高中數學同步講義（人教A版選擇性必修一）第32講 拓展一：中點弦問題（學生版）

第07講拓展一：中點弦問題一、知識點歸納知識點01：相交弦中點（點差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，知識點02：點差法：設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學?？计谥校┻^點的直線與橢圓交于兩點，且點M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求過點，與雙曲線離心率相等的雙曲線的標準方程.（2）已知雙曲線，求過點且被點平分的弦所在直線的方程.【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）過點的直線與雙曲線相交于兩點，若是線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯考開學考試）已知橢圓的長軸比短軸長2，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，求的方程．【變式3】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為是拋物線上的點，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，求直線的方程．題型02處理存在性問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點為為上的動點，垂直于動直線，垂足為，當為等邊三角形時，其面積為.(1)求的方程；(2)設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于兩點，直線與交于點，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯考階段練習）已知雙曲線的右焦點為，且C的一條漸近線經過點.(1)求C的標準方程；(2)是否存在過點的直線l與C交于不同的A，B兩點，且線段AB的中點為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中?？茧A段練習）雙曲線的漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經過點且與雙曲線C于A，B兩點，M為線段AB的中點，若存在，求l的方程：若不存在，說明理由．題型03求弦中點的軌跡方程【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.【變式1】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.【變式2】（2022·全國·高三專題練習）橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為．題型04確定參數的取值范圍【典例1】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點，設橢圓與直線相交于不同的兩點、，為弦的中點，當時，求的取值范圍.【典例2】（2022·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線和橢圓交于兩點，且的周長為．(1)求的方程；(2)設點為線段的中點，為坐標原點，求線段長度的取值范圍．【變式1】（2023·天津·校考模擬預測）已知曲線的方程為，曲線是以、為焦點的橢圓，點為曲線與曲線在第一象限的交點，且．(1)求曲線的標準方程；(2)直線與橢圓相交于A、B兩點，若AB的中點在曲線上，求直線的斜率的取值范圍．【變式2】（2023春·內蒙古赤峰·高二?？茧A段練習）已知橢圓的中心在原點，焦點為，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線（與坐標軸不平行）與橢圓交于不同的兩點，且線段中點的橫坐標為，求直線傾斜角的取值范圍.題型05定值問題【典例1】（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.（1）求橢圓的方程；（2）設過橢圓的右焦點與坐標軸不垂直的直線交于點，，交軸于點，為線段的中點，且為垂足.問：是否存在定點，使得的長為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？奸_學考試）已知雙曲線（，）的漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設，是雙曲線右支上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交AB于，點的橫坐標為2，則是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.【變式1】（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：的焦點是，若過焦點的直線與相交于，