2020小學(xué)奧數(shù)六年級下冊數(shù)學(xué) 工程問題分類講解 含解析

2020小學(xué)奧數(shù)六年級下冊數(shù)學(xué)工程問題分類講解含解析

工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維

能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比較困

難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。

工程問題的基本概念

定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。

工作總量：一般抽象成單位“1”

工作效率：單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量

三個(gè)基本公式：工作總量=工作效率X工作時(shí)間，

工作效率=工作總量+工作時(shí)間，

工作時(shí)間=工作總量+工作效率；

二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面：

①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泛應(yīng)

用于分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用；

③學(xué)會畫線段示意圖.鏤段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率

之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推

理；

④學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法,分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多

端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時(shí)很難找到正確解題方法,因此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、

轉(zhuǎn)化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路.

三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：

如代換法、比例法、列表法、方程法等

拋開“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效

率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問題答案，一般情況下，工程問題求的是時(shí)

間.

熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法；

(1)工程問題中常出現(xiàn)單獨(dú)做，幾人合作或輪流做，分析時(shí)一定要學(xué)會分段處理；

(2)根據(jù)題目中的實(shí)際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；

(3)工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用.

口;例題精講

一'周期性工程問題

【例1】一件工程，甲單獨(dú)做要6小時(shí)，乙單獨(dú)做要10小時(shí)，如果接甲、乙、甲、乙...順序交替工

作，每次1小時(shí)，那么需要多長時(shí)間完成？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】甲1小時(shí)完成整個(gè)工程的工，乙1小時(shí)完成整個(gè)工程的工，交替干活時(shí)兩個(gè)小時(shí)完成整個(gè)工程的

610

1+—=—,甲、乙各干3小時(shí)后完成整個(gè)工程的,x3=，,還剩下1，甲再干1小時(shí)完成整個(gè)

610151555

工程的L,還題I下工，乙花1小時(shí)即20分鐘即可完成.所以需要7小時(shí)20分鐘來完成整個(gè)工

6303

程.

【答案】7小時(shí)20分鐘

【鞏固】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需12小時(shí)，乙單獨(dú)完成需15小時(shí)。甲乙合做1小時(shí)后，由甲單獨(dú)做1小

時(shí)，再由乙單獨(dú)做1小時(shí)，……，甲、乙如此交替下去，則完成該工程共用小時(shí)。

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，五年級，一試

【解析】甲乙合做1小時(shí)后，還剩下：1--,甲乙單獨(dú)做2小時(shí)，共做_L+_L=』，還需要

151220151220

做2x5=10小時(shí)，還剩下工，需要甲做1小時(shí)，還有J__JL=JL,乙還需要做=1小

1010126060154

時(shí)，一共需要1+10+1+0.25=12.25小時(shí)

【答案】85天

【例2】一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做要17天完成,如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好

用整天數(shù)完成；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，那么比上次輪流的做法多用

半天完工.問：甲單獨(dú)做需要幾天？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】甲、乙輪流做，如果是偶數(shù)天完成，那么乙、甲輪流做必然也是偶數(shù)天完成，且等于甲、乙輪

流做的天數(shù)，與題意不符；所以甲、乙輪流做是奇數(shù)天完成，最后一天是甲做的,那么乙、甲

輪流做比甲、乙輪流做多用半天，這半天是甲做的,如果設(shè)甲、乙工作效率分別為匕和那

么匕+g匕，所以匕=2七,乙單獨(dú)做要用17天，甲的工作效率是乙的2倍，所?以甲單獨(dú)做

需要17w2=8.5天,

【答案】85天

【鞏固】規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再由

第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止,如果甲、乙輪流

做一個(gè)工程需要9.8小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要9.6小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需

要多少小時(shí)？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意，有：甲乙甲乙一理處時(shí)每°?孫時(shí)，可知，甲做1-0.6=0.4小時(shí)與乙做1-0.8=0.2

乙甲乙甲一Zy［、時(shí)再0.處時(shí)

小時(shí)的工作量相等，故甲工作2小時(shí)，相當(dāng)于乙1小時(shí)的工作量.

所以，乙單獨(dú)工作需要9.8-5+5w2=7.3小時(shí).

