高三數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值

4.4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值

課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)

新高考3年考題題號(hào)考點(diǎn)

借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的數(shù)學(xué)運(yùn)算

必要條件和充分條件；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函導(dǎo)數(shù)求最

8邏輯推理

數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超2022(I)卷值、已知最

22

過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值;體會(huì)值求參直觀想象

導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系.利用導(dǎo)數(shù)求

2021(I)卷15

函數(shù)最值

1.函數(shù)的最值

(1)函數(shù)丿在［a,3上有最值的條件：如果在區(qū)間Za,切上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線，那么它必有

最大值和最小值.

⑵由區(qū)間［a,6］上單調(diào)性情況求最值：

①若函數(shù)F々丿在(a,6］上單調(diào)遞增，則『3為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f㈤在［a,用上單

調(diào)遞減，則fQ)為函數(shù)的最大值，丿為函數(shù)的最小值.

(3)若函數(shù)/10在［a,6］上先增后減，極大值為最大值，/1㈤與f㈤中較小值即為最小值；或先減后增，極小

值為最小值，f(a)與f㈤中較大值即為最大值；

(4)若函數(shù)在［a,6］上增減增，極大值與中較大值即為最大值，極小值與FQ丿中較小值即為最小值；

若函數(shù)fG)在［a,加上減增減，極大值與f㈤中較大值即為最大值，極小值與/YW中較小值即為最小值.

1.若函數(shù)/立丿在開區(qū)間Q,〃內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn).

2.函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的整

體情況，是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較.

1.【P93例6】函數(shù)y=2戸-3/-/2x+5在03/上的最大值是,最小值

是.

2.【PIO4T8】若函數(shù)f3=/--+a在一厶〃上的最小值是厶則實(shí)數(shù)a的值是()

A?/B.3C,D.-/

［|考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

【方法儲(chǔ)備】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)F&丿在B，刃上的最值的一般步驟：

(1)求函數(shù)在分內(nèi)的極值；

(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f⑵丿，f(b)；

(3)將函數(shù)f/的各極值與/YM,f㈤比較，其中較大的一個(gè)為最大值，較小的一個(gè)為最小值.

(4)函數(shù)在區(qū)間后，〃上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

中經(jīng)常用到.

【典例精講】

例1.（2022?江西省贛州市模擬）已知函數(shù)f（x）=2x+l-夕nx.

（〃求FG）的圖象在點(diǎn)（1,刀處的切線方程；

0求f（x）在［1,3/上的最大值與最小值.

例2.（2021?山東省煙臺(tái)市期中）已知函數(shù)f（x）=Inx-ax2

（〃討論FG）的單調(diào)性,?

⑵當(dāng)a>0時(shí)，求在區(qū)間〃，刃上的最大值.

【名師點(diǎn)睛】

函數(shù)求區(qū)間上的最值，要明確函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)變化情況，若極值點(diǎn)含有參數(shù)，或者區(qū)間端點(diǎn)含

參數(shù)，要討論極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系.如例2中，極值點(diǎn)含參數(shù)，討論的思路與“二次函數(shù)閉區(qū)間上求最值”的

思路一致，有些試題還需討論端點(diǎn)處函數(shù)值大小.

【靶向訓(xùn)練】

練11（2022?江蘇省南京市月考）函數(shù)f（x）=-2x-/lnx/+2的最大值為.

練12（2022?山東省東營(yíng)市月考）設(shè)a>0,函數(shù)f"二也;

X

〃丿判斷函數(shù)FG丿的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)『立丿在區(qū)間［a,2a丿上的最大值.

I考點(diǎn)二根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值（范圍）

【方法儲(chǔ)備】

1.含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值（極值）的探究，解答時(shí)常用到分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想，主要題型有以下幾種：

⑴已知函數(shù)在定區(qū)間的最值（極值），極值點(diǎn)不確定，討論極值點(diǎn)和區(qū)間的位置關(guān)系.

⑵已知函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的值域或者最值，極值點(diǎn)確定，討論極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系..

2.不等式恒成立（有解）問(wèn)題，往往是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)數(shù)求最值解決.

