2023-2024學(xué)年河南省鄭州實驗外國語學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省鄭州實驗外國語學(xué)校九年級（上）開學(xué)數(shù)

學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.一元二次方程2/-2%+3=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.無法確定

2.若關(guān)于x的一元二次方程/一8》+?=0配方后得到方程。一4）2=3前則c的值為（）

A.-4B.0C.4D.6

3.如圖，在菱形ZBCD中，^ABC=50°,對角線4C,8D交于點0,E為CD的中點，連接OE,

則NAOE的度數(shù)是（）

A.110°B.112°C.115°D.120°

4.已知一元二次方程/-4乂-1=0的兩根分別為m,n,則m+n-mn的值是（）

A.5B.3C.-3D.-4

5.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點力，B,

C都在橫線上.若線段4C=半，則線段的長是（）

A5

A-2B.2C1D.5

6.如圖，用一根繩子檢測一個平行四邊形書架的側(cè)邊是否

和上、下底都垂直，只需要用繩子分別測量兩條對角線就可

以判斷了.在如下定理中:

①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,

②對角線相等的平行四邊形是矩形,

③矩形的四個角都是直角,

④三個角都是直角的四邊形是矩形，這種檢測方法用到的數(shù)學(xué)根據(jù)是（）

A.①B.②C.③D.④

7.在“雙減政策”的推動下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時長明顯減少.2022年上學(xué)期每

天書面作業(yè)平均時長為lOOmtn,經(jīng)過2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上

學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為7（hnin.設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為％,

則可列方程為（）

A.70(1+x2)=100B.70(1+x)2=100

C.100(1-%)2=70D.100(1-%2)=70

8.如圖，在菱形ABCD中，AB=2,4B=60。，E、F分別是邊BC、CD中點，則AAEF周長

等于（）

A.B.C.4CD.

9.如圖，在△4BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點P為斜邊

48上一動點，過點P作PE14C于E,PF1BC于點F,連結(jié)EF,

則線段EF的最小值為（）

A.24B.3.6C.4.8D.5

10.如圖，矩形4BCD中，P是CD的中點，點Q為4B上的動

點（不與4、B重合），過Q作QM1PA,垂足為M,QN_LPB,

垂足為N,BC=3,CD=8,MQ=x,QN=y,貝Uy與久之

間的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.y=4.8—xB.y=-C.y=11—xD.y=?

JXJX

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.若關(guān)于x的方程（m-3）xMTI+5x-3=0是一元二次方程，

12.如圖，矩形4BCD中，AE1BDTE,乙DAE：ABAE=3：2,

則4EAC的度數(shù)等于.

13.三角形兩邊的長分別是2和4,第三邊的長是方程％2―10尤+24=0的根，則該三角形的

周長為—.

14.已知：正方形4BCD的邊長為8,點E、F分別在AD、CD上，AE=

DF=2,BE與4尸相交于點G,點，為BF的中點，連接GH,則GH的

長為.

15.如圖，在平面直角坐標系中，矩形4BC。的邊CO、。4分別在x

軸的負半軸、y軸的正半軸上，點。在邊BC上，將該矩形沿40折疊，

點B恰好落在邊OC上的E處，且ACDE為等腰直角三角形，若04=

4,則點。的坐標是.

三、解答題（本大題共5小題，共55.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，

證明過程或演算步驟）

16.（本小題12.0分）

解方程：

(l)3(x—l)2=12；

(2)x2+4x-2=0；

(3)2x(%+2)-1=0；

(4)3x(x-2)=x-2.

17.(本小題10.0分)

關(guān)于x的一元二次方程m/+(2m+3)x+m+1=0有兩個不等的實數(shù)根.

(1)求m的取值范圍；

(2)當m取最小整數(shù)時，求x的值.

18.(本小題10.0分)

2020年4月，“一盔一帶”安全守護行動在全國各地積極開展.某品牌頭盔的銷量逐月攀升，

已知14月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份至怙月份銷售量的月增長率相同.

