2023-2024學(xué)年北京市三帆中學(xué)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

北京三帆中學(xué)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷

初三數(shù)學(xué)學(xué)科

注意事項(xiàng):

（1）時間120分鐘，滿分100分;

（2）請將答案填寫在答題紙上.

一、選擇題（共共8小題，每小題2分，滿分16分）

1.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）.

2.拋物線y=-3（x-2）2+4的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（）

A.向上，（2,4）B.向上，（-2,4）

C.向下,(2,4)D,向下，（-2,4）

3.如圖，A,B,C,。是。上的四點(diǎn)，若NO=70。，則N5的度數(shù)為（)

B.110°C.70°D.109°

4.把拋物線y=/+i向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（）

A.y=(x+3)2—1B.y=(x+3/+3

C.y=(x—3)2-1D.y=(x-3>+3

5.拋物線y=3一3與x軸交于A,§兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一L0）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）.

A.(3,0)B.(5,0)C.(0,-3)D.(1,0)

6.如圖，已知O的半徑OC經(jīng)過弦A3的中點(diǎn)。，分別連接OB,AC,則2NA+NB的度數(shù)為（).

A.80°B.45°C.90°D.70°

7.數(shù)學(xué)課上，邱老師提出如下問題：

已知：如圖，AB是。。的直徑，射線AC交「。于C.

同學(xué)們分享了如下四種方案：

①如圖1,連接BC,作BC的垂直平分線，交0。于點(diǎn)。.

②如圖2,過點(diǎn)。作AC平行線，交工。于點(diǎn)D

③如圖3,作的平分線，交于點(diǎn)O.

A.①②B.②③C.②③④D.③④

8.下面的三個問題中都有兩個變量：

①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xdm的正方形紙片，剩下紙片的面積y與x；

②用長為50cm的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長為

③某種商品的價格為4元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x,經(jīng)過兩次降價后的價格y與x.

其中變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）.

A.①B.②C.③D.①③

二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）

9.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程d+如-6=0的一個根，則"?的值為.

10已知拋物線丫=（萬一1『+4經(jīng)過兩點(diǎn)4（2,%）和3（3,%），則月%（填“>”，或

=").

11.已知扇形的圓心角為120。，半徑6cm,則扇形的弧長為cm,扇形的面積為cm2.

12.杭州亞運(yùn)會射擊項(xiàng)目比賽，中國隊(duì)取得16金9銀4銅的成績，繼續(xù)保持著亞洲射擊運(yùn)動霸主的位置.如圖，

是射擊靶的示意圖，環(huán)靶為圓形，直徑122cm,自中心向外共10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)，得分標(biāo)準(zhǔn)如圖所示.若最

小的圓半徑為6.1cm,最大的圓半徑為61cm,某運(yùn)動員一次訓(xùn)練中，擊中了與圓心。的距離為15cm的位置，則

13.如圖，O的直徑垂直弦CO于點(diǎn)E，若AB=4，NA=15°,則弦C。的長為

14.二次函數(shù)y=/—4x+c?滿足以下條件：當(dāng)3<x<4時，它的圖象位于x軸的下方；當(dāng)4<x<5時，它的圖

象位于x軸的上方，則c的值為.

15.如圖，是二次函數(shù)）=W2+瓜+。（。。0）的圖象的一部分，有下面四個結(jié)論：?ac<0；②b>2a；③

9a-3b+c<Q；④關(guān)于x的方程公2+樂+。=1（。。0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中所有正確結(jié)論的序號是

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(—3,0),8(3,0),T(0,2).點(diǎn)。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，滿足

ZACB=60°,則線段CT長度的最大值為

叫

AIB

—1—4—?-I—

-4-3-2-tj02345x

-2

-3

-4

-5

三、解答題(共12小題，滿分68分，17-19,21?23每題5分，20,24?26每題6分，27,28

每題7分)

17.解方程：x2—4x+3=0-

18.已知關(guān)于x的方程/一(Z+4)x+2左+4=0.

(1)求證：不論％何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

(2)設(shè)該方程有兩個根為X1,演，若芭+馬=7，求人的值.

19.如圖，A是。。外一點(diǎn)，48與(。相切于點(diǎn)8,連接Q4,交于點(diǎn)C.若AC=2,AB=2。求圓的

(a,b,c是常數(shù)，的y與x的部分對應(yīng)值如下表:

X-10123

y-3010-3

（1）根據(jù)上表畫出函數(shù)圖象，并填空:

①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

②拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

③當(dāng)y>0時，x的取值范圍是；

（2）求該二次函數(shù)的解析式.