【答案】7.3小時(shí)

【例3】蓄水池有一條進(jìn)水管和一條排水管,要灌滿一池水，單開進(jìn)水管需5小時(shí)；排光一池水，單開

排水管需3小時(shí).現(xiàn)在池內(nèi)有半池水，如果按進(jìn)水，排水，進(jìn)水，排水……的順序輪流各開1

小時(shí),問：多長時(shí)間后水池的水剛好排完？（精確到分鐘）

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】法一：

1小時(shí)排水比1小時(shí)進(jìn)水多［―L=L云2=3…上，說明排水開了3小時(shí)后（實(shí)際加上

351521510

進(jìn)水3小時(shí)，已經(jīng)過去6小時(shí)了），水池還剩一池子水的工，

10

再過1小時(shí)，水池里的水為一池子水的2+白=』，

10510

41。

把這些水排完需要三年!=三小時(shí)，不到1小時(shí),

10310

QQ

所以共需要6+1+—=7—小時(shí)=7小時(shí)54分.

1010

法二:

1小時(shí)排水比1小時(shí)進(jìn)水多1

說明8小時(shí)以后，水池的水全部排完,并且多排了一池子水的上，

30

排一池子需要3小時(shí)，排一池子水的JL需要小時(shí),

303010

1Q

所以實(shí)際需要8——=7—小時(shí)=7小時(shí)54分.

1010

【答案】7小時(shí)54分

【鞏固】蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管和乙、丁兩條排水管，要灌滿一池水，單開甲管需3小時(shí)，單開丙管

需要5小時(shí)，要排光一池水，單開乙管需要4小時(shí)，單開丁管需要6小時(shí)，現(xiàn)在池內(nèi)有!的水，

若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的順序輪流打開1小時(shí)，問多少時(shí)間后水開始溢出水

池？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】5星【題型】解答

【解析】甲乙丙丁順序循環(huán)各開1小時(shí)可進(jìn)水：=—,循環(huán)5次后水池還空：

345660

1_1_2_L,9的工作量由甲管注水需要：［*」=?（，］、時(shí)），所以經(jīng)過4x5+?=203小

660X54=443444

時(shí)后水開始溢出水池.

【答案】20-

4

二'水管問題

【例4】一池水，甲、乙兩管同時(shí)開，5小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開，4小時(shí)灌滿.現(xiàn)在先開乙管6

小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開2小時(shí)才能灌滿.乙單獨(dú)開幾小時(shí)可以灌滿？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據(jù)“現(xiàn)在先開乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同

時(shí)開2小時(shí)灌滿”，我們可以把乙管的6小時(shí)分成3個(gè)2小時(shí)，第一個(gè)2小時(shí)和甲同時(shí)開，第二

個(gè)2小時(shí)和丙同時(shí)開，第三個(gè)2小時(shí)乙管單獨(dú)開.這樣就變成了甲、乙同時(shí)開2小時(shí)，乙、丙

同時(shí)開2小時(shí)，乙單獨(dú)開2小時(shí)，正好灌滿一池水,可以計(jì)算出乙單獨(dú)灌水的工作量為

1--X2--X2=—,所以乙的工作效率為：—^（6-2-2）=—,所以整池水由乙管單獨(dú)灌

54101020

水，需要1W工=20（小時(shí)）.

20

【答案】20小時(shí)

【鞏固】某水池可以用甲、乙兩個(gè)水管注水，單開甲管需12小時(shí)注滿，單開乙管需24小時(shí)注滿，若要

求10小時(shí)注滿水池，且甲、乙兩管同時(shí)打開的時(shí)間盡量少，那么甲、乙最少要同時(shí)開放

小時(shí),

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】要想同時(shí)開的時(shí)間最小，則根據(jù)工效，讓甲“漏負(fù)荷”地做，才可能使得同時(shí)開放的時(shí)間最

小,所以，乙開放的時(shí)間為（1-2、10工2=4（小時(shí)），即甲、乙最少要同時(shí)開放4小時(shí).

