2023屆黑龍江省哈爾濱市某中學校高三年級上冊期中數(shù)學試題

2023屆黑龍江省哈爾濱市第六中學校高三上學期期中數(shù)學試題

一、單選題

3r

1.設xeR,則“設+4x—12<0”是"—"<1"的()條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要條件D.既不充分也不必要

【答案】A

3r

【分析】解不等式》2+4》-12<0和呂<1,判斷它們的解集之間的包含關系，由此可得答案.

x+6

【詳解】解不等式》2+4》一12<0可得-6<x<2,

l<0,.-.2(V-3)<0,即(x-3)(x+6)<0,r.-6<x<3,

x+6x+6x+6

由于(-6,2)(-6,3),故"+4x_i2<0”是“二<「’的充分不必要條件，

x+6

故選:A.

2.已知復數(shù)2=,一立i,5表示z的共拆復數(shù)，則z?+2=()

22

A.1B.0C.框iD.-Gi

【答案】B

【分析】根據共鈍復數(shù)的概念及復數(shù)代數(shù)形式的運算法則計算即可.

【詳解】解：由z」-3i得

22

13

Z+

22i,

1避

=16八

2-2

22

故

運B.

3.在直三棱柱ABC-ABC中，AB=6,8c=8,AC=1O,M=3,則該三棱柱內能放置的最大

球的表面積為()

A.25TIB.24KC.16KD.9兀

【答案】D

【分析】先由題意可得球的半徑為底面三角形內切圓的半徑/，易得r=2,又r>回，可得該三

2

棱柱內能放置的最大球半徑為T,最后由球的表面積計算公式計算即可.

【詳解】先不考慮棱柱的高將球放入棱柱內，則球的半徑為底面三角形內切圓的半徑，

?.?底面三角形的邊長分別為6、8、10,

底面三角形為直角三角形，

_|AB|+|BC|-|AC|_6+8-10_o

r—--------------=--------=2,

22

3

又?.?|A4j=3,2>-,

；?該三棱柱內能放置的最大球半徑為g,

此時球的表面積S=4n:x(g)=9兀.

故選：D.

4.已知A,B,C,。在同一平面上，其中8C=，BO=6,若點B,C,。均在面積為36萬的圓上，

2

則(AB_AC〉(B4_￡)A)=()

A.36B.-36C.18D.-18

【答案】B

【分析】根據圓的面積得到圓的半徑，結合BC,3D的長度求出BC,8。所成的角為60。，進而利用向

量的減法及數(shù)量積公式進行求解.

【詳解】依題意可知：圓的半徑為6,設圓心為O,

因為8c=:8。=6,所以8。為圓的直徑，

2

因為8C=6,則一8co為等邊三角形，所以BC,B。所成的角為60。,

則CaBD所成的角為120。,

所以(48-AC)^BA-DA)=CB.BD=口耳卜4cos120°=-36,

故選：B.

71(。>0)在區(qū)間(-g,oj上恰有唯一對稱軸，則。的取值范圍為()

5.若函數(shù)y=cosCDX-\--

6

JL1]_7J_7

A.B.C.D.JZ

2523,63,3292

【答案】D

【分析】根據COSX的對稱軸對應函數(shù)值為±1,表示出X,一?，oj上只有一個X即可.

71

【詳解】依題意兀6

cosl+—I=±1,+—=fal,x=------GZ

6(0

J_7

在區(qū)間層,0J上恰有唯一對稱軸,k=0,69€

co2,2

keZ

故選：D

6.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的實心塔群，共分十二階梯式平臺，自

上而下一共12層，每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù)，總計108座.已知其中10層的塔數(shù)成公差

不為零的等差數(shù)列，剩下兩層的塔數(shù)之和為8,則第11層的塔數(shù)為（）

A.17B.18C.19D.20

【答案】A

【分析】設成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：，4。，設出公差d,根據題意得即>=10+194,

又d>0,且dsN",故只能d=2滿足，進而可得答案.

