安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

第I卷(選擇題)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.在空間直角坐標系中，已知(,(,則的模為()

A.1B.73C.711D.3

【答案】B

【解析】A(l,-2,3),5(0,-1,2),

則AB=(-1,1,-1)

所以網(wǎng)二^(-1)2+12+(-1)2=V3

故選：B.

2.如圖，空間四邊形Q43c中，。4=。，OB=b，OC=c，點/在線段OC上，且

0M=2MC,點、N為AB中煎,貝U跖V=()

11,1.

B.—a+—b----c

222

12,12.1,1-

C.-u—bH—CD.——a+—b+—c

232322

【答案】A

【解析】因空間四邊形Q46c中，OA=a>OB=b，OC=c，點”在線段OC上，

且0M=2MC,點N為A5中點,

所以=+

22

所以M2V=ON—OM=ON+MO=La+^b—2c.

223

故選：A

3.若過點尸(3,2附和點。(一加,2)的直線與過點M(2,-l)和點M—3,4)的直線平行，則m的值

是()

11

A.-B.——C.2D.-2

33

【答案】B

,,2m-24-(-1)1

【解析】由kpQ=kMN,即——1=0二，得〃2=一彳.

3-(-m)-3-23

經(jīng)檢驗知，機=-1符合題意

3

故選：B.

4.已知直線2x+佻y—l=。與直線3x-2y+〃=0垂直，垂足為(2,°),則。+加+〃的值

為()

A.-6B.6C.4D.10

【答案】A

［解析］因為直線2x+陽—1=0與直線3x_2y+〃=0垂直，所以2X3+(_2)/M=0,解得

［4+3^-1=0

機=3,又垂足為(2,。),代入兩條直線方程可得/八,解得夕=一1,〃=-8,

6-2p+n=Q

則p+m+n=-1+3+(-8)=-6.

故選A

5.已知圓E:九2+丁2一。九一2y—2=0關(guān)于直線/：%—y=。對稱，貝|］。=()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】因為圓Ed+V—奴一2y-2=0的圓心為

又因為圓石關(guān)于直線/：%—y=0對稱，即？—1=0,所以。=2

2

故選：B

6.若尸(3,1)為圓爐+;/一2%—24=0的弦A3的中點，則直線A3的方程是()

A.x+2y-5=0B.x-y-2=0

C.2x-y-5=0D.2x+y-7=0

【答案】D

【解析】設(shè)圓f+y2—2x—24=0的圓心為O,坐標為(1,0),根據(jù)圓的垂徑定理可知:

0-11

OP±AB,因為左O?=-----=一,所以上AB=-2,

1—32

因此直線A5方程為y—l=—2(%—3)=2%+y—7=0,故本題選D.

X、廣

7.已知方程;------+」_=1表示焦點在y軸上的橢圓，則根的取值范圍是（）

\m\-l2-m

…3

A.m<—1或l<m<—B.l<m<2

2

C.m<—1或1<加<2D.m<2

【答案】A

3

m<—

2-m>|\m\|-l2

x2y2

【解析】+二1表示焦點在y軸上的橢圓，則v2-m>0m<2

\m\-l2-m

|m|-l>0m>1或機<-1

取交集：m<—l或l<m<—.

2

故選：A.

r2V23

8.已知橢圓、■+看=1,耳,工為兩個焦點,O為原點，尸為橢圓上一點，cos/片尸片二y,

則|P0=（）

2J303J35

A.-B.C.-D.