I12）24

【答案】4小時(shí)

【例5】一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個(gè)水龍頭，2小時(shí)半就把水池水放空，如果打

開8個(gè)水龍頭，1小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個(gè)水龍頭，問要多少時(shí)間才能把水放

空？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】先計(jì)算1個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2小時(shí)半比1小時(shí)半多60分鐘，多流入水4x60=240（立方

米）.時(shí)間都用分鐘作單位，1個(gè)水龍頭每分鐘放水量是2404-f5x150-8x90）=8（立方

米），8個(gè)水龍頭1個(gè)半小時(shí)放出的水量是8x8x90,其中90分鐘內(nèi)流入水量是4x90,因此

原來水池中存有水8x8x90-4x90=5400（立方米）.打開13個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水

8x13,除去每分鐘流入4,其余將放出原存的水，放空原存的5400,需要5400―（8x13-4）

=54（分鐘）.所以打開13個(gè)龍頭，放空水池要54分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有水與新

流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱含著的.

【答案】54分鐘

【鞏固】一個(gè)蓄水池有1個(gè)進(jìn)水口和15個(gè)出水口，水從進(jìn)水口勻速流入,當(dāng)池中有一半的水時(shí)，如果打

開9個(gè)出水口，9小時(shí)可以把水排空,如果打開7個(gè)出水口，18小時(shí)可以把水排空,如果是一

滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過時(shí)_分水池剛好被排空.

【考點(diǎn)】牛吃草問題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】對比思想方法

【解析】本題是牛吃草問題的變形.

設(shè)每個(gè)出水口每小時(shí)的出水量為1,則進(jìn)水口每小時(shí)的進(jìn)水量為：C/xl8-9x9）wQ8-9）=5,

半池水的量為：（9-5）x9=36,所以一池水的量為72,

如果打開全部15個(gè)出水口，排空水池所需要的時(shí)間為72:Q5-5）=7.2小時(shí)，即7小時(shí)12分

鐘，

【答案】7小時(shí)12分鐘

【例6】一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水，若只開甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱

己滿；若只開乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿,又知，乙管每分鐘注水量是甲管

每分鐘注水量的2倍，則該水箱最多可容納多少噸水？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】由于乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍,那么甲管注入18噸水的時(shí)間是乙管注入

18x2=36噸水的時(shí)間，則甲管注入18噸水的時(shí)間與乙管注入27噸水的時(shí)間比是36:27=4;3

,那么在這兩種情況下丙管注水的時(shí)間比為4:3,而且前一種情況比后一種情況多注入

27-18=9噸水，則甲管注入18噸水時(shí)，丙管注入水95(4-3)x4=36噸，

所以該水箱最多可容納水18+36=54噸.

【答案】54噸

【鞏固】一個(gè)水箱有甲、乙、丙三根進(jìn)水管，如果只打開甲、丙兩管，甲管注入30噸水時(shí)，水箱己滿；

如果只打開乙、丙兩管，乙管注入40噸水時(shí)，水箱才滿.己知乙管每分鐘注水量是甲管的1.5

倍，則該水箱注滿時(shí)可容納噸水.

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】方法一：乙注入40噸水的時(shí)間相當(dāng)于甲注入竺噸水的時(shí)間，甲注入30噸水，丙可注水量為x

,那么，乙注40噸水丙可注水量為竺所以30+x=40+絲x^x,解得x=90,

1.5301.530

90+30=120(噸)為水箱容量。

方法二：如果只打開甲、丙兩管，注滿水時(shí)甲管注入了30噸水；如果只打開乙、丙兩管，注滿

水時(shí)乙管注入了40噸水,由于乙管每分鐘注水量是甲管的L5倍，所以在甲管注入30噸水的時(shí)

間內(nèi)，乙管可以注入30x15=45噸水，而在只打開乙、丙兩管的情況下乙管共注入了40噸

水，可見打開甲、丙兩管注滿水所用的時(shí)間是打開乙、丙兩管所用時(shí)間的竺=2倍,可以假設(shè)

408

打開乙、丙兩管的情況下丙管注了a噸水，則打開甲、丙兩管的情況下丙管注了2a噸水，所以

8

Q

有-a+30=a+40,得到a=80,所以水箱注滿時(shí)可容納80+40=120噸水.在得到第一種情況

S

所用時(shí)間是第二種情況所用時(shí)間的2倍之后，可以假設(shè)第二種情況此時(shí)乙、丙兩管繼續(xù)注水，

8

總時(shí)間為注滿水所需時(shí)間的2倍，也就是與第一種情況所用時(shí)間相同.此時(shí)，注入的水量也是

8

水箱容積的2倍，即比第一種情況多了1倍.然而此時(shí)注水時(shí)間相同，所以丙管注入的水量相

88

同，乙管則注入30x15=45噸水，比甲管多注了45-30=15噸，所以這15噸就是水箱容■積的

那么水箱容積為15+1=120噸.