【典例精講】

例3.（2022?湖北省武漢市期末）已知函數(shù)/'々>=a力X--/G￡劃，若的最小值為0,則a的值為

X

（）

A.1B.-7C.0D.-2

例4.（2022?北京市市轄區(qū)模擬）力滿足ax,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.a<1B.0<a<1C.0<aW1D.aW1

【名師點(diǎn)睛】

已知函數(shù)的最值求變量的取值范圍，其實(shí)質(zhì)仍是求函數(shù)的最值，即用變量表示函數(shù)的最值，結(jié)合條件構(gòu)建變量的

方程即可.恒成立問(wèn)題，可分離參數(shù)構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)求最值，或者構(gòu)造含參函數(shù)，分類討論求最值.

【靶向訓(xùn)練】

練21(2022?江西省吉安市月考)已知函數(shù)f(x)=卜，；'5三。丿,八,的值域?yàn)椤ǎ?8丿,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-爐+3x+a,(x<0)

()

A.[1,+°°)B.(lf+°°)C.(3,+°°)D.[3,+00)

練22(2022?安徽省蚌埠市月考)已知函數(shù)f(x)』$-ax-2x+21nx,a>0.

討論的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)f⑨在區(qū)間[1,2丿上的最小值為-3,求a的值.

年點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題

【方法儲(chǔ)備】

利用導(dǎo)數(shù)解決應(yīng)用問(wèn)題的思路是：建模、解模、驗(yàn)?zāi)?，解題步驟為：

1.分析實(shí)際問(wèn)題中各變量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫岀問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；

f'(x),解方程f'(x)=0；

f'(x)=。的點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大(小)者為最大(小)值；

4.回歸實(shí)際問(wèn)題作答.

【典例精講】

例5.(2022?江西省南昌市月考)如圖，某款酒杯容器部分的形狀為圓錐，且該圓錐的軸截面為面積是的

正三角形.若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過(guò)酒杯口高度，則酒杯可放置圓柱形冰塊的最大

體積為()

A.3\[3ncm1B.8y[3^cnr1

25&J33

C.9^3TIcni1D.------ncnr

27

【名師點(diǎn)睛】

解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意:

1.由實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最優(yōu)解，注意變量的實(shí)際意義;

2.用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)就是最

值點(diǎn).

【靶向訓(xùn)練】

練31(2022?廣東省佛山市月考)要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20,要使其體積最大，則其高為()

4華B.100C.20D.y

練32(2022?)如圖，在四面體46(力中，點(diǎn)即G，%,分別在棱他関上，且平面坊。0〃

平面靦,4/為A6斷內(nèi)一點(diǎn)，記三棱錐4/的體積為匕設(shè)煞=x，對(duì)于函數(shù)V^f(x),

則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)x=（時(shí)，函數(shù)/■々丿取到最大值

B.函數(shù)f/在G，丿）上是減函數(shù)

C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

D.不存在￡”使得f（x*>33腐>^^中以-go/為四面體48切的體積丿.

核心素養(yǎng)系列邏輯推理一一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的極值與最值綜合問(wèn)題

高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題，以導(dǎo)數(shù)為工具探究函數(shù)的性質(zhì)，圍繞函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

展開，借此研究不等式恒成立或證明不等式等問(wèn)題,著重考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

【方法儲(chǔ)備】

利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的極值與最值問(wèn)題，常見(jiàn)的解題方向有：

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值

⑴在函數(shù)定義域的基礎(chǔ)上，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若函數(shù)帶有參數(shù)，需要分類討論；

⑵對(duì)照單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，明確極值點(diǎn)，進(jìn)而求出極值；

⑶根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，若極值點(diǎn)含參數(shù)或區(qū)間端點(diǎn)含參數(shù)，討論極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系判斷單調(diào)

性，再比較極值與端點(diǎn)處函數(shù)值，也可結(jié)合函數(shù)圖象，求出函數(shù)最值.

點(diǎn)與最值求其它量的取值范圍

⑴已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，借助零點(diǎn)問(wèn)題的解題思路求值或取值范圍；

⑵已知函數(shù)最值，與求函數(shù)最值的解題思路一致，通過(guò)給定區(qū)間上單調(diào)性的判斷，明確函數(shù)取最值的點(diǎn)，表示出

最值.

