普通物理專題研究-研究生課程(力學(xué))

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一、功和能1.作功和質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，作功與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量之間的關(guān)系

可由牛頓第二定律徑直導(dǎo)出。對(duì)選定的慣性系，牛頓第二定律可寫成：dvFm

將上式兩邊同時(shí)點(diǎn)乘質(zhì)點(diǎn)在空間的微小位移drdvdrFdrmdrmdvmvdvdtdt

dt

積分可得：1212AFdr2mv2mv0,(質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理)F:質(zhì)點(diǎn)所受的合外力；m:質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量；v:質(zhì)點(diǎn)速度。B

1212AFdr2mv2mv0,(質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理)B

左邊表示作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力的功，作功是用作

用在質(zhì)點(diǎn)上的力與質(zhì)點(diǎn)位移的標(biāo)積定義的。由于牛頓第二定律中的v是質(zhì)點(diǎn)的速度，點(diǎn)乘的位移dr需要是質(zhì)點(diǎn)的位移，dv才可以積分。v所以功的定義中關(guān)于位移的說法，應(yīng)當(dāng)是質(zhì)點(diǎn)的

位移，具體例證見下面的爭論。

2.關(guān)于功的定義的爭論長期以來，不同教材對(duì)作功有不同定義，主要區(qū)

別在于對(duì)作功中的位移這個(gè)量有不同的說法。①質(zhì)點(diǎn)位移；②物體位移；③力的作用點(diǎn)位移。假如爭論的對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)，三種說法用于處理詳細(xì)

問題得到的結(jié)果是全都的；假如爭論質(zhì)點(diǎn)組，差別就表現(xiàn)出來了。

例：關(guān)于人走路一種觀點(diǎn)：人能夠走動(dòng)是靠地面的摩擦力作用。這種

觀點(diǎn)認(rèn)為，從功和能的角度看，人由靜止到移動(dòng)，具有

肯定的動(dòng)能，肯定是什么力對(duì)人作了功。地面對(duì)人有摩擦力，人有位移，力乘以位移就是功，即摩擦力對(duì)人作功，獲得動(dòng)能。另一種觀點(diǎn)：從普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律去分析：

人走動(dòng)時(shí)動(dòng)能的增量是從人的機(jī)體內(nèi)部生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來，人不吃飯那么沒有能量補(bǔ)充是走不動(dòng)路的。再說人假如抬腿走路，位移是向上的，而摩擦力是切向的，摩

擦力不作功。

兩種觀點(diǎn)反映出對(duì)功的定義的不同理解。

第一種觀點(diǎn)是用人體位移來定義功，也就是用“物體位

移”來定義功。對(duì)于一個(gè)內(nèi)部有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)組，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)沒有共同的位移，所謂物體的位移是指質(zhì)心的位移。據(jù)質(zhì)心定理：dvcFi外MdtM:質(zhì)點(diǎn)組總質(zhì)量；vc:質(zhì)心的速度用dRc表示質(zhì)心的位移，上式兩邊點(diǎn)乘以dRcdvcdRcFi外dRcMdtdRcMdtdvcMvcdvc121Fi外dRcMvcMvc2022上式左邊不含保守內(nèi)力功(質(zhì)點(diǎn)組有非保守內(nèi)力)

121Fi外dRcMvcMvc2022由質(zhì)心的位移計(jì)算的“功”與質(zhì)心動(dòng)能改變關(guān)系

沒有反應(yīng)出機(jī)械能

與其他形式能量的轉(zhuǎn)化，說明

按此計(jì)算功，不能全面和本質(zhì)反映功能關(guān)系，這種定義不足取，還是用質(zhì)點(diǎn)位移定義功為好。

在分析人走路時(shí)，認(rèn)為地面摩擦力不作功是正確的。這

種觀點(diǎn)是按質(zhì)點(diǎn)位移計(jì)算功。地面靜摩擦力是作用在人腳上，腳沒有提起也就沒有位移，腳一旦提起，靜摩擦

力消逝，因此也不作功。據(jù)功能原理

W非保=E-E0

人走動(dòng)時(shí)獲得的機(jī)械能增量是成對(duì)內(nèi)部非保守力做功的

結(jié)果。而這些功正是生物化學(xué)能轉(zhuǎn)化而來。至于人走動(dòng)