8S

【答案】120噸

【例7】放滿一個(gè)水池，如果同時(shí)打開1,2號閥門，則12分鐘可以完成；如果同時(shí)打開1,3號閥

門，則15分鐘可以完成；如果單獨(dú)打開1號閥門，則20分鐘可以完成；那么，如果同時(shí)打開

1,2,3號閥門，分鐘可以完成。

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2009年，學(xué)而思林，6年級

【解析】單獨(dú)打開1號門，20分鐘可以完成，說明1號門每分鐘完成上，而同時(shí)打開1、2號閘門12分

20

鐘可以完成，說明2號閉門每分鐘完成上_」-=上，而現(xiàn)在同時(shí)打開1、3號間月，15分鐘可

122030

以完成，說明3號閘門每分鐘完成上-2=上，則同時(shí)打開1、2、3號閉門，需要

152060

l-f—+—+—l=10^o

（203060）

【答案】10分鐘

【鞏固】放滿一個(gè)水池，如果同時(shí)打開L2,3號閥門，則20分鐘可以完成；如果同時(shí)打開2,3,4

閥門，則21分鐘可以完成；如果同時(shí)打開1,3,4號閥門，則28分鐘可以完成；如果同時(shí)打

開1,2,4號閥門，則30分鐘可以完成.問：如果同時(shí)打開1,2,3,4號閥門，那么多少分

鐘可以完成？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)條件，列表如下（國。表示閥門打開，國x表示閥門關(guān)閉）：

1號2號3號4號工作效率

1

OOOX

20

1

XOOO

21

1

OXOO

28

1

OOXO

30

從表中可以看出，每個(gè)閥門都打開了三次，所■以這4個(gè)閥門的工作效率之和為：

f—+—+—+^1-3=—,那么同時(shí)打開這4個(gè)閥力，需要1仔2=18（分鐘）.

（20212830J1818

【答案】18分鐘

三'比例法及工資分配問題

【例8】有一項(xiàng)工程，有三個(gè)工程隊(duì)來爭奪施工權(quán)利，己知甲乙丙三個(gè)工程隊(duì)都是工作時(shí)間長短來付費(fèi)

的，甲、乙兩隊(duì)合作，10天可以全部完工，共需要支付18000元，由乙、丙兩隊(duì)合作，20天

可以完工，共需要支付12000元，由甲、丙兩隊(duì)合作，12天可以完成，共需要支付15000,如

果該工程只需要一個(gè)工程隊(duì)承建，如果只能一個(gè)隊(duì)伍單獨(dú)施工，那么最快的比最慢的會早完工

一天.需要支付速度最快的隊(duì)伍—元.

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思林，5年級

【解析】甲乙丙的工效和為（工+工+工［*2=工，所以甲的工效為工_工-=工，乙的工效為

110122QJ60602015

—丙的工效為2_一_1=_L,所以從時(shí)間上考慮，應(yīng)該選擇甲，會比丙早完工

601230601060

60-15=45天，同樣的道理，甲乙丙的每日工資之和是（竺吧+U吧+”吧”2=1825

102012

（元），所以甲的每日費(fèi)用為1825-600=1225（元），乙的費(fèi)用為1825-1250=575（元），丙的費(fèi)

用為1825-1800=25（元），所以需要支忖速度最快的隊(duì)伍1225x15=18375（元）

【鞏固】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資.按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲

5040元,實(shí)際上從第5天開始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃多獲得

960元.那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】開始時(shí)甲隊(duì)拿到8400-5040=3360元，甲、乙的工資比等于甲、乙的工效比，即為

3360:5040=2:3；甲提高工效后，甲、乙總的工資及工效比為

（3360+960）:（5040-960）=18:17.設(shè)甲開始時(shí)的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設(shè)甲在提高

工效后還需x天才能完成任務(wù).（2x4+4x）:（3x4+3x）=18:17,化簡為216+54K=136+68x

,解得x=竺.工程總量為5x4+7x空=60,所以原計(jì)劃60：（2+3）=12天完成.

