2024年高考數(shù)學高頻考點題型總結一輪復習講義 第07講 函數(shù)的基本性質Ⅰ-單調性與最值

2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結

第07講函數(shù)的基本性質I?單調性與最值(精講)

題型目錄一覽

①函數(shù)單調性的判斷與證

明

②求函數(shù)的單調區(qū)間

③復合函數(shù)的單調性

④函數(shù)單調性的應用

⑤函數(shù)的最值(值域)

一、知識點梳理

L函數(shù)的單調性

(1)增函數(shù)：若對于定義域/內的某個區(qū)間。(。1/)上的任意兩個自變量為、％，當西<%2時，都有

/(%1)</(x2),那么就說函數(shù)“力在區(qū)間D上是增函數(shù)；

(2)減函數(shù)：若對于定義域/內的某個區(qū)間。(。1/)上的任意兩個自變量占、x2,當吃<々時，都有

/(%1)>/(x2),那么就說函數(shù)/(九)在區(qū)間D上是減函數(shù).

(3)【特別提醒】

①單調區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式或集合表示.

②有多個單調區(qū)間應分別寫，不能用符號“U”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號”或“和”連接.

2.函數(shù)的最值

(1)最大值：一般地，設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：

①對于任意的行/,都有②存在使得=

那么，我們稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值.

(2)最小值：一般地，設函數(shù)y=/(九)的定義域為/,如果存在實數(shù)也滿足：

①對于任意的xe/,都有機；②存在/e/,使得/(%)=%

那么，我們稱機是函數(shù)了=/(九)的最小值.

（3）函數(shù)最值存在的兩個結論

①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.②開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大（?。┲?

【常用結論】

l.Vxi,x2er>（xi#x2）,―/區(qū)）>05x）在D上是增函數(shù);二〈0/（功在D上是減函數(shù).

須-x2再一x2

2.對勾函數(shù)y=x+@（a>0）的增區(qū)間為（一8,一6］和［、/￡,+oo）,減區(qū)間為［一JZ,0）和（0,4a］.

x

3.當於），g（;c）都是增（減）函數(shù)時，/U）+g（x）是增（減）函數(shù).

4.若%>0,則/尤）與於）單調性相同；若左<0,則破尤）與段）的單調性相反.

5.函數(shù)>=/（無）在公共定義域內與y=」一的單調性相反.

/（x）

6.復合函數(shù)y=/［g（創(chuàng)的單調性與函數(shù)尸加）和尸g（x）的單調性關系是“同增異減”.

二、題型分類精講

題型一函數(shù)單調性的判斷與證明

策略方法1.定義法證明函數(shù)單調性的步驟

e

設元一:任取%,%。，且Xi<尤2

作差|一火%J-/（%）

通常是把差式因式分解，配方，是分式的

變形一

一般要通分

定號而乳酥7GJ二刀小~的定貧...........

麗括通商藪/帝）至修兔反而萬壬而簞誦

下結論一

性

2.判斷函數(shù)單調性的四種方法

（1）圖象法；（2）性質法；（3）導數(shù)法；（4）定義法.

3.證明函數(shù)單調性的兩種方法

（1）定義法；（2）導數(shù)法.

_I1

【典例1】設函數(shù)〃x）="r?（x>2）,指出〃x）在（2,+8）上的單調性，并證明你的結論.

?X—2

【答案】Ax）在（2,+8）上單調遞增，證明見解析

【分析】設定義域內%>%>2,再計算/（%）-/（々）的正負判斷即可.

【詳解】/（x）在（2,+8）上單調遞增，證明如下:

—X+1-x+2-l__1

f(x)=取玉>龍2>2,貝!I

x—2x—2x—2

1%一2—%+2Xj—%2

%一2(%-2)(X2-2)(石一2)(%—2)

因為芯>工2>2,則再一々>0,(玉一2)(%-2)>0,得

/&)-/(/)>。，所以，/⑺在(2,+8)上單調遞增.

【題型訓練】

一、單選題

1.設函數(shù)y=〃x)滿足：對任意的士,％eR都有>0，則〃-3)與〃-兀)大小關系是()

〃%)-7(尤2)

A./(-3)>/(-7t)B./(-3)>/(-TT)

C.D./(-3)</(-TT)

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件確定函數(shù)的單調性，進而比較函數(shù)值大小即可.

【詳解】因為舟人>°當百>馬時/(玉)>/(%)；當芯<%時/(%)</(%,)；

所以函數(shù)在實數(shù)R上單調遞增，又-3>-兀，所以"-3)>〃-兀).

故選：A

2.設函數(shù)/(x)的定義域為R,已知P：/(x)為R上的減函數(shù)，q-3xx<x2,/(^)>/(%2),則P是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)單調性與充分必要條件定義判斷即可.

