2023-2024學(xué)年北京市三帆中學(xué)九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解_第1頁
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文檔簡介

北京三帆中學(xué)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷

初三數(shù)學(xué)學(xué)科

注意事項(xiàng):

(1)時間120分鐘,滿分100分;

(2)請將答案填寫在答題紙上.

一、選擇題(共共8小題,每小題2分,滿分16分)

1.下列圖形中,既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是().

2.拋物線y=-3(x-2)2+4的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是()

A.向上,(2,4)B.向上,(-2,4)

C.向下,(2,4)D,向下,(-2,4)

3.如圖,A,B,C,。是。上的四點(diǎn),若NO=70。,則N5的度數(shù)為()

B.110°C.70°D.109°

4.把拋物線y=/+i向右平移3個單位,再向下平移2個單位,得到拋物線()

A.y=(x+3)2—1B.y=(x+3/+3

C.y=(x—3)2-1D.y=(x-3>+3

5.拋物線y=3一3與x軸交于A,§兩點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一L0),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為().

A.(3,0)B.(5,0)C.(0,-3)D.(1,0)

6.如圖,已知O的半徑OC經(jīng)過弦A3的中點(diǎn)。,分別連接OB,AC,則2NA+NB的度數(shù)為().

A.80°B.45°C.90°D.70°

7.數(shù)學(xué)課上,邱老師提出如下問題:

已知:如圖,AB是。。的直徑,射線AC交「。于C.

同學(xué)們分享了如下四種方案:

①如圖1,連接BC,作BC的垂直平分線,交0。于點(diǎn)。.

②如圖2,過點(diǎn)。作AC平行線,交工。于點(diǎn)D

③如圖3,作的平分線,交于點(diǎn)O.

A.①②B.②③C.②③④D.③④

8.下面的三個問題中都有兩個變量:

①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xdm的正方形紙片,剩下紙片的面積y與x;

②用長為50cm的繩子圍成一個矩形,矩形的面積y與一邊長為

③某種商品的價格為4元,準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價,如果每次降價的百分率都是x,經(jīng)過兩次降價后的價格y與x.

其中變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是().

A.①B.②C.③D.①③

二、填空題(共8小題,每小題2分,滿分16分)

9.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程d+如-6=0的一個根,則"?的值為.

10已知拋物線丫=(萬一1『+4經(jīng)過兩點(diǎn)4(2,%)和3(3,%),則月%(填“>”,或

=").

11.已知扇形的圓心角為120。,半徑6cm,則扇形的弧長為cm,扇形的面積為cm2.

12.杭州亞運(yùn)會射擊項(xiàng)目比賽,中國隊(duì)取得16金9銀4銅的成績,繼續(xù)保持著亞洲射擊運(yùn)動霸主的位置.如圖,

是射擊靶的示意圖,環(huán)靶為圓形,直徑122cm,自中心向外共10個等寬的同心圓環(huán)區(qū),得分標(biāo)準(zhǔn)如圖所示.若最

小的圓半徑為6.1cm,最大的圓半徑為61cm,某運(yùn)動員一次訓(xùn)練中,擊中了與圓心。的距離為15cm的位置,則

13.如圖,O的直徑垂直弦CO于點(diǎn)E,若AB=4,NA=15°,則弦C。的長為

14.二次函數(shù)y=/—4x+c?滿足以下條件:當(dāng)3<x<4時,它的圖象位于x軸的下方;當(dāng)4<x<5時,它的圖

象位于x軸的上方,則c的值為.

15.如圖,是二次函數(shù))=W2+瓜+。(。。0)的圖象的一部分,有下面四個結(jié)論:?ac<0;②b>2a;③

9a-3b+c<Q;④關(guān)于x的方程公2+樂+。=1(。。0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中所有正確結(jié)論的序號是

16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(—3,0),8(3,0),T(0,2).點(diǎn)。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點(diǎn),滿足

ZACB=60°,則線段CT長度的最大值為

AIB

—1—4—?-I—

-4-3-2-tj02345x

-2

-3

-4

-5

三、解答題(共12小題,滿分68分,17-19,21?23每題5分,20,24?26每題6分,27,28

每題7分)

17.解方程:x2—4x+3=0-

18.已知關(guān)于x的方程/一(Z+4)x+2左+4=0.

(1)求證:不論%何值,該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

(2)設(shè)該方程有兩個根為X1,演,若芭+馬=7,求人的值.

19.如圖,A是。。外一點(diǎn),48與(。相切于點(diǎn)8,連接Q4,交于點(diǎn)C.若AC=2,AB=2。求圓的

(a,b,c是常數(shù),的y與x的部分對應(yīng)值如下表:

X-10123

y-3010-3

(1)根據(jù)上表畫出函數(shù)圖象,并填空:

①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

②拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

③當(dāng)y>0時,x的取值范圍是;

(2)求該二次函數(shù)的解析式.

