2014-2023年高考數(shù)學(xué)真題分享匯編：導(dǎo)數(shù)解答題（理科）（原卷版）

十年(2014—2023)年高考真題分項(xiàng)匯編一導(dǎo)數(shù)解答題

目錄

題型一：導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義...............................1

題型二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.................................2

題型三：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值.............................4

題型四：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.................................6

題型五：導(dǎo)數(shù)與不等式的證明.................................8

題型六：導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯題型..........................10

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、能成立問(wèn)題....................11

題型八：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用....................................13

題型一：導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

1.(2020北京高考?第19題)已知函數(shù)〃x)=12-d.

⑴求曲線y=/(x)的斜率等于-2的切線方程；

(H)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)//⑺)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S"),求S。)的最小值.

2.(2018年高考數(shù)學(xué)天津(理)?第20題)(本小題滿分14分)已知函數(shù)/(x)=a：g(x)=log(,x,其中。＞1.

(1)求函數(shù)〃(x)=/(x)-xlna的單調(diào)區(qū)間；

⑵若曲線夕=/(x)在點(diǎn)(/,/1))處的切線與曲線y=g(x)在點(diǎn)(當(dāng)苗(》2))處的切線平行，證明

/、2InIn?

芯+g(w)=—:----；

ina

I

(3)證明當(dāng)。2羨時(shí)，存在直線/,使/是曲線y=/(x)的切線，也是曲線丁=8(幻的切線.

3.(2020年新高考全國(guó)I卷(山東)?第21題)已知函數(shù)/(x)=ae"T-Inx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線月仁)在點(diǎn)(1,犬1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

⑵若兀31,求。的取值范圍.

4.(2020年新高考全國(guó)卷n數(shù)學(xué)(海南)?第22題)已知函數(shù)/(x)=aei-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線產(chǎn)=g)在點(diǎn)(1,人1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若外a1,求a的取值范圍.

5.(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第22題)體題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=6-Inx.

⑴若在X=X],%2(%W%2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：/(/)+/(》2)>8-81112;

(2)若aW3-41n2,證明：對(duì)于任意上>0,直線y=依+a與曲線y=/(x)有唯一公共點(diǎn).

be'-'

6.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科?第21題)設(shè)函數(shù)/(x)=a/lnx+——，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切

x

線y=e(x-1)+2.

⑴求a,b;

(2)證明

7.(2019?全國(guó)HI?理?第20題)已知函數(shù)/(x)=2d-qf+b.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)是否存在。乃，使得/(x)在區(qū)間[0J的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出。力的所有值；若

不存在，說(shuō)明理由.

X+]

8.(2019?全國(guó)II?理?第20題)已知函數(shù)/(x)=Inx-----.

x-1

(1)討論/(X)的單調(diào)性，并證明了(X)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)：

(2)設(shè)/是/,(X)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線歹=lnx在點(diǎn)Z(xo，lnxo)處的切線也是曲線y="的切線.

題型二：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

1.(2022高考北京卷?第20題)已知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線V=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵設(shè)g(x)=/'(x)，討論函數(shù)g(x)在[0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意的s,/e(0,+8),有/(s+/)>,f(s)+/Q).

2.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=4x3—3x2cos6+以，其中xeR,。為參數(shù)，且OWOW1.

(I)當(dāng)cos6=0時(shí)，判斷函數(shù)/(x)是否有極值；

(H)要使函數(shù)/(x)的極小值大于零，求參數(shù)。的取值范圍；

(HI)若對(duì)(H)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)8,函數(shù)/(x)在區(qū)間(2。-1,a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍.

3.(2014高考數(shù)學(xué)重慶理科?第20題)已知函數(shù)“N)=四2'—岳⑦―dceR)的導(dǎo)函數(shù)/,小)為偶

函數(shù)，且曲線夕=/白)在點(diǎn)〈0,/(0分處的切線的斜率為4一c.

(1)確定。力的值；

(2)若c=3,判斷了Q0的單調(diào)性；

(3)若有極值，求c的取值范圍.

4.(2014高考數(shù)學(xué)天津理科?第20題)設(shè)/(x)=x-ae"(aeR),xeR.已知函數(shù)y=/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)占,吃,且

%1<X2.

