2023-2024學(xué)年山東省臨沂市文峰區(qū)高一4月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年山東省臨沂市文峰區(qū)高一4月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.如圖所示，。是厶"。的邊AB上的中點(diǎn)，記BC=a,8A=c，則向量CD=

1

A.一?！猚B.ci—c

22

c.-aH—cD.ciH—c

22

【正確答案】c

【詳解】試題分析：由向量的減法幾何意義得CD=BQ-BC=-BA-BC=H—c選項(xiàng)C.

22

向量減法的幾何意義.

2-計(jì)算三黑

)

A.—^3B.6D.

33

【正確答案】D

【分析】由兩角差的正切公式，結(jié)合1仙45。=1,即可求岀答案.

1-tan15°tan45°-tan15°._,A/3

【詳解】------------=----------------------=tan((45°N-15°)=—

1+tan1501+tan45°tan150'73

故選：D

3.已知A5c是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則C4.A8=()

A.-2B.-2GC.2D.

3

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的定義直接計(jì)算作答.

【詳解】等邊的邊長(zhǎng)為2,所以

7T

CA-AB=-AC-AB=-1AC\\AB|cosA=-2x2xcos—=-2.

故選：A

4.己知同=4,網(wǎng)=3,(2a-3b)-(2a+b)=13,求。與/，的夾角”()

71c兀一兀、2幾

A.-B.-C.-D.—

6433

【正確答案】c

【分析】由(2a-3m-(2“+為=13可得〃丿=6,后由向量夾角公式可得答案.

【詳解】(2a—3/?)?(2〃+。)=13=4?！?b—4〃g=13=64—27—13=4Q2=Q,/?=6，

a-b6g,又6e[0,7r],則'=

貝Ijcos。=

M%4x3

故選：C

g,則$出(2》+已兀)=(

5.已知sin[]一看)

6

A.隨D-4

9

【正確答案】C

sinr=1,再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得;

【分析】令，=Y，則*Y，

(兀兀

【詳解】令"x-三，則x=f+J,sinf=1,所以sin2x+^sin2「+已+—

6666

|_71|?2<27

=sin2f+—=cos2t=1-2sin~t=1——

299,

故選：C.

6.若平面向量a,6c兩兩的夾角相等，且問=2,忖=2,口=3,則卜+6+2*()

A.2B.10C.5或2D.D或4

【正確答案】D

【分析】?jī)蓛傻膴A角相等，可得夾角為0。或120。,再分兩種情況討論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)

算律即可得解.

[詳解],+/?+2cj=+/?+2cj=+b+4。~+2々為+4a?c+4b?c.

因?yàn)槠矫嫦蛄俊?，。，c兩兩的夾角相等，所以夾角有兩種情況,

即a，b，c兩兩的夾角為0°或120。,

當(dāng)夾角為0。時(shí)，|?+Z>+2c|=2+2+6=10,

當(dāng)夾角為120。時(shí),

|a+h+2c|=^22+22+4x32+2x2x2x^-l^+4x2x3x^-lj+4x2x3x^-l^=4,

所以卜+人+2c|=10或4.

故選：D.

7.已知J3C的外接圓圓心為。，且2A0=A3+AC,|O*AB],則向量C4在向量8c上的

投影向量為（）

13uim13

A.—BCB.—BCC.—BCD.—BC

4444

【正確答案】D

【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可

【詳解】2A0=AB+AC

所以一ABC外接圓圓心。為BC的中點(diǎn)，即8C為外接圓的直徑，

又IAB冃A0|,所以.A3O為等邊三角形，

ZACB=30°,:1CA|=|BC\cos30。=爭(zhēng)8C|,

向量C4在向量BC上的投影數(shù)量為：-|C4|cos300=-—|BC|x^=--|BC|.

224

3

故投影向量為—]5C.

4

故選：D.

