專題 勾股定理與趙爽弦圖問題（ 基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題 ）（解析版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》專題勾股定理與趙爽弦圖問題（基礎(chǔ)題＆提升題＆壓軸題）基礎(chǔ)題基礎(chǔ)題1．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a＜b，斜邊是c，證明勾股定理的過程中用到的等式是（）A．a(chǎn)（b﹣a）＝ab﹣a2 B．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（b﹣a）2+4×12ab＝c2 D．（a+b）2＝a2+2ab+【分析】用等面積法，大的正方形面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形面積之和，列等式化簡即可證明，則可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得，大正方形面積：c2，小正方形面積：（b﹣a）2，4個(gè)直角三角形面積之和：4×a×b×12=∵大正方形面積等于小正方形的面積與4個(gè)直角三角形面積之和，∴（b﹣a）2+2ab＝c2，∴a2+b2＝c2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，用等面積法列出等式，并化簡是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”．如圖，設(shè)勾a＝3，弦c＝5，則小正方形ABCD的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】應(yīng)用勾股定理和正方形的面積公式可求解．【解答】解：∵勾a＝3，弦c＝5，∴股b=52∴小正方形的邊長＝4﹣3＝1，∴小正方形的面積＝12＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題運(yùn)用了勾股定理和正方形的面積公式，關(guān)鍵是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．3．（2021秋?溫州期中）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示的弦圖中，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個(gè)直角三角形，當(dāng)EF＝7，DE＝12時(shí)，則正方形ABCD的邊長是（）A．13 B．28 C．48 D．52【分析】在直角△ABF中，利用勾股定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：依題意知，BG＝AF＝DE＝12，EF＝FG＝7，∴BF＝BG﹣FG＝5，直角△ABF中，利用勾股定理得：AB=AF則正方形ABCD的邊長為13．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是得到直角△ABF的兩直角邊的長度．4．（2022秋?衡東縣期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（）A．12 B．11 C．10 D．9【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長為：a﹣b；結(jié)合題意可得ab＝24，a2+b2＝129，結(jié)合完全平方公式即可求出小正方形的邊長．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵ab＝24，a2+b2＝129，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝129﹣2×24＝81，而a﹣b＞0，∴a﹣b＝9，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式．5．（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的圖形表示勾股定理的一種證明方法，該方法運(yùn)用了祖沖之的出入相補(bǔ)原理．若圖中空白部分的面積是14，整個(gè)圖形（連同空白部分）的面積是36，則大正方形ABCD的邊長是．【分析】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)題意列出方程組，即可求得．【解答】解：設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊為c，根據(jù)題意得c2解得：c2＝25，解得：c＝5或﹣5（舍去），故大正方形的邊長為5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?陽城縣期末）如圖，是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，則EF的長是．【分析】根據(jù)△ABE是直角三角形，用勾股定理可得AE的長，再證明四邊形HGFE是正方形，根據(jù)勾股定理，即可求出HF的長．【解答】解：∵△ABE是直角三角形，AE＝10，BE＝24，根據(jù)勾股勾股定理，可得AB=AE∵此圖是由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，∴CH＝BE＝DF＝AG＝24，AE＝BH＝CF＝DG＝10，∴HE＝HF＝GF＝EG＝14，∵∠AHD＝90°，∴∠GHE＝90°，∴四邊形HGFE是正方形，根據(jù)勾股定理，可得EF=EG2故答案為：142．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，若圖中正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為．【分析】根據(jù)題意和圖形，設(shè)BE＝x，則BF＝FL＝x+2，根據(jù)正方形ABCD的邊長為14，列方程可解答．【解答】解：設(shè)BE＝x，則BF＝FL＝x+2，∵正方形ABCD的邊長為14，∴BC＝14，∴x+2+x＝14，∴x＝6，∴BF＝8，BE＝6，∵∠B＝90°，∴EF=82即正方形EFGH的邊長為10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的證明、數(shù)學(xué)常識(shí)、正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是表示四個(gè)直角三角形的直角邊．8．（2022秋?西安月考）如圖，這是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，則S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．675【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．【解答】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a＞b，由題意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，因?yàn)镾1+S2+S3＝2022，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝2022，3（a2+b2）＝2022，所以3S2＝2022，S2的值是674．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的面積、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是隨著正方形的邊長的變化表示面積．