人教A版高一數學必修第二冊期末復習資料

五、線面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直文字語言：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面.符號語言：關鍵點：在平面內找兩條相交直線與所要證的直線垂直六、線面垂直的性質定理：線面垂直線線垂直文字語言：若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直平面內的任意一條直線.符號語言：關鍵點：往往線面垂直中的線線垂直需要用這個定理推出七、平面與平面垂直的判定定理：線面垂直面面垂直文字語言：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直.（如果一條直線垂直于一個平面，并且有另一個平面經過這條直線，那么這兩個平面垂直）符號表示：關鍵點：在需要證明的兩個平面中找線面垂直八、平面與平面垂直的性質定理：面面垂直線面垂直文字語言：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面.符號語言：關鍵點：先找交線，再在其中一個面內找與交線垂直的線。一、線線、線面和面面的位置關系兩直線位置關系線面位置關系面面的位置關系二、有關平行的證明線∥線⑴線∥線線∥線（都是直線）⑵線∥面線∥線（相交平面）⑶面∥面線∥線（平行平面）⑷同垂直于一個平面線∥線（線面垂直）線∥面⑴線∥線線∥面⑵面∥面線∥面面∥面線∥面面∥面

三、有關垂直的證明線⊥線線⊥線線⊥線線⊥面線⊥線線⊥面線⊥線線⊥面面⊥面線⊥面面⊥面線⊥面面⊥面四、三種角的范圍異面直線所成角直線與平面所成角二面角（理科用）五、三角形的四心六、平面幾何中結論外心：中位線定理——中位線平行且等于底邊的一半內心：線段對應成比例線線平行重心：兩組對邊平行或一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形垂心一組對邊平行且不相等的四邊形為梯形必修第二冊常用29個結論1．三點共線的等價轉化A，P，B三點共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內異于A，P，B的任一點，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O為平面內異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中線公式若P為線段AB的中點，O為平面內一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．向量共線的充要條件的兩種形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．4．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).5．已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).7．有關向量夾角的兩個結論(1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)；(2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因為夾角為π時不成立)．8．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.9．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.10．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.11．|z|2＝|eq\x\to(z)|2＝z·eq\x\to(z).12．特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面為平),\s\do5(行四邊形))eq\x(平行六面體)eq\o(→,\s\up7(側棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(直平行六面體)eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(矩形))eq\x(長方體)eq\o(→,\s\up7(底面邊),\s\do5(長相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(側棱與底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正方體)上述四棱柱有以下集合關系：{正方體}{正四棱柱}{長方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四棱柱}．13．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐標軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x軸，z軸平行的線段的長度不改變，,相對位置不改變.))14．正方體與球的切、接常用結論正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球為正方體的內切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.15．公理2的三個推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面；推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面；推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面．16．異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．17．三種平行關系的轉化：線線平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質定理))線面平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質定理))面面性質定理平行線線平行、線面平行、面面平行的相互轉化是解決與平行有關的證明題的指導思想．18．平行關系中的三個重要結論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.19．直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．20．三種垂直關系的轉化：線線垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質定理))線面垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性質定理))面面垂直21．證明空間任意三點共線的方法對空間三點P，A，B可通過證明下列結論成立來證明三點共線：(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．22．證明空間任意四點共面的方法對空間四點P，M，A，B可通過證明下列結論成立來證明四點共面(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．