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第第頁(yè)普通物理專題研究——研究生課程(力學(xué))一般物理專題討論力學(xué)部分
一、功和能1.作功和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理在牛頓力學(xué)范圍內(nèi),作功與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量之間的關(guān)系
可由牛頓第二定律徑直導(dǎo)出。對(duì)選定的慣性系,牛頓第二定律可寫成:dvFm
將上式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘質(zhì)點(diǎn)在空間的微小位移drdvdrFdrmdrmdvmvdvdtdt
dt
積分可得:1212AFdr2mv2mv0,(質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理)F:質(zhì)點(diǎn)所受的合外力;m:質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量;v:質(zhì)點(diǎn)速度。B
1212AFdr2mv2mv0,(質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理)B
左邊表示作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力的功,作功是用作
用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)位移的標(biāo)積定義的。由于牛頓第二定律中的v是質(zhì)點(diǎn)的速度,點(diǎn)乘的位移dr需要是質(zhì)點(diǎn)的位移,dv才可以積分。v所以功的定義中關(guān)于位移的說(shuō)法,應(yīng)當(dāng)是質(zhì)點(diǎn)的
位移,具體例證見下面的爭(zhēng)論。
2.關(guān)于功的定義的爭(zhēng)論長(zhǎng)期以來(lái),不同教材對(duì)作功有不同定義,主要區(qū)
別在于對(duì)作功中的位移這個(gè)量有不同的說(shuō)法。①質(zhì)點(diǎn)位移;②物體位移;③力的作用點(diǎn)位移。假如爭(zhēng)論的對(duì)象是質(zhì)點(diǎn),三種說(shuō)法用于處理詳細(xì)
問(wèn)題得到的結(jié)果是全都的;假如爭(zhēng)論質(zhì)點(diǎn)組,差別就表現(xiàn)出來(lái)了。
例:關(guān)于人走路一種觀點(diǎn):人能夠走動(dòng)是靠地面的摩擦力作用。這種
觀點(diǎn)認(rèn)為,從功和能的角度看,人由靜止到移動(dòng),具有
肯定的動(dòng)能,肯定是什么力對(duì)人作了功。地面對(duì)人有摩擦力,人有位移,力乘以位移就是功,即摩擦力對(duì)人作功,獲得動(dòng)能。另一種觀點(diǎn):從普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律去分析:
人走動(dòng)時(shí)動(dòng)能的增量是從人的機(jī)體內(nèi)部生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來(lái),人不吃飯那么沒(méi)有能量補(bǔ)充是走不動(dòng)路的。再說(shuō)人假如抬腿走路,位移是向上的,而摩擦力是切向的,摩
擦力不作功。
兩種觀點(diǎn)反映出對(duì)功的定義的不同理解。
第一種觀點(diǎn)是用人體位移來(lái)定義功,也就是用“物體位
移”來(lái)定義功。對(duì)于一個(gè)內(nèi)部有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)組,各個(gè)質(zhì)點(diǎn)沒(méi)有共同的位移,所謂物體的位移是指質(zhì)心的位移。據(jù)質(zhì)心定理:dvcFi外MdtM:質(zhì)點(diǎn)組總質(zhì)量;vc:質(zhì)心的速度用dRc表示質(zhì)心的位移,上式兩邊點(diǎn)乘以dRcdvcdRcFi外dRcMdtdRcMdtdvcMvcdvc121Fi外dRcMvcMvc2022上式左邊不含保守內(nèi)力功(質(zhì)點(diǎn)組有非保守內(nèi)力)
121Fi外dRcMvcMvc2022由質(zhì)心的位移計(jì)算的“功”與質(zhì)心動(dòng)能改變關(guān)系
沒(méi)有反應(yīng)出機(jī)械能