在其它知識(shí)點(diǎn)下，如立體幾何、解三角形問(wèn)題中涉及求最值問(wèn)題，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，要注意自

變量的取值范圍.

【典例精講】

例6.（2022?河南省平頂山市月考）已知函數(shù)/（x）=/+血nxOe江

⑴當(dāng)0=-/時(shí)，求/（x）的最值；

⑵當(dāng)卬=2時(shí)，記函數(shù)㈤-axQ》5）的兩個(gè)極值點(diǎn)為X”x2,且M<xz，求式x?）-4>/）的最大值.

例7.（2022?江西省南昌市期中）己知函數(shù)=lnx+a/+L

⑴若a=/,求在尸?/W丿處的切線方程；

⑵當(dāng)。時(shí)，有最小值2,求a的值.

例8.（2021?山西省忻州市月考）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為力,四個(gè)這樣相同等腰三角形底邊圍成正方形，如圖，

若這四個(gè)三角形都繞底邊旋轉(zhuǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)能重合在一起，構(gòu)成一個(gè)四棱錐，則圍成的四棱錐的體積的最大值為

)

500/250用

A.BC.5/3D.15/2

81*27

【名師點(diǎn)睛】

1.處理解答題時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，討論參數(shù)的范圍，要分界明確，不重不漏.

2.求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，研究其單調(diào)性，求岀極值，也可畫出函數(shù)的大致圖象，借助圖象觀察

得到函數(shù)的最值.

【靶向訓(xùn)練】

練51(2021?江蘇省南京市月考)已知函數(shù)f(x)+等/+2ax.

〃)當(dāng)。=2時(shí)，求過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與函數(shù)y=/(x)的圖像相切的直線方程；

⑵當(dāng)aG0時(shí)，求函數(shù)/(x)在［-2a,a］上的最大值.

練52(2021?江蘇省南通市月考)如圖，將矩形紙片/鹼的右下角折起，使得點(diǎn)8D_____B工,匸

落在切邊上點(diǎn)均處，得到折痕仞V,已知AB=5cm,BC=4cm,則當(dāng)

tan/BMN=____________________時(shí)，折痕"V最短，其長(zhǎng)度的最小值/

為---------------------億ALB

易錯(cuò)點(diǎn)1混淆極值與最值的概念致錯(cuò)M--------

例9.(2021?江蘇省鹽城市月考)函數(shù)f(x)在區(qū)間￡-3,3/上的最大值與最小值之和

是.

答案解析

【教材改編】

1.【解析】因?yàn)閒'(x)=6d-6x-12=6(x+l)(x-2),

由0得，2<xW3,由F'々丿<。得，0Wx<2,

則函數(shù)在0上單調(diào)遞減，在(Z切上單調(diào)遞增,

所以f69在x=2處取得極小值f(2)=-15,

又f(O)=5,f(3)=-4,

所以f(x)在03/上的最小值為-15,最大值為5,

故答案為：5；-15.

2.【解析】令f'6)=3/-2x=x3x-2)=0,解得x=。，或了=：

當(dāng)Xe(0,9時(shí)，f(x)<0,Xe(^,1)U(-1,0丿時(shí)，f'(x)>0,

又f《)=a-ff(-l)=a-2,顯然a-2<a-^,所以a-2=/,所以a=3,

故選8.

【考點(diǎn)探究】

例1.【解析】1)因?yàn)閒(x)=2x+1-41nx,xW(0,+%,以f'⑨=2-3，

所以F⑴=-2,

所以f⑨的圖象在點(diǎn)(1,置7刀處的切線方程為y-3=-2&-〃，即2x+y-5=0.

⑵由(7丿知f(x)=2--=生士，xe[1,3].

XX

令F(x)〉0,則2<xW3,?令f(x)<0,則/<2,

所以f(x)在[l,2上單調(diào)遞減，在(2,3丿上單調(diào)遞增，

所以f(x)min=f(2)=5-41nz.

又f(l)=3,f⑶=7-41n3,f(l)-f(3)=4(ln3-1)>0,

所以f立/nax=3.

所以小)在[1,刃上的最大值與最小值分別為3與5-41n2.