23．簡單隨機抽樣和分層抽樣在抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等，分層抽樣中各層抽樣時采用簡單隨機抽樣．24．利用分層抽樣要注意按比例抽取，若各層應抽取的個體數不都是整數，則應當調整各層容量，即先剔除各層中“多余”的個體．25．平均數的性質①若給定一組數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，則ax1，ax2，…，axn的平均數為aeq\x\to(x)；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數為aeq\x\to(x)＋b.②若M個數的平均數是X，N個數的平均數是Y，則這(M＋N)個數的平均數是eq\f(MX＋NY,M＋N).③若兩組數據x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均數分別是eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，則x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均數是eq\x\to(x)＋eq\x\to(y).26．方差的性質若給定一組數據x1，x2，…，xn，其方差為s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.特別地，當a＝1時，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差為s2，這說明將一組數據中的第一個數據都加上一個相同的常數，方差是不變的，即不影響數據的波動性．27．頻率分布直方圖與眾數、中位數和平均數的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數．(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．28．巧用四個有關的結論(1)若x1，x2，…，xn的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數為meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)數據x1，x2，…，xn與數據x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即數據經過平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各數平方的平均數減去平均數的平方．29．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．RJA必修第二冊常見31個知識誤區(qū)1．若兩個向量起點相同，終點相同，則這兩個向量相等；但兩個相等向量不一定有相同的起點和終點．2．零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．3．注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行之間的關系．4．平面向量的基底中一定不含零向量．5．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，向量的坐標是指向量的終點坐標減去起點坐標，當向量的起點是原點時，其終點坐標就是向量坐標．6．投影和兩向量的數量積都是數量，不是向量．7．向量a在向量b方向上的投影與向量b在向量a方向上的投影不是一個概念，要加以區(qū)別．8．向量數量積的運算不滿足乘法結合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．9．兩個虛數不能比較大?。?0．利用復數相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．11．注意不能把實數集中的所有運算法則和運算性質照搬到復數集中來，例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復數范圍內有可能成立．12．求組合體的表面積時，組合體的銜接部分的面積問題易出錯．13．與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖．14．異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線”，實質上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線即不平行，也不相交．15．在判斷直線與平面的位置關系時最易忽視“線在平面內”．16．在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則會出現錯誤．17．解題中注意符號語言的規(guī)范應用．18．證明線面垂直時，易忽視平面內兩條直線為相交直線這一條件．19．兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據，運用時要注意“平面內的直線”這一條件．20．向量的數量積滿足交換律、分配律，但不滿足結合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．21．在利用eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))①證明MN∥平面ABC時，必須說明點M或點N不在平面ABC內(因為①式只表示eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共面)．22．當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補角是異面直線所成的角．23．線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.24．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的．25．易忽視頻率分布直方圖中縱軸表示的應為eq\f(頻率,組距).26．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.27．一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概率模型才是古典概型．28．頻率隨著試驗次數的改變而改變，概率是一個常數．29．對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．30．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0.31.當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．第六章 平面向量設為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則（1）為的外心.（2）為的重心.（3）為的垂心.