21.2023年9月,以“人文自主庚七秩,二附一心向未來”為主題的北師大二附中建校70周年慶?;顒釉谛B≈?/p>

舉行,師生校友參與了豐富多彩的校慶活動,并通過購買文創(chuàng)紀(jì)念品的方式獻(xiàn)上愛心,其中的“三帆熊”和“二

附兔”受到大家青睞,這兩種吉祥物成本價均為每個40元,設(shè)兩種吉祥物的銷售單價均為x元,每小時共售出兩

種吉祥物y個,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)y與X之間有如下關(guān)系:y=-x+60.設(shè)在這次活動中兩種吉祥物每小時的利潤共W

元.

(1)求卬與X之間的函數(shù)表達(dá)式(需寫出X的取值范圍).

(2)這兩種吉祥物的銷售單價定為多少元,可以使每小時的利潤最大?

22.閱讀對話,解答問題.

,我先從珊珊的袋子中抽

出?張卡片,再從帆帆

的袋子中抽出一張卡丁

好好

(1)分別用,必〃表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標(biāo)有的數(shù)字,請用列表法寫出(〃?,〃)的所有取值;

(2)求在(根,〃)的所有取值中使關(guān)于x的一元二次方程f一皿+2〃=0有實(shí)數(shù)根的概率P.

23.己知:如圖,在中,AB^AC.求作:的外接圓.

下面是小張的作法:

①如圖,作垂直平分線4;

②作4c的垂直平分線4,與4交于點(diǎn)。;

③以。為圓心,0A長度為半徑作圓.

則。是_ABC的外接圓.

(1)請你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補(bǔ)全圖形.

(2)小李看到他的作法后靈機(jī)一動,找到了ABC的內(nèi)心.下面是小李的作法:

直線4與AC交于點(diǎn)。,連接。8,交A0于點(diǎn)/,則點(diǎn)/是」45c的內(nèi)心?

請你補(bǔ)全下面證明.

*//2-LAC,4經(jīng)過點(diǎn)0,

:.AC=CD(①)(填推理的依據(jù)),

/ARD=②(③)(填推理的依據(jù)).

VAB^AC,:.ZBAO=ZCAO.

與AO交于點(diǎn)...點(diǎn)/是ABC的內(nèi)心.

24.籃球是大家平時接觸非常多的運(yùn)動之一,投籃時,球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部

分,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,從出手到球進(jìn)籃筐的過程中,籃球的豎直高度?(單位:m)與水平距離x

(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=+人(。<0).

(1)某球員一次投籃時,記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m00.511.522.533.5

豎直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68

請你根據(jù)表格中數(shù)據(jù),直接寫出籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo),并求出滿足的函數(shù)解析式.

(2)小明同學(xué)在此基礎(chǔ)上想要研究自己的投籃情況,已經(jīng)求得第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式:

5

=(x-2.4)9~+4.5,請回答下列問題:

①小明同學(xué)第一次投籃的出手點(diǎn)高度為m;

②已知籃筐中心位置在水平距離4.2m,豎直高度3m處.當(dāng)籃球的豎直高度為3m時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心

位置的水平距離相差0.1m以內(nèi),籃球可以進(jìn)入籃筐.若小明第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式:

57

y=-右(x—2.1)+4,已知兩次投籃只有一次投中,則投中(填寫“第一次”或“第二次”).

25.如圖,BC是]。的直徑,點(diǎn)A是。。上一點(diǎn),PO1AB,P8L8O于B,分別連接AC,AP.

(1)求證:AP是。。的切線;

(2)作AT)平分/B4C交:。于點(diǎn)。,連接CO.若A6=O6,C0=2百,請補(bǔ)全圖形,并求OP的長.

26.平面直角坐標(biāo)系x0y中,拋物線y=公2+法+44/0)的對稱軸為直線%=7.

(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,c),求/的值;

(2)若拋物線上存在兩點(diǎn)4(%,yj,B(9,%),其中-1<玉<0,且弘=%,求,的取值范圍.

27.已知在中,ZACB=90°,ACBC,CDJ_AB于。,E為線段8。上的一動點(diǎn),連接瓦),將

繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段瓦連接AF交直線CD于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)當(dāng)E與C重合時,如圖1,求證:AG=FG,

(2)當(dāng)E與C不重合時,如圖2,則(1)中的結(jié)論是否成立?若成立請證明,若不成立請說明理由;

(3)若AC=2,直接寫出CG長的最大值.

28.設(shè)T是平面內(nèi)的幾何變換,它使得平面內(nèi)任意一點(diǎn)P都有唯一的對應(yīng)點(diǎn)尸',從而使任何圖形G都能經(jīng)過變換

T得到另一圖形G'.在此基礎(chǔ)上:

若點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是它本身,則稱點(diǎn)P是變換T的不動點(diǎn);

若圖形G經(jīng)過變換T后得到的圖形仍然是它本身,則稱圖形G是變換T的不動圖形.