⑴求。的取值范圍；

(0)證明受隨著Q的減小而增大；

(HI)證明X]+x2隨著a的減小而增大.

5.(2014高考數(shù)學(xué)江西理科?第19題)已知函數(shù)的0=lx：+bx+b)Vmx(beR).

(1)當(dāng)b=4時(shí)，求1(x)的極值；

(2)若f(X)在區(qū)間(0,；)上單調(diào)遞增，求b的取值范圍.

6.(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科?第20題)(本小題滿分12分，⑴小問(wèn)7分,(2)小問(wèn)5分)

設(shè)函數(shù)/(x)=eR).

⑴若/(x)在》=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y=〃x)在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線方程；

(2)若〃x)在[3,+8)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

7.(2016高考數(shù)學(xué)北京理科?第18題)(本小題13分)設(shè)函數(shù)/(X)=xe"-、+云，曲線y=/(x)在點(diǎn)(2J(2))

處的切線方程為y=(e—l)x+4.

(I)求a,b的值;

(II)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

8.(2021年高考全國(guó)甲卷理科?第21題)已知a>0且awl,函數(shù)f(x)=土(x>0).

ax

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

9.(2020年高考課標(biāo)I卷理科?第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，討論J(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)應(yīng)0時(shí)，/(工巨3始+1,求。的取值范圍.

題型三：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

1.(2023年北京卷?第20題)設(shè)函數(shù)/(x)=x—曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程為

y=-X+1?

(1)求凡b的值;

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.(2023年新課標(biāo)全國(guó)n卷?第22題)(1)證明：當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2<six\x<x;

⑵已知函數(shù)/'(x)=cosox-ln(l-/),若x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

l-2r

3.(2021高考北京?第19題)已知函數(shù)〃x)=不--

⑴若a=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,./(I))處的切線方程；

(2)若/(x)在x=-l處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

4.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷(理)?第21題)已知函數(shù)/(x)=(2+x+62)ln(l+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當(dāng)一l<x<0時(shí)，/(x)<0,當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)>0：

(2)若x=0是/(x)的極大值點(diǎn)，求a.

5.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I(理)?第21題)(12分)已知函數(shù)/"(幻=工一乂+^山》.

X

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

⑵若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)xpx2,證明：仆J-。_2.

再-x2

6.(2018年高考數(shù)學(xué)北京(理)?第18題)(本小題13分)設(shè)函數(shù)/(x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]e]

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線與x軸平行，求a；

(H)若/(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍.

7.(2014高考數(shù)學(xué)山東理科?第20題)設(shè)函數(shù)f(x)==--2+lnx)(左為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)

XX

數(shù)的底數(shù)).

(I)當(dāng)左40時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)/(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求左的取值范圍.

8.(2014高考數(shù)學(xué)湖南理科?第22題)已知常數(shù)a＞0,函數(shù)/(x)=ln(l+ox)---.

x+2

⑴討論/(X)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性；

(II)若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)且/(的)+/(》2)〉0求a的取值范圍.

9.(2014高考數(shù)學(xué)安徽理科?第18題)設(shè)函數(shù)〃幻=1+(1+4口一1一/,其中。＞0.

(I)討論/(X)在其定義域上的單調(diào)性；

(H)當(dāng)xe［0,l］時(shí)，求/(x)取得最大值和最小值時(shí)的x的值.

10.(2015高考數(shù)學(xué)安徽理科?第21題)(本小題滿分13分)設(shè)函數(shù)/(x)=x2—G+b.

(I)討論函數(shù)/(sinx)在(-內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；

(II)記_4(X)=一一&X+d，求函數(shù)|/(sinx)-啟sinx)|在［一g§上的最大值D：

2

(in)在(II)中，取為=d=0，求z=b-3滿足。＜1時(shí)的最大值.

11.(2017年高考數(shù)學(xué)浙江文理科?第20題)已知函數(shù)/(x)=(x-岳二T理t(X2▲)?

⑴求/(x)的導(dǎo)函數(shù)；

(H)求/(%)在區(qū)間［；,+8)上的取值范圍.