(1)求該品牌頭盔銷售量的月平均增長率；

(2)若此頭盔的進價為30元/個，經(jīng)測算當售價為40元/個時，月銷售量為300個；售價每上漲

1元，則月銷售量減少10個，為使月銷售利潤達到3960元，并盡可能讓顧客得到實惠，則該

品牌頭盔的售價應(yīng)定為多少元/個？

19.(本小題12.0分)

如圖，在AABC中,4B=1BC垂足是D,AN是NB4C的外角44M的平分線,CE_LAN,

垂足是E,連接DE交4C于￡

(1)求證：四邊形40CE為矩形；

(2)求證：DF//AB,DF=^AB；

(3)當AABC滿足時，四邊形4DCE為正方形.

20.(本小題11.0分)

如圖，在APAB中，C、。為邊上的兩個動點，PC=PD.

(1)若PC=CD,乙4PB=120°,則△4P。與4PBD相似嗎？為什么？

(2)若PC_L4B(即C、。重合)，貝lj乙4PB=。時，△4PC-APBD；

(3)當NCPD和NAPB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△APCfPBD?請說明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：2%2-2x+3=0>

???A=b2-4ac=(一2產(chǎn)-4x2x3=4-24=-20<0,

原方程無實數(shù)根，

故選：C.

計算一元二次方程根的判別式即可求解.

本題考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a力0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式A=b2-4ac,理解

根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵.當/>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當21=0

時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當/<0時，方程沒有實數(shù)根.

2.【答案】C

【解析】解：1.,X2—8x+c=0配方可得到(x—4)2—16+c=0,

(x-4)2—16+c=0變形可得(x—4)2=—c+16,

：,—c+16=3c,

???c=4.

故選：C.

根據(jù)完全平方式的特征對/—8x+c=0配方可得到(x-4)2-16+c=0,通過變形可得c的值.

本題考查了完全平方公式和一元二次方程的綜合運用，熟練完全平方式的配方是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：???四邊形4BC0是菱形，

11

???AC1BD,Z.CDO=^ADC="ABC=25°,

乙DOC=90°,

???點E是CD的中點，

???OE=DE=^CD,

???乙DOE=Z.CDO=25°,

???Z.AOE=Z.AOD+乙DOE=90°+25°=115°,

故選：C,

由菱形的性質(zhì)可得AC1BD,Z.CDO=*ADC=^ABC=25。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OE=

DE="CD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NDOE=ACDO=25。，于是得到結(jié)論.

本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意得m+n=4,mn=-1,

所以m+n-mn=4—(-1)=5.

故選：A.

先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=4,mn=-l,然后利用整體代入的方法求m+n-nm的值.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若“g是一元二次方程。/+"+。=09力0)的兩根時，/+

bc

X2=X1X2=

5.【答案】D

【解析】解：過點4作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D,交點C所在平行橫線于E,

AB_AD

"AC=AE'

???五線譜是由等距離的五條平行橫線組成的，

.??竺一，

AE3

AB2

"1,運=E，

2

解得48=5,

故選：D.

過點4作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于。，交點C所在平行橫線于E,根據(jù)平行線分線

段成比例定理，列出比例式，計算即可得解.

此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握并靈活運用該定理、找準對應(yīng)線段是解答此題的

關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】解：用繩子分別測量兩條對角線，如果相等，則是矩形，依據(jù)是對角線相等的平行四邊

形為矩形，然后由矩形的四個角都是直角可得側(cè)邊和上、下底都垂直，

故選：B.

根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形判定書架是矩形，由矩形的性質(zhì)可得結(jié)論.

本題主要考查對矩形的性質(zhì)和判定的理解和掌握，能熟練地運用矩形的判定定理解決實際問題是

解此題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)根據(jù)題意得：100(1—x)2=70.

故選：C.

利用2023年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長=2022年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長x(1-該校這

兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率產(chǎn)，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵，

也是本題的突破點.

連接力C,然后判定△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出ZE,^EAC=30°,同理可

得4尸，Z.CAF=30°,然后判定△力EF是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的周長求解即可.

【解答】

解：如圖，連接4C,

?:菱形ABCD,48=60。,

.?.△4BC是等邊三角形，

???點E是BC的中點，

AE=NE4C=30°,

同理可得：AF=C，/-FAC=30°,

AAE=AFfLFAE=60°,

??.△AE尸是等邊三角形，

AE尸的周長=3xV-3=3A4-3.

故選艮

9.【答案】C

【解析】解：連接PC,

-PELAC,PF1BC,

/.乙PEC=乙PFC=zC=90°,

???四邊形ECFP是矩形，

???EF=PC,

???當PC最小時，EF也最小，

即當CP_L48時，PC最小，

vAC=8?BC=6,

???AB=10,

???PC的最小值為：空普=4.8.