時(shí)需要依靠地面的靜摩擦力，僅僅是地面的靜摩擦力為人的走動(dòng)提供了條件(地面假如沒有靜摩擦力，人走動(dòng)要消耗體內(nèi)更多能量，假設(shè)有滑動(dòng)摩擦力，那么需克服滑動(dòng)摩擦力作功)。

關(guān)于用“力的作用點(diǎn)位移”來計(jì)算功也是一個(gè)不

準(zhǔn)確的概念。例：dr作用點(diǎn)dvFdr作用點(diǎn)mdr作用點(diǎn)mdvmv作用點(diǎn)dvdtdtv是質(zhì)點(diǎn)的速度，而v作用點(diǎn)是力的作用點(diǎn)的速度，因此不能積出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量，可見這種功的定義失去了意義。有時(shí)質(zhì)點(diǎn)有位移，作用點(diǎn)沒有位移。如人走路：腳(質(zhì)點(diǎn))有向上位移，地面作用點(diǎn)，腳提起，作用點(diǎn)消逝，落地時(shí)沒位移。

3.功與參照系的關(guān)系

功的定義是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力F與質(zhì)點(diǎn)位移dr的標(biāo)量積。WBA

Fdr

依據(jù)功的定義，并沒有提出有關(guān)參照系的選擇的限制，

我們可以在任何一個(gè)參照系中去計(jì)算功，而不論是否是慣性系，只不過在不同參照系中計(jì)算功有不同的結(jié)果而已。但由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：

力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功卻需要是在慣性系中進(jìn)行。

1212Wmv2mv122

這是由于，在推導(dǎo)動(dòng)能定理中用到牛頓第二定律，

而牛頓第二定律在慣性系中成立。在應(yīng)用動(dòng)能定理爭論問題時(shí)，需要對(duì)同一慣性系

去計(jì)算功及動(dòng)能增量。在非慣性系中，作為出發(fā)點(diǎn)的牛頓第二定律還要

加上慣性力，這時(shí)假設(shè)在非慣性系中運(yùn)用動(dòng)能定理

求功，需計(jì)算慣性力的功。

爭論：不同參照系計(jì)算摩擦力作功的爭議。當(dāng)一個(gè)物體在地面上滑動(dòng)時(shí)，地面上的觀測者認(rèn)

為，摩擦力對(duì)物體作了負(fù)功。而相對(duì)物體靜止的但物體沒有位移，摩擦力不作功。兩個(gè)不同的觀測者(參照系)對(duì)摩擦力對(duì)物體作

車上的觀測者認(rèn)為，物體雖受地面摩擦力的作用，

功得出不同結(jié)論，從他們不同的參照系看自然是正確的。但是，當(dāng)我們從“摩擦生熱”這個(gè)角度去分析這個(gè)例子時(shí)，發(fā)覺涌現(xiàn)了沖突。

摩擦生熱，物體溫度上升這個(gè)結(jié)果對(duì)任何觀測者(參照

系)都是一樣。但按上例

中，車上觀測者講，由于摩擦力對(duì)物體不作功，物體溫度不變。功的定義規(guī)定了功在不同的參照系中有不同的結(jié)果，即

功的計(jì)算依靠于參照系的選擇。而“摩擦生熱”現(xiàn)象告

訴我們摩擦力作功不應(yīng)當(dāng)依靠于參照系的選擇，如何將兩者統(tǒng)一起來？當(dāng)參照系變換到車上以后，摩擦力對(duì)物體雖不作功，而