【詳解】設成為等差數(shù)列的其中10層的塔數(shù)為：4，4，，4。，由已知得，該等差數(shù)列為遞增數(shù)列，

因為剩下兩層的塔數(shù)之和為8,故剩下兩層中的任一層，都不可能是第十二層，所以，第十二層塔

數(shù)必為」;

故北+4°）=108-8=100,4+須=20①；

2

又由4（）-4=9〃②，d>0,且dwN”，所以，

①+②得，2q。=20+9",得/=10+：〃，

由4+4O=2O知4（,<20,

又因為須eN，,觀察答案，當且僅當d=2時，囚。滿足條件，所以，%=19：

組成等差數(shù)列的塔數(shù)為：1,3,5,1,9,11,13,15,17,19；

剩下兩層的塔數(shù)之和為8,只能為2,6.

所以，十二層的塔數(shù)，從上到下，可以如下排列：

1,2,3,5,6,7,9,11,13,15,17,19；其中第二層的2和第五層的6不組成等差數(shù)列，滿足

題意，則第11層的塔數(shù)為17.

故答案選：A

7.如圖，正方體4BC￡>-ABCa的棱長為1,尸為AA的中點，M在側面44與8上，若RMLCP,

則■RA"面積的最小值為()

A.立B.立C.@D.75

15105

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，利用向量的坐標運算求得AM=(O,y,2y-2),

進而結合二次函數(shù)性質求得.=2叵，利用三角形面積公式，即可求得答案.

I1Imin5

【詳解】以點。為空間直角坐標系的原點，分別以D4，DC,所在直線為x,y,z軸，建立

空間直角坐標系，

則點M(l,y,z),O”,zVl,D,(0,0,1),所以。陽=(l,y,z-l).

因為C(0,l,0),?(1，0，￡|，所以=

因為〃A/_LCP,所以l-y+；(z-l)=0,所以z=2y-l.

因為A(1,0,1)，所以AM=(O,y,2y-2),

所以|=西+(23，_2)2=J5y2_8y+4，因為04y41,

所以當y時，同時/=平.

因為正方體中，2A，平面A88/,AMu平面ABB/,故,

所以=—xlx^^.=—,

ADM

\\\7min255

故選：c.

8.已知〃x),g(x)分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/(x)+g(x)=e',若關于x的不等式

27(力-咫2(司20在(0,1113)上恒成立，則正實數(shù)a的取值范圍是()

A.￡'+00)B.[0,+8)C.1D.

【答案】D

【分析】由奇偶性求得了(x),g(x)的解析式，化簡不等式，并用分離參數(shù)法變形為“4萼士W，設

(e-exy

e，+e-x=f,換元后利用函數(shù)的單調性求得不等式右邊的取值范圍，從而可得。的范圍.

【詳解】因為/(x),g(x)分別為R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),/(x)+g(x)=e*①,

所以〃-x)+g(-x)=葭,即-g(尤)=e-x②,

聯(lián)立①②可解得/(x)=W二，g(x)=aj,

所以不等式2/(x)-跖2⑴20可化為e*+尸_“.(三二))>0,

因為x?0,ln3),則e=e-jO,故〃氣』

<4_4

設e'+e-'f,則(/-「)2=伍'+6-*)2-4=--4,故"‘7^=下，

t

因為，=e'+eT,xe(O,ln3),所以/=

故/=^+6-在(O」n3)上是增函數(shù)，則

4(10、4324>—

又因為y=f，在小2時是增函數(shù)，所以則48.

tk3；t15f~~

因為a4：；］；：；)在x?(),ln3)恒成立,所以

所以正實數(shù)a的取值范圍是(O.T-

故選：D.