AB

線段EF長的最小值為4.8.

故選：C.

連接PC,當CPJ.AB時，PC最小，利用三角形面積解答即可.

本題主要考查的是矩形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答.

10.【答案】A

【解析】解：如圖，連接PQ，過點P作PH1AB于點H,

???四邊形力BCD是矩形,

AB=CD=8,AB//CD,40="=90°,

AD=BC=PH=3,

S“AB—gaB-PH=gx8x3=12,

vQM1PA,QN1PB,MQ=x,QN=y,

11

4p%+Bpy12

2-2--

???點P是CD的中點，

DP=CP=4,

:.AP=BP=VAD2+DP2=732+42=5-

x5x+；x5y=12,

???y=4.8—x.

故選：A.

連接PQ，過點P作PH,四于點H,容易求出APAB的面積為12,而SAP.=S“4Q+SAPBQ，利用

面積即可得出x和y的關(guān)系式.

本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及列函數(shù)關(guān)系式，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)

鍵.矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰

邊垂直：④對角線：矩形的對角線相等.

11.【答案】一1

【解析】解：根據(jù)題意得，|7n-l|=2且m-3力0,

解得：m=-1.

故答案為：-1.

根據(jù)一元二次方程的定義，必須滿足三個條件：(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(2)二次項系數(shù)不為0,

(3)是整式方程，據(jù)此即可求解.

本題主要考查一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式是：a/+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)

且aHO),特別要注意aw0的條件.

12.【答案】18°

【解析】解：???四邊形4BCD是矩形，

???/-BAD=90°,OA=OD,

???/.DAE：乙BAE=3：2,

/.DAE=54°,4BAE=36°,

OA=OD,

■■Z.DAO=Z.ADO,

/-AOB=2/.DA0,

-AELBD,/.BAD=90°,

乙BAE=ZJW。=36°,

Z.AOB=72°,

/.CAE=90°-72°=18°.

故答案為：18°.

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NBA。=90。，OA=OD,然后根據(jù)比例求出NZME=54。，ABAE=36°,再

根據(jù)等邊對等角可得NZM。=乙4。0,然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的

和求出N40B=24。40,再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出N4D0,然后根據(jù)三角形的一個外角

等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出44OB,最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余解答.

本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的

兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】10

【解析】解：X2-10x4-24=0,

(%—4)(%—6)=0,

=

所以勺=4,x26,

而2+4=6,

所以三角形第三邊長為4,

所以此三角形的周長為2+4+4=10.

故答案為：10.

先利用因式分解法解方程得到%=4,右=6,再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到三角形第三邊長為6,

然后計算此三角形的周長.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法、三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法就

是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

14.【答案】5

【解析】解一?四邊形4BCD為正方形，

:.乙BAE=乙D=90°,AB-AD,

???AB=AD,Z.BAE=Z.D,AE=DF

???△ABE三△ZMF(SAS),

???/.ABE=Z-DAF,

???Z.ABE+乙BEA=90°,

???^LDAF+乙BEA=90°,

???Z.AGE=Z.BGF=90°,

???點H為B尸的中點，

:.GH=；BF,

vBC=8,CF=CD-DF=8-2=6

???BF=VBC2+CF2=10

???GH=5

故答案為：5

根據(jù)正方形的四條邊都相等可得4B=4D,每一個角都是直角可得NBAE=nO=90。，然后利用

“邊角邊”證明△ABE=^DAF^AABE=^DAF,進一步得/AGE=乙BGF=90°,從而知GH=

\BF,利用勾股定理求出BF的長即可得出答案.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角

形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】（-4V7,471-4）

【解析】解：由折疊可得，ZS=^AED=90°,

???△CCE是等腰直角三角形，

???上DEC=45°,

乙4EO=45°,

又：Z.AOE=90°,

:.Z-EAO=/-AEO9

???AO=EO=4,

AE=4「，

由折疊可得，4B=4E=4，7，

???四邊形ABC。為矩形，

CO=BA=

???CE=CO-EO=4yT2-4，

:.CD=CE=4A/-2—4,

???點。在第二象限，

???。點坐標為（―4乙,-4）,

故答案為（一44,4。-4）.