（4）為的內心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定義及表示（向量無特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向線段：帶有方向的線段，它包含三個要素：起點、方向、長度；②向量的表示：2、向量的有關概念：相等向量是平行（共線）向量，但平行（共線）向量不一定是相等向量向量名稱定義零向量長度為0的向量，記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，記作a∥b，規(guī)定：零向量與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，記作a＝b【6.2】平面向量的運算1、向量的加法（1）定義：求兩個向量和的運算.（2）運算法則：向量求和的法則圖示幾何意義三角形法則使用三角形法則時要注意“首尾相接”的條件，而向量加法的平行四邊法則應用的前提是共起點已知非零向量a，b，在平面內任取一點A，作AB＝a，BC＝b，則向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC平行四邊形法則以同一點O為起點的兩個已知向量a，b，以OA，OB為鄰邊作?OACB，則以O為起點的向量OC（OC是?OACB的對角線）就是向量a與b的和（3）規(guī)定：對于零向量與任意向量a，規(guī)定a＋0＝0＋a＝a.（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.（5）一般地我們有|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立.（6）向量加法的運算律與實數加法的運算律相同2、向量的減法（1）相反向量（利用相反向量的定義，－AB＝BA就可以把減法轉化為加法）定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量性質：①對于相反向量有：a＋（－a）＝0；②若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量減法運算（向量的減法是向量加法的一種逆運算）定義：求兩個向量差的運算叫做向量的減法.a－b＝a＋（－b），減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.幾何意義：a－b表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.3、向量的數乘運算（實數與向量可以進行數乘運算，但不能進行加減運算）（1）定義：規(guī)定實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作：λa，它的長度和方向規(guī)定如下：①|λa|＝|λ||a|；②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反.③由①可知，當λ＝0時，λa＝0；由①②知，（－1）a＝－a.（2）運算律：設λ，μ為任意實數，則有：①λ（μa）＝（λμ）a；②（λ＋μ）a＝λa＋μa；③λ（a＋b）＝λa＋λb；特別地，有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a）；λ（a－b）＝λa－λb.（3）向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量的線性運算結果仍是向量.對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b.（4）共線向量定理：向量a（a≠0）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.也就是說，位于同一直線上的向量可以由位于這條直線上的一個非零向量表示.4、向量的數量積（1）向量的夾角：兩向量的夾角與兩直線的夾角的范圍不同，向量夾角范圍是[0，π]，而兩直線夾角的范圍為0，（2）向量的夾角的定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作向量OA＝a，OB＝b，則∠aOb＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角.當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向.如果a與b的夾角是π2，我們說a與b垂直，記作a⊥b（3）向量的數量積及其幾何意義：向量的數量積是一個實數，不是向量，它的值可正可負可為0（4）向量的數量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數量積（或內積），記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0.（5）投影：如圖，設a，b是兩個非零向量，AB＝a，CD＝b，我們考慮如下變換：過AB的起點a和終點b，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a（6）向量數量積的性質設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b?a·b＝0③當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|，特別地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.在求解向量的模時一般轉化為模的平方，但不要忘記開方④|a·b|≤|a|·|（7）運算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c（8）運算性質：類比多項式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐標表示1、平面向量基本定理（定理中要特別注意向量e1與向量e2是兩個不共線的向量）條件：e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量結論：對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底2、平面向量的坐標表示（1）基底：在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.（2）坐標：對于平面內的一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj，則有序數對（x，y）叫做向量a的坐標.（3）坐標表示：a＝（x，y）.（4）特殊向量的坐標：i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）.（5）平面向量的加減法坐標運算（可類比實數的加減運算法則進行記憶）設向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，則有下表：文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差a－b＝（x1－x2，y1－y2）重要結論一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝（x2－x1，y2－y1）（6）平面向量數乘運算的坐標表示設向量a＝（x，y），則有λa＝（λx，λy），這就是說實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.（7）平面向量共線的坐標表示：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.