高中數(shù)學同步講義（人教A版選擇性必修一）第21講 2.4.2圓的一般方程（學生版）

第08講2.4.2圓的一般方程課程標準學習目標①理解與掌握圓的一般方程的形式與條件。②能準確的判定圓的存在所滿足的條件。③會判斷點與圓的位置關(guān)系。④會用待定系數(shù)法求圓的一般方程，并能解決與圓有關(guān)的位置、距離的綜合問題。通過本節(jié)課的學習，要求會判斷圓存在的條件，會將圓的標準形式與一般形式熟練轉(zhuǎn)化，會根椐圓存的條件求待定參數(shù)的值，會用待定系數(shù)法求圓的一般式方程，會求簡單問題中的軌跡問題，會解決與圓有關(guān)的位置與距離問題.知識點01：圓的一般方程對于方程（為常數(shù)），當時，方程叫做圓的一般方程.①當時，方程表示以為圓心，以為半徑的圓；②當時，方程表示一個點③當時，方程不表示任何圖形說明：圓的一般式方程特點：①和前系數(shù)相等（注意相等，不一定要是1）且不為0；②沒有項；③.【即學即練1】（多選）（2022秋·高二課時練習）（多選題）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，對于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對于D中，方程中，存在項，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.知識點02：圓的一般方程與圓的標準方程的特點圓的標準方程圓的一般方程方程（）圓心半徑知識點03：在圓的一般方程中，判斷點與圓的位置關(guān)系已知點和圓的一般式方程：（），則點與圓的位置關(guān)系：①點在外②點在上③點在內(nèi)【即學即練2】（2022·高二課時練習）點與圓的位置關(guān)系是_____________．（填“在圓內(nèi)”、“在圓上”、“在圓外”）【答案】在圓內(nèi)【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為2點到圓心的距離，因為，所以點在圓內(nèi)．故答案為：在圓內(nèi)題型01圓的一般方程的理解【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中學校聯(lián)考期中）已知方程表示圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高二課時練習）方程表示圓的充要條件是______．【變式1】（2022秋·河南許昌·高二禹州市高級中學?？茧A段練習）方程表示圓，則實數(shù)的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【變式2】（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實數(shù)的值為______.題型02求圓的一般方程【典例1】（2023·高二課時練習）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學?？计谥校┣筮m合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線上，且過點的圓；(2)過三點的圓.【典例3】（2023·高二課時練習）已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的一般方程為_______________；若直線的方程（），圓心到直線的距離是1，則的值是______．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標原點，且在軸和軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·江蘇蘇州·高二蘇州中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎捻旤c，邊上中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，求：(1)頂點的坐標；(2)外接圓的一般方程.題型03圓的一般方程與標準方程轉(zhuǎn)化【典例1】（2023·高二課時練習）若圓的圓心到直線的距離為，則實數(shù)的值為（

）A．0或2 B．0或-2C．0或 D．-2或2【典例2】（2023秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀┤酎c為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·高二課時練習）求圓關(guān)于直線的對稱圓方程.【變式1】（2023春·山東青島·高二校聯(lián)考期中）圓上的點到直線的最大距離是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）已知點在圓上，則點到軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．題型04點與圓的位置關(guān)系【典例1】（2023·江蘇揚州·高二?？茧A段練習）已知點為圓外一點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【典例2】（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知點在圓的外部，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022·高二課時練習）若點是圓內(nèi)一點，則過點的最長的弦所在的直線方程是__________.【變式2】（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）過點可作圓的兩條切線，則實數(shù)的取值范圍______.題型05圓過定點問題【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹楊二中?？茧A段練習）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則其坐標為______.【典例2】（2023·高二課時練習）已知方程表示圓，其中，且，則不論取不為1的任何實數(shù)，上述圓恒過的定點的坐標是________________.【變式1】（2023·上海徐匯·高二上海中學校考期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標為__．【變式2】（2013·遼寧大連·高二統(tǒng)考期中）對于任意實數(shù)，曲線恒過定點題型06求動點的軌跡方程【典例1】（2023春·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校c與兩個定點，的距離的比為，則點的軌跡方程為______．【典例2】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，曲線與兩坐標軸的交點都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標原點，點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.【變式1】（2022秋·高二課時練習）過點的直線與圓交于點，則線段中點的軌跡方程為___________.【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐標系中，點滿足，則動點的運動軌跡方程為__________；的最小值為__________.題型07與圓有關(guān)的最值問題【典例1】（2023秋·北京·高二?？计谀┰O(shè)是圓上的動點，是圓的切線，且，則點到點距離的最小值為（