本題主要考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，勾股定理的運用，以及軸對稱中的坐標變化.

根據(jù)勾股定理以及折疊的性質(zhì)，即可得到C。和CD的長，進而得到點。的坐標.

16.【答案】解：(1)3(%-11=12,

則1)2=4,

%—1=±2,

***Xi=3,%2=—];

(2)x2+4x—2=0,

則/+4x=2,

???/+4%+4=2+4,

?**(x+2)2=6,

???％+2=±V~6,

:.x1=6—2,x2=-6—2;

(3)2x(%+2)-1=0,

???2x2+4%-1=0,

2x2+4久-1=0,

a=2,b=4,c=—1,

則4=fe2-4ac=42-4x2x(-1)=24,

-2+<6-2-yT~6

?,X1=2，X2=2；

(4)3x(%—2)=%—2,

則3x(%—2)一(%—2)=0,

/.(x-2)(3%-1)=0,

A%—2=。或3%-1=0,

,,-2,%2-2*

【解析】(1)利用直接開平方法解出方程;

(2)利用配方法解出方程；

(3)利用公式法解出方程；

(4)利用因式分解法解出方程.

本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的

一般步驟是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：(1)、?一元二次方程m/+(27n+3)x+m+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，

:.4=(2m+3)2—4m(m+1)=8m+9>0,

-,■m>一看且m羊0；

(2)zn滿足條件的最小值為m=-1,

此時方程為一/—x=0,

解得Xi=0，x2——1.

【解析】(1)根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根根，則根的判別式A=b2-4ac>0且m*0,建立

關(guān)于m的不等式，求出山的取值范圍；

(2)得到m的最小整數(shù)，利用因式分解法解一元二次方程即可.

考查了根的判別式，總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：(1)4>0=方程有兩個不

相等的實數(shù)根；(2)4=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)/<0Q方程沒有實數(shù)根.

18.【答案】解：(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為X,

根據(jù)題意得：150(1+%)2=216,

解得：%!=0.2=20%,x2=-2.2(不符合題意，舍去).

答：該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為20%；

(2)設(shè)該品牌頭盔的售價定為y元/個，則每個頭盔的銷售利潤為⑶-30)元，月銷售量為300-

10(y-40)=(700-10y)個，

根據(jù)題意得:(y-30)(700-10y)=3960,

整理得:y2-100y+2496=0,

解得：%=48,y2=52,

又?.?要盡可能讓顧客得到實惠，

???y—48.

答：該品牌頭盔的售價應(yīng)定為48元/個.

【解析】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月平均增長率為X,利用6月份的銷售量=4月份的銷售量x(1+

該品牌頭盔銷售量的月平均增長率V，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即

可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該品牌頭盔的售價定為y元/個，則每個頭盔的銷售利潤為(y-30)元，月銷售量為(700-

lOy）個，利用月銷售利潤=每個頭盔的銷售利潤x月銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之

可得出y值，再結(jié)合要盡可能讓顧客得到實惠，即可確定結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】是等腰直角三角形

【解析】(1)證明：???AB=AC,ADd.BC垂足是。，

.?.力。平分NBAC,NB=N5,

???zl=z_2,

???AE是AABC的外角平分線，

???z3—z4.

VN1+42+43+44=180°,

42+43=90°,

即NZME=90°,

又1AD1BC,

/.ADC=90°,

又；CELAE,

???^AEC=90°,

二四邊形40CE是矩形.

(2)證明：???四邊形ADCE是矩形，

?.AF=CF=^AC,

"AB=AC,4D平分NB4C,

BD=CD=；BC,

DF是△ABC的中位線，

即DF//4B,DF=^AB.

(3)解：當△ABC是等腰直角三角形時，四邊形40CE為正方形.

???在RM4BC中，AD平分/BAC,

:.z5=z2=Z3=45°,

???AD=CD,

又?.?四邊形aocE是矩形,

矩形ADCE為正方形.

故答案為：是等腰直角三角形.

(1)先根據(jù)AB=4C,AD1BC垂足是D,得4D平分NB4C,然后根據(jù)4E是△4BC的外角平分線，

可求出4N//BC,^DAE=/.ADC=^AEC=90°,所以四邊形4DCE為矩形；

(2)根據(jù)四邊形4DCE是矩形，可知產(chǎn)是