例2.【解析】定義域?yàn)?,+8),F⑸=—2ax=*,

XX

。丿①當(dāng)aW0時(shí)，f'(x)>0,

.：/■⑨在0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0,得x=

綜上，a<0時(shí)F/在(0,+”)上單調(diào)遞增；

a>。時(shí)在(0,￡丿上單調(diào)遞增，在里,+上單調(diào)遞減.

⑵當(dāng)a,。時(shí)，由(7丿知

①當(dāng)口W1，即a2夕寸，f⑨在刃上單調(diào)遞減，f(x)mx=f(l)=-a;

2a/

②當(dāng)/<舊<2,即時(shí)，F(xiàn)G丿在〃上單調(diào)遞增，在田；，力上單調(diào)遞減,

?：F々)max五)=一萬(wàn)1。2”,；

、/a//

③當(dāng)后》2,即。<a<一時(shí)，f&丿在刃上單調(diào)遞增，fbAax=/⑵=ln2-4a,

\n2-4a,0<a

--^In^a-p-<a<-.

{ZZoZ

練11.【解析】由題知當(dāng)X扌/時(shí)，f(x)=-2x-\nx-f-2,

???f'(x)=-2」<0

x

?：fG丿在〃，+8)為減函數(shù)，

?：f㈤max=f(D=。；

當(dāng)0<x<1f(x)--2x+Inx+Z

.：f'(x)=_2+'=*,

XX

.:當(dāng)Xe(0,，時(shí)，F(xiàn)(X)>0,函數(shù)遞增，當(dāng)Xw弓,〃時(shí)，F(xiàn)(X)<0,函數(shù)fG)遞減,

.：Sax=/夕=/TnZ

綜上可知，f(x)mayi-1-InZ

故答案為：/-ln2.

練12.【解析】。丿函數(shù)的定義域是0,+8丿，

又f，(x)=a?工

*

因?yàn)镠>0,由F'⑨=a"/":''>0,得0<x<e；

jr

由F'⑨=a?1A《0,得x>e,

*

故函數(shù)的增區(qū)間是0,4,減區(qū)間是e+8).

0當(dāng)0<aW夕寸，函數(shù)在區(qū)間/a,2aJ單調(diào)遞增，

所以fM=f(2a)-------=Jln2a；

maxZaZ

當(dāng)］<a<e時(shí)，在②,e)單調(diào)遞增，在(e,2a)單調(diào)遞減,

所以fMmax-f(e)-——-=：；

當(dāng)a■e時(shí)，f々丿在區(qū)間［a,2aJ上單調(diào)遞減,

所以f(x)^=f(a)=—=Ina,

位n2a,(0<a言)

所以fGZnax<a<e)■

Vina,(a2e)

例3.【解析】f(x)=alnx+丄-1的定義域?yàn)?0,+8),

X

:.丄F(厶X丿)=2-丄？

?1x)r)9rf

當(dāng)aW0時(shí)，f(x)<0恒成立，.：f⑨在(0,+8)上單調(diào)遞減，無(wú)最值；

當(dāng)a>0時(shí)，x￡0-丿時(shí)，f'(x)<0,xe+8丿時(shí)，f())o,

aax

.：的單調(diào)遞增區(qū)間為(~,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-),

aa

此時(shí)f(x)=f(-)--alna+a_1=0,/,a=L

mina

故選：A.

例4.［解析］令f(x)=^-ax-1,則f'(x)=^-a.

當(dāng)aW/時(shí)，f'(x)20,函數(shù)，仞在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故f(x)>f(0)=0,滿足題意；

當(dāng)a)/時(shí)，由f'G丿="一a=0,得x=Ina,

當(dāng)7a時(shí)，ff(x)<0,函數(shù)F6r丿在。勿a)上單調(diào)遞減，

故<f(0)=0,不符合題意.

綜上所述：aWl,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1-8,

故選：D.

練21?【解析】：?函數(shù)/"⑨4/?‘尸》?”値域?yàn)椤＃?旬，

I-犬+3x+a,(x<0)

:?f(x)"+1,&20)時(shí)的值域?yàn)椤ǎ?8),

.:當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x3+3x+a1,即a2--3x+/在(-8,。上恒成立.

g(x)=x3-3x+1,(x<0)則g'(x)=3$-3,

故在〈-旳一〃上，屋(X)>0,gG丿單調(diào)遞增；

在1一1,0丿上，g(x)<0,丿單調(diào)遞減，

故當(dāng)'=-1時(shí)，取得最大值為g<-〃=3,

:.a23,故選：D.

