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文檔簡介
2023-2024學年山東省臨沂市文峰區(qū)高一4月月考數(shù)學試題
一、單選題
1.如圖所示,。是厶"。的邊AB上的中點,記BC=a,8A=c,則向量CD=
1
A.一?!猚B.ci—c
22
c.-aH—cD.ciH—c
22
【正確答案】c
【詳解】試題分析:由向量的減法幾何意義得CD=BQ-BC=-BA-BC=H—c選項C.
22
向量減法的幾何意義.
2-計算三黑
)
A.—^3B.6D.
33
【正確答案】D
【分析】由兩角差的正切公式,結(jié)合1仙45。=1,即可求岀答案.
1-tan15°tan45°-tan15°._,A/3
【詳解】------------=----------------------=tan((45°N-15°)=—
1+tan1501+tan45°tan150'73
故選:D
3.已知A5c是邊長為2的等邊三角形,則C4.A8=()
A.-2B.-2GC.2D.
3
【正確答案】A
【分析】根據(jù)給定條件,利用平面向量數(shù)量積的定義直接計算作答.
【詳解】等邊的邊長為2,所以
7T
CA-AB=-AC-AB=-1AC\\AB|cosA=-2x2xcos—=-2.
故選:A
4.己知同=4,網(wǎng)=3,(2a-3b)-(2a+b)=13,求。與/,的夾角”()
71c兀一兀、2幾
A.-B.-C.-D.—
6433
【正確答案】c
【分析】由(2a-3m-(2“+為=13可得〃丿=6,后由向量夾角公式可得答案.
【詳解】(2a—3/?)?(2〃+。)=13=4?!?b—4〃g=13=64—27—13=4Q2=Q,/?=6,
a-b6g,又6e[0,7r],則'=
貝Ijcos。=
M%4x3
故選:C
g,則$出(2》+已兀)=(
5.已知sin[]一看)
6
A.隨D-4
9
【正確答案】C
sinr=1,再利用誘導公式及二倍角公式計算可得;
【分析】令,=Y,則*Y,
(兀兀
【詳解】令"x-三,則x=f+J,sinf=1,所以sin2x+^sin2「+已+—
6666
|_71|?2<27
=sin2f+—=cos2t=1-2sin~t=1——
299,
故選:C.
6.若平面向量a,6c兩兩的夾角相等,且問=2,忖=2,口=3,則卜+6+2*()
A.2B.10C.5或2D.D或4
【正確答案】D
【分析】兩兩的夾角相等,可得夾角為0。或120。,再分兩種情況討論,結(jié)合數(shù)量積的運
算律即可得解.
[詳解],+/?+2cj=+/?+2cj=+b+4。~+2々為+4a?c+4b?c.
因為平面向量〃,。,c兩兩的夾角相等,所以夾角有兩種情況,
即a,b,c兩兩的夾角為0°或120。,
當夾角為0。時,|?+Z>+2c|=2+2+6=10,
當夾角為120。時,
|a+h+2c|=^22+22+4x32+2x2x2x^-l^+4x2x3x^-lj+4x2x3x^-l^=4,
所以卜+人+2c|=10或4.
故選:D.
7.已知J3C的外接圓圓心為。,且2A0=A3+AC,|O*AB],則向量C4在向量8c上的
投影向量為()
13uim13
A.—BCB.—BCC.—BCD.—BC
4444
【正確答案】D
【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形,根據(jù)投影向量的概念求解即可
【詳解】2A0=AB+AC
所以一ABC外接圓圓心。為BC的中點,即8C為外接圓的直徑,
又IAB冃A0|,所以.A3O為等邊三角形,
ZACB=30°,:1CA|=|BC\cos30。=爭8C|,
向量C4在向量BC上的投影數(shù)量為:-|C4|cos300=-—|BC|x^=--|BC|.
224
3
故投影向量為—]5C.
4
故選:D.