21.2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未來”為主題的北師大二附中建校70周年慶?；顒釉谛Ｂ≈?/p>

舉行，師生校友參與了豐富多彩的校慶活動，并通過購買文創(chuàng)紀(jì)念品的方式獻(xiàn)上愛心，其中的“三帆熊”和“二

附兔”受到大家青睞，這兩種吉祥物成本價均為每個40元，設(shè)兩種吉祥物的銷售單價均為x元，每小時共售出兩

種吉祥物y個，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)y與X之間有如下關(guān)系：y=-x+60.設(shè)在這次活動中兩種吉祥物每小時的利潤共W

元.

（1）求卬與X之間的函數(shù)表達(dá)式（需寫出X的取值范圍）.

（2）這兩種吉祥物的銷售單價定為多少元，可以使每小時的利潤最大?

22.閱讀對話，解答問題.

，我先從珊珊的袋子中抽

出?張卡片，再從帆帆

的袋子中抽出一張卡丁

好好

（1）分別用，必〃表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標(biāo)有的數(shù)字，請用列表法寫出（〃?,〃）的所有取值;

（2）求在（根,〃）的所有取值中使關(guān)于x的一元二次方程f一皿+2〃=0有實(shí)數(shù)根的概率P.

23.己知：如圖，在中，AB^AC.求作：的外接圓.

下面是小張的作法：

①如圖，作垂直平分線4；

②作4c的垂直平分線4,與4交于點(diǎn)。；

③以。為圓心，0A長度為半徑作圓.

則。是_ABC的外接圓.

（1）請你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補(bǔ)全圖形.

（2）小李看到他的作法后靈機(jī)一動，找到了ABC的內(nèi)心.下面是小李的作法:

直線4與AC交于點(diǎn)。，連接。8,交A0于點(diǎn)/,則點(diǎn)/是」45c的內(nèi)心?

請你補(bǔ)全下面證明.

*//2-LAC,4經(jīng)過點(diǎn)0,

：.AC=CD（①）（填推理的依據(jù)），

/ARD=②（③）（填推理的依據(jù)）.

VAB^AC,：.ZBAO=ZCAO.

與AO交于點(diǎn)...點(diǎn)/是ABC的內(nèi)心.

24.籃球是大家平時接觸非常多的運(yùn)動之一，投籃時，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部

分，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，從出手到球進(jìn)籃筐的過程中，籃球的豎直高度？（單位：m）與水平距離x

（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=+人（。＜0）.

（1）某球員一次投籃時，記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m00.511.522.533.5

豎直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68

請你根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，直接寫出籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo),并求出滿足的函數(shù)解析式.

（2）小明同學(xué)在此基礎(chǔ)上想要研究自己的投籃情況，已經(jīng)求得第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式：

5

=（x-2.4）9~+4.5,請回答下列問題：

①小明同學(xué)第一次投籃的出手點(diǎn)高度為m；

②已知籃筐中心位置在水平距離4.2m,豎直高度3m處.當(dāng)籃球的豎直高度為3m時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心

位置的水平距離相差0.1m以內(nèi)，籃球可以進(jìn)入籃筐.若小明第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式：

57

y=-右（x—2.1）+4,已知兩次投籃只有一次投中，則投中（填寫“第一次”或“第二次”）.

25.如圖，BC是］。的直徑，點(diǎn)A是。。上一點(diǎn)，PO1AB,P8L8O于B,分別連接AC,AP.

(1)求證：AP是。。的切線；

(2)作AT)平分/B4C交:。于點(diǎn)。，連接CO.若A6=O6,C0=2百，請補(bǔ)全圖形，并求OP的長.

26.平面直角坐標(biāo)系x0y中，拋物線y=公2+法+44/0)的對稱軸為直線％=7.

(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,c),求/的值;

(2)若拋物線上存在兩點(diǎn)4(%,yj,B(9,%)，其中-1＜玉＜0，且弘=%，求，的取值范圍.

27.已知在中，ZACB=90°,ACBC,CDJ_AB于。，E為線段8。上的一動點(diǎn)，連接瓦),將

繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段瓦連接AF交直線CD于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)當(dāng)E與C重合時，如圖1,求證：AG=FG,

(2)當(dāng)E與C不重合時，如圖2,則(1)中的結(jié)論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；

(3)若AC=2,直接寫出CG長的最大值.