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理．在如圖所示的“趙爽弦圖”中，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．若AB＝10，EF＝2，則AH的長為（）A．62 B．82 C．6 D．【分析】由題意得，設(shè)AH＝DE＝CF＝BG＝x，則AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：∵△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD，EFGH都是正方形．AB＝10，EF＝2，∴設(shè)AH＝DE＝CF＝BG＝x，則AE＝DF＝CG＝BH＝2+x，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，即102＝x2+（x+2）2，整理得，x2+2x﹣48＝0，解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合題意，舍去），∴AH＝6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得到線段的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列出方程并求解是解題關(guān)鍵．10．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，將四個(gè)直角三角形的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長是（）A．49 B．51 C．76 D．96【分析】由題意∠ACB為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風(fēng)車的一個(gè)輪子，進(jìn)一步求得四個(gè)．【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長為x，則x2＝122+52＝169，所以x＝13，所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：（13+6）×4＝76．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是勾股定理在實(shí)際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題．11．（2022春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列結(jié)論：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【分析】由題意知x2+y2=49①(x-y)2=4②，①﹣②可得2xy＝45記為③，①+③【解答】解：由題意知x2由①﹣②得2xy＝45③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y=94∴結(jié)論①②③正確，④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，全等圖形以及完全平方公式的幾何背景等知識(shí)，解題的關(guān)鍵學(xué)會(huì)利用方程的思想解決問題，學(xué)會(huì)整體恒等變形的思想，屬于中考?？碱}型．12．（2021秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間空出的部分是一個(gè)小正方形，這樣就組成了一個(gè)“趙爽弦圖”（如圖），大正方形的面積為13，小正方形的面積為1，則組成弦圖的每個(gè)小直角三角形的兩個(gè)直角邊和為（）A．5 B．7 C．25 D．3【分析】先設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，然后根據(jù)題意，可以得到12ab×4＝13﹣1，a2+b2＝13，然后即可計(jì)算出（a+b）2的值，從而可以求得a+b【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，由題意可得，12ab×4＝13﹣1，a2+b2＝13∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，∴a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的應(yīng)用、正方形的面積、三角形的面積、完全平方公式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．13．（2021春?忠縣期末）本期，我們學(xué)習(xí)了用趙爽弦圖證明勾股定理．在如圖所示的趙爽弦圖中，在DH上取點(diǎn)M使得DM＝GH，連接AM、CM．若正方形EFGH的面積為6，則△ADM與△CDM的面積之差為（）A．3 B．2 C．3 D．不確定【分析】由趙爽弦圖可知，正方形EFGH的邊長為6，即AH﹣AE=6，AE＝CG，可得AH﹣CG=6，再表示出S△ADM﹣S△【解答】解：由趙爽弦圖可知：正方形EFGH的邊長為6，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF，∵DM＝GH，∴EH＝AH﹣AE＝AH﹣CG=6∴S△ADM﹣S△CDM=12DM?AH-1=12DM?（AH﹣=1＝3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了趙爽弦圖的應(yīng)用，三角形的面積，熟練掌握趙爽弦圖中包含的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．（1）請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；（2）圖2所示的徽標(biāo)，是我國古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個(gè)Rt△ABC繞中心點(diǎn)O順時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個(gè)圖形的總面積為113cm2，AD＝2cm，則徽標(biāo)的外圍周長為cm．【分析】（1）從整體和部分分別表示正方形的面積即可證明；（2）設(shè)Rt△ABC的較長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，則有a﹣b＝3，4×12ab+1=113【解答】（1）證明：∵正方形的邊長為c，∴正方形的面積等于c2，∵正方形的面積還可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長為（a﹣b）的小正方形組成的，∴正方形的面積為：4×1∴c2＝a2+b2；（2）解：設(shè)Rt△ABC的較長直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，根據(jù)題意得，a﹣b＝3，4×1又∵c2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+112＝121，∴c＝11cm，故徽標(biāo)的外圍周長為：4×（11+2）＝52（cm）．故答案為：52．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式等知識(shí)，運(yùn)用整體思想求出斜邊c的長，是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋?屯留區(qū)期末）閱讀與思考閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)：趙爽“弦圈”與完全平方公式三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實(shí)際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關(guān)系，如圖2，這是由8個(gè)全等的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c的三角形拼成的“弦圖”．由圖可知，1個(gè)大正方形ABCD的面積＝8個(gè)直角三角形的面積+1個(gè)小正方形PQMN的面積．任務(wù)：（1）在圖2中，正方形ABCD的面積可表示為，正方形PQMN的面積可表示為．（用含a，b的式子表示）（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之間的關(guān)系為．（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系，解決問題：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．【分析】（1）利用正方形的面積公式即可求解；（2）直接利用相等關(guān)系用代數(shù)式進(jìn)行表示即可．（3）將代數(shù)式的值代入上一小題的等式中求解即可．【解答】解：（1）∵大正方形邊長為（a+b），小正方形邊長為（a﹣b），∴大正方形面積為（a+b）2，小正方形面積為（a﹣b）2；故答案為：（a+b）2；（a﹣b）2．（2）根據(jù)S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得(a+b)故答案為：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．（3）∵a+b＝5，ab＝4，∴52＝4×4+（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝9，∴（a﹣b）2的值為9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了趙爽“弦圈”與完全平方公式，解題關(guān)鍵是牢記并能靈活利用完全平方和與完全平方差公式進(jìn)行變換．提升題提升題1．（2022春?包河區(qū)期末）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪成的大正方形，若勾為3，弦為5，則圖中四邊形ABCD的周長為．【分析】根據(jù)勾股定理可得CD＝4，由全等的直角三角形可求CE的長，進(jìn)而可得CE，BE的長，再利用勾股定理求解BC的長，證明四邊形ABCD為平行四邊形，進(jìn)而可求解．【解答】解：如圖，DF＝3，CF＝5，∠CDF＝90°，∴CD＝4，∵四個(gè)直角三角形全等，∴CE＝DF＝3，∴BE＝DE＝CD﹣CE＝4﹣3＝1，∴BC=B∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD的周長為：2（BC+CD）＝2×（10+4）＝210+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用勾股定理求解線段長是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?萬州區(qū)校級(jí)期末）如圖所示的圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》中“趙爽弦圖”經(jīng)修飾后的圖形，四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，陰影部分的面積為60，則AD的長為．【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點(diǎn)，可推出陰影部分的四個(gè)直角三角形面積相等，每一個(gè)都為正方形EFGH面積的12，從而陰影部分總面積為正方形EFGH面積的3倍，即可得正方形EFGH面積為4，繼而得DH＝EH＝AE＝2，由勾股定理可求得AD【解答】解：由四邊形ABCD與四邊形EFGH均為正方形，點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)，可知E、F、G分別為AF、BG、CH的中點(diǎn)，且AE＝EH＝DH＝HG＝CG＝FG＝BF＝EF＝BE，∴S△AEH＝S△DHG＝S△CGF＝S△BFE=12S正方形∴S陰影＝3×S正方形EFGH＝60，∴S正方形EFGH＝20，∴EH＝DH＝25，∴DE＝2EH＝45，又∠AED＝90°，∴AD=DE故答案為：10，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，找到周圍三角形面積和中間正方形面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?安慶期末）代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖，大正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，若∠ADE＝∠AED，AD＝45，則△ADE的面積為（）A．24 B．6 C．25 D．210【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，進(jìn)而利用圖形面積的割補(bǔ)關(guān)系解得即可．【解答】解：如圖：∵∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝AB，∴∠AEF＝∠ABF，∵AF⊥BE，∴EF＝BF=12∴GE＝AH，∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，∴△GEM≌△HAM（ASA），∴S△HAM＝S△GEM，∴S△ADE＝S△ADH+S△DGE，∵AD＝45，DH＝2AH，AD2＝DH2+AH2，∴AH＝4，DH＝8，∴DG＝GE＝4，∴S△ADE故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．4．（2022?大悟縣校級(jí)開學(xué)）如圖一所示，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖（2）所示的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若S1＝S2，則nmA．3-1 B．3-12 C．5-1【分析】如圖2，由題意可設(shè)AB＝CD＝x，則可以用x表示出S2，又由于S1＝S2，S1+S2＝m2，所以可以得到m與x的關(guān)系式，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程，得到n與x的關(guān)系，等量代換進(jìn)行運(yùn)算，即可解決．【解答】解：設(shè)圖2中AB＝x，則CD＝AB＝x，∴S△ACD=12×CD?AB=∴S2＝4S△ACD＝2x2，∵S1＝S2，S1+S2＝m2，∴4x2＝m2，∴m＝2x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，∴x2+（x+n）2＝m2，∴x2+（x+n）2＝4x2，∴x+n=3x∴n＝（3-1）x∴nm故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出參數(shù)，用參數(shù)表示出線段或者面積，利用勾股定理列方程，是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022?宜城市一模）如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密鋪構(gòu)成的大正方形，直角三角形的較長邊為b，較短邊為a．