專題02 第三章 圓錐曲線的方程 典型例題講解（二）（原卷版）

專題02第三章圓錐曲線的方程典型例題講解（二）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、基本概念回歸 1二、重點例題（高頻考點） 3高頻考點一：弦長問題 3高頻考點二：焦點弦問題 5高頻考點三：中點弦問題 6高頻考點四：面積問題 7高頻考點五：圓錐曲線中的定點、定值問題 11高頻考點六：圓錐曲線中的定直線問題 13高頻考點七：圓錐曲線中的向量問題 15一、基本概念回歸知識回顧1：弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；知識回顧2：中點弦點差法：設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：知識回顧3：面積問題3.1三角形面積問題直線方程：3.2焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關于的一元二次方程的二次項系數(shù)二、重點例題（高頻考點）高頻考點一：弦長問題1．（2023·全國·高二專題練習）過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有（）A．一條 B．兩條C．三條 D．四條2．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習）已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于、兩點，交準線于點，且是線段的中點，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2023秋·山東聊城·高三校聯(lián)考期末）已知過點的直線與橢圓交于、兩點，則弦長可能是（

）A．1 B． C． D．34．（2023·全國·高二課堂例題）過橢圓的左焦點引直線交橢圓于A，B兩點，且，則直線方程為．5．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知直線與圓相切，且交橢圓于兩點，若，則．6．（2023·全國·高二課堂例題）過雙曲線的右焦點F作傾斜角為30°的直線，交雙曲線于A，B兩點，則弦長．7．（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線與過焦點的一條直線相交于A，B兩點，若弦的中點M的橫坐標為，則弦的長8．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓的一個頂點為，離心率，直線交橢圓于M，N兩點.求弦MN的長.9．（2023·全國·高三專題練習）已知雙曲線直線與雙曲線相交于、兩點，為坐標原點，若與垂直，求的值以及弦長．10．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線C的漸近線為，且過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，若OA與OB垂直，求a的值以及弦長．11．（2023春·陜西西安·高二校考開學考試）已知拋物線的準線方程是.(1)求拋物線的方程；(2)設直線與拋物線相交于，兩點，若，求實數(shù)k的值.12．（2023·全國·高一專題練習）已知圓，動點在軸的右側(cè)，到軸的距離比它到的圓心的距離小1．(1)求動點的軌跡的方程；(2)過圓心作直線與軌跡和圓交于四個點，自上而下依次為A，M，N，B，若，求及直線的方程．13．（2023春·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點為.(1)求；(2)過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，若求直線方程.高頻考點二：焦點弦問題1．（2023·全國·高二專題練習）已知過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，則（

）A．32 B． C． D．82．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期中）過拋物線焦點且斜率為1的直線與此拋物線相交于兩點，則.3．（2023秋·高二課時練習）設F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，求及的面積.4．（2023秋·高二課時練習）已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為，一條斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求.5．（2023秋·高二課時練習）過拋物線的焦點，斜率為2的直線與拋物線相交于、兩點，求線段的長．高頻考點三：中點弦問題1．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓C：，過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若點P恰為弦AB的中點，則直線l的斜率是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．3．（2023·全國·高二專題練習）過點的直線與橢圓交于兩點，且點M平分弦，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4．（2023秋·高二課前預習）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·高二課時練習）直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．36．（2023·全國·高三專題練習）直線與雙曲線相交于兩點，若點為線段的中點，則直線的方程是.7．（2023秋·高二課時練習）已知橢圓：（）上任意一點到兩個焦點的距離之和為，且離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于，兩點，點為線段的中點，求直線的方程．8．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.9．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.10．（2023·全國·高二專題練習）已知直線與拋物線相交于、兩點.(1)若直線過點，且傾斜角為，求的值；(2)若直線過點，且弦恰被平分，求所在直線的方程.高頻考點四：面積問題1．（2023秋·陜西寶雞·高二校聯(lián)考期末）設動點與點之間的距離和點到直線的距離的比值為，記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若為坐標原點，直線交曲線于兩點，求的面積.2．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？计谥校┲本€交拋物線于、兩點，線段中點的橫坐標為，拋物線的焦點到軸的距離為.(1)求拋物線方程；(2)設拋物線與軸交于點，求的面積.3．（2023秋·安徽滁州·高二校考期末）已知橢圓的焦點在軸上，且過點，焦距為，設為橢圓上的一點，、是該橢圓的兩個焦點，若，求：(1)橢圓的標準方程(2)的面積．4．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中學校考開學考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且.(1)求橢圓的方程；(2)延長，并與橢圓分別相交于兩點，求的面積.5．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點，在軸上，離心率為，點在上，且的周長為6.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的動直線與相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸的交點為，求的面積的最大值.6．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓左右焦點分別為，離心率為．斜率為的直線（不過原點）交橢圓于兩點，當直線過時，周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)設斜率分別為，且依次成等比數(shù)列，求的值，并求當面積為時，直線的方程．