與其他形式能量的轉(zhuǎn)化,說(shuō)明
按此計(jì)算功,不能全面和本質(zhì)反映功能關(guān)系,這種定義不足取,還是用質(zhì)點(diǎn)位移定義功為好。
在分析人走路時(shí),認(rèn)為地面摩擦力不作功是正確的。這
種觀點(diǎn)是按質(zhì)點(diǎn)位移計(jì)算功。地面靜摩擦力是作用在人腳上,腳沒(méi)有提起也就沒(méi)有位移,腳一旦提起,靜摩擦
力消逝,因此也不作功。據(jù)功能原理
W非保=E-E0
人走動(dòng)時(shí)獲得的機(jī)械能增量是成對(duì)內(nèi)部非保守力做功的
結(jié)果。而這些功正是生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來(lái)。至于人走動(dòng)
時(shí)需要依靠地面的靜摩擦力,僅僅是地面的靜摩擦力為人的走動(dòng)提供了條件(地面假如沒(méi)有靜摩擦力,人走動(dòng)要消耗體內(nèi)更多能量,假設(shè)有滑動(dòng)摩擦力,那么需克服滑動(dòng)摩擦力作功)。
關(guān)于用“力的作用點(diǎn)位移”來(lái)計(jì)算功也是一個(gè)不
準(zhǔn)確的概念。例:dr作用點(diǎn)dvFdr作用點(diǎn)mdr作用點(diǎn)mdvmv作用點(diǎn)dvdtdtv是質(zhì)點(diǎn)的速度,而v作用點(diǎn)是力的作用點(diǎn)的速度,因此不能積出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量,可見這種功的定義失去了意義。有時(shí)質(zhì)點(diǎn)有位移,作用點(diǎn)沒(méi)有位移。如人走路:腳(質(zhì)點(diǎn))有向上位移,地面作用點(diǎn),腳提起,作用點(diǎn)消逝,落地時(shí)沒(méi)位移。
3.功與參照系的關(guān)系
功的定義是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F與質(zhì)點(diǎn)位移dr的標(biāo)量積。WBA
Fdr
依據(jù)功的定義,并沒(méi)有提出有關(guān)參照系的選擇的限制,
我們可以在任何一個(gè)參照系中去計(jì)算功,而不論是否是慣性系,只不過(guò)在不同參照系中計(jì)算功有不同的結(jié)果而已。但由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理:
力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功卻需要是在慣性系中進(jìn)行。
1212Wmv2mv122
這是由于,在推導(dǎo)動(dòng)能定理中用到牛頓第二定律,
而牛頓第二定律在慣性系中成立。在應(yīng)用動(dòng)能定理爭(zhēng)論問(wèn)題時(shí),需要對(duì)同一慣性系
去計(jì)算功及動(dòng)能增量。在非慣性系中,作為出發(fā)點(diǎn)的牛頓第二定律還要
加上慣性力,這時(shí)假設(shè)在非慣性系中運(yùn)用動(dòng)能定理
求功,需計(jì)算慣性力的功。
爭(zhēng)論:不同參照系計(jì)算摩擦力作功的爭(zhēng)議。當(dāng)一個(gè)物體在地面上滑動(dòng)時(shí),地面上的觀測(cè)者認(rèn)
為,摩擦力對(duì)物體作了負(fù)功。而相對(duì)物體靜止的但物體沒(méi)有位移,摩擦力不作功。兩個(gè)不同的觀測(cè)者(參照系)對(duì)摩擦力對(duì)物體作
車上的觀測(cè)者認(rèn)為,物體雖受地面摩擦力的作用,
功得出不同結(jié)論,從他們不同的參照系看自然是正確的。但是,當(dāng)我們從“摩擦生熱”這個(gè)角度去分析這個(gè)例子時(shí),發(fā)覺涌現(xiàn)了沖突。
摩擦生熱,物體溫度上升這個(gè)結(jié)果對(duì)任何觀測(cè)者(參照
系)都是一樣。但按上例
中,車上觀測(cè)者講,由于摩擦力對(duì)物體不作功,物體溫度不變。功的定義規(guī)定了功在不同的參照系中有不同的結(jié)果,即
功的計(jì)算依靠于參照系的選擇。而“摩擦生熱”現(xiàn)象告
訴我們摩擦力作功不應(yīng)當(dāng)依靠于參照系的選擇,如何將兩者統(tǒng)一起來(lái)?當(dāng)參照系變換到車上以后,摩擦力對(duì)物體雖不作功,而
作用在地面上的摩擦力的反作用力卻由于地面相對(duì)于車有位移,對(duì)地面作功。這個(gè)反作用力的功往往簡(jiǎn)單被忽
略。
問(wèn)題關(guān)鍵:在爭(zhēng)論摩擦生熱現(xiàn)象時(shí),需要同時(shí)考