二、多選題

9.已知一ABC三個內角A,B,C的對應邊分別為a,b,c且NC=1,c=3.則下列結論正確的是

()

A.ABC面積的最大值為36B.ACA8的最大值為

C.AcosA+acosB=3D.ABC周長的最大值為9

【答案】CD

【分析】對A選項，根據余弦定理建立關系，使用基本不等式求出時的最大值；

對B選項，用正弦定理及三角恒等變換得ACAB=36sin(2A+60)+￥)求最值；

對C選項，使用余弦定理將cosAcos8化為邊后整理即可；

對D選項，根據A選項中“8關系，使用基本不等式求出a+力的最大值.

【詳解】對A選項，???NC=工,c=3,..cosC=-=a2+fc2-9,

322ab

...(必+9="+62..246當且僅當。=。=3時，取得等號,

：?ab,,9,，SABC=力sinC=^-abW所以A選項不正確；

對B選項，由正弦定理得一^二三^-4^,所以8=2百sinB

sinBsinCsin60

所以AC-AB=3/?cosA=65/3sinBcosA=6\/3sin(A+60jcosA

所以當A=15時，AC-AB的最大值為3人+|,故B不正確；

.22222r22

對C選項，*.*hcosA+acosB=b———~-+a-a+C-------==c=3,所以C選項正確；

2bc2ac2c

對D選項，由人選項的分析知.2+62=,由+9,；.(4+勿2-9=3油43［二2),當且僅當a=6=3時,

取得等號,「?(。+力2領B6,。+力6,

又c=3，?二ABC周長。+匕+G,9,所以D選項正確；

故選：CD

10.下列說法正確的是()

A.RR>y|y|是x3>V的充要條件

B.正數(shù)x,y滿足x+y=2,則雪々的最小值是?

xy+13

C.-43c中，角A,B,C對應邊分別為a,b,C,則cos2A<cos2B是的充要條件

D.若x>0,y>(),x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是2

【答案】ABC

【分析】對于A：根據/(x)=x|x|及g(x)=V單調性判斷；

對于B：使用基本不等式“I”的代換求解；

對于C：使用倍角公式化簡cos2A<cos28,再用正弦定理邊角互化得證；

對于D：使用基本不等式轉化可證得結論.

>X2>0

【詳解】對于A：/(x)=x|x|=('c及g(x)=/在R上均為增函數(shù)，

所以>y|y|等價于/(x)>f(y)等價于x>y,

x3>V等價于g(x)>g(y)等價于x>y,

故是V>_/的充要條件，所以A正確；

$10+2嚴二衛(wèi)］弋，當且僅當x=1,y=：時取等號；故B正確；

31Yxy+1)344

對于CABC中,由cos2A<cos25得l-2sin2Avl-Zsi/B,由sinA>0,sin8>0得sinA>sinB,

由正弦定理工=—二得。>人，

sinAsinB

以上關系均可逆，故cos2A<cos28是的充要條件，故C正確；

對于D：由x+2y+2肛=8得8=x+2y+x<2y)Vx+2y+(史f),解得x+2y24,當且僅當

x=2,y=l時取得等號，故D錯誤；

故選：ABC

11.已知圓錐O尸的底面半徑「=百，側面積為6兀，內切球的球心為Q,外接球的球心為。2,則下

列說法正確的是()

A.外接球。2的表面積為16兀

B.設內切球01的半徑為弓，外接球儀的半徑為々，則々=24

C.過點P作平面a截圓錐OP的截面面積的最大值為2

D.設母線尸8中點為從A點沿圓錐表面到M的最近路線長為歷

【答案】ABD

【分析】易知，圓錐軸截面％8為等邊三角形，該三角形的內切圓半徑與外接圓的半徑即為圓錐OP

的內切球半徑和外接球半徑，求出即可判斷A、B項；由dPAB為等邊三角形，可知過點P作平面。

截圓錐OP的截面中，面積最大的截面即為右上鉆,即可判斷C項；將圓錐側面沿A處剪開，連結AM

即為最小值，可得到D項.

【詳解】設母線長為/,側面積為近=&兀/=6兀，所以/=26.