77

【答案】12天

【例9】一項(xiàng)工程，甲15天做了工后，乙加入進(jìn)來，甲、乙一起又做了!，這時(shí)丙也加入進(jìn)甲、乙、

44

丙一起做完,己知乙、丙的工作效率的比為3：5,整個(gè)過程中，乙、丙工作的天數(shù)之比為2：

1,問題中情形下做完整個(gè)工程需多少天？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【解析】方法一：先把整個(gè)工程分為三個(gè)階段：I.U,國且易知甲的工作效率為2.又乙、丙工作的天

60

數(shù)之比為（n+m）：m=2：1,所以有u階段和m階段所需的時(shí)間相等,即甲、乙合作完成的」的

4

工程與甲、乙、丙合作完成1-工-L=L的工程所需的時(shí)間相等.所以對于工作效率有：（甲+

442

乙)x2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=——.又有乙、丙的工作效率的比為3:5.易知乙

的工作效率為工，丙的工作效率為：三，那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：

120120

113118

15+—X—+——)+--(—+——)=15+6+6=27天.

460120260120

方法二：顯然甲的工作效率為工,設(shè)乙的工作效率為3=，那么丙的工作效率為5x,所以有乙工

60

作的天數(shù)為！告~_+3砌+9A(2+8a丙工作的天數(shù)為l^(J-+8x).且有

460260260

--1-(—+3x)+—^-(―+8x)=2x—-5-(—+8x).即-+3x)=+8x),解得x=—.所以乙

460260260460260120

的工作效率為巨，丙的工作效率為高.那么這種情形下完成整個(gè)工程所需的時(shí)間為：

120120

11q11Q

15+±。(++上-)+'(±+/-)=15+6+6=27天.

460120260120

【答案】27天

【鞏固】某工地用3種型號的卡車運(yùn)送土方.已知甲、乙、丙三種卡車載重量之比為10:7:6,速度比為

6:8:9,運(yùn)送土方的路程之比為15:14:14,三種車的輛數(shù)之比為10二5二7.工程開始時(shí)，乙、丙

兩種車全部投入運(yùn)輸，但甲種車只有一半投入，直到10天后，另一半甲種車才投入工作，一共

干了25天完成任務(wù).那么，甲種車完成的工作量與總工作量之比是多少？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2007年，二中

【解析】由于甲、乙、丙三種卡車運(yùn)送土方的路程之比為15:14:14,速度之比為6:8:9,所以它們運(yùn)送1

次所需的時(shí)間之比為竺:竺:竺=3」二竺，相同時(shí)間內(nèi)它們運(yùn)送的次數(shù)比為：.在前

6892495714

10天，甲車只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的數(shù)量之比為免5:7.由于三種卡車載重量之

比為10:7:6,所■以三種卡車的總載重量之比為50:35:42.那么三種卡車在前10天內(nèi)的工作量

之比為：(50x|)(35x；)(42xA)=20:2(k27.在后15天，由于甲車全部投入使用，所以在

后15天里的工作量之比為40:20:27,所以在這25天內(nèi)，甲的工作量與總工作量之比為：

20x10+40x1532

(20+20+27)x10+(40+20+27)x1579

【答案】:

【例10】一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合干需22天，需支付工程款2208元；乙、丙兩隊(duì)合干需3?天，需支

54

付工程款2400元；甲、丙兩隊(duì)合干需2g天，需支付工程款2400元,如果要求總工程款盡量

7

少，應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】甲、乙一天完成工程的1*2多=2；乙、丙一天完成工程的1*3m=±；甲、丙一天完成工程的

512415

1^2-=—1所以，甲的工效為（2+?一±）w2=1;乙的工效為』-2=L；丙的工效為

72012201541246

—甲、乙一天需工程款2208予2馬=920（元）；乙、丙一天需工程款2400m3?=640

2041054

（元）；

甲、丙一天需工程款2400±2金=840（元）,所以，甲一天的工程款為（920+840-640）=2=560

7

（元）；乙一天的工程款為920-560=360（元）,丙一天的工程款為840-560=280（元）.單獨(dú)完成

整個(gè)工程，甲隊(duì)需工程款560x4=2240（元）；乙隊(duì)需工程款360x6=2160（元）；丙隊(duì)需工程款

280x10=2800（元）,所以應(yīng)該選擇乙隊(duì).

