2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考版） 第1章 常用邏輯用語 (二)

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.2常用邏輯用語

【考試要求】1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)

定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系2理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對

兩種命題進(jìn)行否定.

■落實主干知識

佚口識梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=則p是q的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件paq且q分p

p是q的必要不充分條件p?q且q0P

p是q的充要條件p0q

p是q的既不充分也不必要條件p#q且q由p

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“上”表

水.

⑵存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“m”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對〃中任意一個X,p(R)成立存在Af中的元素x,p(x)成立

簡記Vx￡",一（X）

否定㈱p(x)yXGM,a)

【常用結(jié)論】

1.充分、必要條件與對應(yīng)集合之間的關(guān)系

設(shè)4={x%)},B={x|g(x)}.

(1)若p是q的充分條件，則/±8;

(2)若p是q的充分不必要條件，則/休8；

(3)若p是q的必要不充分條件，則8休小

(4)若p是q的充要條件，則/=8

2.含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.

3.命題。與p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)。是4的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件.(V)

(2)“三角形的內(nèi)角和為180?！笔侨Q量詞命題.(V)

(3)已知集合Z,B,的充要條件是/=B.(J)

(4)命題"sin2^+cos2^=^w是真命題.(X)

【教材改編題】

1.命題“VxGR,的否定是()

A.3xGR,ev_1B.VxGR,ev_

C.2X6R,ev—l<xD.VxGR,ev—

答案C

解析由題意得命題“VxeR,e'—1的否定是"mxCR,e，—.

2.(多選)下列命題中為真命題的是()

A.VxGR,x2>0B.VxGR,—IWsinxWl

C.SxGR,2x<0D.R>tanx==2

答案BD

解析當(dāng)x=0時，x2=o,所以A選項錯誤；

當(dāng)xCR時，一iWsinxWl,所以B選項正確；

因為2，>0,所以C選項錯誤；

因為函數(shù)y=tanx6R,所以D選項正確.

3.若“x>3”是的必要不充分條件，則"，的取值范圍是

答案(3,+8)

解析因為“x>3”是ux>m"的必要不充分條件，

所以(7H,+8)是(3,+8)的真子集，

由圖可知m>3.

-.

3血x

■探究核心題型

題型一充分、必要條件的判定

例1(1)(2023?淮北模擬)“公>力>0”是“4>1”的()

b

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由心6>0,得少1,反之不成立，

b

如。=—2,b=-1,滿足：>1,但是不滿足

b

故“心6>0”是牛1”的充分不必要條件.

b

(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,前〃項和為S”.設(shè)甲：q>0,乙：｛S,,｝是遞增數(shù)列,

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析當(dāng)切<0,q>l時，a尸aiq"上。,此時數(shù)列｛S,｝單調(diào)遞減，所以甲不是乙的充分條件.當(dāng)

數(shù)列｛SJ單調(diào)遞增時，有S,+i—S,=a“+i=aq">0,若ai>0,則/>0(”GN)即g>0；若?<0,

則q"<0(〃WN*),不存在.所以甲是乙的必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)p=q,g=>p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022?長春模擬)““力=同時'是"a與b共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因為a力=|ag|cos<?,b)=|a||Z?|,

所以cos<a,b)—1,

因為〈a,b)G[0,7t],

所以〈a,h)=0,

所以“與力共線，

當(dāng).與6共線時，〈a,b)=0或〈a,h)=7t,

所以“力=|。曲cos{a,b)=同血或“力=|a||b|cos〈a,b)=一同回，

所以“。力=|a||b|"是““與6共線”的充分不必要條件.

(2)(多選)已知某函數(shù)/(X)=(4〃?-1)檔,則下列選項中,能使得八。)》(6)成立的一個充分不必要

條件是()

A.0<L』B.a2>b2

ab

C.Ina>lnbD.2a>2h

答案AC

解析由題設(shè)知4〃?一l=l,可得加=；,故/(x)=4，

所以,要使人。)次6),則柩，即。>620.

0<i<-o^>Z?0,A符合題意；

ab

Ina>lnb^a>b>0,C符合題意；

B,D選項中a,b均有可能為負(fù)數(shù)，B,D不符合題意.

題型二充分、必要條件的應(yīng)用

例2在①ZUB=8；②"xe/”是“xCB”的充分條件；③"xCCRA"是"xGCR8”的

必要條件這三個條件中任選一個，補(bǔ)充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：已知集合N={x|aWxWa+2},B—{x|(x+1)(%—3)<0}.

(1)當(dāng)“=2時，，求4n8；

(2)若,求實數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解(1)由(x+l)(x-3)<0,

解得一l<r<3,

所以B={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},

當(dāng)a=2時，N={x|2WxW4},

所以/A8={x[2Wx<3}.