作用在地面上的摩擦力的反作用力卻由于地面相對(duì)于車有位移，對(duì)地面作功。這個(gè)反作用力的功往往簡單被忽

略。

問題關(guān)鍵：在爭論摩擦生熱現(xiàn)象時(shí)，需要同時(shí)考

慮摩擦力作功和摩擦力的反作用力作功之和，以這一對(duì)作用力與反作用力功之和去量度有多少機(jī)

械能轉(zhuǎn)化為熱運(yùn)動(dòng)能量。可以證明，一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功之和是不隨參照

系變換而變換的(不論變換到慣性系還是非慣性系)。從物理角度看，正是普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律

的一種表現(xiàn)：機(jī)械能和熱運(yùn)動(dòng)能量之間的轉(zhuǎn)化與

守恒是不依靠參照系的選擇的。

結(jié)論：凡遵從牛頓第三定律的作用力與反作用力作功之

和均與參照系的選擇無關(guān)。不論選取的參照系是慣性系還是非慣性系，也不論爭論的是摩擦力還是其他性質(zhì)的力，這個(gè)結(jié)論都是正確的。詳見后面的證明。

4.作用力與反作用力的功

證明不論參照系怎樣變換，作用力與反作用力作

功之和與參照系的選擇無關(guān)。設(shè)m1、m2組成的系統(tǒng)，它們之間相互作用力分別為f1和f2,在某參照系S中，它們t時(shí)刻位置矢量分別為r1和r2,在dt時(shí)間內(nèi)，兩質(zhì)點(diǎn)位移分別為dr1、dr2。作用力與反作用力的功為W1和W2,二者之和：W1W2f1dr1f2dr2

假設(shè)有另一參照系S,在t時(shí)刻，S相對(duì)S的速度為v。在dt時(shí)間內(nèi)，m1相對(duì)S參照系的位移為dr1,S相對(duì)S的位移為vdt,m1相對(duì)S的位移為dr1,三者之間的相對(duì)關(guān)系：dr1dr1vdt,rrvt,伽利略變換)(因dr1dr1vdt那么相對(duì)S系來計(jì)算f1對(duì)m1作的功W1f1dr1f1dr1f1vdt同理，m2相對(duì)S系的位移dr2為dr2dr2vdt那么相對(duì)S系來計(jì)算f2對(duì)m2作的功W2f2dr2f2dr2f2vdt

相對(duì)S系，作用力與反作用力作功之和為：W1W2f1dr1f2dr2f1dr1f2dr2(f1f2)vdt據(jù)牛頓第三定律f1f20,故有W1W2f1dr1

f2dr2W1W2所以上式說明，在任何參照系里(不論是否是慣性系),一對(duì)作用力功與反作用力功之和都相同。

由于S和S是任意選取的，它們之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可取任意值。

5.物體系的勢能

在一般的教科書中講授勢能時(shí)，都強(qiáng)調(diào)了勢能屬

于物體系的概念，但很少進(jìn)行深入的爭論。下面以重力勢能為例加以爭論：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿任意路徑移動(dòng)，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作

功為

W=-(mgh2-mgh1)

重力是保守力，引出勢能的概念，保守力作功等于勢能增量的負(fù)值：

W保=-(EP2-EP1)

并強(qiáng)調(diào)重力勢能屬于地球和質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)所共有。由

此產(chǎn)生疑問：①mg是作用在質(zhì)點(diǎn)m上的重力，這里并沒有分析地球的

受力和運(yùn)動(dòng)，怎么把地球作為討論對(duì)象？②質(zhì)點(diǎn)和地球處在不同地位，又有什么依據(jù)把作為參考

系的地球作為討論對(duì)象呢？③假如用重力作功的負(fù)值定義重力勢能增量,重力對(duì)質(zhì)

點(diǎn)作功是隨參考系的不同選取而改變。例如，以地面為參考系，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功為-(mgh2-mgh1),重力勢能增量為mgh2-mgh1,假如選取相對(duì)于m為靜止的參考系，重力對(duì)質(zhì)點(diǎn)不作功，豈不是得出重力勢能增量為零的結(jié)論？這個(gè)結(jié)論顯著不合理。

如何說明上述疑