所以/=2r,_PAB為等邊三角形.

則圓錐的軸截面的內切圓半徑即為圓錐內切球的半徑，其外接圓的半徑為圓錐外接球的半徑,

如圖1

圖1

設內切球。1的半徑為4,外接球。2的半徑為4，

貝ISVMH=；4(PA+A8+PB)=gX6島=3氐,

又SVPAB=；PA.ABsinZPAB=gx(2國x卓=3班，

所以，4=1.

由正弦定理可得，在工上48中，.腿…=21即2"=訪=4,則=2

sinNPAB—

2

所以，外接球。2的表面積為4兀4=16兀，A正確.

因為，4=1，2=2,所以4=24,B項正確.

顯然，過點P作平面。截圓錐。尸的截面均為腰長為2道等腰三角形，如圖2,在底面圓上任取一點

7T

C,易知=

所以，SACP<SABP=3j3,即最大面積為36，c項錯誤.

圖2

將圓錐側面沿24剪開，得到的扇形的半徑式=/=26，弧長4=2口=26兀，

則扇形的圓心角。=4=蜂=兀，如圖3所示.

R25/3

圖3

連結AM,即為最近路線，在RtAAPM中，有PA=R=2也,PM=；PB=?

所以，AM=JPA，+PA/2=#可+(可=岳，D項正確.

故選：ABD.

12.已知函數(shù)/(x)=2lnx-a?則下列結論正確的有()

A.當a=l時，％=1是y=/(x)的極值點

B.當。時,y(x)<o恒成立

e

C.當時，y=〃x)有2個零點

D.若不與是關于x的方程f(x)=O的2個不等實數(shù)根，則

【答案】ABD

【分析】對于A,代入。=1后對〃x)求導，利用導數(shù)與函數(shù)極值的關系即可得證；對于B,構造函

數(shù)g(x)=等(x>0),利用導數(shù)求得8(力皿=*，從而可證得〃x)<0；對于C,舉反例排除即可;

對于D,利用極值點偏移的證明方法即可證得玉飛>e.

【詳解】對于A,當a=l時，/(x)=21nx-x2(x>0),則/(x)=Z-2x=2(1)

X

令盟x)>0,得0<xvl；令/(x)<0,得x>l；

所以〃x)在(0,1)上單調遞增，在(1,e)上單調遞減，

所以x=l是y=〃x)的極大值點，故A正確；

對于B,令〃x)=21nx-a?=0,得電。

i一■x2—2xInx.ci

令g(x)=n^r(x>0)，則8(同=工廠”一匕誓,

(打X

令g，(x)=0,解得x=6

故當xe(0,6)，g[x)>0,g(x)單調遞增；當xe(五,+8),g,(x)<0,g(x)單調遞減；

所以g(x)m「g(五)=(,

因為所以故￡>牛，整理得21nx-加<0,即/(“<0恒成立，故B正確；

對于C,令a=。,則〃x)=21nx,令〃x)=0,解得x=l,故y=〃x)只有1個零點，故C錯誤;

對于D,因為不蒞是關于x的方程/(x)=0的2個不等實數(shù)根，

22

而I、121nxi—?;=0Jinx,-ar,

所以)c12八，即)12o，

21nx2_奴2=°[lnx2=ax2

所以問題等價于Ini="有兩個零點44，證明“2>e?,

[inr.=at.Inr,一Inr,

不妨設%>”0,則由J得到〃=:,

[lnz2=at24r

要證格>?2,只需要證明ln4+ln%>2,

即只需證明：Ina+\nt2=a(tx+%)=(%+幻當~警*>2,

2pLI

只需證明：ln「ln“2」一幻,即_Z,

…2t2￡+]

t2

令m=G>1,

*2

只需證明：—―(77?>1)>

加+1

令s(相)=ln機-----(m>1),

m+1

則s'(m)=0、,＞0,即s在(1,+00)上單調遞增，

/n(/n+1)

又S(l)=0,所以S(機)＞S⑴=0,即1!!機＞也三?(機＞0恒成立，

綜上所述，原不等式成立，即為々＞e成立，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后

構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類

討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

三、填空題

13.已知向量0=(-1,2),向量6=(-3,4),則向量a在b方向上的投影向量為.