28.設(shè)T是平面內(nèi)的幾何變換，它使得平面內(nèi)任意一點(diǎn)P都有唯一的對應(yīng)點(diǎn)尸'，從而使任何圖形G都能經(jīng)過變換

T得到另一圖形G'.在此基礎(chǔ)上：

若點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是它本身，則稱點(diǎn)P是變換T的不動點(diǎn)；

若圖形G經(jīng)過變換T后得到的圖形仍然是它本身，則稱圖形G是變換T的不動圖形.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)8(0,2),C(2,0).

備用圖

（1）變換刀：先關(guān)于丁軸對稱，再將坐標(biāo)為（a,。）的點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)（4一〃力）.

①若點(diǎn)A在經(jīng)過變換7\后得到點(diǎn)A,則A4'=-----------；

②有下列圖形：

A.過點(diǎn)A且平行于x軸的直線；

B.開口向下，且以8為頂點(diǎn)的拋物線；

C.以點(diǎn)C為圓心的半徑為1的圓.

其中是變換（的不動圖形的是;

（2）變換了2：先關(guān)于直線丁=丘+1對稱，再關(guān)于）'軸對稱.

請判斷點(diǎn)8、點(diǎn)。中哪個點(diǎn)經(jīng)過變換了2后可能得到點(diǎn)A,并求出此時攵值；

（3）變換"：先繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°,再繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60。.

①以C為圓心作半徑為『的圓，若IC上存在點(diǎn)它經(jīng)過變換1后的對應(yīng)點(diǎn)恰好在X軸上，直接寫出廠的取值

范圍；

②變換73是否有不動點(diǎn)？若有，寫出其不動點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有，說明理由.

北京三帆中學(xué)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷

初三數(shù)學(xué)學(xué)科

一、選擇題(共共8小題，每小題2分，滿分16分)

1.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是().

【答案】C

【分析】軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)

180°后與原圖重合，根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可.

【詳解】解：A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，故是軸對稱圖形，不符合題意；

B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互

相重合，故不是軸對稱圖形，不符合題意；

C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，故是軸對稱圖形，符合題意；

D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能

夠互相重合，故不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識，把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后，能夠與原圖形重合，

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就

叫做軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，是解題的關(guān)鍵.

2.拋物線y=-3(x-2)2+4的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是()

A.向上，⑵4)B.向上，(-2,4)

C.向下，⑵4)D.向下，(-2,4)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知a=-3,然后依據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式做出判斷即可.

【詳解】解：?.?a=-3<0,

拋物線開口向下.

:拋物線的解析式為y=-3(x-2)2+4,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的三種形式是解題的關(guān)鍵；

3.如圖，A,B,C,。是。。上的四點(diǎn)，若ND=70。，則的度數(shù)為()

B

◎

A.100°B.110°C.70°D.109°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：：4B,C,力是上的四點(diǎn)，

四邊形A88是。的內(nèi)接四邊形，

ZB+ZZ)=180°,

NO=70。，

ZB=110°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

4.把拋物線y=/+l向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線()

A.y=(x+31-lB.y=(x+3)2+3

C.y=(x-3)2-1D.y=(x-3)2+3

【答案】C

【分析】首先得原拋物線的頂點(diǎn)及平移后拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移不改變拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)可得新的拋物線解

析式.

【詳解】解：由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為(0,1),

???平移后拋物線的頂點(diǎn)為(3,-1),

???新拋物線解析式為y=(x-3)2-1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的幾何變換；用到的知識點(diǎn)為：二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)；得多新拋物線

的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn).

5.拋物線y=2/nx—3與x軸交于AB兩點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(—1,0),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為().

A.(3,0)B.(5,0)C,(0,-3)D.(1,0)

【答案】A

【分析】把A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出加的值，然后得到二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x-3,當(dāng)y=0

2

時，X-2X-3=0.求解即可得到答案.

【詳解】解：拋物線,=32一23—3與x軸交于A8兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（一1，0）,

...m+26一3=0,

解得：m=1,

，該二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2x-3,

當(dāng)y=0時，d—2x—3=0，

解得：玉=—1,彳2=3,

6（3,0）,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題、求二次函數(shù)的解析式，先求出加的值是解此題的關(guān)鍵.

6.如圖，已知一。的半徑OC經(jīng)過弦A3的中點(diǎn)。，分別連接OBAC,則2NA+/B的度數(shù)為（）.