8.如圖，已知扇形AOB的半徑為2,其圓心角為:，四邊形PQRS是該扇形的內(nèi)接矩形,

4

則該矩形面積的最大值為（）

B,

B.20-2

D,也

6

【正確答案】B

【分析】設(shè)NPQ4=c,根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)把矩形面積表示成關(guān)于a的三角函數(shù)最值問題.

【詳解】連接P0,設(shè)NPO4=則PS=2sina=QR,OS=2cosa,由己知可得：三角形OQR

是等腰直角三角形，即QR=CW=2sina,

所以RS=OS—OR=2(cosof-sin6z),

故矩形QRSP的面積為：

PSRS=4sina?(cosa-sincr)=2(sin2a+cos2a)-2=2V5sin[2a+一2

顯然當(dāng)a=9時(shí)，取得最大值2夜-2，

O

二、多選題

9.下列關(guān)于向量的命題正確的是（）

A.對(duì)任一非零向量“，百是一個(gè)單位向量

B.對(duì)任意向量a，b,卜-02卜7卜忖恒成立

C.^a=bS.c=h,貝！1(Z=C

32

D.在OAB中，C為邊AB上一點(diǎn)，且AC:C3=3:2,則。C=gOA+gO8

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念與線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

（I1|^|a

【詳解】對(duì)于A：由于a是非零向量，則靑=円村=1,可得山是一個(gè)單位向量，故A正

確;

對(duì)于B：根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得：

當(dāng)a，6共線時(shí)，卜一4="+|4（a>b反向）或卜-。|=問-1|（°，人同向），

故,」2Li；

當(dāng)a，。不共線時(shí)，由三角形法則可得卩-4>|口-陽；

綜上所述：口一4』口一卩卜口一1，故B正確；

對(duì)于C：根據(jù)向量相等的定義可得a=c，故C正確；

對(duì)于D：由題意可得0C=QA+AC=Q4+gAB=0A+g（0B_Q4）=MO4+wQB,故D錯(cuò)誤;

故選：ABC.

10.已知A（2,3）,B（4,—3）,點(diǎn)尸在直線AB上，且卜4=2。4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（）

A.（6,-9）B.（與,-1）

C.（8,-15）D.（5,-6）

【正確答案】AB

【分析】由向量的坐標(biāo)表示分類討論后計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)P（x,y）,因?yàn)锳（2,3）,8（4,-3）,且點(diǎn)尸在直線AB上，故由網(wǎng)=2網(wǎng)可得

以下兩種情況：

AP=2PB?此時(shí)有（x-2,y-3）=2（4-x,-3-y）,解得x=],y=-l；

或AP=-2而，此時(shí)有(x-2,y-3)=-2(4-x,-3-y),解得x=6,y=-9；

故選：AB

11.如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,D,C在。的正西方向，距離為2km,在某天10:00

觀察到某航船在4處，此時(shí)測(cè)得乙4次?=30。,5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得NACB=60。,

ZBCD^45°,ZADB=60°,則()

A.當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測(cè)點(diǎn)C的北偏西15。方向

B.當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測(cè)點(diǎn)C&km

C.當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測(cè)點(diǎn)C正km

D.該船在由4行駛至8的這5min內(nèi)行駛了"km

【正確答案】ABD

【分析】利用方位角的概念判斷A,利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD.

【詳解】A選項(xiàng)中，ZACD=ZACB+ZBCD=600+45°=\05°,因?yàn)镃在￡>的正西方向，所

以A在C的北偏西15。方向，故A正確.

B選項(xiàng)中，在厶厶。。中，ZACD=}05°,ZADC=30°,貝lJ/CAO=45。.

COsin/AOC

由正弦定理，得4C==0,

sin/CA。

故B正確.

C選項(xiàng)中，在△BCD中，ZBCD=45°,ZCDB=ZADC+ZA￡>B=30°+60°=90°,即/C8￡>=45°,

則8O=CD=2,于是BC=20,故C不正確.

D選項(xiàng)中，在AABC中，由余弦定理，MAB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=2+8-

2x>/2x2x-=6>

即AB=Jkm,故D正確.