【詳解】若函數(shù)〃x)是R上的單調遞減函數(shù)，貝門玉<馬)(占)>/(馬)，反之不成立，所以。是q的的充分不必要

條件.

故選：A

二、填空題

3.若〃”=六，則函數(shù)在xe［0,l］上的值域是.

【答案】［0』

【分析】先根據(jù)函數(shù)單調性的定義判斷函數(shù)在［0』上單調遞增，進而即可求得值域.

【詳解】仆)=注=2(工+1)2-4(X+1)+2

=2(x+l)+—--4,

v7x+1X+1''x+1

任取X］,x2e［O,l］,且西<々，

=2(占一％)(%%+%+尤2)0

則〃再)-〃尤2)=

石+1x2+1(西+1)伍+1)

所以〃占)</(%),

所以函數(shù)/(尤)在［0,1］上單調遞增,

貝1〃力皿=〃0)=。，，(x)而="1)=1，

所以函數(shù)在x目0』上的值域是［0』.

故答案為：［0』.

1

4.對于函數(shù)定義域內的任意玉且X，給出下列結論:

⑴/(菁+%)=〃%)〃匕)

(2)/(—)=〃占)/?)

(3)

芭-x2

(4)不+斗

其中正確結論為：—.

【答案】(2)(3)(4)

【分析】舉反例否定(1);利用塞的運算性質判斷(2)；利用易函數(shù)單調性判斷(3)；利用求差法比較二者的大小

判斷(4).

【詳解】(1)當王=1,%=2時，，&+%)=八3)=g,〃占)/(々)=〃1)〃2)=應

則/■&+%)2/&)〃9),故錯誤;

(2)/(不%)=7^=衣?我=/(孑)/(々)，故正確;

(3)函數(shù)/(x)=/為增函數(shù)，則"，二仇)>0,故正確;

\2

%%1+%2+2,菁％2

(4)由玉片吃可得_15-值>0,

242

7

又>0,衣；6>0,則

x+x/(%)+/(%2)X+兀2+

則/l2>0,故正確

2222

故(2)(3)(4)正確.

故答案為：⑵(3)(4)

三、解答題

5.根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+工在區(qū)間(1,■)上單調遞增.

X

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)函數(shù)單調性的定義創(chuàng)建相關不等式證明即可.

【詳解】VX],x2e(1,+■?),且玉＜々，有

=(…)+^^=^^(刊_1).

Xi9X1X2

由天，X2G(1,+GO),得石＞1,X2＞1,所以石工2＞1，再入2-1＞。，

又由玉＜%，得再一%2＜0，于是[J(再入2-1)＜。,即

所以，函數(shù)y=x+^在區(qū)間(1,y)上單調遞增.

X

6.已知函數(shù)/⑺=矍?,〃1)=%/(0)=0.

⑴求“司的解析式；

⑵判斷并證明函數(shù)/(X)在(―,-2)上的單調性.

【答案】(1)/(司=左

(2)單調遞增，證明見解析

【分析】⑴根據(jù)41)=g,〃0)=0代入即可求得“尤)的解析式;

(2)先判斷了(x)的單調性，再利用單調性的定義證明即可.

f(0)=—=0

【詳解】(1)解:由題意得2,,,

/⑴上」

II'33

解得。=1*=0,

(2)在(-8,-2)上單調遞增，證明如下:

設任意%＜毛＜-2,

Mx2

玉+2%+2

xx(x2+2)—9(％+2)

(玉+2乂%2+2)

2(再一々)

(石+2)(7+2)

由再<%<—2,

得%+2<0,%+2<0,再一/<°,

???”占)-"尤2)<0,

即〃%)<〃%),

故f(x)在(-8,-2)上單調遞增.

7.設“X)對任意的羽yeR有/(x+y)=/(x)+/(y),且當尤>0時，/(x)<0.

⑴求證/(X)是R上的減函數(shù)；

(2)若"1)=-1,求〃尤)在卜3,3］上的最大值與最小值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵〃力小二工仆)…-2.

【分析】(1)由遞推關系得"0)=0、/(-無)=-/(?,利用單調性定義證明結論即可;

(2)由(1)知“力在卜3,3］上單調遞減，結合遞推關系和奇偶性求最值即可.

【詳解】⑴令尤=y=0,則有/(0+0)=〃0)+〃0)n〃0)=0,

令丁=-%,則/(0)=/(%)+/(—%)=0n/(-x)=-/(x),

設占,馬?R且為<X2，則/(%2-%)=/(％)+/(一%)=/(%)一/(%)，

因為3>0時/(力<0,所以〃/)—〃占)<0,

所以/(0是R上的減函數(shù).