8.如圖,已知扇形AOB的半徑為2,其圓心角為:,四邊形PQRS是該扇形的內(nèi)接矩形,
4
則該矩形面積的最大值為()
B,
B.20-2
D,也
6
【正確答案】B
【分析】設NPQ4=c,根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)把矩形面積表示成關(guān)于a的三角函數(shù)最值問題.
【詳解】連接P0,設NPO4=則PS=2sina=QR,OS=2cosa,由己知可得:三角形OQR
是等腰直角三角形,即QR=CW=2sina,
所以RS=OS—OR=2(cosof-sin6z),
故矩形QRSP的面積為:
PSRS=4sina?(cosa-sincr)=2(sin2a+cos2a)-2=2V5sin[2a+一2
顯然當a=9時,取得最大值2夜-2,
O
二、多選題
9.下列關(guān)于向量的命題正確的是()
A.對任一非零向量“,百是一個單位向量
B.對任意向量a,b,卜-02卜7卜忖恒成立
C.^a=bS.c=h,貝!1(Z=C
32
D.在OAB中,C為邊AB上一點,且AC:C3=3:2,則。C=gOA+gO8
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念與線性運算逐項分析判斷.
(I1|^|a
【詳解】對于A:由于a是非零向量,則靑=円村=1,可得山是一個單位向量,故A正
確;
對于B:根據(jù)向量減法的運算法則可得:
當a,6共線時,卜一4="+|4(a>b反向)或卜-。|=問-1|(°,人同向),
故,」2Li;
當a,。不共線時,由三角形法則可得卩-4>|口-陽;
綜上所述:口一4』口一卩卜口一1,故B正確;
對于C:根據(jù)向量相等的定義可得a=c,故C正確;
對于D:由題意可得0C=QA+AC=Q4+gAB=0A+g(0B_Q4)=MO4+wQB,故D錯誤;
故選:ABC.
10.已知A(2,3),B(4,—3),點尸在直線AB上,且卜4=2。4,求點P的坐標()
A.(6,-9)B.(與,-1)
C.(8,-15)D.(5,-6)
【正確答案】AB
【分析】由向量的坐標表示分類討論后計算即可.
【詳解】設P(x,y),因為A(2,3),8(4,-3),且點尸在直線AB上,故由網(wǎng)=2網(wǎng)可得
以下兩種情況:
AP=2PB?此時有(x-2,y-3)=2(4-x,-3-y),解得x=],y=-l;
或AP=-2而,此時有(x-2,y-3)=-2(4-x,-3-y),解得x=6,y=-9;
故選:AB
11.如圖,在海岸上有兩個觀測點C,D,C在。的正西方向,距離為2km,在某天10:00
觀察到某航船在4處,此時測得乙4次?=30。,5分鐘后該船行駛至B處,此時測得NACB=60。,
ZBCD^45°,ZADB=60°,則()
A.當天10:00時,該船位于觀測點C的北偏西15。方向
B.當天10:00時,該船距離觀測點C&km
C.當船行駛至B處時,該船距觀測點C正km
D.該船在由4行駛至8的這5min內(nèi)行駛了"km
【正確答案】ABD
【分析】利用方位角的概念判斷A,利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD.
【詳解】A選項中,ZACD=ZACB+ZBCD=600+45°=\05°,因為C在£>的正西方向,所
以A在C的北偏西15。方向,故A正確.
B選項中,在厶厶。。中,ZACD=}05°,ZADC=30°,貝lJ/CAO=45。.
COsin/AOC
由正弦定理,得4C==0,
sin/CA。
故B正確.
C選項中,在△BCD中,ZBCD=45°,ZCDB=ZADC+ZA£>B=30°+60°=90°,即/C8£>=45°,
則8O=CD=2,于是BC=20,故C不正確.
D選項中,在AABC中,由余弦定理,MAB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=2+8-
2x>/2x2x-=6>
即AB=Jkm,故D正確.