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知點(diǎn)8(0,2),C(2,0).

備用圖

(1)變換刀:先關(guān)于丁軸對稱,再將坐標(biāo)為(a,。)的點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)(4一〃力).

①若點(diǎn)A在經(jīng)過變換7\后得到點(diǎn)A,則A4'=-----------;

②有下列圖形:

A.過點(diǎn)A且平行于x軸的直線;

B.開口向下,且以8為頂點(diǎn)的拋物線;

C.以點(diǎn)C為圓心的半徑為1的圓.

其中是變換(的不動圖形的是;

(2)變換了2:先關(guān)于直線丁=丘+1對稱,再關(guān)于)'軸對稱.

請判斷點(diǎn)8、點(diǎn)。中哪個點(diǎn)經(jīng)過變換了2后可能得到點(diǎn)A,并求出此時攵值;

(3)變換":先繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90°,再繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)60。.

①以C為圓心作半徑為『的圓,若IC上存在點(diǎn)它經(jīng)過變換1后的對應(yīng)點(diǎn)恰好在X軸上,直接寫出廠的取值

范圍;

②變換73是否有不動點(diǎn)?若有,寫出其不動點(diǎn)的坐標(biāo);若沒有,說明理由.

北京三帆中學(xué)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷

初三數(shù)學(xué)學(xué)科

一、選擇題(共共8小題,每小題2分,滿分16分)

1.下列圖形中,既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是().

【答案】C

【分析】軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合;中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)

180°后與原圖重合,根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解即可.

【詳解】解:A、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,不能夠與原圖形重合,故不是中心對稱圖形,沿一條直線折疊,直線兩

旁的部分能夠互相重合,故是軸對稱圖形,不符合題意;

B、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后,能夠與原圖形重合,故是中心對稱圖形,沿一條直線折疊,直線兩旁的部分不能夠互

相重合,故不是軸對稱圖形,不符合題意;

C、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后,能夠與原圖形重合,故是中心對稱圖形,沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相

重合,故是軸對稱圖形,符合題意;

D、繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后,不能夠與原圖形重合,故不是中心對稱圖形,沿一條直線折疊,直線兩旁的部分不能

夠互相重合,故不是軸對稱圖形,不符合題意;

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識,把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后,能夠與原圖形重合,

那么這個圖形就叫做中心對稱圖形,如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就

叫做軸對稱圖形,熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念,是解題的關(guān)鍵.

2.拋物線y=-3(x-2)2+4的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是()

A.向上,⑵4)B.向上,(-2,4)

C.向下,⑵4)D.向下,(-2,4)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知a=-3,然后依據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式做出判斷即可.

【詳解】解:?.?a=-3<0,

拋物線開口向下.

:拋物線的解析式為y=-3(x-2)2+4,

二頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)的三種形式是解題的關(guān)鍵;

3.如圖,A,B,C,。是。。上的四點(diǎn),若ND=70。,則的度數(shù)為()

B

A.100°B.110°C.70°D.109°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解::4B,C,力是上的四點(diǎn),

四邊形A88是。的內(nèi)接四邊形,

ZB+ZZ)=180°,

NO=70。,

ZB=110°,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

4.把拋物線y=/+l向右平移3個單位,再向下平移2個單位,得到拋物線()

A.y=(x+31-lB.y=(x+3)2+3

C.y=(x-3)2-1D.y=(x-3)2+3

【答案】C

【分析】首先得原拋物線的頂點(diǎn)及平移后拋物線的頂點(diǎn),根據(jù)平移不改變拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)可得新的拋物線解

析式.

【詳解】解:由題意得原拋物線的頂點(diǎn)為(0,1),

???平移后拋物線的頂點(diǎn)為(3,-1),

???新拋物線解析式為y=(x-3)2-1,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的幾何變換;用到的知識點(diǎn)為:二次函數(shù)的平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù);得多新拋物線

的頂點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn).

5.拋物線y=2/nx—3與x軸交于AB兩點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(—1,0),則點(diǎn)8的坐標(biāo)為().

A.(3,0)B.(5,0)C,(0,-3)D.(1,0)

【答案】A

【分析】把A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出加的值,然后得到二次函數(shù)的解析式為:y=x2-2x-3,當(dāng)y=0

2

時,X-2X-3=0.求解即可得到答案.

【詳解】解:拋物線,=32一23—3與x軸交于A8兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(一1,0),

...m+26一3=0,

解得:m=1,

,該二次函數(shù)的解析式為:y=x2-2x-3,

當(dāng)y=0時,d—2x—3=0,

解得:玉=—1,彳2=3,

6(3,0),

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題、求二次函數(shù)的解析式,先求出加的值是解此題的關(guān)鍵.