(2)由(1)：〃尤)是R上的減函數(shù)，所以〃力在［-3,3］上單調遞減,

又/(3)=/⑵+/⑴=/(1)+〃1)+〃1)=3〃1)=-2,〃_3)=-，⑶=2,

所以/⑺皿=/(—3)=2,/(力地=A3)=-2?

題型二求函數(shù)的單調區(qū)間

7策略方法求復合函數(shù)單調區(qū)間的一般步驟

⑴求函數(shù)的定義域(定義域先行).

(2)求簡單函數(shù)的單調區(qū)間.

⑶求復合函數(shù)的單調區(qū)間，其依據(jù)是“同增異減

【典例1］已知函數(shù)/(x)=|x|(x—2)

(1)畫出函數(shù)圖象

(2)結合圖象寫出函數(shù)的單調增區(qū)間和的單調減區(qū)間.

【答案】(1)圖象見解析；

(2)增區(qū)間為(-8,0)和(1,+8),減區(qū)間為(0,1).

【分析】(1)根據(jù)絕對值的性質，結合二次函數(shù)的性質作出圖象即可;

(2)利用數(shù)形結合思想，結合函數(shù)單調區(qū)間的定義進行求解即可.

尤2—2x,x>0

【詳解】⑴因為〃x)=|x|(x-2)=

-x2+2x,x<0

所以該函數(shù)的圖象如下圖所示:

(2)由(1)中的函數(shù)圖象可知，該函數(shù)的增區(qū)間為(-叫。)和(1,+?),

減區(qū)間為(0,1).

【題型訓練】

一、單選題

1.函數(shù)y=/+尤+2,xe(-5,5)的單調減區(qū)間為()

A.(一＜?,一；)B.(-1-,+co)C.(-1-,5)D.(-5.一；)

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的對稱軸，即可判斷函數(shù)的單調性.

【詳解】解：函數(shù)y=f+%+2對稱軸為x=開口向上，

所以函數(shù)y=V+x+2,xe(-5,5)的單調減區(qū)間為15,-

故選：D

2.函數(shù)〃x）=V-2兇+5的單調增區(qū)間是（）

A.和（0,1）B.（一8,-1）和（l,+oo）

C.［一1,0］和［L+s）D.（-1,0）和（0,1）

【答案】C

【分析】由“力可得/（-力=（一期2-2卜乂+5=〃力,即為偶函數(shù)，則當x>0時,可得的單調區(qū)間,

進而得到xWO時，/>（X）的單調區(qū)間，即可得到答案

【詳解】解：由〃一力=（一幻2-2卜*|+5=/-2兇+5=/（同，

則〃x）為偶函數(shù)，的圖像關于y軸對稱.

當北0時，/（X）=X2-2X+5,對稱軸為X=1,所以“X）在［1,-）上遞增，在［0』遞減；

貝!J當xVO時，/（X）在［-1,0］遞增，在（一8,-1］遞減，

則有〃尤）的遞增區(qū)間為［T0］,［1,+<?）.

3.如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間/上是減函數(shù)，且函數(shù)y=在區(qū)間/上是增函數(shù)，那么稱函數(shù)y=/（x）是區(qū)間/上

X

的“可變函數(shù)”，區(qū)間/叫做何變區(qū)間”.若函數(shù)〃x）=d-4X+2是區(qū)間/上的“可變函數(shù)”，則“可變區(qū)間”/為（）

A.0°,—垃］和［V5,2］B.2］

C.（0/D.［1,否］

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分析函數(shù)y=f（x）和y=f（x）的單調區(qū)間，結合“可變函數(shù)”的定義分析可得答案.

【詳解】因為〃#=/-4*+2的單調遞減區(qū)間為（-8,2］,

>="^=尤+2_4在［0,+00)和(-00,-0］上為增函數(shù)，

XX

所以=尤2—4x+2的“可變區(qū)間”/為［應,2］和(-00,-72］,

故選：A

【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性的判定以及應用，關鍵是理解“可變函數(shù)”，“可變區(qū)間”的含義，屬于中檔題.

二、填空題

V-L1

4.函數(shù)y=—^的單調減區(qū)間為.

x-2

【答案】(-0,2)和(2,xo)

3

【分析】分離參數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得y=—3的單調區(qū)間，進而可求解.

X-L

【詳解】丫=五1=.2)+3=］+色,由于函數(shù)y=±的單調減區(qū)間為(一叫2)和(2,+s).

-x-1x-2x-2x-2

V-L1

故函數(shù)y=的單調減區(qū)間為(-8,2)和(2,+s).

x-2

故答案為：(-8,2)和(2,+00)

5.函數(shù)/(x)=|x-2|(x+l)的單調增區(qū)間是.