12.(2017年高考數(shù)學(xué)山東理科?第20題)已知函數(shù)/'(X)=%2+2cosx,g(x)=(cosx-sinx+2x-2),

其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(肛/(4))處的切線方程；

(II)令〃(x)=g(x)-4(x)(aeR),討論力門)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值;有極值時(shí)，求出極值.

13.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第21題)(12分)已知函數(shù)/(x)=x-1-alnx.

(1)若/(x)20,求a的值；

(2)設(shè)加為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)〃，+…+(加，求加的最小值?

14.(2017年高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第20題)己知函數(shù)/(x)=x3+ax2+bx+im＞0,beR)有極值，且導(dǎo)函數(shù)

/■'(X)的極值點(diǎn)是“X)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)

(1)求b關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

⑵證明＞3a;

(3)若/(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-g，求a的取值范圍.

15.(2017年高考數(shù)學(xué)北京理科?第19題)已知函數(shù)/(x)=e'cosx-x.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

7T

(H)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,萬(wàn)］上的最大值和最小值.

16.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷理科?第21題)(12分)已知函數(shù)/(x)="3一?—xlnx,且/(xRO.

(1)求a；

(2)證明：/(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2</(/)<2%

17.(2016高考數(shù)學(xué)天津理科-第20題)設(shè)函數(shù)/(》)=。-1)3-辦一仇86火，其中

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若/(x)存在極值點(diǎn)天,且/(X］)=/(Xo),其中X|WXo，求證：%1+2x0=3；

(III)設(shè)a〉0,函數(shù)g(x)=|/(x)|,求證：g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值不個(gè)于:.

18.(2023年全國(guó)乙卷理科?第21題)已知函數(shù)/(x)=［:+a］ln(l+x).

(1)當(dāng)“=-1時(shí)，求曲線歹=/(力在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程：

(2)是否存在a,6,使得曲線丁=/(})關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a,6的值，若不存在，說(shuō)明

理由.

(3)若/(x)在(0,+e)存在極值，求a的取值范圍.

19.(2019?北京?理?第19題)已知函數(shù)/(x)=-x3-x2+x.

4

⑴求曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程；

(II)當(dāng)xe|-2,4］時(shí)，求證：x-6</(x)<x；

(皿)設(shè)F(x)=|f(x)一(x+a)|(aeR),記尸(x)在區(qū)間［-2,4］上的最大值為M(a),當(dāng)M(a)最小時(shí),

求〃的值.

題型四：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

1.(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)?第21題)已知函數(shù)/(x)=4-lnx+x-“.

X

⑴若/(x"0,求a的取值范圍；

(2)證明:若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)占兩,則環(huán)再％<1.

2.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷(理)?第21題)(12分)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若°=1,證明：當(dāng)時(shí),((x)》l；

⑵若/(x)在(0,+8)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

3.(2014高考數(shù)學(xué)四川理科?第21題)已知函數(shù)/(x)="—ax2—bx—1其中“力w/?,e=2.71828…為自

然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(I)設(shè)g(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,1］上的最小值：

(H)若/(1)=0,函數(shù)/,(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

4.(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科?第21題)(本小題滿分12分)

Q2Y

已知函數(shù)/(x)=(cosx-X)(TT+2x)——(sinx+1),g(x)=3(x一x)cosx-4(14-sinx)ln(3---).

371

證明：(1)存在唯一x°e(0T,T1),使/(玉1)=0；

(2)存在唯一X|e《㈤，使g(xJ=0,且對(duì)⑴中的超+再<7.

5.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科?第21題)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=x，+ax+—,g(x)=-Inx

4

(I)當(dāng)Q為何值時(shí)，X軸為曲線》=/(X)的切線；

(H)用minW，〃}表示九〃中的最小值，設(shè)函數(shù)〃(x)=min{/(x),g(x)}(x>0)，討論〃(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

6.(2015高考數(shù)學(xué)天津理科?第20題)(本小題滿分14分))已知函數(shù)/(x)=nx-x",xeR,其中〃eN*,〃22

(I)討論/(x)的單調(diào)性：

(II)設(shè)曲線y=/(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)。處的切線方程為y=g(x),求證：對(duì)于任意的正

實(shí)數(shù)X,都有/(x)Wg(x)；

(HI)若關(guān)于.x的方程/(x)=a(。為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)根玉，x2,求證：|吃-9—+2.