【答案】(-石青

【分析】先求出向量a在b方向上的投影，再求出與A同向的單位向量，進而求出向量a在方方向上的

投影向量.

【詳解】由題意，忖=5,向量°在6方向上的投影為：=—=則與〃同向的單位向量為

(-■|，，)，所以向量a在8方向上的投影向量為：=

3344

故答案為：.

14.在平行四邊形ABC。中，點E滿足￡)E=3EC，連接AE并延長交8c的延長線于點凡

AF^^AB+a^AD,若數(shù)列｛a,,｝是等差數(shù)列，其前"項和為S“，則$2022=.

【答案】2359

【分析】先根據分解定理求出4,。2期的值，然后再根據等差數(shù)列的求和公式求出Szg.

【詳解】DE=3EC,AE延長交3c的延長線于點尸，」.IEC/^EDA,f:.CF=^AD,

--44

AF=AB+BF=AB+—AD,/.4=1,^?O22=—

故答案為：2359

15.已知正四棱錐P-A5CD的底面長為6,高為4,若該四棱錐的五個頂點都在一個球面上，則球

心到四棱錐側面的距離為.

【答案嗎

【分析】根據正四棱錐的性質，作出高，則外接球球心在高上，運用勾股定理可以求出外接球半徑,

然后再根據正弦定理求出側面的外接圓半徑即可求得.

【詳解】底面中心為G,連尸G,球心。在射線PG上，連OG,AC,8c中點為瓦連依

底面長為6,高為4,AG=3厄AP=7AG、PG?=4=PB,

17

一AOG中，R2=AG2+(4-R)2,R=—,

4

△PBE中，PE=yJPB2-BE2=5,.-.sinZPBC=后,

PC南3417

由正弦定理.PBC外接圓半徑：“sin/FBC一歷一二"一1"

收

故答案為：石

16.已知函數(shù)"X)=lnx-J直線y=是曲線y=/(x)的一條切線，則加+2”的取值范圍是

【答案】[-21n2-4,”)

【分析】設切點為P(rJ。))，由導數(shù)的幾何意義求出切線方程，可把加、〃用r表示，從而“+2〃可

表示為關于，的函數(shù)，再引入新函數(shù)，由導數(shù)求得函數(shù)的值域即得

【詳解】由/(x)=lnx_,x>0可得r(x)=—+5，

設切點為網寸⑺)，則左=/(。=；+：,

所以曲線y=/(x)在切點處的切線方程為y-/(r)=r⑺(XT),

整理得y=(：+3)x+lnf-：-l,

11(2、13

所以加+2〃=一+-y+2[lnf----1I=—+21nt----2,

令g(x)=!+21nx-3-2(x>0),則g，(x)=_W+Z+2=2'2+：x2,

XXXXXX

令g'(x)=0,解得x=；,

當0<x<g時，g,(x)<0,g(x)單調遞減；

當時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，

故g(x)mi?=g(￡|=-21n2-4,

則加+2〃的取值范圍是［-21n2—4,+00),

故答案為：卜21n2-4,+?))

四、解答題

17.已知，ABC的內角A,B,C的對邊為a,b,c,acosB=A,A=:,h=>/2.

⑴求角B；

(2)求A8C的面積.

【答案】(1)B=J

6

2

【分析】(1)利用正弦定理的邊角變換及三角函數(shù)的基本關系式得到tanB=立，從而得解；

3

(2)先由三角形內角和性質與正弦的和差公式求得sinC=?^,再由正弦定理求得邊。，從而

4

利用三角形面積公式即可得解.