5252

【答案】B

22__

【解析】由題意橢圓三+乙=1,耳，吊為兩個焦點，可得。=31=#,c=百，

96一

則歸E|+|P閭=2a=6①，即歸片「+歸月「+2歸用儼閭=36,

由余弦定理得閨閶2立

=\PF}f+\PF2f-2\PFT\\PF2\COSZF}PF2=(26

33

cos/耳。巴=丁故（|P娟+歸閶）2-2歸第P￡|（l+?=12,②

聯(lián)立①②，解得：|「周|尸閶=弓,.」「耳:+」閶2=21,

而尸O=；(PK+P^),所以歸0|=|「0/；］咫+「閭，

即P。國閥+叫=■圖「+2P耳?PR+P疔=121+2x?xg=T，

乙乙*乙乙J乙

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知直線/：x-s/3y+l=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/的傾斜角是:

B.若直線加：j3x-y+l=0,貝小

C.點倒,6)到直線/的距離是1

D.過點(1,73)與直線/平行的直線方程是x-j3y+2=Q

【答案】ACD

【解析】對于A,直線/的斜率為且，故傾斜角是四，故A正確，

36

對于B,直線〃z的斜率為由，兩直線斜率乘積為1,不垂直，故B錯誤，

對于C,由點到直線的距離公式得d」—3+"=1,故C正確，

2

對于D,過點(1,班)與直線/平行的直線方程為y-6=f(x-1),得x-百y+2=0,

故D正確，

故選：ACD

10.已知圓。：必+丫2+2%—4y+l=0,下列說法正確的是()

A.圓心為(1,2)

B.半徑為2

C.圓C與直線3x+4y+5=0相離

D.圓C被直線x=0所截弦長為2相

【答案】BD

【解析】將圓C：f+丁+2%—4y+1=0化為標準方程得(x+Ip+(y—2)2=4,

可知圓心。(—1,2),半徑尺=2,故A錯誤，B正確；

由圓心c(—1,2)到直線3x+4y+5=0的距離d=13+[2+5]=?,

即H=d,直線與圓相切，故C錯誤；

圓心。(―1,2)到直線％=0的距離為4=1,

由圓的弦長公式，可得2河—d；=2物—儼=26,所以D正確.

故選：BD.

22

11.已知橢圓。：|^+々=1,耳，區(qū)分別為它的左右焦點，點尸是橢圓上的一個動點，下列

結(jié)論中正確的有()

A.點P到右焦點的距離的最大值為9

B.焦距為10

C.若/耳P鳥=90,則△耳尸耳的面積為9

D.△耳尸鳥的周長為20

【答案】AC

22

【解析】由橢圓。：二+乙=1的方程得：

259

a=53=3,c=4,4(—5,0),6(5,0),耳(Y,0),乙(4,0).

對A當點P為橢圓的左頂點時，點尸到右焦點的距離的最大，且為9,故A正確；

對B.焦距為2c=8,B錯誤；

對C.由題意得：閨閭2=儼團2+忸閶2,①由橢圓定義得：歸團+歸閶=2a=10,

即|P片「+伊閭2+2忸片卜忸閭=]0o,②

②-①得：忸/|。閭=18,6的面積為3歸耳卜|尸閭=3><18=9,故C正確

對D,△耳尸鳥的周長為2a+2c=18,故D錯誤；

故選：AC

12.如圖，在正方體ABC。-A4GR中，點尸在線段與C上運動，則下列結(jié)論正確的是

()

A.直線BD}_L平面\CXD

B.三棱錐P-4G。的體積為定值

7171

c.異面直線AP與A。所成角的取值范圍是

[42_

D.直線GP與平面4G。所成角的正弦值的最大值為逅

3

【答案】ABD

【解析】在選項A中，：AC工BR,AG1BB],42cBB[=用,

且u平面BBQ,

AC_L平面BBR,BD]u平面BB01,

：.4G±BD[,

同理，DC,±BD,,

?.?4￡門。￡=￡,且4G，r>Gu平面AG。，

二.直線32，平面AG。，故A正確；

在選項B中，

v\DIIBXC,A。u平面AGO,與C<z平面AG。，

與。//平面AGO,

:點尸在線段用。上運動，

.?.p到平面AG。的距離為定值，又4G。的面積是定值，

.??三棱錐P-4G。的體積為定值，故B正確；

在選項c中，

AXD/IB{C,

：.異面直線AP與A。所成角為直線AP與直線瓦C的夾角.

易知va4c等邊三角形，

當p為耳。的中點時，AP1BXC；

7?