1-n

7.(2015高考數(shù)學(xué)四川理科?第21題)已知函數(shù)/(x)=—2(x+a)lnx+f—2ax—2/+。，其中a〉0.

⑴設(shè)g(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，評(píng)論g(x)的單調(diào)性；

(2)證明：存在ae(0,1),使得/(x)20在區(qū)間(l,+oo)內(nèi)恒成立，且/(x)=0在(1,+oo)內(nèi)有唯一解.

8.(2015高考數(shù)學(xué)江蘇文理?第19題)已知函數(shù)/(》)=1+62+6伍/6火).

(1)試討論/(X)的單調(diào)性；

⑵若6=c-a(實(shí)數(shù)c是a與無(wú)關(guān)的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)/(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍恰好是

33

(-oo,-3)U(l,j)U(j,+00)，求c的值.

9.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第21題)已知函數(shù)f(x)^ae2x+(a-2)ex-x.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

10.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第21題)(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=(x—2)e，+a(x—l)2有兩個(gè)零

點(diǎn).

(I)求”的取值范圍；

(II)設(shè)玉,》2是/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：+x2<2.

11.(2020年高考課標(biāo)in卷理科?第21題)設(shè)函數(shù)〃x)=x3+bx+c,曲線y=/(x)在點(diǎn)(g,火g))處的切

線與y軸垂直.

⑴求b.

(2)若/(x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：/(x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.

12.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)?第21題)已知函數(shù)〃x)=ln(l+x)+axer

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/'(x)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(—1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

13.(2019?全國(guó)I?理?第20題)已知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+K),/"(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

(1)/'(X)在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

14.(2019?江蘇?第19題)設(shè)函數(shù)/(x)=(x-a)(x-6)(x-c),a,6,ceR、廠(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴若a=b=c,/(4)=8,求Q的值；

(2)若awb,b=c,且/(x)和廣(x)的零點(diǎn)均在集合｛-3,1,3｝中，求/(x)的極小值；

4

(3)若a=0,0<=1,且/(x)的極大值為M,求證:MW—.

題型五：導(dǎo)數(shù)與不等式的證明

1.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第22題)設(shè)函數(shù)/(x)=—+lnx(x>0).

2x

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知a,bwR,曲線y=/(x)上不同的三點(diǎn)(再,/'(的)),(&,/(》2)),卜3，/'(、3))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(a,6).證明：

⑴若Q>e,則0<力一/(。)<；]:一1)；

2c—ci112c—ci

(ii)若0<a<e,X[</<與，則一+—<—+—<-----.

e6e~*x3a6e

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

2.(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科?第22題)函數(shù)/(x)=ln(x+l)-一個(gè)

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

23

(2)設(shè)q=l,a“+|=ln(a〃+1),證明：一-<an<---

M+2〃+2

3.(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第19題)(本小題滿分14分)

設(shè)。>1,函數(shù)/(x)=(l+x2)/—a.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)證明：/(X)在(一00,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)若曲線y=/(x)在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)“(〃?,〃)處的切線與直線OP平行(。是坐標(biāo)原

點(diǎn)),證明：m<-1.

4.(2017年高考數(shù)學(xué)天津理科?第20題)設(shè)aeZ,已知定義在R上的函數(shù)/(x)=2x4+31—3/—6x+a在

區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)x0,g(x)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

⑴求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)me[l,x0)U(x0,2]，函數(shù)％(x)=g(x)(m-x0)-f(m)，求證:h(m)h(x0)<0;

(3)求證:存在大于0的常數(shù)力,使得對(duì)于任意的正整數(shù),且RG[l,x0)U(%,2],滿足|旦-玉).

qq用

5.(2021年高考浙江卷?第22題)設(shè)mb為實(shí)數(shù)，且。>1,函數(shù)/(x)=a*-bx+e“xeR)

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間：

(2)若對(duì)任意6>2/，函數(shù)/")有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

⑶當(dāng)a=e時(shí)，證明：對(duì)任意方>?4,函數(shù)〃x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)心起，滿足匕>登玉+，.