A.80°B.45°C.90°D.70°

【答案】C

【分析】利用垂徑定理求得NODB=90。，利用圓周角定理求得NO=2NA,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：O的半徑OC經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)。，

ODLAB,

：.NODB=90°,

BC=BC，

NO=2ZA,

2ZA+NB=ZO+ZB=90°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

7.數(shù)學(xué)課上，邱老師提出如下問題：

已知：如圖，是（。的直徑，射線AC交CO于C.

求作：弧8C的中點(diǎn)D

同學(xué)們分享了如下四種方案:

①如圖1,連接BC,作3c的垂直平分線，交：。于點(diǎn)。.

②如圖2,過點(diǎn)。作AC的平行線，交（。于點(diǎn)O.

③如圖3,作/B4C的平分線，交。。于點(diǎn)。.

④如圖4,在射線AC上截取AE,使AE=AB,連接8E，交。于點(diǎn)

C

圖1

上述四種方案中,正確的方案的序號是（).

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖方法，逐個推理證明即可.

由作圖可知，6C的垂直平分線經(jīng)過圓心。,因?yàn)镼D±BC，所以，點(diǎn)。是弧8c的中點(diǎn);

②如圖2,連接BC,

圖2

：是〈。的直徑,

ZACB=90°,

OD//AC,

：.0D上BC,

所以，點(diǎn)。是弧8c的中點(diǎn);

③如圖3,

所以，點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn);

④如圖4,連接AO,

圖4

,/A3是的直徑,

ZADB^90°,

"：AE=AB,

：.ABAD=ACAD,

所以，點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn)；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明推理.

8.下面的三個問題中都有兩個變量：

①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xM的正方形紙片，剩下紙片的面積y與x；

②用長為50cm的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x；

③某種商品的價格為4元，準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x,經(jīng)過兩次降價后的價格y與工

其中變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）.

A.①B.②C.③D.?(3)

【答案】D

【分析】根據(jù)變量y與變量x之間的關(guān)系結(jié)合函數(shù)圖象逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①由題意得y=32-x2=-X2+9,

變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用題圖所示的圖象表示；

②由題意得y=x（25—x）=-x2+25x,

變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系不能利用題圖所示的圖象表示；

③由題意得y=4（l—x1，

變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用題圖所示的圖象表示.

綜上，①③都符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用圖象表示函數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，弄清楚兩個變量之間的關(guān)系.

二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）

9.若x=l是關(guān)于x的—?元二次方程/+如-6=0的一個根，則根的值為.

【答案】5

【分析】：把x=l代入方程丁+的一6=0,求出關(guān)于，”的方程的解即可.

【詳解】把x=l代入方程/+如一6=0,

得1+/一6=0,

解得m=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解.能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

10.己知拋物線y=（x—lp+4經(jīng)過兩點(diǎn)A（2,yJ和8（3,必），則X乃（填“>"，或

【答案】<

【分析】分別把x=2和x=3代入y=（x—1丫+4,求出％,為，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)x=2時，y=（2—1『+4=5,

當(dāng)尤=3時，％=（3-I）?+4=8,

,<必?

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)；能夠用代入法求二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

11.已知扇形的圓心角為120。，半徑6cm,則扇形的弧長為cm,扇形的面積為cm2.

【答案】①.4w②.⑵

【分析】直接根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】???扇形的圓心角為120。,半徑為6,

1207rx6

.,.扇形的弧長=--------=471；

180

120TTX62

面積=---------=12兀

360

故答案為4兀，12兀

【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

12.杭州亞運(yùn)會射擊項(xiàng)目比賽，中國隊(duì)取得16金9銀4銅的成績，繼續(xù)保持著亞洲射擊運(yùn)動霸主的位置.如圖，

是射擊靶的示意圖，環(huán)靶為圓形，直徑122cm,自中心向外共10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)，得分標(biāo)準(zhǔn)如圖所示.若最

小的圓半徑為6.1cm,最大的圓半徑為61cm,某運(yùn)動員一次訓(xùn)練中，擊中了與圓心。的距離為15cm的位置，則

該運(yùn)動員本次射擊得分為分.

【答案】8

【分析】先求得9分小圓和8分小圓的半徑即可求解.