（8）中點坐標公式：若P1，P2的坐標分別是（x1，y1），（x2，y2），線段P1P2的中點P的坐標為（x，y），則x=x1+x22y=y1（9）兩向量的數量積與兩向量垂直的坐標表示已知兩個非零向量，向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.數量積：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和，即：a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直：a⊥b?x1x2＋y1y2＝0（10）與向量的模、夾角相關的三個重要公式①向量的模：設a＝（x，y），則|a|＝x2②兩點間的距離公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝（x③向量的夾角公式：設兩非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ，則θ【6.4】平面向量的應用1、平面幾何中的向量方法用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系.2、向量在物理中的應用舉例（1）向量與力：向量是既有大小，又有方向的量，它們可以有共同的起點，也可以沒有共同的起點.而力是既有大小和方向，又有作用點的量.用向量知識解決力的問題時，往往把向量平移到同一作用點上.（2）向量與速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成與分解，實質上就是向量的加、減運算.用向量解決速度、加速度、位移等問題，用的知識主要是向量的線性運算，有時也借助于坐標來運算.（3）向量與功、動量：力所做的功是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是力和位移兩個向量的數量積，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ為F和s的夾角）.動量mν實際上是數乘向量.3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推論（SAS、SSS、SSA）文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號語言：；；.在△ABC中，有，推論：（2）解三角形：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.（3）正弦定理的表示（AAS、SSA）文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，該比值為該三角形外接圓的直徑.符號語言：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則（R為△ABC的外接圓的半徑）（4）正弦定理的變形形式變形形式是在三角形中實現邊角互化的重要公式設三角形的三邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；（5）三角形面積公式：．（6）相關術語①仰角和俯角：與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角，如圖所示.②方位角指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指從原點O出發(fā)的經過目標的射線與正南的方向線重合，即目標在正南的方向線上.依此可類推正北方向、正東方向和正西方向.東南方向：指經過目標的射線是正東和正南的夾角平分線（如圖2所示）.（7）解三角形應用題解題思路：基本步驟：運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本步驟如下：①分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）；②建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角形中，建立一個解三角形的數學模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數學模型的解.④檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.第七章 復數【7.1】復數的概念1、數系的擴充和復數的概念（1）復數的定義：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，全體復數所構成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做復數集.（2）復數通常用字母z表示，代數形式為z＝a＋bi（a，b∈R），其中a與b分別叫做復數z的實部與虛部.（3）復數相等：在復數集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當且僅當a＝c且b＝d.（4）復數的分類①對于復數a＋bi（a，b∈R），當且僅當b＝0時，它是實數；當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；當b≠0時，叫做虛數；當a＝0且b≠0時，叫做純虛數.這樣，復數z＝a＋bi（a，b∈R）可以分類如下：復數實數（②集合表示：2、復數的幾何意義（1）復平面（復平面中點的橫坐標表示復數的實部，點的縱坐標表示復數的虛部）（2）復數的幾何意義①復數z＝a＋bi（a，b∈R）一一對應復平面內的點z（a，b）.②復數z＝a＋bi（a，b∈R）一一對應平面向量OZ.（3）復平面上的兩點間的距離公式：（，）.（4）復數的模①定義：向量OZ的模叫做復數z＝a＋bi（a，b∈R）的?；蚪^對值.②記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.③公式：|z|＝|a＋bi|＝a2+b2（a，b如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個實數，它的模就等于|a|（a的絕對值）.（5）共軛復數：一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數.復數z的共軛復數用z表示，即如果z＝a＋bi，那么z＝a－bi.（6）兩個實數可以比較大小，但兩個復數如果不全是實數就不能比較大小。（7）解復數方程若，在復數集內有且僅有兩個共軛復數根.【7.2】復數的四則運算1、復數的加、減運算及其幾何意義（1）復數的加法法則①運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意兩個復數，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，兩個復數的和仍然是一個確定的復數.②復數加法的幾何意義：如圖，復數z1＋z2是以OZ1，OZ2為鄰邊的平行四邊形的對角線OZ③加法運算律：對任意z1，z2，z3∈c，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.④復數加法的幾何意義：兩個向量OZ1與OZ2的和就是與復數（a＋c）＋（b＋d）i（2）復數的減法法則①運算法則：復數的減法是加法的逆運算；設z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復數，則（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，兩個復數的差是一個確定的復數.