【答案】乙隊(duì)

【鞏固】甲、乙、丙三人承包一項(xiàng)工程，發(fā)給他們工資共1800元，三人完成這項(xiàng)工程的具體情況是：

甲、乙兩人合作6天完成了工程的』，因?yàn)榧子惺?，由乙、丙合?天完成余下工程的工，以

34

后三人合作5天完成了這項(xiàng)工程，按完成量的多少來付勞動報(bào)酬，甲、乙、丙各得多少元？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2008年，清華府中

【解析】根據(jù)題意可知，甲、乙兩人的工作效率之和為

318

乙、丙兩人的工作效率之和為（1-3XLW2=L;

3412

甲、乙、丙三人的工作效率之和為Q_1）X（1-；）W5=A.

分別可求得甲的工作效率為工-2=工，乙的工作效率為=--,丙的工作效率為

1012601860180

—=A,則甲完成的工程量為：—x（6+5）=—,乙完成的工程量為：

10184560'760

—x（6+2+5）=—,丙完成的工程量為：—x（2+5）=—,三人所完成的工作量之比為

180''18045v745

史上=33:91”

60ISO45

所以，甲應(yīng)得1800x———.......=330元，乙應(yīng)得330x2=910元，丙應(yīng)得330x型=560元，

33+91+563333

【答案】甲應(yīng)得330元，乙應(yīng)得910元，丙應(yīng)得560元

【隨練1】為了創(chuàng)建綠色學(xué)校，科學(xué)俱樂部的同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)回收食堂的洗菜水來澆花草的水池，要求單獨(dú)打開

進(jìn)水管3小時(shí)可以把水池注滿，單獨(dú)打開出水管4小時(shí)可以排完滿池水。水?蟆成后，發(fā)現(xiàn)水池漏

水。這時(shí)，若同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管14小時(shí)才能把水池注滿。則當(dāng)池水注滿，并且關(guān)閉進(jìn)水管與出

水管時(shí)，經(jīng)過小時(shí)池水就會漏完。

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望林

【解析】設(shè)滿水池水位單位“1”，水池漏水相當(dāng)于一個(gè)工作效率為1_2_工=上的出水管，因此關(guān)閉進(jìn)水管與

3414S4

出水管，經(jīng)過84小時(shí)池水就會漏完

【答案】84小時(shí)

【畸2】公園水池每周需換一次水,水池有甲、乙、丙三根進(jìn)水管,第一周小李按甲、乙、丙、

甲、乙、丙.....的順序輪流打開1小時(shí)，恰好在打開水管整數(shù)小時(shí)后灌滿空水池.第二周他

按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，灌滿一池水比第一周少用了15分

鐘；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開1小時(shí)，比第一周多用了15分

鐘.第四周他三個(gè)管同時(shí)打開，灌滿一池水用了2小時(shí)20分，第五周他只打開甲管，那么灌

滿一池水需用________小時(shí).

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】2007年，迎春杯，高年級，初賽

【解析】考慮水池減去甲乙丙兩小時(shí)總和后的容積，則此部分按照甲乙丙的順序灌剛好在整數(shù)小時(shí)后灌

滿，按照乙丙甲的順序灌少用15分鐘，按照丙乙甲的順序灌多用15分鐘，三個(gè)一起灌用20分

鐘.所以速度應(yīng)該是乙最快，甲居中，丙最慢,也就是說，此部分是甲灌1個(gè)小時(shí)后灌滿.甲

灌1個(gè)小時(shí)的水=乙灌45分鐘的水=丙灌1個(gè)小時(shí)的水+乙灌15分鐘的水,所以灌水速度甲：乙：

丙=3：4：2,也就是甲剛好是平均數(shù),所以只用甲管灌滿需要7小時(shí).

【答案】7小時(shí)

【隨練3】一項(xiàng)工程，若請甲工程隊(duì)單獨(dú)做需4個(gè)月完成，每月要耗資9萬元；若請乙工程隊(duì)單獨(dú)做此

項(xiàng)工程需6個(gè)月完成，每月耗資5萬元.