當尸與點耳或。重合時，直線AP與直線用。的夾角為

7171

故異面直線AP與所成角的取值范圍是,故C錯誤；

32

在選項D中,

以。為原點，zu為x軸，。。為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如圖,

設(shè)正方體的棱長為1，

則p(a,l,a),G(0,1,1),5(1,1,0),R(0,0,1),

所以GP=(a,0,a—1),'8=(1,

由A選項正確：可知=是平面4G。的一個法向量,

???直線GP與平面4G。所成角的正弦值為:

\QP\-\D.B

:.當a=」時，直線GP與平面4CQ所成角的正弦值的最大值為逅，故D正確.

23

故選：ABD

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.過直線2x—y+4=0與x—y+5=0的交點，且垂直于直線x—2y=0的直線的斜越才

方程為.

【答案】y=—2x+8

2%-y+4=0x=l

【解析】由方程組解得

x-y+5=0y=6

即直線2x—y+4=0與x—y+5=0的交點為(1,6),

因為所求直線垂直于直線x-2y=0,所以其斜率為左=—2,

則直線方程為丁—6=—2(x—1),

所以直線的斜截式方程為y=-2x+8.

故答案為：y=—2x+8

14.兩圓/+產(chǎn)一4尤+2y+1=0與(x+2)2+(y-2)2=9的公切線有條.

【答案】3

【解析】圓Y+y2_4x+2y+l=0整理可得：(x-2)2+(y+1)2=4,可得圓心C1的坐標為：

(2,-1),半徑6=2；

(x+2)2+(y-2)2=9的圓心。2坐標(一2,2),半徑2=3；

所以圓心距|CjC,|="(2+2)2+(2+iy=5=4+2，

所以可得兩個圓外切，所以公切線有3條，

故答案為：3.

15.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，AA=3,AB=2,則異面直線Af與8c所成

角的余弦值為.

7

【答案】百

【解析】以A為原點，在平面ABC內(nèi)過點A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，A4為z

軸，建立空間直角坐標系，

在正三棱柱ABC-4與。］中，AA{=3,A5=2,

則4(0,0,0),A(o,0,3),5(百,L0),4(后,1,3),。(0,2,0)

故\B=(73,1,-3),BXC=(-73,1,-3),

jr

設(shè)異面直線AB]與B}C所成角為a。e(0,-],

|4片?旦C|_1—3+1+917

所以cos。=-

IAB}||BXC|V13-V1313

7

?,?異面直線A耳與耳。所成角的余弦值為二,

7

故答案為:

13

16.已知橢圓C：土+匕=1的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,M為橢圓C上任意一點，N為

43

圓日（無一3丫+（,一2『=1上任意一點，貝U|W|—|町|的最小值為.

【答案】272-5

22

【解析】由題意橢圓C：—+^-=1,M為橢圓C上任意一，

43

N為圓氏（x—3）?+（y—2）2=1上任意一點，

^\MFl\+\MF2\=4,\MN|>|ME\-1,當且僅當M,N,E共線時等號成立，

i^\MN\-\MFl\^MN\-（4-\MF2\）=\MN\+\MF2\^-\

>|A/E|+1AfF,|-5>|EF2\-5,

當且僅當M,N,E,F2共線時等號成立，

而F2（1,0）,￡（3,2）,故|%|=—+（2—0『=2四，

即\MN\-\MF,|的最小值為2夜-5，

故答案為：2&-5

四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在四棱錐P—A6CD中，底面A3CD為菱形，△板）和為正三角形，E為PC

的中點.

（1）證明：PA//平面BDE.

（2）若AB=2,PC=3,求平面迅。與平面50E夾角的余弦值.

解：（1）連接AC,交BD于點O,連接OE.

因為ABCD為菱形，所以。為AC的中點.

因為E為PC的中點，所以0E為△?，4c的中位線，所以O(shè)E//K4.

因為K4a平面3QE,OEu平面應(yīng))E,所以B4//平面3DE.