若小正方形與大正方形的面積之比為1：13，則a：b＝（）A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．1：3【分析】設(shè)小正方形的面積為1，大正方形的面積是13，根據(jù)勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求得（a+b）的值；由小正方形的面積求出（b﹣a）的值，進(jìn)而求出a，b的值，則可求出答案．【解答】解：設(shè)小正方形的面積為1，大正方形的邊長為c，∵小正方形與大正方形的面積之比為1：13，∴大正方形的面積是13，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面積是13-14=又∵直角三角形的面積是12ab＝3∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25，∴a+b＝5．∵小正方形的面積為（b﹣a）2＝1，∴b＝3，a＝2，∴a：b＝2：3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關(guān)鍵．6．（2022春?高郵市期末）趙爽的“弦圖”被譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)界的圖騰”，它是由四個(gè)直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖為“弦圖”的一部分，正方形ABCD的邊長為13，點(diǎn)M、N是正方形ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，且AM＝CN＝12，BM＝DN＝5，則MN的長為．【分析】延長BM交CN于E，延長DN交AM于點(diǎn)F，由趙爽弦圖可知：四邊形MENF是正方形，△ABM≌△BCE≌△CDN≌△DAF，利用全等三角形的性質(zhì)可求ME＝NE＝7，再利用勾股定理可求解．【解答】解：延長BM交CN于E，延長DN交AM于點(diǎn)F，由題意知：四邊形MENF是正方形，△ABM≌△BCE≌△CDN≌△DAF，∴AM＝BE＝CN＝DF＝12，BM＝CE＝DN＝AF，∵BM＝DN＝5，∴CE＝AF＝5，∴ME＝EN＝NF＝FM＝12﹣5＝7，∴MN=72故答案為：72【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理的證明，理解趙爽弦圖是解題的關(guān)鍵．7．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖．連接AC，分別交EF、GH于點(diǎn)M，N，連接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，則圖中陰影部分的面積之和為（）A．214 B．215 C．225 【分析】根據(jù)正方形的面積可得正方形邊長的平方，設(shè)DH＝x，則AH＝3DH＝3x，根據(jù)勾股定理可得x的平方的值，再根據(jù)題意可得S△FGN＝S△AEM+S△CGN，然后可得陰影部分的面積之和為梯形NGFM的面積．【解答】解：∵S正方形ABCD＝21，∴AB2＝21，設(shè)DH＝x，則AH＝3DH＝3x，∴x2+9x2＝21，∴x2=21根據(jù)題意可知：AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x，∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x，∴S△FGN＝2S△CGN∵S△AEM＝S△CGN，∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN，∴陰影部分的面積之和為：S梯形NGFM=12（NG+FM=12（EM+MF=12FE=12×（2＝2x2=21故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明、全等圖形、梯形的面積，首先要正確理解題意，然后會(huì)利用勾股定理和梯形的面積解題．8．（2022?瑞安市校級(jí)開學(xué)）如圖，為四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”．連接AC，HF相交于點(diǎn)O，BG與AC相交于點(diǎn)J．若OF＝FJ，已知S△BJC＝2，則正方形ABCD的面積為（）A．42+8 B．14 C．65 D．10【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠OFJ＝45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠FJO＝∠FOJ＝67.5°，求得∠CJG＝∠FJO＝67.5°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF＝FJ，求得BF＝FJ＝CG，設(shè)BF＝FJ＝CG＝x，根據(jù)三角形的面積公式得到FJ＝FO=2，求得BG＝2+【解答】解：∵四邊形EFGH是正方形，∴∠OFJ＝45°，∵OF＝FJ，∴∠FJO＝∠FOJ＝67.5°，∴∠CJG＝∠FJO＝67.5°，∵∠AFJ＝90°，∴∠FAJ＝22.5°，∵∠ACD＝45°，∴∠DCH＝22.5°，∠AFJ＝∠AFB＝90°，∴∠JAF＝22.5°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAF＝22.5°，∵AF＝AF，∴△ABF≌△AJF（ASA），∴BF＝FJ，∵BF＝CG，∴BF＝FJ＝CG，設(shè)BF＝FJ＝CG＝x，∵S△BJC=12BJ?CG=12×2CG?CG＝∴x=2∴FJ＝FO=2∴FH＝2OF＝22，∴FG=22FH＝∴BG＝2+2∴正方形ABCD的面積＝BC2＝BG2+CG2＝（2+2）2+（2）2＝8+42故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2）連結(jié)AF，DE，并延長DE交AF于點(diǎn)K，連結(jié)KG．若AH＝2DH=22，則KGA．2 B．322 C．5 D【分析】過點(diǎn)K作KM⊥CF，與CF的延長線交于點(diǎn)M，由圖形關(guān)系求得AE＝EF＝FG=2，再帥AK＝KF=22EF，KM＝MF=22KF【解答】解：過點(diǎn)K作KM⊥CF，與CF的延長線交于點(diǎn)M，∵AH＝2DH=22∴AE＝DE=2∴EH＝HG＝GF＝EF＝22-∴DH＝EH，∴∠AEK＝∠HED＝∠HDE＝45°，∴∠AEK＝∠FEK＝45°，∵AE＝EF=2∴AK＝KF=22EF=1，∠AFE∴∠EFM＝45°，∴MK＝MF=2∴KG=M故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．10．（2022春?濟(jì)寧月考）綜合與實(shí)踐．勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．（1）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說明a2+b2＝c2．（2）業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如圖2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說明c2+a2＝b2．（提示：連接EC，CD）【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式；（2）連接EC，CD，由面積的和差可求解．