6.如圖,已知一。的半徑OC經(jīng)過弦A3的中點(diǎn)。,分別連接OBAC,則2NA+/B的度數(shù)為().

A.80°B.45°C.90°D.70°

【答案】C

【分析】利用垂徑定理求得NODB=90。,利用圓周角定理求得NO=2NA,據(jù)此求解即可.

【詳解】解:O的半徑OC經(jīng)過弦AB的中點(diǎn)。,

ODLAB,

:.NODB=90°,

BC=BC,

NO=2ZA,

2ZA+NB=ZO+ZB=90°,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理,圓周角定理,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

7.數(shù)學(xué)課上,邱老師提出如下問題:

已知:如圖,是(。的直徑,射線AC交CO于C.

求作:弧8C的中點(diǎn)D

同學(xué)們分享了如下四種方案:

①如圖1,連接BC,作3c的垂直平分線,交:。于點(diǎn)。.

②如圖2,過點(diǎn)。作AC的平行線,交(。于點(diǎn)O.

③如圖3,作/B4C的平分線,交。。于點(diǎn)。.

④如圖4,在射線AC上截取AE,使AE=AB,連接8E,交。于點(diǎn)

C

圖1

上述四種方案中,正確的方案的序號是().

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖方法,逐個推理證明即可.

由作圖可知,6C的垂直平分線經(jīng)過圓心。,因?yàn)镼D±BC,所以,點(diǎn)。是弧8c的中點(diǎn);

②如圖2,連接BC,

圖2

:是〈。的直徑,

ZACB=90°,

OD//AC,

:.0D上BC,

所以,點(diǎn)。是弧8c的中點(diǎn);

③如圖3,

所以,點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn);

④如圖4,連接AO,

圖4

,/A3是的直徑,

ZADB^90°,

":AE=AB,

:.ABAD=ACAD,

所以,點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn);

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角的性質(zhì),解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明推理.

8.下面的三個問題中都有兩個變量:

①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xM的正方形紙片,剩下紙片的面積y與x;

②用長為50cm的繩子圍成一個矩形,矩形的面積y與一邊長x;

③某種商品的價格為4元,準(zhǔn)備進(jìn)行兩次降價,如果每次降價的百分率都是x,經(jīng)過兩次降價后的價格y與工

其中變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用如圖所示的圖象表示的是().

A.①B.②C.③D.?(3)

【答案】D

【分析】根據(jù)變量y與變量x之間的關(guān)系結(jié)合函數(shù)圖象逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解:①由題意得y=32-x2=-X2+9,

變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用題圖所示的圖象表示;

②由題意得y=x(25—x)=-x2+25x,

變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系不能利用題圖所示的圖象表示;

③由題意得y=4(l—x1,

變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以利用題圖所示的圖象表示.

綜上,①③都符合題意,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用圖象表示函數(shù)關(guān)系,解題的關(guān)鍵是理解題意,弄清楚兩個變量之間的關(guān)系.

二、填空題(共8小題,每小題2分,滿分16分)

9.若x=l是關(guān)于x的—?元二次方程/+如-6=0的一個根,則根的值為.

【答案】5

【分析】:把x=l代入方程丁+的一6=0,求出關(guān)于,”的方程的解即可.

【詳解】把x=l代入方程/+如一6=0,

得1+/一6=0,

解得m=5.

故答案為:5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解.能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

10.己知拋物線y=(x—lp+4經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,yJ和8(3,必),則X乃(填“>",或

【答案】<

【分析】分別把x=2和x=3代入y=(x—1丫+4,求出%,為,即可求解.

【詳解】解:當(dāng)x=2時,y=(2—1『+4=5,

當(dāng)尤=3時,%=(3-I)?+4=8,

,<必?

故答案為:<.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn);能夠用代入法求二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

11.已知扇形的圓心角為120。,半徑6cm,則扇形的弧長為cm,扇形的面積為cm2.

【答案】①.4w②.⑵

【分析】直接根據(jù)弧長公式及扇形的面積公式進(jìn)行計算即可.

【詳解】???扇形的圓心角為120。,半徑為6,

1207rx6

.,.扇形的弧長=--------=471;

180

120TTX62

面積=---------=12兀

360

故答案為4兀,12兀

【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計算,熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵.

12.杭州亞運(yùn)會射擊項(xiàng)目比賽,中國隊(duì)取得16金9銀4銅的成績,繼續(xù)保持著亞洲射擊運(yùn)動霸主的位置.如圖,

是射擊靶的示意圖,環(huán)靶為圓形,直徑122cm,自中心向外共10個等寬的同心圓環(huán)區(qū),得分標(biāo)準(zhǔn)如圖所示.若最

小的圓半徑為6.1cm,最大的圓半徑為61cm,某運(yùn)動員一次訓(xùn)練中,擊中了與圓心。的距離為15cm的位置,則

該運(yùn)動員本次射擊得分為分.