【答案】［鞏；和［2,+8)

【分析】先分類討論，去掉絕對值符號，然后利用二次函數(shù)的開口方向和對稱軸判斷單調遞增區(qū)間即可.

【詳解】當M2時，y(x)=(x-2)(彳+1)=*2一彳_2,此時“X)開口向上，對稱軸為x=；，因為X22,所以在［2,小)

上單調遞增；當彳<2時，/(X)=(2-X)(X+1)=-X2+X+2,此時開口向下，對稱軸為x=g,因為x<2,所

以在(-鞏g單調遞增；

故答案為：卜雙；和［2,+8)

三、解答題

6.已知二次函數(shù)的最小值為1,且滿足〃x)=〃-2-x),"0)=2,點［3,；)在基函數(shù)g(x)的圖像上.

⑴求“X)和g(x)的解析式;

⑵定義函數(shù)*(x)=<試畫出函數(shù)〃(X)的圖象，并求函數(shù)〃(x)的定義域、值域和單調區(qū)間.

【答案】⑴/(X)=X2+2X+2；g(x)=x-1

⑵作圖見解析；定義域為(-8,0)U(0,y),網(wǎng)力的單調遞增區(qū)間為(-1,0),單調減區(qū)間是(9,-1),(0,+8),網(wǎng)力

的值域為(-1,0)5。,收)

【分析】(D設二次函數(shù)f(x)=a(x—4+3g(x)=/,由待定系數(shù)法求解即可;

+2x+2,-14x<0,

(2)由(1)結合題意求出.(Mh畫出函數(shù)圖象求出函數(shù)/7(X)的定義域、值域和單調區(qū)間.

1或x)0

【詳解】(1)設二次函數(shù)/(x)=/x—研+兀,g(x)=f.

因為的最小值為1，所以％=1;因為〃x)=〃-2-X),所以力=—1;

因為〃0)=2,所以0=1.所以/(x)=d+2x+2.

將點(3,；1代入g(x)=f,求得6=一1,所以，g(x)=x\

(2)分別畫出函數(shù)丁=/(力和^=招(龍)的圖象，觀察圖象可得,

/(x),/(x)<-g(x),?X?+2x+2,-1Wx<0,

因為?(%)=所以*(x)=<

g(x),/(x)>-g(x),一,工(-1或工)0

所以，函數(shù)M")的定義域為(-e,0)U(0,y)

作出函數(shù)〃(x)的圖象如下:

由圖象得，力(X)的單調遞增區(qū)間為(-1,0),單調減區(qū)間是(F,-1),(0,y).

〃(x)的值域為(-1,0)5。,+?).

7.已知函數(shù)〃x)=(x-a)W+L(其中。>0)

⑴求函數(shù)/(X)的單調增區(qū)間；

⑵若對任意占,馬€[-1,。-1],使得尤J-/(%)|<2a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴(-",0)和||，+[

⑵a￡(0,8]

丫2_/VY|1丫

「.：一C，由分段函數(shù)的性質以及二次函數(shù)的單調性即可求

｛—X+ax+1,x<0

解；

(2)由(1)可以對參數(shù)進行分類討論0<aW1,當。>1時，需要討論。-1與|?大小關系，結合二次函數(shù)的圖像和

性質，分別求出函數(shù)的最值，列出關于“的不等式，求解即可得出答案.

【詳解】(1)〃X)=(尤-4)W+1=<\+>0

［—X+“x+L尤<U

因為Q〉0

所以函數(shù)/(無)為(-“,0)上為增函數(shù)，在［。,切上為減函數(shù)，在已+，|上為增函數(shù)，即其單調增區(qū)間為(一雙0)和

IF

⑵因為〃x)=(x-a)N+l=<:一

［-%+ox+l,x<0

①當0<aWl時，a-l<0,由(1)可知〃x)=V-辦+1在［-La-1］上為增函數(shù)，所以

7(西)-/伍)|</ST一"T)=2。=。?0』滿足題設，

②當。>1時，由(1)可知，需要討論。-1與|■大小關系，

(i)當l<aW2時，函數(shù)”尤)為［TO］上為增函數(shù)，在［O,a-1］上為減函數(shù)，

所以“X)最大值為〃0)=1，最小值在兩端點取，

f口+a42a

所以;KLo=no"又l<aV2,

［/(0)_f—1)<2〃［a_1W2Q

所以ae(l,2］,

(ii)當。>2時，函數(shù)7'(x)為［T,0］上為增函數(shù)，在0,|上為減函數(shù)，

在|，。-1上為增函數(shù)，

又-=

所以〃元)最大值為"0)=1,最小值在-1或］處取，

/(0)-/1)W2al+aW2〃

所以，/gcnlC8,

/⑼一/⑸2"匕2a

又a>2,

所以ae(2,8］,

綜上所述，ae(O,8］,

8.已知函數(shù)/(x)=|x-a|,ga)=*+2?x+l(a為正常數(shù))，且函數(shù)/⑴與g(￡)的圖象在y軸上的截距相等.