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b即c2＝a2+b2；（2）連接EC，CD，∵Rt△ABC≌Rt△DAE，∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED，∴∠AFE＝90°，∴AC⊥DE，∵四邊形ABCD的面積=12（BC+AD）×AB四邊形AECD的面積＝S△AEC+S△ACD=12AC×DE=1∴△BEC的面積＝四邊形ABCD的面積﹣四邊形AECD的面積=ac+c22-12b∴c2+a2＝b2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵．11．興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）．解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）．【感悟】對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請(qǐng)用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；【應(yīng)用】（2）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗(yàn)證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解的知識(shí)，熟練掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?揚(yáng)州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）問中若AB≠AC時(shí)，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設(shè)AH＝x，求x的值．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；（2）設(shè)CA＝x，則AH＝x﹣0.9，根據(jù)勾股定理列方程，解得即可得到結(jié)果；（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到結(jié)果；【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12（a+b）（a+b）=12a2+ab+也可以表示為12ab+12ab+∴12ab+12ab+12c2=12a即a2+b2＝c2；（2）∵CA＝x，∴AH＝x﹣0.9，在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，解得x＝1.25，即CA＝1.25，CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），答：新路CH比原路CA少0.05千米；（3）設(shè)AH＝x，則BH＝6﹣x，在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，解得：x=9【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，一元一次方程，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．壓軸題壓軸題1．（2022春?瑞安市期中）2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽是一個(gè)“弦圖”（如圖1）．圖2中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是線段AE和CG上的中點(diǎn)，連結(jié)DP，BP，DQ，BQ，則構(gòu)成了一個(gè)“壓扁”的弦圖四邊形BQDP，若記△DHQ和△BQG的面積分別為S1，S2，且S1S2=32，正方形A．12.5 B．15 C．17.5 D．20【分析】設(shè)CQ＝x，F(xiàn)G＝y(tǒng)，則BG＝CH＝2x+y，根據(jù)S1S2=32，列方程可得y＝2【解答】解：設(shè)CQ＝x，F(xiàn)G＝y(tǒng)，則BG＝CH＝2x+y，∵S1∴12∴y＝2x，∵正方形ABCD的面積為25，∴BC2＝25，∵CG2+BG2＝BC2，∴（2x）2+（2x+y）2＝25，∴x2=5∴S1=12?2x?（x+y）＝3x2=154，S2=12?x?（2x+y∴四邊形BQDP的面積＝2S1+2S2+S正方形EFGH＝2×154+2×52=152+＝17.5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了以弦圖為背景的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理等知識(shí)，利用參數(shù)表示各三角形的面積是解題的關(guān)鍵．2．（2023?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開學(xué)）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》題時(shí)給出了“趙爽弦圖”．將兩個(gè)“趙爽弦圖”（如圖1）中的兩個(gè)正方形和八個(gè)直角三角形按圖2方式擺放圍成正方形MNPQ，記空隙處正方形ABCD，正方形EFGH的面積分別為S1，S2（S1＞S2），則下列四個(gè)判斷：①S1+S2=14S四邊形MNPQ；②DG＝2AF；③若∠EMH＝30°，則S1＝3S2；④若點(diǎn)A是線段GF的中點(diǎn)，則3S1＝4SA．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【分析】設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊是a，較長直角邊是b，斜邊是c，則小正方形的邊長是b﹣a，由正方形面積公式，勾股定理，即可解決問題．【解答】解：設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊是a，較長直角邊是b，斜邊是c，則小正方形的邊長是b﹣a，∴正方形ABCD的面積S1＝b2，正方形EFGH的面積S2＝a2，∴S1+S2＝a2+b2＝c2，∵正方形MNPQ的邊長是2c，∴正方形MNPQ的面積＝（2c）2＝4c2，∴S1+S2=14S四邊形故①符合題意；∵AF＝b﹣a，∴AG＝FG﹣AF＝a﹣（b﹣a）＝2a﹣b，∴DG＝AD﹣AG＝b﹣（2a﹣b）＝2（b﹣a），∴DG＝2AF，故②符合題意；∵∠HME＝30°，∠MHE＝90°，∴MH=3HE∴b=3a∴b2＝3a2，∴S1＝3S2，故③符合題意；∵A是FG中點(diǎn)，∴AG＝FA，∴a﹣（b﹣a）＝b﹣a，∴2b＝3a，∴4b2＝9a2，∴9S1＝4S2，故④不符合題意．∴正確的是①②③，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，正方形的面積，關(guān)鍵是設(shè)“趙爽弦圖”中，直角三角形的較短直角邊是a，較長直角邊是b，斜邊是c，用a，b，c表示出有關(guān)的量，從而可以解決問題．3．（2022秋?溫州期末）如圖，大正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成．點(diǎn)E為小正方形的頂點(diǎn)，延長CE交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BF交小正方形的一邊于點(diǎn)G，若△BCF為等腰三角形，AG＝5，則小正方形的面積為（）A．15 B．16 C．20 D．25【分析】由等腰三角形性質(zhì)可得出BF＝CF，利用HL可證得Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），得出AB＝AD＝2AF，根據(jù)余角的性質(zhì)得出∠BAG＝∠ABF，進(jìn)而推出CF＝BF＝2AG＝10，利用面積法求得BN＝8，再運(yùn)用勾股定理求得CN＝4，即可求得答案．