【詳解】(1)因為4cos8=J§bsirk4,所以由正弦定理得sinAcosB=Gsin3sinA,

又0<Av兀，所以sinA>0,

所以cosB二esin6,則tanB=,

3

又因為0<3〈兀，所以B=J.

0

（2）由（1）得B=g,又A=『

64

夜6夜1V6+V2

所以sinC=sin（兀一A_8）=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB=―X+X~~=,

22224

由正弦定理得名=，7;，則0=絲牛=白+1,

sinnsinesinn

所以SABC=+=.

18.已知數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，％=32,2（%-4）=3%.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

（2）若我=（T）"k>g2%i,求數(shù)列｛2｝的前〃項和小.

【答案】（1）4=2"

【分析】（1）由等比數(shù)列的通項公式求解即可;

（2）由（1）可得以=（-1）"（2〃-1）,再分類討論結合分組并項求和法求解即可

a“4=32

【詳解】（1）設公比為q（q>0）,由題意得

214-at^=3a}q

4=2

解得

4=2

H2

(2)b.=(-1)"log,^=(-l)log221-'=(-1)"(2?-1)

VI

n

當為偶數(shù)時＞T"=瓦+H-----Fbn_x+bn=-1+3—5+7H----1-(277—1)=2x—=/?,

當〃為奇數(shù)時，T?=H“=n-l-(2?-l)=-n;

”,=（T）""一

19.在直棱柱ABC-ABg中，AC=BC=AAt=3,ZACB=90°,D,尸分別為棱4片，CG的中點,

E為棱耳G上一點，且A,D,E,尸四點共面.

⑴求田的長；

（2）求三棱錐8-尸的體積.

【答案】（1）C盧=1；

（2）3

【分析】（1）建立空間直角坐標系，由平面向量的共面公式可以求得；（2）將三棱錐8-田的頂

點轉換為A可以求得.

以GA，G4，GC為x，%z正半軸建立空間直角坐標系.

A（3,O,3）,mO,|）,設E（O,a,O）,則由題意可知存在唯一實數(shù)使得

AE=xAD+yAF即（一3,a,-3）=x（一|,|,-3）+）［-3,0,-|）

所以GE=1

(2)CC,1平面ABC,CC,±AC,

又AC工8C,BCcCQ=C,BCCGu平面BBCC

.?.4。1平面3片。(，即AC_L平面班戶

13131

S=3x3--x-x3--x-xl--x2x3=3*,^A-BEF=—X3x3=3

t/>?Lr.r22222

20.已知函數(shù)/(x)=6sin[x+E]cos(x+eof兀)

+COSX——.

13j

⑴求函數(shù)/(x)的單調遞減區(qū)間；

⑵若函數(shù)〃("=/卜+9-昌-；,濟(0,兀),tan^=|,求函數(shù)網力在區(qū)間O,：上的取值范圍.

【答案】(1)]++E?wZ；

OJ

⑵卜-石24」'?

【分析】⑴化簡已知得f(x)=sin(2x+^)+1TTTT3冗

解不等式g++一+E,ZeZ即得解；

2262

(2)由題意可知〃(x)=sin(2x+2夕),令2x+2—[2仍。+明,所以

力(x)=g(f)=sinf,f€[2@兀+2勿，再利用三角函數(shù)的圖象和性質得解.

【詳解】(1)解：/(x)=Vsin(2x+/J+gl+cos(2x-g7t]J

/吟1

=sin2x+—+—,

I6j2

令工+2fat<2x+—<—+2k7i,keZ=>—+Z：7t<x<—+kn,keZ

26263

???/(X)的單調遞減區(qū)間為J++E，kwZ

o3

(2)解：由題意可知〃(x)=sin(2x+2e),s?0,兀)，XG[0,^],

令2x+2(p=t,rw[20,兀+20],

所以/z(x)=g(r)=sinf,r€[2e，7t+2e],

兀71nTt八r4兀3兀

因為*?(),兀)，tan夕=：,所以82°w，兀+2*[7,萬

6；4i,2

71

，當f=時,g(f)a=g=1,

當f=R+2(p時,g(f)min=g(兀+2。)=-sin2(p=-2sin^cos^.

