高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第21講 2.4.2圓的一般方程（學(xué)生版）

第08講2.4.2圓的一般方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握圓的一般方程的形式與條件。②能準(zhǔn)確的判定圓的存在所滿足的條件。③會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。④會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能解決與圓有關(guān)的位置、距離的綜合問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會(huì)判斷圓存在的條件，會(huì)將圓的標(biāo)準(zhǔn)形式與一般形式熟練轉(zhuǎn)化，會(huì)根椐圓存的條件求待定參數(shù)的值，會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，會(huì)求簡單問題中的軌跡問題，會(huì)解決與圓有關(guān)的位置與距離問題.知識(shí)點(diǎn)01：圓的一般方程對(duì)于方程（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.①當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點(diǎn)：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項(xiàng)；③.【即學(xué)即練1】（多選）（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，對(duì)于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對(duì)于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對(duì)于D中，方程中，存在項(xiàng)，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)02：圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的一般方程方程（）圓心半徑知識(shí)點(diǎn)03：在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)和圓的一般式方程：（），則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在外②點(diǎn)在上③點(diǎn)在內(nèi)【即學(xué)即練2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是_____________．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）【答案】在圓內(nèi)【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2點(diǎn)到圓心的距離，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)．故答案為：在圓內(nèi)題型01圓的一般方程的理解【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示圓的充要條件是______．【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【變式2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為______.題型02求圓的一般方程【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過三點(diǎn)的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過點(diǎn)的圓；(2)過三點(diǎn)的圓.【典例3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)外接圓的一般方程.題型03圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若圓的圓心到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二校考期末）若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓方程.【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．題型04點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則過點(diǎn)的最長的弦所在的直線方程是__________.【變式2】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍______.題型05圓過定點(diǎn)問題【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為______.【典例2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校?duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為__．【變式2】（2013·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，曲線恒過定點(diǎn)題型06求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，則點(diǎn)的軌跡方程為______．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【變式1】（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為___________.【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為__________；的最小值為__________.題型07與圓有關(guān)的最值問題【典例1】（2023秋·北京·高二?？计谀┰O(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的切線，且，則點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值為（

）A．15 B．6 C．5 D．4【典例2】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________．【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學(xué)?？计谀┮阎獮閳A上任意一點(diǎn)．則的最大值為__________【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學(xué)校考期中）在中，，若的平面內(nèi)有一點(diǎn)滿足，則的最小值為__________.【變式2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）直線始終平分圓的周長，則的最小值為______．題型08關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱的圓【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學(xué)校校考期末）圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，則有（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程是__________題型09圓的綜合問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓的方程；(3)請問圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知經(jīng)過圓上點(diǎn)的切線方程是.（1）類比上述性質(zhì)，直接寫出經(jīng)過橢圓上一點(diǎn)的切線方程；（2）已知橢圓，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為?①求證：直線過定點(diǎn).②當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，求三角形的外接圓方程.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（Ⅰ）若，求圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)取所允許的不同的實(shí)數(shù)值時(shí)（，且），圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獔AC經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無論取何正實(shí)數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．(2)已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓，且過點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)和，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，試求的最小值.題型10圓的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長方形的三邊構(gòu)成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？【變式1】（2023秋·高一單元測試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長度.（結(jié)果精確到）【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣?。窡舨捎缅F形燈罩，燈罩頂?shù)铰访娴木嚯x為10，到燈柱所在直線的距離為2．設(shè)為圓心與連線與路面的交點(diǎn)．（1）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)恰好在路面中線上？（2）記圓心在路面上的射影為，且H在線段上，求的最大值．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形為圓，則直線l的方程為（

）.A． B． C． D．3．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則圓心及半徑分別為（

）A． B． C． D．4．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，5．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)．若，，，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．66．（2023春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知A，B為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為弦的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）A． B．C． D．7．（2023秋·高一單元測試）已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．18．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（

）A． B． C． D．14二、多選題9．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)可能的取值為（

）A． B．0 C． D．三、填空題10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，則過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是___________.四、解答題12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)在同一個(gè)圓E上．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若點(diǎn)在圓E上，求的取值范圍．13．（2023秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求的外接圓方程．B能力提升1．（2023秋·高一單元測試）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為__．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為________時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓及點(diǎn)．（1）若在圓上，求線段的長及直線的斜率；（2）若M為圓C上的任一點(diǎn)，求的最大值和最小值．C綜合素養(yǎng)1．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為（