【解答】解：設(shè)小正方形為EHMN，如圖，∵四邊形ABCD和四邊形EHMN是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝90°，CF∥AG，∵△BCF為等腰三角形，且BF＞AB＝BC，CF＞CD＝BC，∴BF＝CF，在Rt△ABF和Rt△DCF中，AB=CDBF=CF∴Rt△ABF≌Rt△DCF（HL），∴∠AFB＝∠CFD，AF＝DF，∴AB＝AD＝2AF，∵CF∥AG，∴∠CFD＝∠DAG，∴∠AFB＝∠DAG，∴AG＝FG，∵∠AFB+∠ABF＝90°，∠DAG+∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠ABF，∴AG＝BG，∴CF＝BF＝2AG＝10，在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，∴（2AF）2+AF2＝102，∴AF＝25，∴AB＝BC＝45，∵S△BCF=12BC?AB=12∴BN=BC?ABCF∴CN=BC∵△ABM≌△BCN，∴BM＝CN＝4，∴MN＝BN﹣BM＝8﹣4＝4，∴S正方形EHMN＝（MN）2＝42＝16，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等，利用面積法求得BN是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成了一個(gè)大正方形ABCD，連結(jié)AC，交BE于點(diǎn)P，若正方形ABCD的面積為28，AE+BE＝7．則S△CFP﹣S△AEP的值是（）A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】先證明△AEP≌△CGM（ASA），則S△AEP＝S△CGM，所以兩三角形面積的差是中間正方形面積的一半，設(shè)AE＝x，BE＝7﹣x，根據(jù)勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，x2+（7﹣x）2＝28，則2x2﹣14x＝﹣21，整體代入可得結(jié)論．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為28，∴AB2＝28，設(shè)AE＝x，∵AE+BE＝7，∴BE＝7﹣x，Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，∴x2+（7﹣x）2＝28，∴2x2﹣14x＝﹣21，∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，∴∠EAP＝∠GCM，∵“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD，∴△AEB≌△CGD，∴AE＝CG，∴△AEP≌△CGM（ASA），∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG=12（MG+PF）?FG=12EF?FG=∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×12x?（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝則S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，多邊形的面積，首先要求學(xué)生正確理解題意，然后會(huì)利用勾股定理和三角形全等的性質(zhì)解題．5．（2022秋?霞浦縣期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．（1）利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示：；（2）用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE＝BC＝a，DE＝AC＝b，AD＝AB＝c，∠AED＝∠ACB＝90°，求證（1）中的定理結(jié)論；（3）如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE＝m，HG＝n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；（2）由四邊形ABCD的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．【解答】（1）解：∵大正方形的面積＝c2，大正方形的面積＝4×12×a×b+（b﹣a∴c2＝4×12×a×b+（b﹣a∴c2＝a2+b2，故答案為：c2＝a2+b2；（2）證明：如圖：連接BD，∵Rt△ABC≌Rt△DAE，∴∠ADE＝∠BAC，∴∠DAE+∠ADE＝90°＝∠DAE+∠BAC，∴∠DAB＝90°，∵S四邊形ABCD=12c2+12×a×（b﹣a），S四邊形ABCD＝2×12×a?∴12c2+12×a×（b﹣a）＝2×12×a?b∴c2＝a2+b2；（3）由題意可得：CE＝CD+DE，GH＝AG﹣AH，∴m＝a+b，n＝b﹣a，∴a=m-n2，b∴BD2＝BC2+CD2＝a2+b2=m∴正方形BDFA的面積為m2【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．6．為了突出勾股定理的價(jià)值，教科書上設(shè)計(jì)了大量的探究、驗(yàn)證活動(dòng)，其中用“面積法”探究勾股定理的例子枚不勝舉．受“面積法”啟發(fā)，小明認(rèn)為，利用趙爽弦圖的一部分就可以證明勾股定理．（1）請(qǐng)把下面的證明過程補(bǔ)充完整；已知：將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示拼在一起，其中∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝BD＝c，AC＝BE＝b，BC＝ED＝a，求證：a2+b2＝c2．證明：連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥ED交DE的延長線于點(diǎn)F，則AF＝b﹣a．（2）應(yīng)用：如圖2，已知等腰直角三角形紙片ABC，∠C＝90°，AC＝BC，AB=2+1．點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，將△ABC沿DE所在直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'正好落在邊BC上．若△A'BE為直角三角形，請(qǐng)直接寫出【分析】（1）連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥ED交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AE，用兩種方法表示S四邊形ABDE，可得12b2+12ab=12c2+12a（b﹣a），化簡變形即有a2（2）分兩種情況：當(dāng)∠A'EB＝90°時(shí)，△A'BE是等腰直角三角形，可得AE＝BE，即得AE=12AB=2+12；當(dāng)∠EA'B＝90°時(shí)，可得BE=2【解答】（1）證明：連接AD，過點(diǎn)A作AF⊥ED交DE的延長線于點(diǎn)F，連接AE，則AF＝b﹣a，如圖：∵S四邊形ABDE＝S△ABE+S△BDE，∴S四邊形ABDE=12b2+∵S四邊形ABDE＝S△ABD+S△AED，∴S四邊形ABDE=12c2+12a（∴12b2+12ab=12c2+1∴a2+b2＝c2；（2）解：當(dāng)∠A'EB＝90°時(shí)，如圖：∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴△A'BE是等腰直角三角形，∴A'E＝BE，∵△ABC沿DE所在直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，∴AE＝A'E，∴AE＝BE，∴AE=12AB當(dāng)∠EA'B＝90°時(shí)，如圖：∵∠B＝45°，∴△A'BE是等腰直角三角形，∴BE=2A'E∵△ABC沿DE所在直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，∴AE＝A'E，∴BE=2AE∵BE+AE=2+∴AE＝1，綜上所述，AE的長為2+12或【點(diǎn)評(píng)】本題是勾股定理的探究與應(yīng)用，主要考查了勾股定理的性質(zhì)及應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．