⑴求a的值；

⑵求函數(shù)〃尤)+g(x)的單調遞增區(qū)間；

【答案】⑴。=1;(2)［-1+?>)；

【詳解】(D由/'(0)=g(0)得|a|=l,又。>0,所以。=1;

(2)/(x)+g(x)=|x-l|+x2+2x+l,

2

X31時，f(x)+g(x)=x+3x9它在［1,+8)上是增函數(shù)，

2

元<1時，f(x)+g(x)=x+X+29它在［-;,1)上是增函數(shù),

所以函數(shù)/(x)+g(尤)的增區(qū)間是［-；,+8);

題型三復合函數(shù)的單調性

畬策略方法集合運算三步驟

闞用J漏荒集者手葩三素芨箕稿至的秦祥:血麗藪

?元素?「的定義域、值域，一元二次不等式的解集等

pEWjJ瓶腦元素滿定山泰祥薜方寢最示號裝，得百元豪

|集合|一［滿足的最簡條件，將集合清晰地表示出來

怛算jj利商交集最笄集而定爻紙辟,花荽前牙位用

|求解數(shù)軸或Venn圖來直觀解決

【典例1】函數(shù)/'(x)=ln，-2x-3)的單調遞減區(qū)間是()

A.(-oo,-l)B.(-<?,1)C.(l,+oo)D.(3,+oo)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和復合函數(shù)的單調性求解.

【詳解】/(x)=ln(x2-2%-3),函數(shù)有意義，則有爐_2》一3>0,得x<-l或x>3,

2

^M=X-2%-3,則當天€(-孔-1)時，u關于x單調遞減，當xe(3,+?0時，u關于x單調遞增，

又因為函數(shù)y=In”在定義域內單調遞增，由復合函數(shù)單調性知可知f(x)的單調遞減區(qū)間為(Y,-1).

故選：A

【題型訓練】

一、單選題

1.函數(shù)"尤)=&-性的單調遞增區(qū)間為()

A.[0,1]B.1一°°,gC.D.0,；

【答案】D

【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復合函數(shù)的單調性的判斷法則：“同增異減”即可求解.

【詳解】令公》-必會，解得〃司=477的定義域為[0,1]

”-爐+x在上遞增，在，上遞減，函數(shù)y=〃在[0,+向上為增函數(shù)

.1函數(shù)〃到=4^的單調增區(qū)間為[0,；

故選：D

z1\x2-2ax

2.已知〃x）=：在[1,3]上是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-8』B.[1,2]C.[2,3]D.[3,+00）

【答案】A

【分析】利用復合函數(shù)的單調性即可求解.

【詳解】令f=Y-2依，貝伊⑺[J',

因為/（元）在[1,3]上是減函數(shù)，由復合函數(shù)的單調性知，

函數(shù)f=d-26與/7（f）=[g]的單調性相反；

又因為力（。單調遞減，

所以r=必_2如需在[1,3]上單調遞增.

函數(shù),=%2—2辦的對稱軸為X=〃，所以只需要

故選:A.

3.已知函數(shù)/（同=<（垃）"’1，貝仃=/（2-引的大致圖像是（）

-Inx,x>1,

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，根據(jù)/(x),轉換后得到y(tǒng)="2-x)h(0)'轉1'，根據(jù)復合函數(shù)的單調性，可求得了(2-X)

—ln(2-x),x<1.

的單調性，進而可得正確選項.

【詳解】函數(shù)〃x)=<(0)'E',則y="2-x)=.(應)

-Inx,x>l,-ln(2-x),x<l.

根據(jù)復合函數(shù)的單調性，

當X21時，函數(shù)/(2-力單調遞減；

當x<l時，函數(shù)"2-無)單調遞增，只有A符合.

故選：A.

二、填空題

4.函數(shù)y=log2(l-x)U-2)的單調遞減區(qū)間是.

【答案】(|,2)

【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性原則即可由"=(l-x)(x-2),y=log2〃的單調性進行求解.

【詳解】令。-尤)(工-2)>0,解得l<x<2,

則y=log2(l-x)(x-2)的定義域為(1,2),

，,…3

記〃=(l_%)(%_2),y=log2〃,由于》=(1_%)(冗_2)的對稱軸為x=,,

故其在(52)上單調遞減，而y=log2u在定義域內單調遞增，

由復合函數(shù)單調性的原則可知：>=1嗚-2)在,2)單調遞減，

故答案為：

5.已知/(x)=log.(3-6)在［0,2］上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［怖］

【分析】由題意利用復合函數(shù)的單調性，結合對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的性質，求得實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】已知"X)=log.(3-歐)在［0,2］上是嚴格減函數(shù)，

由。>0,函數(shù)f=3-?在［0,2］上是嚴格減函數(shù)，所以函數(shù)y=logJ在定義域內是嚴格增函數(shù)，則有。>1,

又函數(shù)f=3-辦在［0,2］上最小值3-2a>0,解得a<］,

所以實數(shù)a的取值范圍是

故答案為：自，?