(2)若選①/U8=8,則/U8,所以解得一即”G(—1,1);

a+2V3,

a>-1,

若選②“Xd/”是“xG8”的充分條件，則ZU8,所以■解得一1VS1,

a+2V3,

即〃￡(—1,1)；

d>-1,

若選③"xWCRA"是"xGCRB"的必要條件，則4所以，解得一1<°<1,

U+2<3,

即?G(-1,1).

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出

關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.

跟蹤訓(xùn)練2(2023?宜昌模擬)已知集合4={x|-2vxW3},{x\x2-2mx+m2-\<0].

(1)若m=2,求集合NAB；

(2)已知p：x^A,q：xGB,是否存在實數(shù)w,使p是g的必要不充分條件，若存在實數(shù)機(jī),

求出，〃的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解⑴由m—2及爐一2ZMX+/?2—]<0,

得——4x+3<0,解得l<x<3,

所以5={x[l<x<3},

又Z={x|-2<xW3},

所以/08={川14<3}.

(2)由X2—2機(jī)x+機(jī)2—1<0,

得[x-(加一(〃]+1)]<0,

所以"?一\<x<m+1,

所以8={x\m—1<x<m+1}.

由p是q的必要不充分條件，

得集合8是集合力的真子集，

所以，1'=>-lW,〃W2（兩端等號不會同時取得），

L+1W3

所以，”的取值范圍為[一1,2].

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點1含量詞命題的否定

例3（2022?漳州模擬）命題“VaWR,x2-ax+l=0有實數(shù)解''的否定是（）

A.Vd-eR,x2-4x+l=0無實數(shù)解

B.3<76R,x2—ax+l=0無實數(shù)解

C.VaeR,》2—辦+1#0有實數(shù)解

D.3aGR,/一依+iro有實數(shù)解

答案B

解析因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以“V“GR,N—ax+l=0有實數(shù)解”的否定是“madR,/—依+1=0無實數(shù)解”.

命題點2含量詞命題真假的判斷

例4（多選）（2023?沈陽模擬）下列命題中為真命題的是（）

A.3x6R,—1

2X

B.對于VxWR,“GN*且心1,都有正=x

C.VxGR,ln（x-l）2>0

D.3x^R,Inx^x—1

答案AD

解析當(dāng)工20時，0<—1,故A項是真命題；

2X

當(dāng)〃為偶數(shù)，且xvO時，汨』—x,故B項是假命題；

當(dāng)工=1時，InG-無意義，故C項是假命題；

當(dāng)x=l時，lnx2x-l,故D項是真命題.

命題點3含量詞命題的應(yīng)用

_KTt

例5若“三工￡_3,3_,sinxv加”是假命題，則實數(shù)加的最大值為（）

答案D

_7tn

解析因為?3xsL3'Lsinxvm”是假命題,

_nn

所以31mWsinx”是真命題,

_nn

即機(jī)Wsinx對于VxC_3’3_恒成立，所以》tW(sinx)min.

_7tn

因為y=sinx在-3,3.上單調(diào)遞增，

所以x=一三時，y=sinx最小，其最小值為y=sin[3)=-sin匹=—重，

332

所以"?w一歪，所以實數(shù)加的最大值為一氈■.

22

思維升華含量詞命題的解題策喀

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立：要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一

個成立即可.當(dāng)一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求

參數(shù)的范圍.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知命題p：SnSN,"2'2〃+5,則p為()

A.序》2”+5

B.3?￡N,/W2"+5

C.VnGN,n2<2n+5

D.SnSN,n2=2n+5

答案C

解析由存在量詞命題的否定可知，㈱。為/<2〃+5.所以C正確，A,B,D錯誤.

(2)(多選)下列命題是真命題的是()

A.VxGR,—x2—1<0

B.VnGZ,3wGZ,nm=m

C.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑

]3

D.存在實數(shù)x,使得

X2—2x+34

答案ABC

解析VxCR,-x2<0,所以一/一ivO,故A項是真命題;

當(dāng)m=0時，〃，"="怛成立，故B項是真命題;

任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項是真命題；

因為X2-2X+3=（X-1）2+222,

所以，1故D項是假命題.

x^-2x+324

（3）若命題“mxWR,x2+（“一l）x+l<0”的否定是假命題，則實數(shù)4的取值范圍是

答案（一8,-1）U（3,+8）

解析命題“mxCR,.F+g—l）x+1<0"的否定是假命題，

則命題“mxWR,+是真命題，

即/=（。_1尸_4>0,

解得a>3或a<—1,

故實數(shù)。的取值范圍是（-8,—1）U（3,+°°）.

課時精練

過基礎(chǔ)保分練

1.（2023?上饒模擬）“爐>2021”是ux2>2022"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若析>2022,因為2022>2021,故析>2021,

故”/>2022”可以推出“f>2021”，

取4=2021.5,則滿足#>2021,但/>2022不成立,

所以“N>2021”不能推出”/>2022”,

所以“/>2021”是u^>2022w的必要不充分條件.