【詳解】解：?.,最小的圓半徑為6.1cm,最大的圓半徑為61cm,

9分小圓的半徑為6.1x2=12.2cm,8分小圓的半徑為6.1x3=18.3cm,

,該運(yùn)動員本次射擊得分為8分.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，能求出各個圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，的直徑A3垂直弦CD于點(diǎn)E，若AB=4，NA=15。，則弦CO的長為

【分析】根據(jù)圓周角定理得出/30。的度數(shù)，在Rt^OOE中，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得DE的

長，再由垂徑定理得出CO即可.

【詳解】解：連接。。，

；AB=4，

/.OB=OD=OA=2,

；NA=15。，

ZBOD=2ZA=30°,

?.?直徑AB_LC￡),

:.CE=OE,DE=-OD=\,

2

CD=2DE=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，還考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

14.二次函數(shù)y=f—4x+c滿足以下條件：當(dāng)3<x<4時，它的圖象位于x軸的下方；當(dāng)4<x<5時，它的圖

象位于x軸的上方，則c的值為.

【答案】0

【分析】先求得拋物線的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱性以及已知條件可得x=4時，y=0,當(dāng)x=4和

x=0時y值相等，都是0,進(jìn)而求得c的值.

【詳解】解：拋物線y=f—4x+c=(x—2)2—4+c的對稱軸為直線x=2,

且拋物線在3<x<4時，它的圖象位于x軸的下方；

當(dāng)4<x<5時，它的圖象位于x軸的上方，

：.x=4時，y=0,

：4和0到對稱軸直線x=2的距離相等，

.?.當(dāng)x=4和x=0時），值相等，都是0,

c=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式求得對稱軸是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，是二次函數(shù)〉="2+版+《。：/：0）的圖象的一部分，有下面四個結(jié)論：①ac<0；②。>2a；③

9a-3匕+c<0；④關(guān)于x的方程雙2+云+。=1（。。0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中所有正確結(jié)論的序號是

【分析】根據(jù)拋物線的開口向上，與y軸的交點(diǎn)位于N軸負(fù)半軸可得a>0,c<0,由此即可判斷①；由拋物線的

b

對稱軸為直線x=-五=一1,可得〃=2。，即可判斷②；求得拋物線與X軸的另一個點(diǎn)為（一3,0）,代入二次函數(shù)

的解析式可得9a—3人+c=0,可判斷③；根據(jù)直線y=l與二次函數(shù)卜=辦2+瓜有兩個交點(diǎn)即可判斷

【詳解】解：拋物線的開口向上，與y軸的交點(diǎn)位于y軸負(fù)半軸,

...々>0,cvO,

6ZC<0;結(jié)論①正確;

；二次函數(shù)y=公2+Zzr+c（awO）的對稱軸為直線》=一或-=一1,

:.b=2ci,結(jié)論②錯誤;

???拋物線的對稱軸為直線x=-l,且與X軸的一個交點(diǎn)為（1,0）,

則與X軸的另一個點(diǎn)為（一3,0）,

，9a—3Z?+c=0,結(jié)論③錯誤;

由函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)丁=以2+反+4。。0）的最小值小于o,

二直線y=1與二次函數(shù)y="r+/zx+c（a。0）有兩個交點(diǎn)，

，關(guān)于x的方程分2+法+,=1，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論④正確；

故答案為：①④.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確地由圖

象得出a,b,c的數(shù)量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（—3,0）,B（3,0）,T（0,2）.點(diǎn)。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，滿足

ZACB=60°,則線段CT長度的最大值為.

【答案】3V3+2##2+3V3

【分析】在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)。（0，G）,連接AD,BD，求出NADO=N3QO=60°,從而得到

Z4Z犯=120。，進(jìn)而得到點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓上，同理可得：點(diǎn)C也在以點(diǎn)。

為半徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)C位于（。'交于》軸負(fù)半軸的位置時，CT的值最大，進(jìn)行計算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)。（0，6）,連接A。，BD,

4(-3,0),

OA=3,

AD=y]AO2+OD2=,32+(廚=273，

*”。=0斗也

AD262

:.ZADO^60°,

同理可得：NBDO=60,

\?ADB120?,

ZACB=6O°,

.??點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，AO為半徑的圓上,

同理可得：點(diǎn)。也在以點(diǎn)。'（0,-6）,AD為半徑的圓上,

如圖，當(dāng)點(diǎn)c位于交于》軸負(fù)半軸的位置時，er的值最大,

7(0,2),

:.OT=2,

???線段CT長度的最大值為：。。'+0。'+07=2百+石+2=3岔+2,

故答案為：373+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、解直角三角形、圓周角定理等知識，熟練掌握以上知識點(diǎn)，畫出圖形是解此題

的關(guān)鍵.