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/<x)=—2sin?x+J5sin2x+1,則()

A.f(x)在［0,n］內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)

B./(x)在(0,方)上單調(diào)遞增

C./(x)的圖象可由y=2sin2x的圖象向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到

D./（x）在-］（）上的最大值為1

【正確答案】ABD

【分析】對(duì)于A,把三角函數(shù)化簡(jiǎn)，求函數(shù)/（x）的零點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于B,求函數(shù)的單

1T

調(diào)遞增區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于C,通過圖像平移公式進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于D,由--,0得出整

體角的取值范圍，再得到f（x）的最大值.

【詳解】fW=-2sin2x+73sin2^+1=cos2x+y/isin2x=2sin（2x+己）.

對(duì)于A,令2x+^=E?wZ,則X=一~—+—.

6122

當(dāng)&=1時(shí)，X=二Sjr；當(dāng)厶=2時(shí)，乂=1需1Jr滿足題意，故A正確；

TTTTJiTT

對(duì)于B,令---F2EW2x+—W—+2E,kwZ,則——+kn<x<--3t-kjt.

26236

當(dāng)％=0時(shí)，/（X）在卜：4）上單調(diào)遞增，所以/（X）在（0?）上單調(diào)遞增正確，故B正確；

對(duì)于C,由y=2sin2x的圖象向左平移"單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=2sin2卜+弓）=2sin（2x+］）,

故C錯(cuò)誤；

TT兀，2sin（2x+^）e[-2,l],

對(duì)于D,若RG--,0，則2%+工￡

O6

兀

所以/⑶在-5,0上故D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.若』=（2,3）與3=（2x,-6）共線,則*=

【正確答案】-2

【分析】由兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示直接求得結(jié)果.

【詳解】已知嚙=（2,3）與5=（2x,-6）共線,

貝iJ2x（-6）-3x2x=0,解得x=-2.

故答案為.-2

14.已知單位向量”，b，若卜+關(guān)=1,則a與人的夾角為

【正確答案】y

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出a/，再利用夾角公式計(jì)算作答.

【詳解】單位向量a,b，滿足卜+4=1,則有2am=1，解得分。=-；,

于是cos〈a/〉=〃〃=_',而04〈”,力4兀，則〈〃,?=§■,

1411。123

所以a與辦的夾角為子2IT.

I，2無

故?

15.已知函數(shù)/0）=44!1（?！?9）（4>0,0>0,|0|<9）的部分圖象如圖所示，點(diǎn)（0,-3）,

【正確答案】—

2

IIT7T

【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)周期，據(jù)此求出。=再代入點(diǎn)G,0）可得9=-三，再代入點(diǎn)

236

3

（0,-卞求出A,得到函數(shù)解析式進(jìn)而求解即可.

【詳解】由函數(shù)圖像可知A=2.

設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,則T=2（g-1）=4兀，

2兀1

又因?yàn)?>0,由7=—=4兀，解得G=7，

CD2

又由圖可知函數(shù)〃X）經(jīng)過點(diǎn)（糸0）,則sin6x]+e|=0,

所以丄x'+°=2lai,kEZ,解得（p=2far--ykeZ,

236

又因?yàn)闀r(shí)修所以當(dāng)％二o時(shí),展一和

1rr

所以/（X）=Asin（：x_二），

又函數(shù)圖象過點(diǎn)（0,-當(dāng)，所以Asin（-》=-1，解得A=3,

262

所以/（x）=3sin（gx-令，故/（7t）=3sin^x7t-^=3siny=,

故也

2

16.求sinl60（3+6tan50）=

【正確答案】6

【分析】將切化弦，利用兩角和差余弦公式可將原式分子化成一個(gè)三角函數(shù)，再利用二倍角

公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求得結(jié)果.

【詳解】sin160（3+6tan50）=6sin2。（石+tan50）=73sin20G+網(wǎng)索

^sin20+s"。320

cos50cos50

_2V3sin20cos20_\/3sin40_

sin40sin40

故答案為

四、解答題

17.已知|〃|=1,|。|=1,且向量4與。不共線.