）A．15 B．6 C．5 D．4【典例2】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知實數(shù)滿足，則的最大值為__________．【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學?？计谀┮阎獮閳A上任意一點．則的最大值為__________【變式1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學?？计谥校┰谥?，，若的平面內(nèi)有一點滿足，則的最小值為__________.【變式2】（2023春·江西·高二校聯(lián)考階段練習）直線始終平分圓的周長，則的最小值為______．題型08關(guān)于點或直線對稱的圓【典例1】（2023·全國·高三專題練習）與圓關(guān)于直線對稱的圓的標準方程是______.【典例2】（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶市第七中學校?？计谀﹫A關(guān)于直線的對稱圓的標準方程為__________.【變式1】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）如果圓關(guān)于直線對稱，則有（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程是__________題型09圓的綜合問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓的方程；(3)請問圓是否經(jīng)過某定點（其坐標與無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知經(jīng)過圓上點的切線方程是.（1）類比上述性質(zhì)，直接寫出經(jīng)過橢圓上一點的切線方程；（2）已知橢圓，為直線上的動點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為?①求證：直線過定點.②當點到直線的距離為時，求三角形的外接圓方程.【變式1】（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為．（Ⅰ）若，求圓的方程；（Ⅱ）當取所允許的不同的實數(shù)值時（，且），圓是否經(jīng)過某定點（其坐標與無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．【變式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晉元高級中學校考期末）已知圓C經(jīng)過，兩點．(1)如果AB是圓C的直徑，證明：無論取何正實數(shù)，圓恒經(jīng)過除外的另一個定點，求出這個定點坐標．(2)已知點關(guān)于直線的對稱點也在圓，且過點的直線與兩坐標軸分別交于不同兩點和，當圓的面積最小時，試求的最小值.題型10圓的實際應(yīng)用【典例1】（2022·高二課時練習）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔5米需用一根支柱支撐，求與相距30米的支柱的高度.【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外國語學校?？茧A段練習）如圖所示，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構(gòu)成.已知隧道總寬度為，行車道總寬度為，側(cè)墻高，為，弧頂高為.（1）以所在直線為軸，所在直線為軸，為單位長度建立平面直角坐標系，求圓弧所在的圓的標準方程；（2）為保證安全，要求隧道頂部與行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）在豎直方向上的高度之差至少為，問車輛通過隧道的限制高度是多少？【變式1】（2023秋·高一單元測試）如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長度.（結(jié)果精確到）【變式2】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學校校考期中）如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣?。窡舨捎缅F形燈罩，燈罩頂?shù)铰访娴木嚯x為10，到燈柱所在直線的距離為2．設(shè)為圓心與連線與路面的交點．（1）當為何值時，點恰好在路面中線上？（2）記圓心在路面上的射影為，且H在線段上，求的最大值．A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實基礎(chǔ)1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二課時練習）若圓關(guān)于直線l的對稱圖形為圓，則直線l的方程為（

）.A． B． C． D．3．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則圓心及半徑分別為（

）A． B． C． D．4．（2023·高三課時練習）關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，5．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，已知是圓上的動點．若，，，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．66．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學校考階段練習）已知A，B為圓上的兩個動點，P為弦的中點，若，則點P的軌跡方程為（）A． B．C． D．7．（2023秋·高一單元測試）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．18．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點，，，若點是的外接圓上一點，則點到直線：的距離的最大值為（

）A． B． C． D．14二、多選題9．（2023秋·廣東揭陽·高二統(tǒng)考期末）已知方程表示一個圓，則實數(shù)可能的取值為（

）A． B．0 C． D．三、填空題10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預(yù)測）已知拋物線的頂點為，與坐標軸交于三點，則過四點中的三點的一個圓的標準方程為__________.11．（2023·全國·高三專題練習）直角坐標平面中，若定點A（1，2）與動點P（x，y）滿足，則點P的軌跡方程是___________.四、解答題12．（2023春·湖北荊州·高二沙市中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，四點在同一個圓E上．(1)求實數(shù)a的值；(2)若點在圓E上，求的取值范圍．13．（2023秋·河北滄州·高二統(tǒng)考期末）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高線為．(1)求點坐標；(2)求的外接圓方程．B能力提升1．（2023秋·高一單元測試）希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名．他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知動點在圓上，若點，點，則的最小值為__．2．（2023·全國·高三專題練習）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當t為________時，方程表示的圓的半徑最大．3．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知圓及點．（1）若在圓上，求線段的長及直線的斜率；（2）若M為圓C上的任一點，求的最大值和最小值．C綜合素養(yǎng)1．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預(yù)測）已知平面上兩定點A，B，則所有滿足（且）的點P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱長為6的正方體的一個側(cè)面上運動，且滿足，則點P的軌跡長度為（