⑴請問甲、乙兩工程隊(duì)合作需幾個(gè)月完成？耗資多少萬元？

⑵現(xiàn)要求最遲5個(gè)月完成此項(xiàng)工程即可，請你設(shè)計(jì)一種方案，既保證按時(shí)完成任務(wù)，又最大限度

節(jié)省資金.

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】⑴甲、乙兩工程隊(duì)每月完成的工程量分別占全部工程的工、那么甲、乙合作所需時(shí)間為：

46

lw（L+3=2.4個(gè)月；甲、乙合作2.4個(gè)月所耗資金為：（9+5）x24=33.6（萬元）.

46

（2）甲工程隊(duì)完成全部工作要耗資9x4=36萬元，乙工程隊(duì)完成全部工作要耗資5x6=30萬元，

乙工程隊(duì)耗資較少，為了節(jié)省資金，應(yīng)盡量請乙工程隊(duì)來做，但是乙工程隊(duì)無法單獨(dú)在五個(gè)月

內(nèi)完成工程，所以還需要請甲工程隊(duì)來幫助完成一部分工程，所以，在五個(gè)月內(nèi)完成的最好方

案為：乙工程做5個(gè)月，甲工程隊(duì)做=［個(gè)月，即：甲、乙兩工程隊(duì)合作|個(gè)月后，

乙工程隊(duì)再單獨(dú)做U個(gè)月.

3

【答案】⑴336萬元

⑵甲、乙兩工程隊(duì)合作3個(gè)月后，乙工程隊(duì)再單獨(dú)做U個(gè)月

33

【作業(yè)1】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要12小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要18小時(shí)完成.若甲先做1小時(shí)，然后

乙接替甲做1小時(shí)，再由甲接替乙做1小時(shí)........兩人如此交替工作，請問：完成任務(wù)

時(shí)，共用了多少小時(shí)？

【考點(diǎn)】工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】①若甲、乙兩人合作共需多少小時(shí)？

1-C—+—1=1-—=7-（小時(shí)）.

11218J365

②甲、乙兩人各單獨(dú)做7小時(shí)后，還剩多少？

l、-7rx（——IH--1-=）1-,---3-5=—1.

（1218）3636

③余下的5由甲獨(dú)做需要多少小時(shí)？

—^―=1（小時(shí)）.

36123

④共用了多少小時(shí)？

7x2+-=14-（小時(shí)）.

33

在工程問題中，轉(zhuǎn)換條件是常用手法,本題中，甲做1小時(shí)，乙做1小時(shí)，相當(dāng)于他們合作1

小時(shí)，也就是每2小時(shí)，相當(dāng)于兩人合做1小時(shí)”這樣先算一下一共進(jìn)行了多少個(gè)這樣的2小

時(shí)，余下部分問題就好解決了.

【答案】1/小時(shí)

3

【作業(yè)2】一項(xiàng)工程，甲、乙合作12,小時(shí)可以完成，若第1小時(shí)甲做，第2小時(shí)乙做，這樣交替輪流

5

做，恰好整數(shù)小時(shí)做完；若第1小時(shí)乙做，第2小時(shí)甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流做要

多二小時(shí)，那么這項(xiàng)工作由甲單獨(dú)做，要用多少小時(shí)才能完成？

3

【考點(diǎn)J工程問題【難度】4星【題型】解答

【解析】若第一種做法的最后一小時(shí)是乙做的，那么甲、乙共做了偶數(shù)個(gè)小時(shí)，那么第二種做法中甲、

乙用的時(shí)間應(yīng)與第一種做法相同，不會多1小時(shí)，與題意不符.所以第一種做法的最后一小時(shí)

3

是甲做的，第二種做法中最后1小時(shí)是甲做的，而這1小時(shí)之前的一小時(shí)是乙做的，所以乙+1

333

甲=甲，得乙=馬甲,甲、乙工作效率之和為：1*12?=』，甲的工作效率為：

3563

所以甲單獨(dú)做的時(shí)間為1*染=21（小時(shí)）.

【答案】21小時(shí)

【作業(yè)3】一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成需40天。若乙隊(duì)先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作，又

需20天可完成。如果乙隊(duì)單獨(dú)完成此工程，則需