7．（2022?南京模擬）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．（1）請(qǐng)根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；探索研究：（2）小亮將“弦圖”中的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖2，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理；問題解決：（3）如圖2，若a＝6，b＝8，此時(shí)空白部分的面積為；（4）如圖3，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長為24，OC＝3，求該風(fēng)車狀圖案的面積．【分析】（1）運(yùn)用等面積法S大正方形＝S小正方形+4S△計(jì)算即可；（2）連接大正方形一條對(duì)角線，運(yùn)用等面積法S梯形ACDE＝2S△+S△BDE化簡計(jì)算即可；（3）先用勾股定理計(jì)算出c，再利用S空白＝S大正方形﹣2S△計(jì)算面積即可；（4）將風(fēng)車周長表示出來C風(fēng)車＝4（c+b﹣a）＝24，其中a＝OC＝3，得到b、c的等量關(guān)系，再結(jié)合勾股定理求解出b，最后計(jì)算面積即可．【解答】（1）證明：由圖可知，每個(gè)直角三角形的面積為S△空白小正方形的面積為S小正方形整個(gè)圍成的大正方形的面積為S大正方形∵S大正方形＝S小正方形+4S△，即c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2+a2﹣2ab+2ab＝b2+a故c2＝b2+a2；（2）解：如下圖所示，連接大正方形一條對(duì)角線DE可知S梯形ACDE＝2S△+S△BDE，其中，S梯形ACDE=12代入可得，12（a+b）2＝2×12ab+即a2+b2＝c2；（3）解：由圖2可知，S空白＝S大正方形﹣2S△，∵a＝6，b＝8，∴c=6則S大正方形=∴S空白＝c2﹣2×12ab＝100﹣6×8＝故空白部分的面積為52，故答案為：52；（4）由題意可知，風(fēng)車的周長為C風(fēng)車＝4（c+b﹣a）＝24，其中OC＝a＝3，代入上式可得c+b＝9，則c＝9﹣b，且a2+b2＝c2，即c2﹣b2＝a2＝9，將c＝9﹣b代入得，（9﹣b）2﹣b2＝9，解得b＝4，則S風(fēng)車＝4×12ab＝4×【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明與運(yùn)用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?蘇州期中）我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”）．（1）弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；（2）如圖2，將四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；（3）如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形（外圍四個(gè)和內(nèi)部四個(gè)）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+2S2+S3＝20，則S2＝．【分析】（1）依據(jù)圖1中的正方形的面積可以用兩種方式表示出來，即可驗(yàn)證勾股定理；（2）可設(shè)AC＝x，根據(jù)勾股定理列出方程可求x，再根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算即可求解；（3）設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的面積均為a，依據(jù)正方形EFGH內(nèi)外四個(gè)直角三角形的面積之和相等，即可得到2S2＝S1+S3，再根據(jù)S1+2S2+S3＝20，即可得出S2的值．【解答】解：（1）由圖1可得，大正方形的面積為c2，大正方形的面積＝4×12ab+（a﹣b）∴4×12ab+（a﹣b）2＝c化簡可得，a2+b2＝c2；（2）24÷4＝6，設(shè)AC＝x，則AB＝6﹣x，依題意得：（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，∴該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為：12×（3+1）×3=12×4×＝24．答：該“勾股風(fēng)車”圖案的面積為24；（3）設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的面積均為a，則S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，兩式相加，可得2S2＝S1+S3，又∵S1+2S2+S3＝20，∴4S2＝20，∴S2＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了勾股定理的證明以及正方形的性質(zhì)，本題是用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．（3）考查了圖形面積關(guān)系，根據(jù)已知得出用S1，S3表示出S2，再利用S1+2S2+S3＝20求出是解決問題的關(guān)鍵．9．（2021春?交城縣期中）勾股定理被譽(yù)為“千古第一定理”，長期以來人們對(duì)它進(jìn)行了大量的研究，找到了數(shù)百種不同的驗(yàn)證方法，這些方法不但驗(yàn)證了勾股定理，而且豐富了研究數(shù)學(xué)問題的方法和手段，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展．某數(shù)學(xué)興趣小組受“趙爽弦圖”的啟發(fā)，對(duì)勾股定理的驗(yàn)證進(jìn)行了如下探究：實(shí)踐操作他們裁剪出若干張大小，形狀完全相同的直角三角形紙片，三邊長分別記為a，b，c，如圖（1）所示．之后分別用4張直角三角形紙片拼成如圖（2）（3）（4）所示的形狀，通過觀察推理，驗(yàn)證了勾股定理．定理驗(yàn)證（1）觀察圖（2）和圖（3）可以發(fā)現(xiàn)：①它們整體上都是邊長為的正方形；②陰影部分的面積都是由4個(gè)完全相同的直角三角形組成，所以陰影的面積為；③圖（2）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式；圖（3）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式；④從而得到a2+b2＝c2．（2）興趣小組的同學(xué)通過觀察圖（4）中正方形的個(gè)數(shù)，以及它們之間的關(guān)系，驗(yàn)證了勾股定理，即a2+b2＝c2.請(qǐng)你幫他們寫出推理驗(yàn)證的完整過程．