三、解答題（共12小題，滿分68分，17?19,21?23每題5分，20,24?26每題6分，27,28

每題7分）

17.解方程：X2—4%+3=0-

【答案】玉=3,々=1

【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解.

【詳解】解：￡_以+3=0，

（x—3）（x—1）=0,

解得jq=3,X2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

18.己知關(guān)于X的方程f一（攵+4）%+2左+4=0.

（1）求證：不論女為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)該方程有兩個根為4，4,若玉+/=7,求k的值.

【答案】（1）見解析（2）3

【分析】（1）求出該方程根的判別式為A=O2_4ac=A2zo,即得出不論％為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出西+/=-二^苫=7,再求解即可.

【小問1詳解】

解：已知關(guān)于x的方程為f—(%+4)x+2k+4=0,

.,.Q=L/?=—伏+4),c=2Z+4,

△=人2_4ac=[―(左+4)了一4(2%+4)=%220,

，不論人為何值，該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

解：???該方程有兩個根為陽，々，

解得：k=3.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.掌握一元二次方程

0?+加+。=0(4*0)的根的判別式為A=。2—4℃，且當(dāng)A>0時，該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=()

時，該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)八<0時，該方程沒有實(shí)數(shù)根.熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

bc

%+X2-和玉,X,=—是解題關(guān)鍵.

a~a

19.如圖，A是外一點(diǎn)，A3與：。相切于點(diǎn)B,連接。4,交(。于點(diǎn)C.若AC=2,AB=2B求圓的

半徑.

【答案】一)。的半徑為2.

【分析】連接08,設(shè)。。的半徑為x,利用勾股定理列式計算即可求解.

【詳解】解：連接08,設(shè)。。的半徑為x,

,/AB與相切于點(diǎn)B,

/.OBLAB,

...ZOBA=90°,

：+AB?=。&，即f+（2百『=（尤+2y,

解得x=2,

。的半徑為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

20.己知二次函數(shù),=℃?+歷c+c（a,b,c是常數(shù)，QHO）的y與x的部分對應(yīng)值如下表:

X-i0123

y-3010-3

（1）根據(jù)上表畫出函數(shù)圖象，并填空:

①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

②拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為;

③當(dāng)y>0時，x的取值范圍是:

（2）求該二次函數(shù)的解析式.

【答案】（1）畫圖見解析，①。,1）；②（0,0）,（2,0）；③0<x<2

（2）y=-x2+2x

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)，然后連線即可畫出圖形，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可;

（2）利用待定系數(shù)法求解即可.

【小問1詳解】

①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）;

②拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,（2,0）；

③當(dāng)y>0時，X的取值范圍是0<x<2；

【小問2詳解】

由表格可得，

二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,（2,0）,（1,1）

c=0

代入y=ax2+bx+c得,<4。+20+c=0

a+b+c=1

c=0

解得卜=2

a=-l

??y=-+2x.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的作圖，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是要能采用數(shù)形結(jié)合的思想.

21.2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未來”為主題北師大二附中建校70周年慶?；顒釉谛Ｂ≈?/p>

舉行，師生校友參與了豐富多彩的校慶活動，并通過購買文創(chuàng)紀(jì)念品的方式獻(xiàn)上愛心，其中的“三帆熊”和“二

附兔”受到大家青睞，這兩種吉祥物成本價均為每個40元，設(shè)兩種吉祥物的銷售單價均為x元，每小時共售出兩

種吉祥物y個，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)y與X之間有如下關(guān)系：y=-x+60.設(shè)在這次活動中兩種吉祥物每小時的利潤共W

元.

(1)求W與X之間的函數(shù)表達(dá)式(需寫出X的取值范圍).

(2)這兩種吉祥物的銷售單價定為多少元，可以使每小時的利潤最大？

【答案】(1)W=-x2+l(X)x-24(X)(4O<X<60)

(2)這兩種吉祥物的銷售單價定為50元，可以使每小時的利潤最大，為100元

【分析】(1)根據(jù)利潤=(售價—成本價)x銷售量，即可得到答案；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得：

w=(x—40)(—x+60)=-x2+60x+40x-24(X)=-x2+100x-24(X),

J=-x+60>0,成本價為40元，

/.40<x<60,

w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：w=-A：2+100x-2400(40<x<60)；

【小問2詳解】

解：w=-x2+100%-2400=-(x-50)2+100,

a=-\<0,

?.?當(dāng)尤=50時，卬最大，為100,

，這兩種吉祥物的銷售單價定為50元，可以使每小時的利潤最大，為100元.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確列出二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題

的關(guān)鍵.