2.已知命題p：mxGQ,使得xgN,則^夕為（）

A.VxCQ,都有xgNB.3xCQ,使得x《N

C.VxeQ,都有xGND.3xeQ,使得xGN

答案c

解析因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

所以由p：使得x京N,

得㈱p：VxGQ,都有xGN.

3.已知命題：“VxCR,方程/+4》+。=0有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.Q<4B.

C.a>4D.q24

答案B

解析“VxGR,方程f+4x+a=0有解”是真命題，

故/=16—4”20,解得“W4.

4.（2023?武漢模擬）已知a,b是兩條不重合的直線，a為一個平面，且a，a,則“人，a”是

“a〃b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當(dāng)6_La時，結(jié)合a_La,可得?！?,充分性滿足；

當(dāng)a〃方時，結(jié)合a_La,可得Z>_La,必要性滿足.

故abVaf,是“a〃b”的充要條件.

5.命題“VlWxW2,x2-aW0”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.g4B.心5

C.aW4D.aW5

答案B

解析因為命題“VlWxW2,N-aWO”是真命題，

所以VlWxW2,恒成立,

所以“24,

結(jié)合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是a，5.

6.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.所有的素數(shù)都是奇數(shù)

B.有一個實數(shù)x,使N+2X+3=0

C.“a=￡”是“sina=sin￡”成立的充分不必要條件

D.命題“mxGR,x+2W0”的否定是“VxGR,x+2>0”

答案CD

解析2是一個素數(shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；

對于方程/+入+3=0,其中/=22-4X3=-8<0,

所以不存在實數(shù)，使得x2+2x+3=0成立，所以B是假命題；

由a=">sina=sin"，但由sina=sin￡不能得到&="，故"a=夕'是"sina=sin””成立的

充分不必要條件，所以C是真命題；

根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關(guān)系，可得命題“mxCR,x+2W0”的否定是“V

xWR,x+2>0",所以D是真命題.

7.(多選)若“mxd(0,2),使得2/—&+1<0成立”是假命題，則實數(shù)2可能的值是()

A.1B.2/C.3D.3s

答案AB

解析由題意可知，命題“VxC(0,2),2%2—笈+120成立"是真命題，

所以2xW2%2+l,可得入W2x+1，

當(dāng)xW(0,2)時，由基本不等式可得

2xH__H

所以2W2s.

8.南北朝時期的偉大科學(xué)家祖隨在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實踐的基礎(chǔ)上提出祖瞄原理：“累

勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個

平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為H,Vi,被平行于這兩個平面

的任意平面截得的兩個截面面積分別為S”S2,則“S，S2不總相等”是“H，匕不相等”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析命題：如果“S,S2不總相等”，那么夕2不相等”的等價命題是：如果“外,

匕相等”，那么“S,S2總相等”.

根據(jù)祖唯原理，當(dāng)兩個截面的面積S,&總相等時，這兩個幾何體的體積乙相等，所以

逆命題為真，故是必要條件；

當(dāng)兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平面之間時，此時體積相等，但截得截面面積未必相等,

故是不充分條件，所以“與,S2不總相等"是七不相等”的必要不充分條件.

9.命題"Vxe?'力，sinx<cosxw的否定是.

研

答案r0,4J,sinxecosx

解析因為usinx<cosxn的否定是"sinx/cosx”,

所以Jsinx〈cosx"的否定是"玉{0'j,sinx'cosx",

10.使得“2>?！背闪⒌囊粋€充分條件是.

答案xv—1（答案不唯一）

解析由于牛=2巴故2t>221等價于x>2x,

解得x<0,

使得“2。4，”成立的一個充分條件只需為集合{x|x〈0}的子集即可.

11.已知命題“mxG{x|-2<x<3},使得等式2大一"?=0成立”是假命題，則實數(shù)〃?的取值范

圍是?

答案（一8,—4]U[6,+°°）

解析若原命題為真命題，則3x6{x[—2<x<3},

使得，"=2x成立，則一4<7M<6;

故若原命題為假命題，

則實數(shù)切的取值范圍為（一8,-4]U[6,+00）.

12.已知a：x<2加一1或x>—〃?，夕：x<2或x24,若a是夕的必要條件，則實數(shù)的取值范圍

是.

答案6+勺

解析設(shè)4={x|x<2加一1或x>一〃?},8={x|xv2或x24},

若a是夕的必要條件，則8G4

當(dāng)2〃?一1>一相，即mJ時，此時Z=R,8G4成立；

.|2W—]22,

當(dāng)2〃?一1W—m,即加W—時，若8G力，此時，無解.

3[―777<4,

綜上,加」.

3

應(yīng)綜合提升練

13.（多選）若“VxWM,|x|>x"為真命題，雋>3"為假命題，則集合M可以是（）

A.（一8,-5）B.（一3,-1]

C.（3,+8）D.[0,3]

答案AB

解析V3x^M,x>3為假命題，

/.VxGA/,xW3為真命題，

可得MU（—8,3],

又YxGM,|M>x為真命題，

可得”=（—8,0）,

0）.

14.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時