【答案】8

【分析】先求得9分小圓和8分小圓的半徑即可求解.

【詳解】解:?.,最小的圓半徑為6.1cm,最大的圓半徑為61cm,

9分小圓的半徑為6.1x2=12.2cm,8分小圓的半徑為6.1x3=18.3cm,

,該運(yùn)動員本次射擊得分為8分.

故答案為:8.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,能求出各個圓的半徑是解題的關(guān)鍵.

13.如圖,的直徑A3垂直弦CD于點(diǎn)E,若AB=4,NA=15。,則弦CO的長為

【分析】根據(jù)圓周角定理得出/30。的度數(shù),在Rt^OOE中,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得DE的

長,再由垂徑定理得出CO即可.

【詳解】解:連接。。,

;AB=4,

/.OB=OD=OA=2,

;NA=15。,

ZBOD=2ZA=30°,

?.?直徑AB_LC£),

:.CE=OE,DE=-OD=\,

2

CD=2DE=2.

故答案為:2.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理,還考查了圓周角定理,掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

14.二次函數(shù)y=f—4x+c滿足以下條件:當(dāng)3<x<4時,它的圖象位于x軸的下方;當(dāng)4<x<5時,它的圖

象位于x軸的上方,則c的值為.

【答案】0

【分析】先求得拋物線的對稱軸,根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱性以及已知條件可得x=4時,y=0,當(dāng)x=4和

x=0時y值相等,都是0,進(jìn)而求得c的值.

【詳解】解:拋物線y=f—4x+c=(x—2)2—4+c的對稱軸為直線x=2,

且拋物線在3<x<4時,它的圖象位于x軸的下方;

當(dāng)4<x<5時,它的圖象位于x軸的上方,

:.x=4時,y=0,

:4和0到對稱軸直線x=2的距離相等,

.?.當(dāng)x=4和x=0時),值相等,都是0,

c=0.

故答案為:0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)解析式求得對稱軸是解題的關(guān)鍵.

15.如圖,是二次函數(shù)〉="2+版+《。:/:0)的圖象的一部分,有下面四個結(jié)論:①ac<0;②。>2a;③

9a-3匕+c<0;④關(guān)于x的方程雙2+云+。=1(。。0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中所有正確結(jié)論的序號是

【分析】根據(jù)拋物線的開口向上,與y軸的交點(diǎn)位于N軸負(fù)半軸可得a>0,c<0,由此即可判斷①;由拋物線的

b

對稱軸為直線x=-五=一1,可得〃=2。,即可判斷②;求得拋物線與X軸的另一個點(diǎn)為(一3,0),代入二次函數(shù)

的解析式可得9a—3人+c=0,可判斷③;根據(jù)直線y=l與二次函數(shù)卜=辦2+瓜有兩個交點(diǎn)即可判斷

【詳解】解:拋物線的開口向上,與y軸的交點(diǎn)位于y軸負(fù)半軸,

...々>0,cvO,

6ZC<0;結(jié)論①正確;

;二次函數(shù)y=公2+Zzr+c(awO)的對稱軸為直線》=一或-=一1,

:.b=2ci,結(jié)論②錯誤;

???拋物線的對稱軸為直線x=-l,且與X軸的一個交點(diǎn)為(1,0),

則與X軸的另一個點(diǎn)為(一3,0),

,9a—3Z?+c=0,結(jié)論③錯誤;

由函數(shù)圖象可知,二次函數(shù)丁=以2+反+4。。0)的最小值小于o,

二直線y=1與二次函數(shù)y="r+/zx+c(a。0)有兩個交點(diǎn),

,關(guān)于x的方程分2+法+,=1,有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,結(jié)論④正確;

故答案為:①④.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是正確地由圖

象得出a,b,c的數(shù)量關(guān)系,本題屬于基礎(chǔ)題型.

16.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(—3,0),B(3,0),T(0,2).點(diǎn)。為坐標(biāo)平面內(nèi)的一個動點(diǎn),滿足

ZACB=60°,則線段CT長度的最大值為.

【答案】3V3+2##2+3V3

【分析】在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)。(0,G),連接AD,BD,求出NADO=N3QO=60°,從而得到

Z4Z犯=120。,進(jìn)而得到點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心,為半徑的圓上,同理可得:點(diǎn)C也在以點(diǎn)。

為半徑的圓上,當(dāng)點(diǎn)C位于(。'交于》軸負(fù)半軸的位置時,CT的值最大,進(jìn)行計算即可得到答案.