故選:ABD.
12.已知函數(shù)/<x)=—2sin?x+J5sin2x+1,則()
A.f(x)在[0,n]內(nèi)有2個零點
B./(x)在(0,方)上單調(diào)遞增
C./(x)的圖象可由y=2sin2x的圖象向左平移三個單位長度得到
D./(x)在-]()上的最大值為1
【正確答案】ABD
【分析】對于A,把三角函數(shù)化簡,求函數(shù)/(x)的零點進行驗證;對于B,求函數(shù)的單
1T
調(diào)遞增區(qū)間進行驗證;對于C,通過圖像平移公式進行驗證;對于D,由--,0得出整
體角的取值范圍,再得到f(x)的最大值.
【詳解】fW=-2sin2x+73sin2^+1=cos2x+y/isin2x=2sin(2x+己).
對于A,令2x+^=E?wZ,則X=一~—+—.
6122
當&=1時,X=二Sjr;當厶=2時,乂=1需1Jr滿足題意,故A正確;
TTTTJiTT
對于B,令---F2EW2x+—W—+2E,kwZ,則——+kn<x<--3t-kjt.
26236
當%=0時,/(X)在卜:4)上單調(diào)遞增,所以/(X)在(0?)上單調(diào)遞增正確,故B正確;
對于C,由y=2sin2x的圖象向左平移"單位長度得到y(tǒng)=2sin2卜+弓)=2sin(2x+]),
故C錯誤;
TT兀,2sin(2x+^)e[-2,l],
對于D,若RG--,0,則2%+工£
O6
兀
所以/⑶在-5,0上故D正確.
故選:ABD.
三、填空題
13.若』=(2,3)與3=(2x,-6)共線,則*=
【正確答案】-2
【分析】由兩個向量共線的坐標表示直接求得結(jié)果.
【詳解】已知嚙=(2,3)與5=(2x,-6)共線,
貝iJ2x(-6)-3x2x=0,解得x=-2.
故答案為.-2
14.已知單位向量”,b,若卜+關(guān)=1,則a與人的夾角為
【正確答案】y
【分析】根據(jù)給定條件,利用數(shù)量積的運算律求出a/,再利用夾角公式計算作答.
【詳解】單位向量a,b,滿足卜+4=1,則有2am=1,解得分。=-;,
于是cos〈a/〉=〃〃=_',而04〈”,力4兀,則〈〃,?=§■,
1411。123
所以a與辦的夾角為子2IT.
I,2無
故?
15.已知函數(shù)/0)=44!1(?!?9)(4>0,0>0,|0|<9)的部分圖象如圖所示,點(0,-3),
【正確答案】—
2
IIT7T
【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)周期,據(jù)此求出。=再代入點G,0)可得9=-三,再代入點
236
3
(0,-卞求出A,得到函數(shù)解析式進而求解即可.
【詳解】由函數(shù)圖像可知A=2.
設函數(shù)的最小正周期為T,則T=2(g-1)=4兀,
2兀1
又因為0>0,由7=—=4兀,解得G=7,
CD2
又由圖可知函數(shù)〃X)經(jīng)過點(糸0),則sin6x]+e|=0,
所以丄x'+°=2lai,kEZ,解得(p=2far--ykeZ,
236
又因為時修所以當%二o時,展一和
1rr
所以/(X)=Asin(:x_二),
又函數(shù)圖象過點(0,-當,所以Asin(-》=-1,解得A=3,
262
所以/(x)=3sin(gx-令,故/(7t)=3sin^x7t-^=3siny=,
故也
2
16.求sinl60(3+6tan50)=
【正確答案】6
【分析】將切化弦,利用兩角和差余弦公式可將原式分子化成一個三角函數(shù),再利用二倍角
公式及誘導公式化簡求得結(jié)果.