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

6.(2021年新高考全國(guó)n卷?第22題)已知函數(shù)f(x)=(x-\)ex-ax2+b.

(1)討論〃x)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：/(x)有一個(gè)零點(diǎn)

12

?—<a<e一,b>2a；

22

?0<a<-b<2a.

29

7.(2021年新高考I卷?第22題)已知函數(shù)〃x)=x(l-lnx).

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且blna-aln6=a-b,證明：2<-J-+-<e.

ab

8.(2022新高考全國(guó)II卷?第22題)已知函數(shù)/(x)=xeut-ev.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<-l,求a的取值范圍；

111一,、

(3)設(shè)〃@N*，證明：/,+/,+…+/<’>ln(〃+l).

Vl2+1V22+2yln2+n

9.(2021年高考全國(guó)乙卷理科?第20題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=3(x)的極值點(diǎn).

⑴求a；

X+f(x)

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=，j.證明:g(x)<l.

xf(x)

題型六：導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯題型

1.(2022新高考全國(guó)I卷?第22題)已知函數(shù)/(x)=優(yōu)一6和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)證明：存在直線y=6,其與兩條曲線V=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

2.(2015高考數(shù)學(xué)湖南理科?第23題)已知?！?,函數(shù)/(x)=e"sinx(xG[0,+8)).記x“為/(x)的從

小到大的第〃(〃wN*)個(gè)極值點(diǎn).證明：

⑴數(shù)列｛/(x,,)｝是等比數(shù)列；

1

(2)若，則對(duì)一切〃eN*,x“<|/(x,,)|恒成立.

Ve2-1

3.(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科?第22題)(本小題滿分14分)已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù),

b=(\+-y?(〃eN,),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

nnna

(I)求函數(shù)f(x)=1+X-e*的單調(diào)區(qū)間，并比較(1+-)"與e的大??；

n

(H)計(jì)算由，她，也外，由此推測(cè)計(jì)算她二A的公式，并給出證明;

a｛aAa2a｛a2a3q%…?！?/p>

(III)令=(q〃2…，數(shù)列｛4｝，｛q｝的前〃項(xiàng)和分別記為5〃,方，證明：Tn<eSn.

4.(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第21題)(本小題滿分14分)

數(shù)列｛%｝滿足q+2/+…+〃/，neN*.

(1)求知的值；

(2)求數(shù)列｛叫前〃項(xiàng)和7；；

(3)令4=%,b?=^+|1+-+-+??-+-(M>2),證明：數(shù)列｛么｝的前“項(xiàng)和S”滿足

〃<23n)

S“v2+2In〃.

5.(2023年天津卷?第20題)已知函數(shù)/(x)=(g+；)ln(x+l).

(1)求曲線y=/(x)在x=2處切線的斜率；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，證明：/(x)>l；

5(1A

(3)證明：一<ln(〃!)一|〃+一ln(M)+w<1.

6I2J

6.(2023年新課標(biāo)全國(guó)I卷?第19題)已知函數(shù)/'(x)=a(e'+a)-x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)4>0時(shí)，/(x)>21n?+-.

7.(2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第19題)(本小題滿分16分)記_f(x),g'(x)分別為函數(shù)〃x),g(x)的導(dǎo)函數(shù).若存

在％eR,滿足f(x0)=g(x0)且//(x0)=g'G)，則稱x。為函數(shù)〃x)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”.

⑴證明：函數(shù)/(幻=》與8。)=/+2工-2不存在“$點(diǎn)”；

(2)若函數(shù)/3=加-1與8(》)=1門存在“5點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)。的值；

Av

(3)已知函數(shù)/(工)=-工2+〃，g(x)=——e.對(duì)任意4>0,判斷是否存在6>0,使函數(shù)/(%)與g(x)在區(qū)

X

間(0,+oo)內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.

題型七：利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、能成立問(wèn)題

sinx(Ji1

1.(2023年全國(guó)甲卷理科?第21題)已知函數(shù)/(x)=ar——z-,xe0,-

cosxV2J

(1)當(dāng)a=8時(shí)，討論/⑶的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

2.(2014高考數(shù)學(xué)浙江理科?第22題)已知函數(shù)/(x)=/+3|x—4(4€/?).