(2)在正△依。中，連接PO,AB=BD=2,則20=行.

因AO=OC=6,PC=3,

PC?CiC1—PC21

所以cosZPOC=——=所以ZPOC=120°.

2POOC2

因為5。LAC,3D，PO,ACPO=O,AC,POu平面B4C,所以工平面24c.

所以u平面ABCD，所以平面PAC±平面ABCD，平面PAC1平面ABCD=AC,

過點尸作PHLAC于點4,PHu平面B4C,則PH,平面ABCD

AO=OC=PO=5所以PA,尸C,

又PC=3,AC=2石，則PA=5PH=PAPC=OH=—.

AC2022

如圖，以。為坐標原點，。4。8的方向分別為蒼丁軸的正方向建立空間直角坐標系,

則A（60,0）,3（0,1,0）,4-后0,0）,。（0,-1,0）,尸尺E

設(shè)平面？AD的法向量為加=(%，X，zJ,因為A￡)二卜石,一1,。)，AP=-一；，°，；

I22J

m-AD=-石%-=0,

令4=1,得冽=（6,一3,1）.

所以《3

m?AP=———xl+—z1=0,

設(shè)平面BDE的法向量為n=(x2,y2,z2),

f_73

因為DB=（0,2,0）,BE=

4

ri-DB=2y2=0,

所以3

n-BE=-—尤2_%+丁2=0,

4

令Z2=l,得〃=（8,0,1）.

4__2713

因為cos(九ri)

A/13X2-13

所以平面PAD與平面3DE夾角的余弦值為二一.

13

18.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ZACB=90°,\AC\=\BC\=\CC\=2.

---代'、、\

（1）求證：ABX1BQ.

(2)求點8到平面AgG的距離.

解：(1)建立直角坐標系，其中C為坐標原點.

，"七、、\

依題意得A(2,0,0),3(0,2,0),4(0,2,2),G(0,0,2),

因為做?5G=(-2,2,2)-(0,—2,2)=0,所以4與，3G.

(2)設(shè)％=(%,%,zj是平面A4G的法向量，

由勺-ABl=0,Wj-ACt=0得

-x.+y,+z,=0[y,=0

\'所以<,令4=1,則々=(1,0,1),

[F+Z]=0E=Z]

一，河H|-2|

因為AB=(-2,2,0),所以3到平面ABC1的距離為d=1?,1=-F===

聞Vi2+i2

19.已知一ABC的三個頂點分別為A(3,T),8(6,0),C(-5,2).

(1)求邊AC上的高5。所在直線的方程；

(2)求邊AC上的中線座所在直線的方程.

-4-234

解：(1)由題意得、Ac=a<且左B?MAC=T，所以左加=彳.

J—(一”43

4

則邊AC上的高所在直線的方程為y=1(x—6),化簡得4x—3y—24=0.

(2)由題知AC的中點￡(—L—1),所以&E=g，

則邊AC上的中線助所在直線的方程為y=-(x-6),化簡得x—7y-6=0.

20.已知圓C：f+3；2-2；(：-6=0和定點4(-4,0),直線/：y=m(x+6)—8(meR).

(1)當m=1時，求直線/被圓C所截得的弦長；

(2)若直線/上存在點過點M作圓C的切線，切點為2,滿足|M4卜求加

的取值范圍.

解：(1)圓C(%—I7+,2=7,圓心。。,0),半徑廠=4，

當m=1時，直線/的方程為x—y—2=0,

所以圓心c到直線I的距離d="二三=也,

V22

故弦長為W/—蕾=2力一=-J26-

（2）設(shè)V（x,y）,則=’Me?-尸=舊+/_2尤_6,

由4(—4,0),=^(x+4)2+y2=2(X2+/-2X-6).

化簡得(x—6p+y2=64,

所以點M的軌跡是以。(6,。)為圓心，8為半徑的圓.

又因為點M在直線/：,a―y+6/w—8=0上，所以/與圓。有公共點，

6m+6m-8|

所以J~7'<8,

Vm2+1