第19講 相似三角形專題之母子三角形 (原卷版)

第19講相似三角形之母子三角形【知識(shí)點(diǎn)睛】其中：∠A是公共角其中：∠A是公共角AB是公共邊BD與BC是對(duì)應(yīng)邊當(dāng)∠ABD=∠ACB時(shí)△ABD∽△ACB性質(zhì)：聯(lián)系應(yīng)用：切割線定理：如圖，PB為圓O切線，B為切點(diǎn)，則：△PAB∽△PBC得：在Rt△在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時(shí)，有Rt△ACB∽R(shí)t△ADC∽R(shí)t△CDB射影定理：☆：有關(guān)射影定理圖形常見的三個(gè)應(yīng)用方向：☆：有關(guān)射影定理圖形常見的三個(gè)應(yīng)用方向：等積法（求斜邊上的高）同角的余角相等（得∠A=∠BCD）射影定理在圓中因?yàn)橹睆剿鶎?duì)圓周角=90°，轉(zhuǎn)化得此圖形，進(jìn)而利用以上3個(gè)結(jié)論！☆：“母子△”與“阿氏圓”☆：“母子△”與“阿氏圓”阿氏圓的基本原理就是構(gòu)造母子三角形，之后再結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短求解最后結(jié)果。母子相似證明題一般思路方法：由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第三步；【類題訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，有下列條件：①∠A＝∠BCD；②∠A+∠BCD＝∠ADC；③；④BC2＝BD?BA．其中能判斷△ABC是直角三角形的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．如圖，在矩形ABCD中，BD＝2．對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC于點(diǎn)E，AE＝3CE．則DE2的值為（）A．4 B．2 C． D．43．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠ACD＝3∠BCD，E為斜邊AB的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．4．在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在BC上，且BE＝DE，若EC＝4，，則⊙O的半徑為（）A． B．2 C． D．5．如圖，∠DCB＝∠A，CD＝4，BD＝2，∠CDB＝120°，則△ABC的面積為．6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長(zhǎng)為．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是斜邊AC的中點(diǎn)，連接DB，線段AE⊥線段BD交BC于點(diǎn)E，交DB于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)G．（1）求證：EB2＝EG?EA；（2）聯(lián)結(jié)CG，若∠CGE＝∠DBC，求證：BE＝CE．9．如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BD，AC上，連結(jié)AD，EF交于點(diǎn)G，∠CEF＝2∠CAD．（1）求證：△ABC∽△EFC．（2）若BE＝2DE，＝，求的值．10．已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，BE與AD、AC分別相交于點(diǎn)F、G，AF2＝FG?FE．（1）求證：△CAD∽△CBG；（2）聯(lián)結(jié)DG，求證：DG?AE＝AB?AG．11．已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，BD⊥DC，且BD2＝AD?BC，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)．（1）求證：AD∥BC；（2）作BE⊥DM，垂足為點(diǎn)E，并交CD于點(diǎn)F．求證：2AD?DM＝DF?DC．12．如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，取BC中點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BD．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）如果，求tanA．13．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，AD＝16，AB＝6，BC＝24．點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，每秒移動(dòng)a個(gè)單位，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，每秒移動(dòng)b個(gè)單位．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．若其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止．（1）請(qǐng)求出CD的值；（2）若存在某時(shí)刻使DQ垂直平分PC，求a：b的值；（3）若a＝1，b＝3，何時(shí)PQ上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，點(diǎn)D在邊AC上，將線段DA繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到DA′，線段DA′交AB于點(diǎn)E，作A′F⊥AB于點(diǎn)F