=3：

2,AB=16也，則的長度為（）

B'

【例2】如圖，點(diǎn)￡是菱形45CZ)的邊CO上一點(diǎn)，將沿4E折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)方

恰好在邊3c上，設(shè)*=般

C

(1)若點(diǎn)歹與點(diǎn)c重合，則k=.

(2)若點(diǎn)尸是邊8C的中點(diǎn)，則后=.

【例3】(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形45CD中，E為邊上一點(diǎn)，將A4EB沿8E

翻折到尸處，延長斯交CD邊于G點(diǎn)，求證：4BFG"4BCG.

(2)探究：如圖②，在矩形4BCD中，E為4D邊上一點(diǎn)，且4D=8,AB=6.將△/班

沿BE翻折到42環(huán)處，延長EF交BC邊于G點(diǎn)，延長BF交CD邊于點(diǎn)、H,且FH=CH,

直接寫出/￡的長.

3&D

BCB

圖①圖②

一、單選題

1.一張正方形的紙片，如圖進(jìn)行兩次對(duì)折，折成一個(gè)正方形，從右下角的頂點(diǎn)，沿斜虛線

剪去一個(gè)角剪下的實(shí)際是四個(gè)小三角形，再把余下的部分展開，展開后的這個(gè)圖形的內(nèi)角和

是（）度.

A.1080°B.360°C.180°D.900°

2.如圖，四邊形為平行四邊形，若將△NC5沿對(duì)角線/C翻折得到連接

則圖中與/C4D度數(shù)一定相等（除/C4D外）的角的個(gè)數(shù)有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)

3.如圖，點(diǎn)。，E是正兩邊上的點(diǎn)，將△ADE沿直線翻折，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好

落在邊/C上，當(dāng)/C=5Nb時(shí)，些的值是（）

2

7

4.如圖，在△N3C中，AB<AC,ZC=45°,AB=5,8C=40,點(diǎn)。在NC上運(yùn)動(dòng)，連

接8。，把△BCD沿3。折疊得到△2C7）,B。交AC于點(diǎn)、E,CD//AB,則圖中陰影部

分的面積是（）

5.如圖，正方形A8CZ）中，4B=4,延長。C到點(diǎn)尸（0<CF<4）,在線段C3上截取點(diǎn)P,

使得CP=CF,連接2RDP,再將△OCP沿直線。尸折疊得到△￡>￡/<下列結(jié)論：

①若延長DP,則。尸，必；

②若連接CE,則CE〃EB；

③連接尸況當(dāng)￡、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，CF=4也-4；

④連接/￡、AF,EF,若△/￡尸是等腰三角形，則。尸=40-4；其中正確有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

3

6.已知：如圖，在次△48C中，ZA=90°,48=8,tanZABC=-,點(diǎn)N是邊NC的中點(diǎn)，

2

點(diǎn)M是射線3c上的一動(dòng)點(diǎn)（不與3,C重合），連接應(yīng)W,將沿翻折得△瓦IW,

連接BE,CE,當(dāng)線段BE的長取最大值時(shí)，sinNNCE的值為（）

口#>

AV3R2A/3p,275

5555

7.如圖，nABCD^,對(duì)角線/C與3。相交于點(diǎn)E,/4DE=15°,BD=2^2,將“8C沿

/C所在直線翻折180。到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點(diǎn)2的落點(diǎn)記為夕，恰好9￡,

若點(diǎn)尸為2。上一點(diǎn)，則8戶的最短距離是（）

B'

8.如圖，將四邊形紙片/BCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CZ）上的點(diǎn)“處，折痕

為4P；再將△尸CM,分別沿PM,NW折疊，此時(shí)點(diǎn)C,。落在/尸上的同一點(diǎn)N

處.下列結(jié)論不正確的是（）

A."是C。的中點(diǎn)

B.MN1AP

C.當(dāng)四邊形/尸是平行四邊形時(shí)，AB=CMN

D.AD//BC

二、填空題

9.如圖，在直角坐標(biāo)系彳何中，一次函數(shù)y=-2x+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)/,與y軸相

交于點(diǎn)B.將“80沿直線AB翻折得到“BC.若點(diǎn)C在反比例函數(shù)了=々上/0）的圖象上,

X

貝！U=____________

10.如圖，在此△N8C中，ZA=90°,AB=4也,AC=4,點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，點(diǎn)、E是邊BC

上一動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線把△ADE翻折到的位置，B，D交邊BC于點(diǎn)、F,若ACB'F

為直角三角形，則C9的長為

11.如圖，將口N8C。沿對(duì)角線NC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)"處，若Nl=38。，Z2=31°,則

ND=.

12.如圖，ZPOQ=900,定長為。的線段端點(diǎn)工,3分別在射線OP,。。上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)/,B

不與點(diǎn)。重合），C為43的中點(diǎn)，作A。4c關(guān)于直線OC對(duì)稱的△CM'C,4。交43于點(diǎn)

當(dāng)AOBD是等腰三角形時(shí)，ZOBD的度數(shù)為.

13.如圖，拋物線＞=/-2x-3與x軸相交于4,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸上，且位于x軸

的上方，將△NBC沿直線NC翻折得到△/QC,若點(diǎn)夕恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，則點(diǎn)

C的坐標(biāo)為.