練22.【解析】⑴f,(x)=ax-(a+2)呪W=上吆3,

XXX

令f'(x)>0,則(X-/)(x-B“

①當(dāng)2)],即0<a<2時(shí)，*〈，或x~,

aa

.：/7分在03丿上單調(diào)增，在(7,與上單調(diào)減，在￡+8)上單調(diào)增，

aa

②當(dāng)±=/即a=2時(shí)，/⑨二七”20,

ax

.：F&?丿在(0,+為丿上單調(diào)增，

③當(dāng)2〈/即a>2時(shí)，*<占或8)/,

aa

.：『㈤在0—丿上單調(diào)增，在￡〃上單調(diào)減，在。，+8丿上單調(diào)增，

aa

綜上所述：當(dāng)0<a<2時(shí)，在上單調(diào)增，在(X與上單調(diào)減，在+8丿上單調(diào)增，

aa

當(dāng)a=2時(shí)，在0,+8丿上單調(diào)增，

當(dāng)a>2時(shí)，丿在0,為上單調(diào)增，在二〃上單調(diào)減，在(7,+8)上單調(diào)增；

aa

(0由(1)可得，當(dāng):WI，即a22時(shí)，f'(x)20,

:.f(x)在[1,列上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)min=f(D=--oa-2=-3,.：a=2；

當(dāng)即?！磿r(shí)，F(xiàn)(x)W0,

a2,aW/

.：f在丿在〃,2丿上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)min=f(2)=-4+21n2W-3,；.a無(wú)解；

當(dāng)/(〃2,即/〈a<2時(shí)，/■々>在?為上單調(diào)減，在￡力上單調(diào)增，

aaa

??Gin=乳勺=-2-：+2*=~3,

^g(x)=-2--+21n-,:g，(x)=4亠=等;

xxr'xx~"

g'(x)<0在1<X<2上恒成立，.：g回單調(diào)遞減，

?：g(x)G(-3,-3+21n2),即①無(wú)解，

綜上所述：a=2.

例5.【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為他加，圓柱形冰塊的底面圓半徑為mm,高為hem,由題意可得,

—X(2R)2=1術(shù),解得R=4,

4

hWtan?,(R-x)=y[3(4-x)(0<x<4),

設(shè)圓柱形冰塊的體積為叱/,則，(4-x)(0<x<4),

設(shè)f(x)二節(jié)nd(4-x),則F'G)=V5萬(wàn)x8—3x),

當(dāng)時(shí)，f'(x)>0,/窗丿單調(diào)遞增；當(dāng)5<矛<4時(shí)，f'(x)<0,f⑨單調(diào)遞減

所以f(x)^^f(\)=二噢，故酒杯可放置圓柱形冰塊的最大體積為二耍c/.

練31.【解析】設(shè)圓錐的高為x,則底面半徑為12廬-N,

其體積為V=^jrx(20^-x2)(0<x<20),

V=-sn(400-3$),

令丿=0,解得x/=當(dāng)，丫2=-哼倍去工

當(dāng)0<x(也!時(shí)，V>0,「單調(diào)遞增；

3

當(dāng)空員時(shí)，丿<0,，單調(diào)遞減；

3

.:當(dāng)X=3"時(shí)，，取最大值.

3

故選人

練32.【解析】4:?在四面體4靦中，點(diǎn)打，會(huì)打分別在棱46,AC,ADk,且平面為60/2平面6W,

.：由題意可知/為BCD,

■方一萬(wàn)f??忑嬴5'

「棱錐小-4與棱錐A-鹼的高之比為J-x,設(shè)Q-BCD=%，

2

?:%-B,C,D,=fM=XU-^V0,X2(0,I)

/.f'(x)=2x%-3/%,

當(dāng)尸⑨)。時(shí)，o<x<yr(x)<o^-3<x<i,

.:當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f⑨取到最大值，故｛正確；

6.由/選項(xiàng)知，函數(shù)F/在《，〃上是減函數(shù)，故6正確；

C.函數(shù)F6)的圖象不關(guān)于直線x=例稱，故C錯(cuò)誤；

〃函數(shù)f6)的最大值為：f(~)-(-)2(1--)VA-BCD=9VA-BCD<4"A-BCD，

JJjz/q

.：不存在X0,使得陶，故，正確.