6.已知函數(shù)…(〃>o且2)在區(qū)間(_罰上單調遞減，則實數(shù)〃的取值范圍是.

4

【答案】0<cL<—^a>6

【分析】先明確〃x)=3薊(a>0且aR1)可看作由函數(shù)y=a",〃=彳2-(a-2)x+1復合而成，分類討論a>1和

0<?<1,根據(jù)復合函數(shù)的單調性的判斷，即可求得實數(shù)a的取值范圍.

【詳解】由題意可知〃尤)="郎+i(。>0且。r1)可看作由函數(shù)>=療,〃=/-5-2)x+1復合而成,

當時，y=a"為R上的增函數(shù)，

若函數(shù)〃x)=/2々倒加(°>0且a片1)在區(qū)間1,2)上單調遞減，

需滿足〃=f一①一2)x+1在屋,上單調遞減，即一22,a26；

當0<a<l時，>=/為R上的遞減函數(shù)，

若函數(shù)=㈤(°>0且在區(qū)間1.J上單調遞減，

需滿足〃=/一(。一2)x+l在［一*21上單調遞增，即片4一］,二。4：,貝！|0<。41，

4

故實數(shù)a的取值范圍是0<aV^或。

4

故答案為：0<4*或a26.

三、解答題

2—

7.已知函數(shù)/Q)=logi—^為奇函數(shù).

3x-2

(1)求常數(shù)上的值；

⑵判斷函數(shù)/⑴在(2,+℃)上的單調性.

【答案】⑴發(fā)=-1

(2)函數(shù)f(x)在(2,+w)上單調遞增

【分析】(D由奇函數(shù)的定義可知對于定義域內任意X有/(x)+f(-x)=O恒成立，由此即可求出答案;

(2)設/7(元)=二(尤>2),由函數(shù)單調性的定義易知〃食)在(2,+8)單調遞減，利用復合函數(shù)的單調性判斷“同增

x-2

異減”，則說明函數(shù)/⑴在(2,+s)上單調遞增.

2—

【詳解】(1)?.?函數(shù)/(x)=log]—7為奇函數(shù)，

3x-2

2—2+kx

：.f(x)+f(-x)=。恒成立，即log1--+log1---=0,

5%—2§—x-2

2—kx2+kx

/.logi=log11,

3yx-2-x-23

廿丫2一4

則log,2/=logj貝！=f—4恒成立，解得左=±1.

3x-4-

當％=1時，/?=10gi-舍去；

3x-2

X+2

當％=-1時，/W=logi-滿足題意.

3X一乙

故左=—1.

x+2

(2)由(1)知/(x)=logi-

3x-2

設依無)=y(x>2),

x-2

任取玉，々仁⑵")，且不>入2，

X+2%+2_%馬-％)

/Z(X1)—/z(x2)=

%1_2*2_2(玉一2)(%2—2)

*.*%%,/?X2-X1<0,

又?.*A,尤2G(2,+00),(七一2)(W—2)>。，

/./z(^)</z(x2)

???函數(shù)h(x)在(2,+8)上單調遞減.

又函數(shù)y=i°g;在。,+8)上單調遞減，

:.函數(shù)/(X)在(2,+8)上單調遞增.

8.已知函數(shù)/(X)='一"X(。豐0)

a

(1)若a>0,求/(尤)的定義域.

⑵若函數(shù)在區(qū)間(。用上是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)(f」(a>0)

a

(2)a￡(-8,0)5?！?/p>

【分析】(1)由題意，1-冰20,結合。>0解不等式即可；

(2)分a>0,〃<0兩種情況討論，由復合函數(shù)單調性以及函數(shù)定義域，分析即得解.

【詳解】(1)由題意，(2>0,l-ax>0:.ax<l.:.x<—

a

故函數(shù)一(X)的定義域為>0)

a

(2)當a>0時，t=l-6在(0,1］是減函數(shù)，y=〃在［。,+⑹是增函數(shù).

.?./(%)=正近在(0,1］上是減函數(shù)，

a

且%min=l-a..0：.0<a<l

當a<0時，7=1-方在(0,1]是增函數(shù)，了二小在四+^是增函數(shù)。

，函數(shù)在(0,1]是增函數(shù).