14.四邊形/BCD為平行四邊形，己知48=JR,BC=6,NC=5,點(diǎn)E是3C邊上的動(dòng)點(diǎn),

現(xiàn)將△/BE沿/￡1折疊，點(diǎn)夕是點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)CE長為x,若點(diǎn)Q落在△/￡>￡內(nèi)（包括

邊界），則x的取值范圍為.

15.如圖，點(diǎn)/、2分別在平面直角坐標(biāo)系xQy的y軸正半軸、x軸正半軸上，且04=4,

OB=3,將沿折疊，。的落點(diǎn)為尸，若雙曲線尸&過點(diǎn)P,則仁.

16.如圖，過點(diǎn)/折疊邊長為2的正方形/BCD,使2落在"，連接。"，點(diǎn)下為。*的

中點(diǎn)，則CF的最小值為.

三、解答題

17.如圖，四邊形/BCD中，AC=AD,ABAC=90°,ZBDC=45°.

DD

D

(1)求//3C的度數(shù)；

⑵把△BCD沿3C翻折得到MCE,過點(diǎn)/作/月L8E,垂足為歹，求證：BE=2AF；

⑶在(2)的條件下，連接若四邊形/8C。的面積為45,5C=10,求DE的長.

18.(1)［初步嘗試］如圖①，在三角形紙片N8C中，/4CB=90。,將△N8C折疊，使點(diǎn)3

與點(diǎn)。重合，折痕為則與3M的數(shù)量關(guān)系為:

(2)［思考說理］如圖②，在三角形紙片N2C中，AC=BC=6,48=10,將折疊，使

點(diǎn)8與點(diǎn)C重合，折痕為求瞿的值；

BM

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片/2C中，AB=9,BC=6,NACB=2/A,將△48C

沿過頂點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)2落在邊NC上的點(diǎn)"處，折痕為CM.

①求線段/C的長；

②若點(diǎn)。是邊NC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段。2’上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將沿折疊得到AA'PM,

、?、PF一

點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H與CP父于點(diǎn)F,求大的取值范圍.

MF

19.綜合與實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識(shí)，掌握了許多新技能.例如教材八年級(jí)下冊(cè)的

數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣.在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同

學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：

對(duì)折矩形紙片A8C。，使AD與8C重合，折痕為昉，把紙片展平：再一次折疊紙片，使點(diǎn)

/落在罰上的點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,折痕為破，把紙片展平，連接/N,如圖①；

圖③

(1)折痕8M所在直線是否是線段/N的垂直平分線？請(qǐng)判斷圖中A/3N是什么特殊三角形？

請(qǐng)寫出解答過程.

(2)繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)/落在3c邊上的點(diǎn)〃處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,得到折痕8G,把紙

片展平，如圖②，求/G3N的度數(shù).

(3)拓展延伸：

如圖③，折疊矩形紙片48co，使點(diǎn)/落在3c邊上的點(diǎn)/處，并且折痕交邊于點(diǎn)T,

交邊于點(diǎn)S,把紙片展平，連接44'交ST于點(diǎn)。，連接/T；求證：四邊形是菱

形.

20.圖，一張矩形紙片A8CD,點(diǎn)E在邊43上，將△8CE沿直線CE對(duì)折，點(diǎn)8落在對(duì)角

線NC上，記為點(diǎn)?

備用圖

(1)若48=4,BC=3,求/￡的長.

⑵連接。尸，若點(diǎn)。，F(xiàn),E在同一條直線上，且。少=2,求/￡的長.

21.如圖1,在△/BC中，BC=6,尸是8C邊的一點(diǎn)，且不與8,C重合，將△/尸8沿/尸

折疊得△/尸過點(diǎn)C作AP垂線，垂足為D,連接DABB',B'C.

A

AA

(1)/2和的數(shù)量關(guān)系是,AP與33,的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)四邊形ADC"是平行四邊形時(shí)，求8尸的長；

⑶在(2)的條件下，若BD=CD,求證：AB2-AC2=3ADDP.

22.矩形/BCD滿足2C=2/2,E、下分別為2C邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接M,沿E尸將四

邊形DEFC翻折至四邊形GEFH.

(1)①如圖1,若點(diǎn)G落在矩形A8CD內(nèi)，當(dāng)N3FE=57。時(shí)，直接寫出//EG

②如圖2,若點(diǎn)G落在48邊上,當(dāng)G為AB中點(diǎn)時(shí)，直接寫出sinZBFH=.

(2)如圖3,若點(diǎn)G落在4g邊上，且滿足

①求照的值(用含〃的代數(shù)式表示);

DE+CF

②在從方運(yùn)動(dòng)的過程中，直接寫出的值(用含〃的代數(shù)式表示)

AG

23.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

AD

如圖，在口中，/N為邊上的高,--------二m,點(diǎn)M在40邊上，且=點(diǎn)￡

AN

是線段上任意一點(diǎn)，連接85，將△45E沿跳1翻折得

(1)問題解決:

如圖①，當(dāng)―。。，將BE沿班翻折后