創(chuàng)新構(gòu)圖（3）一個(gè)直立的火柴盒在平面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了一種新的證明勾股定理的方法．如圖（5）同樣是用4個(gè)完全角三角形證明勾股定理．【分析】（1）借助圖形利用正方形和直角三角形的面積，即可得出答案；（2）利用以c為邊的正方形和2個(gè)直角三角形的面積和等于以邊為a，b的兩個(gè)正方形的面積和兩個(gè)直角三角形的面積和建立方程，即可得出結(jié)論；（3）利用直角梯形的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積和2個(gè)直角三角形的面積建立方程，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：由圖（2）（3）得出大正方形的邊長為a+b，陰影部分的面積為2ab，圖（2）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式為a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，圖（3）中空白部分面積用不同的方法表示可得關(guān)系式為c2＝（a+b）2﹣2ab；故答案為：a+b，2ab，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c2＝（a+b）2﹣2ab；（2）解：∵整個(gè)圖形得面積可以表示為c2整個(gè)圖形得面積又可以表示為a2∴c2+ab＝a2+b2+ab，∴a2+b2＝c2；（3）證明：∵S直角梯形S直角梯形＝S等腰直角三角形+2S直角三角形=12c2+2∴12∴（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了直角三角形、正方形、梯形的面積公式，正確識(shí)別圖形是解本題的關(guān)鍵．9．（2021春?市南區(qū)期中）【知識(shí)總結(jié)】幾何學(xué)為人們當(dāng)今的科學(xué)發(fā)展做出了杰出的貢獻(xiàn)，中國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”．這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊長為3和4時(shí)，那么斜邊的長為5”．上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系是：a2+b2＝c2．用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形．它是美麗的“趙爽弦圖”．其中四個(gè)直角三角形的直角邊長分別為a，b（a＜b），斜邊長為c．【溫故知新】（1）如圖①，求證：a2+b2＝c2；【問題解決】（2）如圖②，將這四個(gè)全等的直角三角形無縫隙無重疊地拼接在一起，得到圖形ABCDEFGH．若該圖形的周長為48，OH＝6．求該圖形的面積；（3）如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接成正方形PQMN，記正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝24，則S2＝．（4）如圖④，把矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF，如果AB＝4，BC＝8，求BE的長．【分析】（1）用兩種方法分別表示中間小正方形面積即可；（2）設(shè)AH＝BC＝x，則AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理列出方程即可求出BC的長，從而解決問題；（3）設(shè)正方形EFGH的面積為x，其他八個(gè)全等三角形的面積為y，則S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，根據(jù)S1+S2+S3＝24，即可得出x+4y＝8．（4）根據(jù)翻折變換的特點(diǎn)、根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：S小正方形＝（b﹣a）2＝a2﹣2ab+b2，S小正方形＝c2﹣4×12ab＝c2﹣2即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2；（2）解：∵AB+BC＝48÷4＝12，設(shè)AH＝BC＝x，則AB＝12﹣x，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OH2+OG2＝GH2，即62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴S=12×6×（6+2）×4（3）解：設(shè)正方形EFGH的面積為x，其他八個(gè)全等三角形的面積為y，∵S1+S2+S3＝24，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝24，∴x+4y＝8，∴S2＝8，故答案為：8．（4）設(shè)BE＝x，則EC＝8﹣x，由折疊的性質(zhì)可知，AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，則（8﹣x）2＝42+x2，解得，x＝3，則BE的長為3．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，運(yùn)用整體思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．11．（2022?南京模擬）北師大版初中數(shù)學(xué)教科書七年級(jí)下冊(cè)第23頁告訴我們，對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖①可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，這樣就用圖形面積驗(yàn)證了完全平方公式．請(qǐng)解答下列問題：（1）類似地，寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）如圖③的圖案被稱為“趙爽弦圖”，是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，它表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．此圖由四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形．已知直角三角形的兩直角邊分別為a，b，若a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求大正方形的面積；（3）如圖④，在邊長為m（m＞2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，當(dāng)∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積．【分析】（1）利用大正方形面積公式表示出大正方形的面積，也可用四個(gè)小長方形與一個(gè)小正方形表示出大正方形的面積，利用面積相等即可求解；（2）利用四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積表示出大正方形的面積，根據(jù)a+b＝5，（a﹣b）2＝13可求出ab，代入即可求解；（3）延長PE交BA的延長線于點(diǎn)I，延長QF交CB的延長線于點(diǎn)J，延長MG交DC的延長線于點(diǎn)K，延長NH交AD的延長線于點(diǎn)L，由∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°可得△AEI，△BFJ，△CGK，△DHL為等腰