②復數減法的幾何意義：如圖，復數z1－z2是從向量OZ2的終點指向向量OZ1的終點的向量Z2、復數的乘、除運算（1）復數的乘法運算①復數的乘法法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），則z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.②復數乘法的運算律對任意復數z1，z2，z3∈C，有交換律 z1·z2＝z2·z1乘法對加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3結合律（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）（2）復數的除法運算設z1＝a＋bi，,z2＝c＋di（c＋di≠0）），則z復數的除法的實質是分母實數化.若分母為a＋bi型，則分子、分母同乘a－bi；若分母為a－bi型，則分子、分母同乘a＋bi.3、幾個重要的結論①②③若為虛數，則4、運算律① ② ③5、關于虛數單位i的一些固定結論：①②③④【7.3】復數的三角表示1、復數的三角表示式（1）復數的三角形式：一般地，任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復數z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量OZ所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數z＝a＋bi的輻角，r(cosθ＋isinθ)叫做復數z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式，為了與三角形式區(qū)分開來，a＋bi叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式.（2）輻角主值：規(guī)定在0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.2、復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義（1）復數三角形式的乘法：兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和.r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].（2）復數三角形式的除法：兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.r第八章 立體幾何初步【8.1】基本立體圖形1、多面體（1）空間幾何體（我們研究空間幾何體就是研究其形狀和大小）空間幾何體：在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據著空間的一部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點旋轉體：一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體，這條定直線叫做旋轉體的軸（2）多面體多面體定義圖形及表示相關概念特殊情形棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與底面的公共頂點直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各個三角形面?zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：各側面的公共頂點正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺記作：棱臺ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側面與上(下)底面的公共頂點（3）圓柱、圓錐、圓臺、球旋轉體結構特征圖形表示圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱O′O圓錐以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐圓錐也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓錐記作圓錐SO圓臺用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺圓臺也用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓臺記作圓臺O′O球半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經過球心的線段叫做球的直徑球常用表示球心的字母來表示，左圖可表示為球O（4）棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體.（5）簡單組合體（“接”和“截”簡單幾何體就可得到組合體）①定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.②簡單組合體的構成形式：一種是由簡單幾何體拼接而成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的.【8.2】空間幾何體的直觀圖1、用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟2、斜二測畫法的步驟：①平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；②平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變3、原圖與直觀圖的關系：S直=S原；S原=S直【8.3】簡單幾何體的表面積與體積1、空間幾何體的表面積（1）棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和（2）圓柱的表面積 （3）圓錐的表面積（4）圓臺的表面積 （5）球的表面積2、空間幾何體的體積（1）柱體的體積 （2）錐體的體積（3）臺體的體積 （4）球體的體積3、球的組合體（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.（2）球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長（a）.（3）球與正四面體的組合體：棱長為的正四面體的內切球的半徑為，外接球的半徑為.【8.4】空間點、直線、平面之間的位置關系1、平面（1）含義：平面是無限延展的DCBAα（DCBAα①平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）②平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。2、點、直線、平面之間的基本位置的符號表示文字語言 符號語言點A在直線l上 A∈l點A在直線l外 A?l點A在平面α內 A∈α點A在平面α外 A?α直線l在平面α內 l?α直線l在平面α外 l?