【詳解】sin160(3+6tan50)=6sin2。(石+tan50)=73sin20G+網(wǎng)索
^sin20+s"。320
cos50cos50
_2V3sin20cos20_\/3sin40_
sin40sin40
故答案為
四、解答題
17.已知|〃|=1,|。|=1,且向量4與。不共線.
⑴若a與。的夾角為120°,求(3a-。(。+匕);
(2)若a與的夾角為60。且向量姑與妬-2匕的夾角為銳角,求實數(shù)k的取值范圍.
【正確答案】(1)1
(2乂3-亞旨)u(竝,3+初.
【分析】(1)由數(shù)量積定義可求得a-b,展開(2a-6)-(a+6)代入a-b即可求得結(jié)果;
(2)由向量妬+人與%-匕的夾角的銳角,可得(店+1).(環(huán)-1)>0且不同向共線,展開解
k即可.
【詳解】(1)&與方的夾角為120。,
/.a-b=pz||/?|cosl20°=Ixlx
:.(3a-by(a+b)=3a2+2a-b-b2=3+2x(-^\-]=\,
(2)a與匕的夾角為60。,
:.ab=|a|Wcos60o=lxlxg=g,
向量々-奶與ka-2b的夾角為銳角,
(a-町?(3-2))>0,且不能同向共線,
:.(a-kb)-(ka-2b)=ka2-(k2+2)a-b+2kb2=3k-^^->0,a-妨片4(3一2匕)(4>0),
解得3-幣<k<3+6且k/土6,
即3-"<女<竝或拒<%<3+4,
實數(shù)k的取值范圍是(3-療,及)U(H3+S).
18.已知函數(shù)〃力=$也仁+38)+$拘];8+斎的最小正周期為3;
⑴求函數(shù)“X)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間、對稱軸及對稱中心.
【正確答案】(l)〃x)=&sin(4x+1)
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為----—,keZ,對稱軸為工=竺+eZ,對稱中心為
248248448
【分析】(1)由誘導公式與輔助角公式可將/(X)化為+后由周期計算公
式可得解析式;
(2)由(I)結(jié)合函數(shù)丫=,皿*的單調(diào)增區(qū)間、對稱軸以及對稱中心,利用整體代換可得答
案.
【詳解】⑴/(x)=sinf-^+i(wxj+sinj+^=sinfj+cosfj
=>/2sin)—69X+—+—j=V2sinf—69X+—|
(264丿(212)
2兀兀
因為最小正周期為所以@2???刃=8
22
函數(shù)/(X)的解析式為“力=&sin(4x+:)
(2)^--+2fat<4x+—<-+2fai,Z:GZ,<x<—+—,Z:eZ,
2122248248
11jrKTTTT
函數(shù)”X)的單調(diào)遞增區(qū)間為丁一二「T+S,keZ.
L4o24o
令4為+%=far+巴#eZ,^x=—+—,keZ.
122448
.??函數(shù)〃x)的對稱軸為x=『計wZ.
人45兀[[)/p>klZ5兀.)
令4x+—=kit、ksZ,得工=------,keZ.
12448
.??函數(shù)的對稱中心為右桜,O,eZ.
19.已知a=(2cosx,cosx)/=(gsinx,2cosx)函數(shù)/(x)=a?6+"?-l在區(qū)間0,1上的最大
值為5,
⑴求常數(shù)〃?的值;
(2)當xeR時,求使/(x)24成立的x的取值集合.
【正確答案】(1)〃?=3
⑵x\kn<x<—+kn,k
【分析】(1)利用向量的數(shù)量積及三角恒等變換化簡/(x),再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
即可求加;
(2)由(1)求得/(x),根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解不等式.