22.閱讀對話，解答問題.

，我先從珊珊的袋子中抽

出?張卡片，再從帆帆

的袋子中抽出一張卡丁

好好

（1）分別用，必"表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標(biāo)有的數(shù)字，請用列表法寫出（〃?,〃）的所有取值;

（2）求在（根,〃）的所有取值中使關(guān)于X的一元二次方程f一皿+2〃=0有實(shí)數(shù)根的概率P.

【答案】（1）見解析（2）P（..NO）=；.

【分析】（1）用列表法易得（根,〃）所有情況；

（2）看使關(guān)于x的一元二次方程/-3+2〃=0有實(shí)數(shù)根的情況占總情況的多少即可.

【小問1詳解】

解：（加,〃）對應(yīng)的表格為：

23

\

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

4

(4,1)(4,2)(4,3)

則共有12種等可能的結(jié)果；

【小問2詳解】

解：：方程丁―mr+2〃=0有實(shí)數(shù)根,

**?△=m2-8/7>0?

使蘇一8〃20的（根,〃）有（3,1）,（4,1）,（4,2）,

31

P（?>0）=—

I'124

【點(diǎn)睛】此題主要考查概率與一元二次方程求解，概率題一般難度都不大，只要把所有可能列出來，然后再把滿

足條件的找出來，問題就迎刃而解.

23.己知：如圖，在二ABC中，AB^AC.求作：的外接圓.

下面是小張的作法：

①如圖，作8C的垂直平分線4；

②作AC的垂直平分線12,與4交于點(diǎn)O；

③以。為圓心，OA長度為半徑作圓.

則0。是。的外接圓.

（1）請你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補(bǔ)全圖形.

（2）小李看到他的作法后靈機(jī)一動，找到了的內(nèi)心.下面是小李的作法:

直線4與AC交于點(diǎn)。，連接。8,交A。于點(diǎn)/,則點(diǎn)/是,ABC的內(nèi)心?

請你補(bǔ)全下面證明.

4經(jīng)過點(diǎn)。，

-'-AC=CD（①）（填推理的依據(jù)），

AZABD=一②—（③）（填推理的依據(jù)）.

,//,1BC,AB^AC，：.ZBAO=ZCAO.

與AO交于點(diǎn)...點(diǎn)/是一ABC的內(nèi)心.

【答案】（1）見解析（2）垂徑定理，ZCBD,等弧所對的圓周角相等

【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）利用垂徑定理和圓周角定理可證明結(jié)論成立.

【小問1詳解】

解：如圖，0。是一ABC的外接圓.

【小問2詳解】

AAC=CD（垂徑定理）（填推理的依據(jù)），

：.ZABD=ZCBD（等弧所對的圓周角相等）（填推理的依據(jù)）.

,/Z,1BC,AB^AC,

：.ZBAO=ZCAO.

,/DB與A0交于點(diǎn)J,

點(diǎn)/是_A8C的內(nèi)心.

故答案為：垂徑定理，NCBD,等弧所對的圓周角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、三角形的外心和內(nèi)心等知

識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

24.籃球是大家平時接觸非常多的運(yùn)動之一，投籃時，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部

分，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，從出手到球進(jìn)籃筐的過程中，籃球的豎直高度y(單位：m)與水平距離x

(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=q(x—/z『+A:(a<0).

(1)某球員一次投籃時，記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m00.511.522.533.5

豎直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68

請你根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，直接寫出籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo),并求出滿足的函數(shù)解析式.

(2)小明同學(xué)在此基礎(chǔ)上想要研究自己的投籃情況，已經(jīng)求得第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式：

y=—卷(x—2.4『+4.5,請回答下列問題：

①小明同學(xué)第一次投籃的出手點(diǎn)高度為m；

②己知籃筐中心位置在水平距離4.2m,豎直高度3m處.當(dāng)籃球的豎直高度為3m時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心

位置的水平距離相差().1m以內(nèi)，籃球可以進(jìn)入籃筐.若小明第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式：

57

y=-—(x-2A)+4,已知兩次投籃只有一次投中，則投中(填寫“第一次”或“第二次”).