【詳解】解:如圖,在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)。(0,6),連接A。,BD,

4(-3,0),

OA=3,

AD=y]AO2+OD2=,32+(廚=273,

*”。=0斗也

AD262

:.ZADO^60°,

同理可得:NBDO=60,

\?ADB120?,

ZACB=6O°,

.??點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心,AO為半徑的圓上,

同理可得:點(diǎn)。也在以點(diǎn)。'(0,-6),AD為半徑的圓上,

如圖,當(dāng)點(diǎn)c位于交于》軸負(fù)半軸的位置時,er的值最大,

7(0,2),

:.OT=2,

???線段CT長度的最大值為:。。'+0。'+07=2百+石+2=3岔+2,

故答案為:373+2.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形、解直角三角形、圓周角定理等知識,熟練掌握以上知識點(diǎn),畫出圖形是解此題

的關(guān)鍵.

三、解答題(共12小題,滿分68分,17?19,21?23每題5分,20,24?26每題6分,27,28

每題7分)

17.解方程:X2—4%+3=0-

【答案】玉=3,々=1

【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解.

【詳解】解:£_以+3=0,

(x—3)(x—1)=0,

解得jq=3,X2=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

18.己知關(guān)于X的方程f一(攵+4)%+2左+4=0.

(1)求證:不論女為何值,該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

(2)設(shè)該方程有兩個根為4,4,若玉+/=7,求k的值.

【答案】(1)見解析(2)3

【分析】(1)求出該方程根的判別式為A=O2_4ac=A2zo,即得出不論%為何值,該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出西+/=-二^苫=7,再求解即可.

【小問1詳解】

解:已知關(guān)于x的方程為f—(%+4)x+2k+4=0,

.,.Q=L/?=—伏+4),c=2Z+4,

△=人2_4ac=[―(左+4)了一4(2%+4)=%220,

,不論人為何值,該方程總有兩個實(shí)數(shù)根;

【小問2詳解】

解:???該方程有兩個根為陽,々,

解得:k=3.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.掌握一元二次方程

0?+加+。=0(4*0)的根的判別式為A=。2—4℃,且當(dāng)A>0時,該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)A=()

時,該方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)八<0時,該方程沒有實(shí)數(shù)根.熟記一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系:

bc

%+X2-和玉,X,=—是解題關(guān)鍵.

a~a

19.如圖,A是外一點(diǎn),A3與:。相切于點(diǎn)B,連接。4,交(。于點(diǎn)C.若AC=2,AB=2B求圓的

半徑.

【答案】一)。的半徑為2.

【分析】連接08,設(shè)。。的半徑為x,利用勾股定理列式計算即可求解.

【詳解】解:連接08,設(shè)。。的半徑為x,

,/AB與相切于點(diǎn)B,

/.OBLAB,

...ZOBA=90°,

:+AB?=。&,即f+(2百『=(尤+2y,

解得x=2,

。的半徑為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

20.己知二次函數(shù),=℃?+歷c+c(a,b,c是常數(shù),QHO)的y與x的部分對應(yīng)值如下表:

X-i0123

y-3010-3

(1)根據(jù)上表畫出函數(shù)圖象,并填空:

①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

②拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為;

③當(dāng)y>0時,x的取值范圍是:

(2)求該二次函數(shù)的解析式.

【答案】(1)畫圖見解析,①。,1);②(0,0),(2,0);③0<x<2

(2)y=-x2+2x

【分析】(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn),然后連線即可畫出圖形,然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可;

(2)利用待定系數(shù)法求解即可.

【小問1詳解】

①該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1);

②拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(2,0);

③當(dāng)y>0時,X的取值范圍是0<x<2;

【小問2詳解】

由表格可得,

二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(2,0),(1,1)

c=0

代入y=ax2+bx+c得,<4。+20+c=0

a+b+c=1

c=0

解得卜=2

a=-l

??y=-+2x.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的作圖,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題的關(guān)

鍵是要能采用數(shù)形結(jié)合的思想.

21.2023年9月,以“人文自主庚七秩,二附一心向未來”為主題北師大二附中建校70周年慶?;顒釉谛B≈?/p>

舉行,師生校友參與了豐富多彩的校慶活動,并通過購買文創(chuàng)紀(jì)念品的方式獻(xiàn)上愛心,其中的“三帆熊”和“二

附兔”受到大家青睞,這兩種吉祥物成本價均為每個40元,設(shè)兩種吉祥物的銷售單價均為x元,每小時共售出兩

種吉祥物y個,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)y與X之間有如下關(guān)系:y=-x+60.設(shè)在這次活動中兩種吉祥物每小時的利潤共W

元.

(1)求W與X之間的函數(shù)表達(dá)式(需寫出X的取值范圍).

(2)這兩種吉祥物的銷售單價定為多少元,可以使每小時的利潤最大?

【答案】(1)W=-x2+l(X)x-24(X)(4O<X<60)

(2)這兩種吉祥物的銷售單價定為50元,可以使每小時的利潤最大,為100元

【分析】(1)根據(jù)利潤=(售價—成本價)x銷售量,即可得到答案;

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.

