信號與系統(tǒng)：第23講 應用拉普拉斯變換研究線性時不變系統(tǒng)

第二十三講應用拉普拉斯變換研究線性時不變系統(tǒng)內(nèi)容提要零極點圖及其應用系統(tǒng)函數(shù)與LTI系統(tǒng)的變換域分析LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)單邊拉普拉斯變換內(nèi)容提要零極點圖及其應用系統(tǒng)函數(shù)與LTI系統(tǒng)的變換域分析LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)單邊拉普拉斯變換有理拉普拉斯變換的幾何求值法單一零點的情況：零點向量的長度：零點向量與實軸的夾角有理拉普拉斯變換的幾何求值法單一極點的情況：極點向量長度的倒數(shù)：極點向量與實軸夾角的負值有理拉普拉斯變換的幾何求值法一般情況對這一信號，有：高階的有理拉普拉斯變換：利用零極點圖分析一階系統(tǒng)

利用零極點圖分析二階系統(tǒng)

其中：利用零極點圖分析二階系統(tǒng)為實數(shù)

利用零極點圖分析二階系統(tǒng)為復數(shù)

利用零極點圖分析全通系統(tǒng)極點向量和零點向量長度相等，故|H(jω)|=1.一階全通系統(tǒng)：利用零極點圖分析全通系統(tǒng)高階全通系統(tǒng)的例子：三階全通系統(tǒng)內(nèi)容提要零極點圖及其應用系統(tǒng)函數(shù)與LTI系統(tǒng)的變換域分析LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)單邊拉普拉斯變換系統(tǒng)函數(shù)拉普拉斯變換的重要應用之一是對于LTI系統(tǒng)的分析與表征對于LTI系統(tǒng)，輸入和輸出的拉普拉斯變換之間具有如下關系：Y(s)=H(s)X(s)H(s)稱為系統(tǒng)函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)LTI系統(tǒng)的很多性質(zhì)都與系統(tǒng)函數(shù)在s平面內(nèi)的特性密切相關因果性一個因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的ROC是某個右半平面對于一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的LTI系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的因果性就等價于系統(tǒng)函數(shù)的ROC位于最右邊極點的右邊的右半平面穩(wěn)定性當且僅當系統(tǒng)函數(shù)的ROC包括整個jw軸，一個LTI系統(tǒng)就是穩(wěn)定的當且僅當H(s)的全部極點都位于s平面的左半平面時，一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的因果系統(tǒng)才是穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例例1：假定關于某個LTI系統(tǒng)已知下列信息：1.系統(tǒng)是因果的。2.系統(tǒng)函數(shù)是有理的，且僅有兩個極點在s=-2和s=4。3.若x(t)=1，則y(t)=0。4.單位沖激響應在t=0+時的值是4。根據(jù)以上信息確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例根據(jù)第2條，系統(tǒng)函數(shù)應具有如下形式：根據(jù)第3條應有H(0)=0，即：根據(jù)第4條并結(jié)合初值定理，可得：LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例上式表明，分子和分母應為同階次，即：常數(shù)K可以通過如下的方法求得：所以系統(tǒng)函數(shù)為：

根據(jù)第1條可得收斂域為：LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例例2：下圖所示的零極點圖確定了一個具有有理系統(tǒng)函數(shù)的LTI系統(tǒng)，該系統(tǒng)在輸入信號為e2t時，系統(tǒng)的輸出為e2t。LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例(1)確定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)表達式H(s)根據(jù)零極點圖，假設系統(tǒng)函數(shù)具有如下形式：

LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例(2)確定該零極點圖所對應的可能的收斂域，并指出每種情況下系統(tǒng)的因果、穩(wěn)定性。(a)因果穩(wěn)定系統(tǒng)(b)非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)(c)非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)LTI系統(tǒng)的變換域分析舉例(3)若由該圖所確定的系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，求出其逆系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，該逆系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的嗎？為什么？該逆系統(tǒng)不可能為因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，原因是其有極點在右半平面。最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)可以通過這一說法來定義：這些系統(tǒng)是因果的且是穩(wěn)定的，而它們的逆系統(tǒng)也是因果和穩(wěn)定的。最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其全部極點和零點都必須位于

s平面的左半平面。在所有幅頻特性相同的因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)所引入的附加相移最小。任何一個因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)都等價于一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)的級聯(lián)。最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)全通系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)內(nèi)容提要零極點圖及其應用系統(tǒng)函數(shù)與LTI系統(tǒng)的變換域分析LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)單邊拉普拉斯變換LTI系統(tǒng)的線性常系數(shù)微分方程描述僅根據(jù)微分方程，無法確定收斂域！

LTI系統(tǒng)的的互聯(lián)與系統(tǒng)函數(shù)并聯(lián)級聯(lián)反饋ROC？LTI系統(tǒng)的的互聯(lián)與系統(tǒng)函數(shù)反饋系統(tǒng)舉例：該系統(tǒng)可以用如下的微分方程來描述：系統(tǒng)方框圖為：LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)形式考慮如下系統(tǒng)函數(shù)：本例將研究該系統(tǒng)的三種實現(xiàn)方式。第一種，直接型將系統(tǒng)函數(shù)變形為：定義：LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)形式描述該系統(tǒng)的微分方程為：或者等效地：類似地可以定義：LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)形式描述該系統(tǒng)的微分方程為：總結(jié)之前得到的結(jié)果，我們有：因此，系統(tǒng)的直接型方框圖實現(xiàn)為：LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)形式LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)形式第二種，并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)變形為：所以，系統(tǒng)的并聯(lián)型實現(xiàn)為：級聯(lián)型如何實現(xiàn)？LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)形式對任何給定的有理系統(tǒng)函數(shù)，可以有多種不同的系統(tǒng)實現(xiàn)方案具體選擇何種方案需要考慮多個因素，例如：常數(shù)乘法器的個數(shù)和積分器的個數(shù)系統(tǒng)結(jié)構對有限精度運算的敏感度設計的模塊化、算法的可分割性、調(diào)試的便捷性VLSI實現(xiàn)中芯片尺寸的要求內(nèi)容提要零極點圖及其應用系統(tǒng)函數(shù)與LTI系統(tǒng)的變換域分析LTI系統(tǒng)的方框圖實現(xiàn)單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換的定義幾點說明：2)對于因果信號，其單邊拉普拉斯變換和雙邊拉普拉斯變換相同1)積分區(qū)間包含集中于t=0的任何沖激或高階奇異函數(shù)3)x(t)的單邊變換等于x(t)u(t)的雙邊變換，因此其ROC必為某個右半平面單邊拉普拉斯變換舉例例1：例2：單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)卷積性質(zhì)如果當t<0時，x1(t)=0且x2(