【答案】(1)(2.5,4),y=-^(x-2.5)2+4

(2)①2.1：②第一次

【分析】(1)由表格中的數(shù)據(jù)可得籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,4),設(shè)此函數(shù)滿足的函數(shù)解析式為:

y=a(x—2.5)?+4,將(0,2)代入函數(shù)解析式，求出。的值即可得到答案；

(2)①令x=0,求出y的值即可得到答案；②分別令y=3,計算出x的值，進(jìn)行估算，并進(jìn)行比較即可得到答

案.

【小問1詳解】

解：由表格中的數(shù)據(jù)可得:

籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2.5,4）,

設(shè)此函數(shù)滿足的函數(shù)解析式為：y=a（x—2.5）2+4,

將（0,2）代入函數(shù)解析式得：ax（O—2.5『+4=2,

Q

解得：CI=----，

25

O

???籃球飛行軌跡滿足的函數(shù)解析式為：y=-—（X-2.5）2+4；

【小問2詳解】

解：①根據(jù)題意得：

52

當(dāng)x=0時，y=—五x（0—2.4）一+4.5=2.1,

二小明同學(xué)第一次投籃的出手點(diǎn)高度為2.1m,

故答案為：2.1；

②在y=—W（x-2.4）2+4.5中,令y=3,則一'（x—2.4『+4.5=3,

”c,3V10°,3>/10

解晝：Xi=2.4---------，—2.4H--------，

1525

在丁=一言（》一2.1）-+4中，令y=3,則—五（尤—21y+4=3,

的陽c,2厲3,2715

解得：x,=2.1---------，=2.14----------，

155

?.24+/4.32.1+獨(dú)1=3.6,且當(dāng)籃球

豎直高度為3m時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心位置的水平距

5

離相差0.1m以內(nèi)，籃球可以進(jìn)入籃筐，籃筐中心位置在水平距離4.2m,

???第一次投中，

故答案為：第一次.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

25.如圖，BC是?。的直徑，點(diǎn)A是。。上一點(diǎn)，POLAB,PBLBO于B,分別連接AC,AP.

（1）求證：AP是的切線;

（2）作AO平分/84C交.。于點(diǎn)。，連接8.若AB=OB,CD=2^3,請補(bǔ)全圖形，并求0P的長.

【答案】（1）見解析（2）OP=2日

【分析】（1）利用SSS證明△可尸也△OBP,得到NQ4P=NO8P=90°,據(jù)此即可得到結(jié)論；

（2）證明△05。是等腰直角三角形，求得直徑8c=2#，證明。鉆是等邊三角形，在Rt/XOPB中，利用含

30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明：連接Q4,

VPO1AB,PBLBO,

；?PO是線段A8的垂直平分線，NO3P=90。,

；?PA=PB，

VOA^OB,OP=OP,

：.A（MP^AOJBP（SSS）,

：.NO4P=NOBP=90°,

??,Q4是C。的半徑，

/.A尸是O。的切線；

【小問2詳解】

解：補(bǔ)全圖形如圖，連接。4,BD，

BC是。。的直徑,

NCQ8=90。，

：平分NB4C，

CD=BD，

CD-BD,

???△C5Q是等腰直角三角形，

,/CD=2百，

，BD=2百，

；?BC=2瓜

*.*AB=OB，OA=OB，

??..QAB是等邊三角形，

AZP0B=-ZA0B=3Q°,OB=-BC=46,

22

在RtZXOPB中，NPOB=30°,NPBO=90°,

：.PB=-OP,

2

OP2=OB2+PB-，

2

2/i\

AOP2=（V6）-+-OP,

解得OP=2V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾

股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

26.平面直角坐標(biāo)系X0Y中，拋物線丁=公2+瓜+｛。。（））的對稱軸為直線為=Z.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2,。，求r的值：

（2）若拋物線上存在兩點(diǎn)A（x，y）,3（9,%），其中一1<%<0,1<X2<3,且凹=%，求r的取值范圍.

【答案】（1）t=\

3

（2）0v，<—

2

【分析】（1）由函數(shù)關(guān)系式可知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0,c）,由函數(shù)的對稱性即可求解；

（2）由函數(shù)的對稱性可得r=%殳，求玉+w的取值范圍即可.

【小問1詳解】

解：：拋物線）=狽2+陵+。（。。0）

二函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（0,c）,

；拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2,0,對稱軸為直線x=f,

.,.點(diǎn)（2,c）和