⑴若a與。的夾角為120°,求（3a-。（。+匕）；

（2）若a與的夾角為60。且向量姑與妬-2匕的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【正確答案】（1）1

（2乂3-亞旨）u（竝,3+初.

【分析】（1）由數(shù)量積定義可求得a-b，展開（2a-6）-（a+6）代入a-b即可求得結(jié)果；

（2）由向量妬+人與%-匕的夾角的銳角，可得（店+1）.（環(huán)-1）＞0且不同向共線，展開解

k即可.

【詳解】（1）&與方的夾角為120。,

/.a-b=pz||/?|cosl20°=Ixlx

:.(3a-by(a+b)=3a2+2a-b-b2=3+2x(-^\-]=\,

(2)a與匕的夾角為60。，

:.ab=|a|Wcos60o=lxlxg=g,

向量々-奶與ka-2b的夾角為銳角，

(a-町?(3-2))>0,且不能同向共線，

:.(a-kb)-(ka-2b)=ka2-(k2+2)a-b+2kb2=3k-^^->0,a-妨片4(3一2匕)(4>0),

解得3-幣<k<3+6且k/土6,

即3-"<女<竝或拒<%<3+4，

實(shí)數(shù)k的取值范圍是(3-療,及)U(H3+S).

18.已知函數(shù)〃力=$也仁+38)+$拘］；8+斎的最小正周期為3；

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱軸及對(duì)稱中心.

【正確答案】(l)〃x)=&sin(4x+1)

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為----—,keZ,對(duì)稱軸為工=竺+eZ,對(duì)稱中心為

248248448

【分析】(1)由誘導(dǎo)公式與輔助角公式可將/(X)化為+后由周期計(jì)算公

式可得解析式；

(2)由(I)結(jié)合函數(shù)丫=,皿*的單調(diào)增區(qū)間、對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心，利用整體代換可得答

案.

【詳解】⑴/(x)=sinf-^+i(wxj+sinj+^=sinfj+cosfj

=>/2sin)—69X+—+—j=V2sinf—69X+—|

(264丿(212)

2兀兀

因?yàn)樽钚≌芷跒樗訞2???刃=8

22

函數(shù)/(X)的解析式為“力=&sin(4x+：)

(2)^--+2fat<4x+—<-+2fai,Z：GZ,<x<—+—,Z:eZ,

2122248248

11jrKTTTT

函數(shù)”X)的單調(diào)遞增區(qū)間為丁一二「T+S，keZ.

L4o24o

令4為+%=far+巴#eZ,^x=—+—,keZ.

122448

.??函數(shù)〃x)的對(duì)稱軸為x=『計(jì)wZ.

人45兀[[)/p>klZ5兀.)

令4x+—=kit、ksZ,得工=------,keZ.

12448

.??函數(shù)的對(duì)稱中心為右桜，O，eZ.

19.已知a=(2cosx,cosx)/=(gsinx,2cosx)函數(shù)/(x)=a?6+"?-l在區(qū)間0,1上的最大

值為5,

⑴求常數(shù)〃?的值;

(2)當(dāng)xeR時(shí)，求使/(x)24成立的x的取值集合.

【正確答案】(1)〃?=3

⑵x\kn<x<—+kn,k

【分析】(1)利用向量的數(shù)量積及三角恒等變換化簡(jiǎn)/(x),再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

即可求加；

(2)由(1)求得/(x),根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解不等式.

【詳解1(1)/(x)=a?b+m-\

f(x)=2x/3sinxcosx+2cos2x+m-1=\/3sin2x+cos2x+m

=2sin2x+—\+m,

I6丿

xe0,j,

c兀兀7兀

2xH---￡<sin（2x+^J<1,

6~2

；?函數(shù)/（X）的最大值為2+m，/.2+m=5,/n=3,

（2）由⑴得/（工）=2$由（2%+e1+3,

由/（%）24得sin（2x+二）之丄，A2fat+-?2x-?2hi—（k?Z）

62666v

TT

解得.kn<x<lcK+—（k^Z）

3

〃司24成立的X的取值集合是卜的"苦+也,丘21.