α平面α，β相交于l α∩β＝l3、三個基本事實：（1）基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α?；臼聦?作用：確定一個平面的依據。（2）基本事實2：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。符號表示為：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l?α基本事實2作用：判斷直線是否在平面內（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=l，且P∈l基本事實3作用：判定兩個平面是否相交的依據4、基本事實1和基本事實2的三個推論（1）經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面符號表示為：A?l=>存在唯一的α，使A∈α，l?α（2）經過兩條相交直線，有且只有一個平面符號表示為：l∩m=A=>存在唯一的α，使l?α，m?α（3）經過兩條平行直線，有且只有一個平面符號表示為：l∥m=>存在唯一的α，使l?α，m?α5、空間中直線與直線之間的位置關系空間的兩條直線有如下三種關系：共面直線異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點6、空間中直線與平面的位置關系直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內——有無數個公共點（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點（3）直線在平面平行——沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a?α來表示a?α a∩α=A a∥α7、空間中平面與平面之間的位置關系平面與平面有三種位置關系：（1）兩個平面平行——沒有公共點（2）兩個平面相交——無數個公共點（在同一直線上）α//β α∩β=aABCD【8.5ABCD1、直線與直線平行（1）基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：a∥b，c∥b=>a∥c強調：基本事實4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用?；臼聦?作用：判斷空間兩條直線平行的依據。（2）空間四邊形：順次連接不共面的四點A、B、C、D所構成的圖形。（3）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補符號表示為：OA∥O’A’，OB∥O’B’且同向=>∠AOB=∠A’O’B’等角定理作用：判定與證明兩個角相等。2、直線與平面平行（1）直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：a?α，b?β，a∥b=>a∥α（2）直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a∥α，a?β，α∩β=b=>a∥b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。3、平面與平面平行（1）兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡記為：線面平行則面面平行。符號表示：a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α=>β∥α證明方法：反證法（2）兩個平面平行的判定定理的推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行。符號表示：a?β，b?β，a∩b=P，a’?α，b’?α，a’∩b’=P’，a∥α，b∥α=>β∥α（3）平面與平面平行的性質定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。簡記為：面面平行則線線平行。符號表示：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b=>a∥b（4）兩平面平行的相關性質①若兩個平面平行，則一個平面內的任意一條直線都和另一個平面平行（β∥α，a?α=>a∥β）②夾在兩個平行平面間的兩條平行線段相等③平行平面具有傳遞性及平行于同一平面的兩個平面平行（β∥α，β∥γ=>α∥γ）④兩條直線被三個平行平面所截截得的對應線段成比例4、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行?！?.6】空間直線、平面垂直1、異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角θ∈（0，π2②當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；③兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；l④計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。l2、直線與平面垂直αP（1）定義：如果直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。αP符號表示：任意a?α，都有l(wèi)⊥a=>l⊥α（2）判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。符號表示：a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α3、直線與平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角。當直線與平面垂直時，規(guī)定這條直線與該平面成直角。當直線與平面平行或在平面內時，規(guī)定這條直線與該平面成0°角。（2）范圍：斜線與平面所成的角θ的范圍是0≤θ≤90°（3）求法：作出斜線在平面上的射影；（4）斜線與平面所成的角的特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。4、直線與平面垂直的性質定理：（1）直線與平面垂直的性質定理1：垂直于平面的直線與平面內任意一條直線垂直。簡記為：線面垂直則線線垂直。符號表示：l⊥α，b?α=>l⊥b（2）直線與平面垂直的性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行。簡記為：線面垂直則線線平行。作用：作平行線。符號表示：a⊥α，b⊥α=>a//b5、點面距、線面距、面面距（1）點面距：過一點做垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離點面距AO范圍：AO≥0（2）線面距：一條直線與一個平面平行直線條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離當直線l與平面α相交或l?α時，直線l到平面α的距離為O（3）面面距：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等我們把它叫做這兩個平行平面間的距離當平面β與平面α相交時，平面β到平面α的距離為O6、平面與平面垂直（1）二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形二面角的記法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.