、=/(尤)=正區(qū)在(0,1]是減函數(shù)，t=l-ax>l9Vxe(0,l]恒成立.

a

，a<0時，/(x)在(0內是減函數(shù).綜上，在a<-8,0)50』時，在(。』上是減函數(shù)

題型四函數(shù)單調性的應用

畬策略方法L比較函數(shù)值大小的解題思路

比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其函數(shù)性質，轉化到同一個單調

區(qū)間內進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結合的盡量用圖象法求解.

2.求解含丁，的函數(shù)不等式的解題思路

先利用函數(shù)的相關性質將不等式轉化為了(g(x))>/(/z(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調性去掉，廣，得到一

般的不等式g(x)>/z(x)(或g(x)</z(x)).此時要特別注意函數(shù)的定義域.

3.利用單調性求參數(shù)的范圍(或值)的策略

⑴視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求

參數(shù).

⑵解決分段函數(shù)的單調性問題，要注意上、下段端點函數(shù)值的大小關系.

【典例1】已知函數(shù)〃X)=d-米-8在[1,4]上單調，則實數(shù)上的取值范圍為()

A.[2,8]B.[—8,—2]C.(—co,—8][-2,+oo)D.2]u[8,+<?)

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解.

【詳解】/。)=尤2-質-8的對稱軸為智，

若/食)=尤2一筋_8在[1,4]上單調遞增，則gwi,解得％42,

若/食)=/一履一8在[1,4]上單調遞減，貝!jgz4,解得人28,

所以實數(shù)k的取值范圍為(y,2]38,y).

故選：D.

\og3x+ax>\

【典例2】已知函數(shù)〃x)='一+2]<i，若/(a)=l，則不等式/(/一8)</(2幻的解集為()

A.(-2,4)B.(-2,+oo)C.?2)D.(-1,4)

【答案】A

【分析】先由/(〃)=1,求得了"),再判斷其單調性，然后由/(/-8)</(2彳)，利用其單調性求解.

log3x+ax>l

【詳解】解：因為函數(shù)〃X)=2J且/(〃)=1,

I3

當at］時,log3a+a=l,解得。=1,

當avl時，3a-2+--l,解得a=l(舍去)，

log3X+1,X>1

所以小)=22,

DH---,A<.1

I3

當時,f(x)=log3—+l單調遞增;

79

當x<l時，/(尤)=31+§,單調遞增，且。31+1=3"+3

所以〃x)在R上遞增，

因為/(d-8)</(2元)，

所以f一8v2x,即x2-2x-8<0,

解得-2Vx<4,故選：A

【題型訓練】

一、單選題

1.“a<-2”是“/(x)=x+g在(0,+?>)上單調遞增”的()

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】充分性直接證明，必要性舉特值驗證.

【詳解】(2。<-2，〃彳)=犬+0在(0,+8)單調遞增，充分性成立，

X

若〃=-1時)=%+?在(0,+8)單調遞增，但是不滿足av-2,所以必要性不成立.

故選：A

2.若函數(shù)〃力=［-：+機在［2,4］上單調遞增，則實數(shù)加的范圍為()

111

A.m>\B.m>—C.—<m<lD.m<—

222

【答案】A

【分析】通過換元轉化為熟悉的二次函數(shù)，則所給區(qū)間即為已知函數(shù)單調區(qū)間的子集，即可求得加的取值范圍.

【詳解】令，=3貝！Pe屋,貝?。輌⑺=t2—mt+m,對稱軸為,=-，=-?=?,則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為

x1_42」2a22

(一鬼三，因為y為減函數(shù)，且〃無)=*-三+，"在［2,4］上單調遞增，所以達［一叫羨，則解得

m>l.

所以實數(shù)m的范圍為21.

故選：A

3.已知函數(shù)〃x)=log/3-依)在［0,1］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(0,1)1(1,3)D.(0,3)

【答案】B

【分析】根據(jù)單調區(qū)間是定義域的子集可知：3-依>0在［0』上恒成立，然后再將原函數(shù)看成一個對數(shù)和一個一

次函數(shù)的復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的單調性特性可得答案.

【詳解】依題意3-依>0在［0』上恒成立且。>0,。h1,

:.3-a>0:.ae(0,l)u(l,3)

又〃x)可看成、=1。8/〃=3-辦的復合函數(shù)，"=3-?x單調遞減，欲使〃尤)是減函數(shù)，只需y=bg.”遞增,

/.cze(1,3).