20.如圖，一個(gè)半徑為4m的筒車按逆時(shí)針方向每分轉(zhuǎn)2圈，筒車的軸心。距離水面的高度

為2m.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則“為負(fù)數(shù)），若

以盛水筒產(chǎn)剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.

（1）求”與時(shí)間f（單位：s）之間函數(shù)關(guān)系”=Asin（0f+*）+K[A>0,<W>0,-]<8<5

⑵在（1）的條件下令/（x）=Asin（（yx-9）,的橫坐標(biāo)縮小為原來的卷，縱坐標(biāo)變縮小

為原來的;得到函數(shù)g（x）,畫出g（x）在[0,句上的圖象

0

1

-

2

-1

【正確答案】⑴d=4si%匸）+2；

（2）圖象見解析

【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出AK,。的值，再利用特殊點(diǎn)求出9,即可得函數(shù)

的關(guān)系式；

(2)先通過三角函數(shù)圖象變換求出解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)五點(diǎn)作圖的特點(diǎn)列表、描點(diǎn)、

連線即可得大致圖象.

【詳解】⑴由題意厶=4+2,d1nhi=2-4=-2,

所以A=dnax-"min=6-<-2)=4,長(zhǎng)=4g+"min=生匚=2,

2222

因?yàn)槟鏁r(shí)針方向每分轉(zhuǎn)2圈，所以。=弓|曙白

6()15

因?yàn)閒=0時(shí)，。=0,所以0=4sine+2,即sin°=-g,

又?n兀一所兀以LLi、i

(p——,所以。=4sin(—t—)+2；

6156

⑵由(1)知/(x)=4sin但x-爭(zhēng)，所以/(x)的橫坐標(biāo)縮小為原來的白，縱坐標(biāo)變縮小

1156丿30

為原來的;得到函數(shù)g(x)=sin(2x+^),

列表如下

-兀It71兀兀

兀32兀13

2元+一

662~2-6~

X0n5兀2元117T兀

6T~V2

fix)\_10-10

2~2

(1)當(dāng)xe時(shí)，分別求函數(shù)/(x)取得最大值和最小值時(shí)x的值；

(2)設(shè)A3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)應(yīng)邊分別是c且〃=2G，b=6,f[^^-i,求c的值.

【正確答案】(l)x=g時(shí)最大值0；犬=-合時(shí)最小值-乎-1；

(2)c=4G或2G.

【分析】(1)應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角、輔助角公式化簡(jiǎn)得fM=sinhx-^j-l,

由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求f(x)的最值；

(2)由已知及三角形內(nèi)角性質(zhì)得A=:,法一：應(yīng)用余弦定理列關(guān)于。的方程求解即可；法

6

應(yīng)用正弦定理求得8=1或8=g，分別求出對(duì)應(yīng)的c值即可.

【詳解】(1)由題知：

/(x)=>/3sinxcosx-cos2=與sin2x-；cos2x-l=sin^2x-^-l,

Xe_77,77，則-142X-‘4日,故一W4sin(2x-2]?l,

_121ZJ3o32IoJ

.?.當(dāng)sinRx-m)=l，即2x-^=W，得了=弓時(shí)/(x)取得最大值0,

I6丿623

當(dāng)sin(2x—二]=—,即2x—=—,得冗=---時(shí)/(%)取得最小值—^^一1.

(6丿263122

(2)由=5吊(4一e)一1=一1，即sin(A-*=0,又Ae(0,7t),則厶=己.

法,：由余弦定理a?=/+Z?2—2xcxbcosA得：c2—6A/3C4-24=0,解得：c=46或2G.

法二：由正弦定理三=一々有飛皿8=且，則3=9或8=§,

sinAsin3233

當(dāng)3=方時(shí)，C=p由勾股定理