高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)2.2.4.3利用導(dǎo)數(shù)證明問題及討論零點個數(shù)文市賽課公開課一等獎省名師優(yōu)

2.4.3利用導(dǎo)數(shù)證實問題

及討論零點個數(shù)1/35-2-考向一考向二考向三考向四證實不等式(多維探究)例1(全國卷1,文21)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.(1)設(shè)x=2是f(x)極值點,求a,并求f(x)單調(diào)區(qū)間;(2)證實:當(dāng)a≥時,f(x)≥0.2/35-3-考向一考向二考向三考向四3/35-4-考向一考向二考向三考向四解題心得證實f(x)≥g(x)(x∈I,I是區(qū)間),只需證實f(x)min≥g(x)max.證實f(x)>g(x)(x∈I,I是區(qū)間),只需證實f(x)min>g(x)max,或證實f(x)min≥g(x)max且兩個最值點不相等.4/35-5-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練1(高考信息卷六,文21)已知函數(shù),a∈R.(1)若f(x)在定義域內(nèi)無極值點,求實數(shù)a取值范圍;(2)求證:當(dāng)0<a<1,x>0時,f(x)>1恒成立.解

(1)由題意知令g(x)=ex(x-1)+a(x≠0),則g'(x)=ex·x,當(dāng)x<0時,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又g(0)=a-1,f(x)在定義域內(nèi)無極值點,∴a>1.又當(dāng)a=1時,f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上都單調(diào)遞增也滿足題意,所以a≥1.5/35-6-考向一考向二考向三考向四6/35-7-考向一考向二考向三考向四例2(河北保定一模,文21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=x+.(1)略;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx+1,證實:當(dāng)x∈(0,+∞)且a>0時,f(x)>g(x).7/35-8-考向一考向二考向三考向四解:(1)略.所以F(x)在(1,+∞)上為增函數(shù).又∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,所以,當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)>g(x).8/35-9-考向一考向二考向三考向四解題心得欲證函數(shù)不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是區(qū)間),設(shè)h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即證h(x)>0,為此研究h(x)單調(diào)性,先求h'(x)零點,依據(jù)零點確定h(x)在給定區(qū)間I正負(fù),若h(x)在區(qū)間I內(nèi)遞增或遞減或先遞減后遞增,只須h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,則須求函數(shù)h(x)下確界),若h(x)在區(qū)間I內(nèi)先遞增后遞減,只須區(qū)間I端點函數(shù)值大于或等于0;若h'(x)零點不好求,可設(shè)出零點x0,然后確定零點范圍,進而確定h(x)單調(diào)區(qū)間,求出h(x)最小值h(x0),再研究h(x0)正負(fù).9/35-10-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練2(四川德陽模擬,文21)已知函數(shù)f(x)=a+lnx2且f(x)≤a|x|.(1)求實數(shù)a值;10/35-11-考向一考向二考向三考向四11/35-12-考向一考向二考向三考向四12/35-13-考向一考向二考向三考向四13/35-14-考向一考向二考向三考向四判斷、證實或討論函數(shù)零點個數(shù)例3(全國卷2,文21)已知函數(shù)f(x)=x3-a(x2+x+1).(1)若a=3,求f(x)單調(diào)區(qū)間;(2)證實:f(x)只有一個零點.14/35-15-考向一考向二考向三考向四15/35-16-考向一考向二考向三考向四解題心得相關(guān)函數(shù)零點問題處理方法主要是借助數(shù)形結(jié)合思想,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值,利用函數(shù)單調(diào)性模擬函數(shù)圖象,依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)要求,控制極值點函數(shù)值正負(fù),從而解不等式求出參數(shù)范圍.16/35-17-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練3(山東濟寧一模,文21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a∈R).(1)略;(2)當(dāng)a>0時,證實函數(shù)g(x)=f(x)-(a+1)x恰有一個零點.17/35-18-考向一考向二考向三考向四18/35-19-考向一考向二考向三考向四例4已知函數(shù)f(x)=x3+ax+,g(x)=-lnx.(1)當(dāng)a為何值時,x軸為曲線y=f(x)切線;(2)用min{m,n}表示m,n中最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),討論h(x)零點個數(shù).19/35-20-考向一考向二考向三考向四20/35-21-考向一考向二考向三考向四21/35-22-考向一考向二考向三考向四解題心得1.假如函數(shù)中沒有參數(shù),一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值點,判斷極值點大于0小于0情況,進而判斷函數(shù)零點個數(shù).2.假如函數(shù)中含有參數(shù),往往一階導(dǎo)數(shù)正負(fù)不好判斷,這時先對參數(shù)進行分類,再判斷導(dǎo)數(shù)符號,假如分類也不好判斷,那么需要對一階導(dǎo)函數(shù)進行求導(dǎo),在判斷二階導(dǎo)數(shù)正負(fù)時,也可能需要分類.22/35-23-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練