（2）平面與平面垂直：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。符號表示：α⊥β（3）兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。簡記為：線面垂直則面面垂直。符號表示：AB⊥β，AB?α=>α⊥β（4）平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，則這條直線與另一個平面垂直。簡記為：面面垂直則線面垂直。作用：作平面的垂線。符號表示：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l=>α⊥β第九章 統(tǒng)計【9.1】隨機抽樣1、在統(tǒng)計學里，我們把所要考察對象的全體叫做總體，把總體中個體的總數叫做總體容量．總體中的每一個考察對象叫做個體，從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本．其中個體的個數稱為樣本容量．2、簡單隨機抽樣：也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。3、簡單隨機抽樣常用的方法：在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。（1）抽簽法的一般步驟：將總體的個體編號；連續(xù)抽簽獲取樣本號碼．適用于：總體中個體數相對較少特點：每個樣本單位被抽中的可能性相同（等可能性）；總體中個體數有限（有限性）；從主體中逐個抽?。ㄖ鹨恍裕?）隨機數表法的步驟：將總體的個體編號；在隨機數表中選擇開始數字；讀數獲取樣本號碼．適用于：總體中個體數相對較多4、總體平均數與樣本平均數（1）總體平均數（總體均值）：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，···，YN，則稱Y（2）加權平均數：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k≤N）個，不妨記為Y1，Y2，···，Yk，其中Yi出現的頻數fi（i=1，2，···，k），則總體均值還可以寫成加權平均數的形式Y（3）樣本平均數（樣本均值）：如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，他們的變量值分別為y1，y2，···，yn，則稱y5、分層抽樣（1）分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。抽樣比＝（2）分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：①調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量②保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量③有明顯分層區(qū)分的變量（3）分層的比例問題：①按比例分層抽樣②不按比例分層抽樣（4）在分層隨機抽樣中，如果層數分為2層，第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.我們用X1，X2，···，XM表示第1層各個個體的變量值，用X1，X2，···，Xm表示第1層樣本的各個個體的變量值；用Y1，Y2，···，YN表示第2層各個個體的變量值，用y1，y2，···，yn表示第2層樣本的各個個體的變量值，則：第1層的總體平均數和樣本平均數分別為X第2層的總體平均數和樣本平均數分別為Y總體平均數和樣本平均數分別為W在比例分配的分層隨機抽樣中，可以直接用樣本平均數ω估計總體平均數W，即W6、獲取數據的基本途徑獲取數據的基本途徑適用類型注意問題通過調查獲取數據對于有限總體問題，一般通過抽樣調查或普查的方法獲取數據要充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效地避免抽樣過程中的人為錯誤通過試驗獲取數據沒有現存的數據可以查詢嚴格控制試驗環(huán)境，通過精心的設計安排試驗，以提高數據質量通過觀察獲取數據自然現象借助專業(yè)測量設備通過長久的持續(xù)觀察獲取數據通過查詢獲得數據眾多專家研究過，其收集的數據有所存儲必須根據問題背景知識“清洗”數據去偽存真【9.2】用樣本估計總體1、畫頻率分布直方圖的步驟（畫頻率分布直方圖時，縱坐標表示頻率與組距的比值，而不是頻率）（1）求極差：極差是一組數據中最大值與最小值的差.（2）決定組距與組數：當樣本容量不超過100時，常分成5～12組，一般取等長組距，并且組距應力求“取整”.（3）將數據分組.（4）列頻率分布表：一般分四列，即分組、頻數累計、頻數、頻率.其中頻數合計應是樣本容量，頻率合計是1.（5）畫頻率分布直方圖：橫軸表示樣本數據，縱軸表示頻率組距.小長方形的面積＝組距×頻率組距＝頻率.各小長方形的面積和等于2、其他統(tǒng)計圖表扇形圖直觀描述各類數據占總數的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數據的頻數和頻率折線圖描述數據隨時間的變化趨勢3、第p百分位數（1）定義：（第50百分位數就是中位數，中位數是百分位數的特例，百分位數是中位數的推廣）一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有（100－p）%的數據大于或等于這個值.（2）計算一組n個數據的第p百分位數的步驟第1步，按從小到大排列原始數據第2步，計算i＝n×p%第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第（i＋1）項數據的平均數（3）四分位數：25%，50%，75%這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數，其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數4、總體集中趨勢的估計（1）眾數、中位數和平均數的定義①眾數：一組數據中出現次數最多的數②中位數：一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數.如果個數是偶數，則取中間兩個數據的平均數③平均數：一組數據的和除以數據個數所得到的數（2）眾數、中位數和平均數的比較名稱優(yōu)點缺點眾數體現了樣本數據的最大集中點眾數只能傳遞數據中的信息的很少一部分，對極端值不敏感中位數不受少數幾個極端數據（即排序靠前或靠后的數據）的影響對極端值不敏感平均數與中位數相比，平均數反映出樣本數據中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數據的改變都會引起平均數的改變，數據越“離群”，對平均數的影響越大5、總體離散程度的估計（1）一組數據x1，x2，…，xn的方差和標準差若數據x1，x2，…，xn的平均數為x，則數據x1，x2，…，xn的方差為1標準差為1（2）總體方差和標準差如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數為Y，則稱S為總體方差，S＝S2如果總體中所有個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，總體的平均數為y，則稱S為總體方