【小問1詳解】

解:根據(jù)題意得:

w=(x—40)(—x+60)=-x2+60x+40x-24(X)=-x2+100x-24(X),

J=-x+60>0,成本價為40元,

/.40<x<60,

w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為:w=-A:2+100x-2400(40<x<60);

【小問2詳解】

解:w=-x2+100%-2400=-(x-50)2+100,

a=-\<0,

?.?當(dāng)尤=50時,卬最大,為100,

,這兩種吉祥物的銷售單價定為50元,可以使每小時的利潤最大,為100元.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,理解題意,正確列出二次函數(shù)解析式,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題

的關(guān)鍵.

22.閱讀對話,解答問題.

,我先從珊珊的袋子中抽

出?張卡片,再從帆帆

的袋子中抽出一張卡丁

好好

(1)分別用,必"表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標(biāo)有的數(shù)字,請用列表法寫出(〃?,〃)的所有取值;

(2)求在(根,〃)的所有取值中使關(guān)于X的一元二次方程f一皿+2〃=0有實(shí)數(shù)根的概率P.

【答案】(1)見解析(2)P(..NO)=;.

【分析】(1)用列表法易得(根,〃)所有情況;

(2)看使關(guān)于x的一元二次方程/-3+2〃=0有實(shí)數(shù)根的情況占總情況的多少即可.

【小問1詳解】

解:(加,〃)對應(yīng)的表格為:

23

\

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

4

(4,1)(4,2)(4,3)

則共有12種等可能的結(jié)果;

【小問2詳解】

解::方程丁―mr+2〃=0有實(shí)數(shù)根,

**?△=m2-8/7>0?

使蘇一8〃20的(根,〃)有(3,1),(4,1),(4,2),

31

P(?>0)=—

I'124

【點(diǎn)睛】此題主要考查概率與一元二次方程求解,概率題一般難度都不大,只要把所有可能列出來,然后再把滿

足條件的找出來,問題就迎刃而解.

23.己知:如圖,在二ABC中,AB^AC.求作:的外接圓.

下面是小張的作法:

①如圖,作8C的垂直平分線4;

②作AC的垂直平分線12,與4交于點(diǎn)O;

③以。為圓心,OA長度為半徑作圓.

則0。是。的外接圓.

(1)請你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補(bǔ)全圖形.

(2)小李看到他的作法后靈機(jī)一動,找到了的內(nèi)心.下面是小李的作法:

直線4與AC交于點(diǎn)。,連接。8,交A。于點(diǎn)/,則點(diǎn)/是,ABC的內(nèi)心?

請你補(bǔ)全下面證明.

4經(jīng)過點(diǎn)。,

-'-AC=CD(①)(填推理的依據(jù)),

AZABD=一②—(③)(填推理的依據(jù)).

,//,1BC,AB^AC,:.ZBAO=ZCAO.

與AO交于點(diǎn)...點(diǎn)/是一ABC的內(nèi)心.

【答案】(1)見解析(2)垂徑定理,ZCBD,等弧所對的圓周角相等

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;

(2)利用垂徑定理和圓周角定理可證明結(jié)論成立.

【小問1詳解】

解:如圖,0。是一ABC的外接圓.

【小問2詳解】

AAC=CD(垂徑定理)(填推理的依據(jù)),

:.ZABD=ZCBD(等弧所對的圓周角相等)(填推理的依據(jù)).

,/Z,1BC,AB^AC,

:.ZBAO=ZCAO.

,/DB與A0交于點(diǎn)J,

點(diǎn)/是_A8C的內(nèi)心.

故答案為:垂徑定理,NCBD,等弧所對的圓周角相等.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、三角形的外心和內(nèi)心等知

識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外心的性質(zhì),屬于中考??碱}型.

24.籃球是大家平時接觸非常多的運(yùn)動之一,投籃時,球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部

分,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,從出手到球進(jìn)籃筐的過程中,籃球的豎直高度y(單位:m)與水平距離x

(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=q(x—/z『+A:(a<0).

(1)某球員一次投籃時,記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m00.511.522.533.5

豎直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68

請你根據(jù)表格中數(shù)據(jù),直接寫出籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo),并求出滿足的函數(shù)解析式.

(2)小明同學(xué)在此基礎(chǔ)上想要研究自己的投籃情況,已經(jīng)求得第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式:

y=—卷(x—2.4『+4.5,請回答下列問題:

①小明同學(xué)第一次投籃的出手點(diǎn)高度為m;

②己知籃筐中心位置在水平距離4.2m,豎直高度3m處.當(dāng)籃球的豎直高度為3m時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心

位置的水平距離相差().1m以內(nèi),籃球可以進(jìn)入籃筐.若小明第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系式:

57

y=-—(x-2A)+4,已知兩次投籃只有一次投中,則投中(填寫“第一次”或“第二次”).