慮摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和,以這一對(duì)作用力與反作用力功之和去量度有多少機(jī)
械能轉(zhuǎn)化為熱運(yùn)動(dòng)能量??梢宰C明,一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功之和是不隨參照
系變換而變換的(不論變換到慣性系還是非慣性系)。從物理角度看,正是普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律
的一種表現(xiàn):機(jī)械能和熱運(yùn)動(dòng)能量之間的轉(zhuǎn)化與
守恒是不依靠參照系的選擇的。
結(jié)論:凡遵從牛頓第三定律的作用力與反作用力作功之
和均與參照系的選擇無(wú)關(guān)。不論選取的參照系是慣性系還是非慣性系,也不論爭(zhēng)論的是摩擦力還是其他性質(zhì)的力,這個(gè)結(jié)論都是正確的。詳見后面的證明。
4.作用力與反作用力的功
證明不論參照系怎樣變換,作用力與反作用力作
功之和與參照系的選擇無(wú)關(guān)。設(shè)m1、m2組成的系統(tǒng),它們之間相互作用力分別為f1和f2,在某參照系S中,它們t時(shí)刻位置矢量分別為r1和r2,在dt時(shí)間內(nèi),兩質(zhì)點(diǎn)位移分別為dr1、dr2。作用力與反作用力的功為W1和W2,二者之和:W1W2f1dr1f2dr2
假設(shè)有另一參照系S,在t時(shí)刻,S相對(duì)S的速度為v。在dt時(shí)間內(nèi),m1相對(duì)S參照系的位移為dr1,S相對(duì)S的位移為vdt,m1相對(duì)S的位移為dr1,三者之間的相對(duì)關(guān)系:dr1dr1vdt,rrvt,伽利略變換)(因dr1dr1vdt那么相對(duì)S系來(lái)計(jì)算f1對(duì)m1作的功W1f1dr1f1dr1f1vdt同理,m2相對(duì)S系的位移dr2為dr2dr2vdt那么相對(duì)S系來(lái)計(jì)算f2對(duì)m2作的功W2f2dr2f2dr2f2vdt
相對(duì)S系,作用力與反作用力作功之和為:W1W2f1dr1f2dr2f1dr1f2dr2(f1f2)vdt據(jù)牛頓第三定律f1f20,故有W1W2f1dr1
f2dr2W1W2所以上式說(shuō)明,在任何參照系里(不論是否是慣性系),一對(duì)作用力功與反作用力功之和都相同。
由于S和S是任意選取的,它們之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可取任意值。
5.物體系的勢(shì)能
在一般的教科書中講授勢(shì)能時(shí),都強(qiáng)調(diào)了勢(shì)能屬
于物體系的概念,但很少進(jìn)行深入的爭(zhēng)論。下面以重力勢(shì)能為例加以爭(zhēng)論:質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng),重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作
功為
W=-(mgh2-mgh1)
重力是保守力,引出勢(shì)能的概念,保守力作功等于勢(shì)能增量的負(fù)值:
W保=-(EP2-EP1)
并強(qiáng)調(diào)重力勢(shì)能屬于地球和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)所共有。由
此產(chǎn)生疑問(wèn):①mg是作用在質(zhì)點(diǎn)m上的重力,這里并沒(méi)有分析地球的
受力和運(yùn)動(dòng),怎么把地球作為討論對(duì)象?②質(zhì)點(diǎn)和地球處在不同地位,又有什么依據(jù)把作為參考
系的地球作為討論對(duì)象呢?③假如用重力作功的負(fù)值定義重力勢(shì)能增量,重力對(duì)質(zhì)
點(diǎn)作功是隨參考系的不同選取而改變。例如,以地面為參考系,重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功為-(mgh2-mgh1),重力勢(shì)能增量為mgh2-mgh1,假如選取相對(duì)于m為靜止的參考系,重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不作功,豈不是得出重力勢(shì)能增量為零的結(jié)論?這個(gè)結(jié)論顯著不合理。
如何說(shuō)明上述疑
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