故選：B

f(3a—l)x+4?,x<1

4.已知函數(shù)/Xx)=:/二滿足對任意上,三,當，時都有MM>>0成立，貝I］。的取值范圍是

［x-ax+o,x>l七一馬

()

A.［2,^o)B.',2C.D.［1,2］

【答案】C

【分析】利用增函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】對任意占，三，當玉片時都有")一g>0成立，

項-x2

［Cia—l)x+4a,x<l

所以函數(shù)f(x)=2A'在R上是增函數(shù)，

1%—ar+o,x>1

3a—1>0

所以常，解得所以實數(shù)”的取值范圍是

3a—1+4aVI—a+6

故選：c

5.己知函數(shù)是定義域為（0,+?）的減函數(shù)，若/（2-2〃2）＞/。+〃?），則實數(shù)相的取值范圍是（）

A.1+,B.（-。C.D.113

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域和單調性得到0＜2-2〃7＜1+〃7,解得答案.

【詳解】函數(shù)是定義域為（0,+"）的減函數(shù)，因/（2-2〃?）＞/（1+機）,

r^0＜2—2m＜l+m,解得;＜加＜1,

故選：C

6.已知函數(shù)八x）的圖象關于y軸對稱，且式x）在（一oo,0］上單調遞減，則滿足7（3x+l）＜/［；］的實數(shù)x的取值范圍是

（）

A.1一）B.「，一力C.［J］D.卜卜力

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，可得函數(shù)/（X）是偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)，然后將問題轉化為含絕對值的一次不等

式來求解即可.

【詳解】函數(shù)“X）的圖象關于y軸對稱，.?"（X）為偶函數(shù)，=

/.不等式/（3x+D＜/（1）可變?yōu)?（13x+l|）＜/（1）,

偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（-力,0］上單調遞減，

二在區(qū)間（0,+8）上單調遞增,

13x+11＜—,解得-：＜尤＜-7

226

故選：B.

7.已知偶函數(shù)的定義域為R,且對于任意石,馬?-勿,0］（占中當）均有""J-＜0成立,若

%2一%

則實數(shù)〃的取值范圍是（）

（—-o）y+勿

A.B.沁

C.D.°4

【答案】C

【分析】由題意可得/（力在（y,。］單調遞減，又函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故〃尤）在［0,+8）單調遞增，所以不等式

1（I-a）＞〃2a-l）等價于〃”4）＞旭-1|）,即”4＞3-1|解出即可.

【詳解】因為“X）的定義域為R,且對于任意玉,馬?-

均有再）＜0成立，

x2—玉

可得/（X）在（-8,0］單調遞減，

又函數(shù)〃尤）為偶函數(shù)，

所以“X）在［0,+8）單調遞增，

所以/（1-?）＞“27）等價于f（|l-?|）＞f（|2a-l|）,

所以…＞|2加1］,

即（「a）?＞（2。-1）2,

即3a2-2。＜0,

2

解得：0＜a＜j,

所以實數(shù)”的取值范圍是：［o,|j,

故選：C.

8.已知函數(shù)〃x）==^,若/（a+l）＜/（3-2a）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

X

【答案】B

14

【分析】判斷“無）=卓+5的奇偶性與單調性，并用奇偶性與單調性解不等式，要注意定義域的限制.

【詳解】“切=4+二為偶函數(shù)，且在（0,+8）上遞減.

XX

V/（a+l）＜/（3-2a）,

|a+l|＞|3—2a|,二.（a+l）＞（3-2a）,ae,

*.*a+i^O,3—2aw0,a65?

故選：B

9.已知〃x）是定義在（-U）上的偶函數(shù)，且在［0,1）上單調遞增，貝叱（“＜〃犬一1）的解集為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質和函數(shù)單調性的性質化簡不等式求不等式，(x)</(x-l)的解集.

【詳解】因為〃尤)是定義在上的偶函數(shù)，

所以當時，/(x)=/(-x)=/(|x|),

/(|x|)<f(|x-l|)

所以不等式〃X)<〃X-1)可化為T<X<1,

又“X)在［0,1)上單調遞增，

所以且0<xvl,

解得0<x<1,

所以不等式/(尤)<1)的解集為［o,；］.

故選：C.

二、填空題

10.已知函數(shù)〃尤)=-犬+26與8⑺:六在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù)，那么ae.

【答案】(0』.

【分析】二次函數(shù)在區(qū)間M單減，則區(qū)間［L2］在二次函數(shù)的減區(qū)間范圍內，從而求得。的范圍；反比例型函數(shù)在

區(qū)間［1,2］單調遞減，得。>0,取交集即可.

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的表達式可知，”?=-尤2+2辦的對稱軸為了=。，開口向下，若/(X)在區(qū)間［1,2］上是減函

數(shù)，則小,

g(x)=」一是反比例型函數(shù)，若g(x)在區(qū)間［L2］是減函數(shù)，則。>0,所以0<aWl.

所以fM=-x2+2ax與g(x)='-在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù)，a的取值范圍為0<。W1.

故答案為：(0,1］.

［(l-a)x—2a,x<0

11.己知函數(shù)f(x)=