【詳解1(1)/(x)=a?b+m-\
f(x)=2x/3sinxcosx+2cos2x+m-1=\/3sin2x+cos2x+m
=2sin2x+—\+m,
I6丿
xe0,j,
c兀兀7兀
2xH---£<sin(2x+^J<1,
6~2
;?函數(shù)/(X)的最大值為2+m,/.2+m=5,/n=3,
(2)由⑴得/(工)=2$由(2%+e1+3,
由/(%)24得sin(2x+二)之丄,A2fat+-?2x-?2hi—(k?Z)
62666v
TT
解得.kn<x<lcK+—(k^Z)
3
〃司24成立的X的取值集合是卜的"苦+也,丘21.
20.如圖,一個半徑為4m的筒車按逆時針方向每分轉(zhuǎn)2圈,筒車的軸心。距離水面的高度
為2m.設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d(單位:m)(在水面下則“為負數(shù)),若
以盛水筒產(chǎn)剛浮出水面時開始計算時間.
(1)求”與時間f(單位:s)之間函數(shù)關(guān)系”=Asin(0f+*)+K[A>0,<W>0,-]<8<5
⑵在(1)的條件下令/(x)=Asin((yx-9),的橫坐標縮小為原來的卷,縱坐標變縮小
為原來的;得到函數(shù)g(x),畫出g(x)在[0,句上的圖象
0
1
-
2
-1
【正確答案】⑴d=4si%匸)+2;
(2)圖象見解析
【分析】(1)由最大值和最小值及周期求出AK,。的值,再利用特殊點求出9,即可得函數(shù)
的關(guān)系式;
(2)先通過三角函數(shù)圖象變換求出解析式,再根據(jù)正弦型函數(shù)五點作圖的特點列表、描點、
連線即可得大致圖象.
【詳解】⑴由題意厶=4+2,d1nhi=2-4=-2,
所以A=dnax-"min=6-<-2)=4,長=4g+"min=生匚=2,
2222
因為逆時針方向每分轉(zhuǎn)2圈,所以。=弓|曙白
6()15
因為f=0時,。=0,所以0=4sine+2,即sin°=-g,
又?n兀一所兀以LLi、i
(p——,所以。=4sin(—t—)+2;
6156
⑵由(1)知/(x)=4sin但x-爭,所以/(x)的橫坐標縮小為原來的白,縱坐標變縮小
1156丿30
為原來的;得到函數(shù)g(x)=sin(2x+^),
列表如下
-兀It71兀兀
兀32兀13
2元+一
662~2-6~
X0n5兀2元117T兀
6T~V2
fix)\_10-10
2~2
(1)當xe時,分別求函數(shù)/(x)取得最大值和最小值時x的值;
(2)設A3C的內(nèi)角4B,C的對應邊分別是c且〃=2G,b=6,f[^^-i,求c的值.
【正確答案】(l)x=g時最大值0;犬=-合時最小值-乎-1;
(2)c=4G或2G.
【分析】(1)應用向量數(shù)量積的坐標運算,二倍角、輔助角公式化簡得fM=sinhx-^j-l,
由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求f(x)的最值;
(2)由已知及三角形內(nèi)角性質(zhì)得A=:,法一:應用余弦定理列關(guān)于。的方程求解即可;法
6
應用正弦定理求得8=1或8=g,分別求出對應的c值即可.
【詳解】(1)由題知:
/(x)=>/3sinxcosx-cos2=與sin2x-;cos2x-l=sin^2x-^-l,
Xe_77,77,則-142X-‘4日,故一W4sin(2x-2]?l,
_121ZJ3o32IoJ
.?.當sinRx-m)=l,即2x-^=W,得了=弓時/(x)取得最大值0,
I6丿623
當sin(2x—二]=—,即2x—=—,得冗=---時/(%)取得最小值—^^一1.
(6丿263122
(2)由=5吊(4一e)一1=一1,即sin(A-*=0,又Ae(0,7t),則厶=己.
法,:由余弦定理a?=/+Z?2—2xcxbcosA得:c2—6A/3C4-24=0,解得:c=46或2G.
法二:由正弦定理三=一々有飛皿8=且,則3=9或8=§,
sinAsin3233
當3=方時,C=p由勾股定理
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