故選ABD.

【素養(yǎng)提升】

例6.【解答］⑴當(dāng)加=7時(shí),函數(shù)f6)=--lnx的定義域?yàn)?,+8丿，f()=2x--=—,

xXX

令f'(x)=0,得*=￥很值已舍去人

當(dāng)XG0,當(dāng)丿時(shí)，f，(X)<0:

當(dāng)xG件，+8)時(shí)，f'(x)>0;

所以函數(shù)在0,當(dāng)丿上單調(diào)遞減，在鳥，+8)上單調(diào)遞增.

所以F包的最小值為f&Ain=/?q)=等，無(wú)最大值；

⑵當(dāng)加=2時(shí)，g(x)=x2+21nx-ax(x>0),g'(x)=2x-a+-.

X

因?yàn)閄/,談是方程2/-ax+2=0的兩個(gè)不等正根，xt<x2,a》5,

所以肛+才2=5X]X2=1,

因此g(x2)-g(xi)-(x^,-ax2^2\nx2)-(好「ax】+21nx丿

X2

“2一弓+2a1+x2)(X[-x2)+21n2二,-,+2\x\

=歯-g+0阻.

令t二年,則g&2)-g&丿=t+力nt,

因?yàn)槎z巨扌”空二鄉(xiāng)

444

所以t-x^&[4,+°°).

令h(t)=：-t+21nt,te[4,+8),

則h'(t)1+-=-匕夢(mèng)=-土?<0,在tG[4,+8)上恒成立,

rrrr

所以h(t)=3-t+21nt在t￡[4,+8)上單調(diào)遞減,

故h⑴曲二h(4)Wj4+21n4=41n2..

即-g4丿的最大值為452-與

例7.【解析】〈3=1時(shí)，f(x)=lnx+*+1,

可得f'⑴=3,f(l)=2,

X

所以切線斜率為3且過(guò)點(diǎn)々幻，切線方程為3x-y-1=0；

(2)g(x)-f(x)-ax2-3+2二Inx+1-ax2-3+3=Inx-2.

XXX

EPgf(x)=三，0<xW型

若aWO,則g'⑨>。，g/在(0,用單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不符合題意.

若a>0,g'6r)》0時(shí)，，x>a,纟’在丿<0時(shí)/(必

?a>e2,函數(shù)y=g々丿在(。,司有最小值纟篙丿=￡+ln/-2=§.

所以?=2,即a=2経符合題意.

②0<aW『，函數(shù)y=g&)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,罰單調(diào)遞增，

所以(

gx)min=g(a)=3-+lna-2=2.

即a=e3不合題意.

綜上所述，a=2巒.

例8.【解析】四棱錐如圖，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)的一半為x,

則有AO=-J(5-x)2-x2-x2=V-x2-10x+25<

22-654

V=3--x-V-x-10x+253--Vx-lOx+25X.

設(shè)y=-/-JOx3+25x4,

則y，=-6X5-50x4+lOOx3=2X3(-3X2-25x+50)=2X3(x+10)(-3x+5),

由y'=0,可得x=-/O儈丿或或x=0倍丿.

當(dāng)xE(0,§時(shí)，y>>0,函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)xE6，+->)時(shí)，/<0,函數(shù)單調(diào)遞減.

故當(dāng)入得時(shí)，％.=甯.

故選：A.

練51.【解析】(〃設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(>0,必)，當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=-^+2^+4x,WOf"(x)=x2-f-4x4

所以切線方程為y-^0-2^0-4x0-(^0+4x0+4)(x-x0),

!

又過(guò)原點(diǎn)(0,0),所以耳-2窈-4x0=-x0~4x^-4x0,

~3^0+2x^-0,解得x。=0或=-3,

所以當(dāng)與=〃時(shí)，切線方程為y=4x；當(dāng)與=-3時(shí)，切線方程為y=x.