【答案】(1)(2.5,4),y=-^(x-2.5)2+4

(2)①2.1:②第一次

【分析】(1)由表格中的數(shù)據(jù)可得籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,4),設(shè)此函數(shù)滿足的函數(shù)解析式為:

y=a(x—2.5)?+4,將(0,2)代入函數(shù)解析式,求出。的值即可得到答案;

(2)①令x=0,求出y的值即可得到答案;②分別令y=3,計算出x的值,進(jìn)行估算,并進(jìn)行比較即可得到答

案.

【小問1詳解】

解:由表格中的數(shù)據(jù)可得:

籃球飛行軌跡的最高點(diǎn)坐標(biāo)為(2.5,4),

設(shè)此函數(shù)滿足的函數(shù)解析式為:y=a(x—2.5)2+4,

將(0,2)代入函數(shù)解析式得:ax(O—2.5『+4=2,

Q

解得:CI=----,

25

O

???籃球飛行軌跡滿足的函數(shù)解析式為:y=-—(X-2.5)2+4;

【小問2詳解】

解:①根據(jù)題意得:

52

當(dāng)x=0時,y=—五x(0—2.4)一+4.5=2.1,

二小明同學(xué)第一次投籃的出手點(diǎn)高度為2.1m,

故答案為:2.1;

②在y=—W(x-2.4)2+4.5中,令y=3,則一'(x—2.4『+4.5=3,

”c,3V10°,3>/10

解晝:Xi=2.4---------,—2.4H--------,

1525

在丁=一言(》一2.1)-+4中,令y=3,則—五(尤—21y+4=3,

的陽c,2厲3,2715

解得:x,=2.1---------,=2.14----------,

155

?.24+/4.32.1+獨(dú)1=3.6,且當(dāng)籃球

豎直高度為3m時對應(yīng)的水平距離與籃筐中心位置的水平距

5

離相差0.1m以內(nèi),籃球可以進(jìn)入籃筐,籃筐中心位置在水平距離4.2m,

???第一次投中,

故答案為:第一次.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,理解題意,熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

25.如圖,BC是?。的直徑,點(diǎn)A是。。上一點(diǎn),POLAB,PBLBO于B,分別連接AC,AP.

(1)求證:AP是的切線;

(2)作AO平分/84C交.。于點(diǎn)。,連接8.若AB=OB,CD=2^3,請補(bǔ)全圖形,并求0P的長.

【答案】(1)見解析(2)OP=2日

【分析】(1)利用SSS證明△可尸也△OBP,得到NQ4P=NO8P=90°,據(jù)此即可得到結(jié)論;

(2)證明△05。是等腰直角三角形,求得直徑8c=2#,證明。鉆是等邊三角形,在Rt/XOPB中,利用含

30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解.

【小問1詳解】

證明:連接Q4,

VPO1AB,PBLBO,

;?PO是線段A8的垂直平分線,NO3P=90。,

;?PA=PB,

VOA^OB,OP=OP,

:.A(MP^AOJBP(SSS),

:.NO4P=NOBP=90°,

??,Q4是C。的半徑,

/.A尸是O。的切線;

【小問2詳解】

解:補(bǔ)全圖形如圖,連接。4,BD,

BC是。。的直徑,

NCQ8=90。,

:平分NB4C,

CD=BD,

CD-BD,

???△C5Q是等腰直角三角形,

,/CD=2百,

,BD=2百,

;?BC=2瓜

*.*AB=OB,OA=OB,

??..QAB是等邊三角形,

AZP0B=-ZA0B=3Q°,OB=-BC=46,

22

在RtZXOPB中,NPOB=30°,NPBO=90°,

:.PB=-OP,

2

OP2=OB2+PB-,

2

2/i\

AOP2=(V6)-+-OP,

解得OP=2V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定,圓周角定理,等邊三角形的判定和性質(zhì),含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾

股定理,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件.

26.平面直角坐標(biāo)系X0Y中,拋物線丁=公2+瓜+{。。())的對稱軸為直線為=Z.

(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,。,求r的值:

(2)若拋物線上存在兩點(diǎn)A(x,y),3(9,%),其中一1<%<0,1<X2<3,且凹=%,求r的取值范圍.

【答案】(1)t=\

3

(2)0v,<—

2

【分析】(1)由函數(shù)關(guān)系式可知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,c),由函數(shù)的對稱性即可求解;

(2)由函數(shù)的對稱性可得r=%殳,求玉+w的取值范圍即可.

【小問1詳解】

解::拋物線)=狽2+陵+。(。。0)

二函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(0,c),

;拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2,0,對稱軸為直線x=f,

.,.點(diǎn)(2,c)和

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