7．（2023春·江蘇揚州·高二揚州中學?？计谥校┤鐖D，已知橢圓C：（）的離心率為，右焦點F到上頂點的距離為．

(1)求橢圓C的方程；(2)設過原點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，連接AF，BF并分別延長交橢圓C于D，E，記的面積分別是，求的取值范圍.8．（2023秋·貴州貴陽·高三貴陽一中校考開學考試）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內(nèi).設點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.高頻考點五：圓錐曲線中的定點、定值問題1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學校考期末）已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設，，求證：是定值.2．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.

(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.3．（2023春·云南保山·高二校聯(lián)考階段練習）已知焦點在軸上的橢圓，短軸長為，焦距為2.

(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點兩點都在軸上方，且.證明：直線過定點，并求出該定點坐標.4．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.5．（2023春·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線：與曲線交于兩點，問曲線上是否存在兩點滿足，若存在，請求出兩點坐標，不存在，請說明理由.6．（2023春·福建廈門·高二廈門一中?？计谥校┮阎p曲線：實軸長為4（在的左側(cè)），雙曲線上第一象限內(nèi)的一點到兩漸近線的距離之積為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)設過的直線與雙曲線交于，兩點，記直線，的斜率為，，請從下列的結論中選擇一個正確的結論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值高頻考點六：圓錐曲線中的定直線問題1．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線C：（）與圓O：相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為.F是拋物線C的焦點，過焦點的直線l與拋物線C相交于不同的兩點M，N.（1）求拋物線C的方程.（2）過點M，N作拋物線C的切線，，是，的交點，求證：點P在定直線上.2．（2023秋·北京·高三東直門中學?？奸_學考試）已知橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)當橢圓的焦點在x軸上時，直線與橢圓的一個交點為P（點P不在坐標軸上），點P關于x軸的對稱點為Q，經(jīng)過點Q且斜率為的直線與l交于點M，點N滿足軸，軸，求證：點N在直線上．3．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓，過點的動直線交橢圓于兩點，在線段上取點滿足，求證：點在某條定直線上．

4．（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，已知雙曲線Ｃ的中心為坐標原點，對稱軸是坐標軸，右支與x軸的交點為，其中一條漸近線的傾斜角為.(1)求C的標準方程；(2)過點作直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，在線段上取一點E滿足，證明：點E在一條定直線上.5．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點．證明：點定在直線上；(3)橢圓上是否存在一點，經(jīng)過點作拋物線的兩條切線、、為切點），使得直線過點？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．高頻考點七：圓錐曲線中的向量問題1．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃E圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍．2．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）已知橢圓的一個頂點為，且離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)直線橢圓交于、兩點，且，求的值.

3．（2023春·山東濰坊·高二校考階段練習）已知雙曲線的中心為坐標原點，左、右焦點分別為，且點在雙曲線上.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若直線與直線交于點，點是雙曲線上一點，且滿足，記直線的斜率為，直線的斜率為，求.4．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．(1)求