4已知函數(shù)f(x)=alnx+-(a+1)·x,a∈R.(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)最小值;(2)當(dāng)a≤1時,討論函數(shù)f(x)零點個數(shù).23/35-24-考向一考向二考向三考向四24/35-25-考向一考向二考向三考向四25/35-26-考向一考向二考向三考向四與函數(shù)零點相關(guān)證實問題例5(福建寧德質(zhì)檢二,文21)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+4(a∈R).(1)討論f(x)單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有三個零點,證實:當(dāng)x>0時,f(x)≥6(a-a2)ea.解

(1)由f(x)=x3-3ax2+4,則f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a),令f'(x)=0,得x=0或x=2a,當(dāng)a=0時,f'(x)≥0,f(x)在R上是增函數(shù);當(dāng)a>0時,令f'(x)>0,得x>2a或x<0,所以f(x)在(-∞,0),(2a,+∞)上是增函數(shù),在(0,2a)上是減函數(shù).當(dāng)a<0時,令f'(x)>0,得x>0或x<2a,所以f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)上是增函數(shù),在(2a,0)上是減函數(shù).26/35-27-考向一考向二考向三考向四(2)由(1)可知,當(dāng)a=0時,f(x)在R上是增函數(shù),此時函數(shù)f(x)不可能有三個零點;當(dāng)a<0時,f(x)在(-∞,2a),(0,+∞)是增函數(shù),在(2a,0)是減函數(shù).又由f(x)極小值為f(0)=4>0,則函數(shù)f(x)不可能有三個零點;當(dāng)a>0時,f(x)min=f(2a)=4-4a3,要滿足f(x)有三個零點,則需4-4a3<0,即a>1,當(dāng)x>0時,要證實f(x)>6(a-a2)ea等價于要證實f(x)min>6(a-a2)ea.即要證4-4a3>6(a-a2)ea.因為a>1,故等價于證實1+a+a2<aea.證實:結(jié)構(gòu)函數(shù)g(a)=3aea-2-2a-2a2(a∈(1,+∞)),g'(a)=(3+3a)ea-2-4a,令h(a)=(3+3a)ea-2-4a.27/35-28-考向一考向二考向三考向四∵h(yuǎn)'(a)=(6+3a)ea-4>0,函數(shù)h(a)在(1,+∞)單調(diào)遞增,則h(a)min=h(1)=6e-6>0,∴函數(shù)g(a)在(1,+∞)單調(diào)遞增.則g(a)min=g(1)=3e-6>0,則有1+a+a2≤aea,故有f(x)>6(a-a2)ea.解題心得證實與零點相關(guān)不等式,函數(shù)零點本身就是一個條件,即零點對應(yīng)函數(shù)值為0,證實思緒普通對條件等價轉(zhuǎn)化,結(jié)構(gòu)適當(dāng)新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)知識探討該函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、極值情況等),再結(jié)合函數(shù)圖象來處理.28/35-29-考向一考向二考向三考向四對點訓(xùn)練

5(四川綿陽南山中學(xué)二模,理21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=alnx-bx-3(a∈R且a≠0)(1)略;(2)當(dāng)a=1時,設(shè)g(x)=f(x)+3,若g(x)有兩個相異零點x1,x2,求證:lnx1+lnx2>2.29/35-30-考向一考向二考向三考向四解:(1)略.(2)當(dāng)a=1時,g(x)=f(x)+3=ln

x-bx,函數(shù)定義域為x>0,設(shè)x1>x2>0,∵g(x1)=0,g(x2)=0,∴l(xiāng)n

x1-bx1=0,ln

x2-bx2=0,∴l(xiāng)n

x1-ln

x2=b(x1-x2),ln

x1+ln

x2=b(x1+x2).要證ln

x1+ln

x2>2,即證b(x1+x2)>2,30/35-31-考向一考向二考向三考向四利用導(dǎo)數(shù)處理存在性問題例6(四川內(nèi)江一模,文21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)討論f(x)單調(diào)性;(2)設(shè)a>1,是否存在正實數(shù)x,使得f(x)>0?若存在,請求出一個符合條件x,若不存在,請說明理由.解:(1)f(x)定義域為R,f'(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,故f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,得x=ln

a,當(dāng)x<ln

a時,f'(x)<0,故f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>ln

a時,f'(x)>0,故f(x)單調(diào)遞增,總而言之,當(dāng)a≤0時,f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,f(x)在(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減,在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.31/35-32-考向一考向二考向三考向四(2)存在正數(shù)x=2ln

a,使得f(x)>0,即f(2ln

a)=a2-2aln

a-1>0,其中a>1.證實以下:設(shè)g(x)=x2-2xln

x-1(x>1),則g'(x)=2x-2ln

x-2.設(shè)u(x)=x-ln

x-1(x>1),則u'(x)=1->0,故u(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.∴u(x)>u(1)=0,故g'(x)=2x-2ln

x-2=2u(x)>0.∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增