二,cose=±

由題得sin°

所以g")min=一五

.」(x)在[0,§上的取值范圍是一￡,1

21.在長方體A8CO-AAGR中，已知鉆=45,E為AO的中點.

(1)在線段B|G上是否存在點尸，使得平面AA尸〃平面ECG?若存在，請加以證明；若不存在，請

說明理由；

(2)設AO=2,例=4,點G在叫上且滿足償=8AG，求EG與平面￡Z?G所成角的余弦值.

【答案】⑴在線段4G上存在點凡使得平面AAF〃平面ECC-且尸為線段4G中點,證明見解析:

⑵邁

6

【分析】(1)尸為線段4G中點時，平面AAF〃平面ECG，先證明AA〃平面ECG，繼而證明

AE//FC,,且AE=FG，從而四邊形AEC/是平行四邊形，AF//EC,,進而AF//平面ECQ,由

此能證明平面AAF//平面ECC,；

(2)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系。-型，求得相關點坐標，求出平面E8C的法向量,

利用向量法即可求得EG與平面EBC,所成角的余弦值.

【詳解】(1)在線段BC上存在點F,使得平面AAF〃平面ECG，且尸為線段BC中點.

證明：在長方體ABC。-A4GA中，4A〃CG，AD//B^,

???CC|U平面ECG，A41a平面ECG,

...例〃平面ECG，

為AO的中點，尸為B|G的中點，

：.AE//FC,,且AE=FG，

四邊形AEC/是平行四邊形，.?.A尸〃EG,

?1,EGu平面ECC},AF0平面ECClt：.AFII平面ECC1,

,/AFnAAf-A,ARMu平面AAF,

平面AAF〃平面ECG.

(2)在長方體ABCD-AAG。中，

以。為坐標原點，D4,OC,Z)A所在直線分別x,y,z軸，建立空間直角坐標系。-孫z,

40=2,714,=4,4(2,0,0),E(l,0,0),5(2,2,0),C,(0,2,4),4(2,0,4),

故EG=(-1,2,4)EB=(l,2,0),而=(0,0,4),

fn-EC.=-x+2y+4z=0

設平面EBG的法向量為〃=(x,y,z),則1,

[n?EB=x+2y=0

取x=2,得n=(2,-l,l),

A4,=8AG,設G(%o，yo，Zo),則(0,0,4)=8(%-2,%,z0),

則玉,=2,%=0,2。=3，；.G(2,0,；),EG=(l,0,g),

設EG與平面E8G所成角為“e嗚]，

5

?八?/廠—一IEG-H|2v5

則sine=|cos(EG,ri)|==^==—=,

|EG|[〃|5V6

...COS*1分=中-

故EG與平面EBC,所成角的余弦值為限.

6

22.已知函數(shù)/(x)=lnx-ox(a為實數(shù)).

⑴求函數(shù)/(x)的單調區(qū)間；

(2)若存在兩個不相等的正數(shù)演，/滿足了(司)=/(々)，求證為+%>’.

⑶若/(x)有兩個零點演，/，證明：>2.

1111114)

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)討論的正負，確定/(x)的單調區(qū)間；

1212

(2)極值點偏移問題處理：不妨設0<西<一<々，構造F(x)=/(x)-/(±-x)并證得xe(一,一)時，

aaaa

222

尸(x)>0,可得y(w)>/(三)即/(x,)>,/(--x,),再利用f(x)的單調性可得為與--*2大小關系，

aaa

從而證得結論.

fIn%,-ar.=011x,

(3)由《八兩式相減用演，W表示。，將工一+~T—化為只有芭區(qū)的關系式，令一=f可轉

Inx2-ax2=Qlox