⑴若/(x)在[一1,1]上的最大值和最小值分別記為"(a),7〃(a),求“⑷一〃?⑷；

⑵設(shè)6eA,若[./(x)+6]2W4對(duì)xe[―1/恒成立，求3a+6的取值范圍.

3.(2014高考數(shù)學(xué)陜西理科?第23題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=%，(x),xN0,其中尸(x)是/(x)的導(dǎo)函

數(shù).

(Dg|(x)=g(x),g,+i(x)=g(g“(x)),〃eN+，求g“(x)的表達(dá)式；

⑵若/(x)2ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：

⑶設(shè)〃eN+，比較g(l)+g⑵+—+g(〃)與"-/(")的大小,并加以證明.

4.(2014高考數(shù)學(xué)福建理科?第20題)(本小題滿分14分)

已知函數(shù)/(力=/-辦(。為常數(shù))的圖像與y軸交于點(diǎn)4,曲線y=/'(X)在點(diǎn)〃處的切線斜率為-1.

(1)求a的值及函數(shù)y=/(X)的極值；

(2)證明：當(dāng)x〉0時(shí)，x2<ex；

2

(3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在z,使得當(dāng)xe(x0,+oo),恒有x<ce".

TT

5.(2014高考數(shù)學(xué)北京理科?第18題)已知/'(%)=xcos1一sin%,xe[0,—]

⑴求證：/(x)<0

(2)a<—<b在(0,乙)上恒成立，求a的最大值與b的最小值

x2

6.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第21題)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)/(x)=*'+/一加x.

(I)證明：/,(X)在(一oo,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增；

(H)若對(duì)于任意再,》2,都有|/(斗)-/(》2)|Ve-1,求用的取值范圍.

7.(2015高考數(shù)學(xué)山東理科?第21題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)+a(x2—%),其中aeA.

⑴討論函數(shù)/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(II)^VX>0,/(X)>0^AL,求a的取值范圍.

8.(2015高考數(shù)學(xué)北京理科?第18題)(本小題13分)已知函數(shù)/(x)=In3.

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/⑼)處的切線方程：

(尤3、

(H)求證：當(dāng)xe(0,1)時(shí)，/(x)>2x+—；

<3,

(#

(III)設(shè)實(shí)數(shù)左使得/(力〉左x+—對(duì)xe(0,1)恒成立，求人的最大值.

<31t

9.(2016高考數(shù)學(xué)四川理科?第21題)設(shè)函數(shù)/(》)="2一°一]nx,其中aeR.

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)確定a的所有可能取值，使得/-(%)>--ei在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立，(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的

x

底數(shù))

10.(2016高考數(shù)學(xué)山東理科?第20題)(本小題滿分13分)己知/(x)=a(x-lnx)+&三」,aeR.

(I).討論/(x)的單調(diào)性；

(II)當(dāng)a=1時(shí)，證明/*)>+：對(duì)于任意的xe［1,2］成立.

11.(2015高考數(shù)學(xué)福建理科?第20題)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x),g(x)=Ax,(keR),

⑴證明：當(dāng)x>0時(shí)、f(x)<x；

(H)證明：當(dāng)一<1時(shí),存在%>0,使得對(duì)任意xe(0,.),恒有/(x)>g(x)；

(HI)確定上的所以可能取值，使得存在。>0,對(duì)任意的xe(0,f),恒有|/(x)—g(x)|<x2.

題型八：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

1.(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科?第21題)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=ev-e~x-2x.

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

(II)設(shè)g(x)=/(2x)-4"(x),當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0,求b的最大值；

(HI)已知1.4142<1.4143,估計(jì)ln2的近似值(精確到0.001)

2.(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科?第22題)乃為圓周率，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

InX

(I)求函數(shù)f(x)=上上的單調(diào)區(qū)間；

X

(II)求e3,3%e",兀e,3","這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；

(叫將e3,3%e",兀：3","這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

3.(2014高考數(shù)學(xué)