第五章 模型1用綜合法快解新情境背景下的數(shù)列創(chuàng)新題模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點歸納

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型1用綜合法快解新情境背景下的數(shù)列創(chuàng)新題【問題背景】高考創(chuàng)新題，向來是高考試題中最為亮眼的風(fēng)景線，其中數(shù)列作為創(chuàng)新問題設(shè)置的重要載體，是高考創(chuàng)新題命題的熱點之一，其創(chuàng)新性的呈現(xiàn)形式是多種多樣的，但其求解方法也是有章可循的，例如用綜合法就可以處理新情境背景下的數(shù)列創(chuàng)新題.【解決方法】【典例1】（有界數(shù)列與無界數(shù)列|2024廣東深中、華附、省實、廣雅四校8月第一次聯(lián)考|多選）對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在，則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無界的B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的D.若，則數(shù)列是有界的【套用模型】第一步：整體審題，提取信息.題設(shè)關(guān)鍵信息是“有界數(shù)列”的定義，選項中給出了不同的數(shù)列.第二步：結(jié)合信息，確定解題方向、方法.通過定義，得到如何判斷“有界數(shù)列”的方法，即判斷數(shù)列通項的絕對值是否不大于某個常數(shù).第三步：由第二步所確定的方法，進行推理、運算.A恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的×B，，，，【易錯提醒】因為需要考慮絕對值，有同學(xué)認為，所以有界，結(jié)果看似正確，但這是不完整的存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的√C，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的√D，.在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的×第四步：給出結(jié)論.綜上所述，選BC.【典例2】（2024重慶一中8月入學(xué)考試）正項數(shù)列的前項的積為，的前項的積為，若是公差為1的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式.（2）記數(shù)列的前項的和為，證明：.【套用模型】第一步：整體審題，提取信息.已知有兩條關(guān)鍵信息，一是數(shù)列的前項的積為，另一個是數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，據(jù)此可求出的表達式，即遞推關(guān)系式.第二步：結(jié)合信息，確定解題方向、方法.根據(jù)是公差為1的等差數(shù)列，又易推出首項為1，再結(jié)合正項數(shù)列的前項的積為，即可求得兩者間的關(guān)系.第三步：由第二步所確定的方法，進行推理、運算.因為數(shù)列的前項的積為，所以，又是公差為1的等差數(shù)列，所以，即，.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時兩式相除，得，即.【易錯提醒】因為的前提是，所以探求時要注意分類討論，再驗證總結(jié)第四步：給出結(jié)論.又滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，所以，所以.，，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以.【典例3】（2024湖南長沙名校8月第一次質(zhì)量檢測|多選）若數(shù)列中任意連續(xù)三項，，均滿足，則稱數(shù)列為跳躍數(shù)列.則下列結(jié)論正確的是（）A.等比數(shù)列：1，，，，，…是跳躍數(shù)列B.數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是跳躍數(shù)列C.等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列D.等比數(shù)列是跳躍數(shù)列的充要條件是該等比數(shù)列的公比【套用模型】第一步：整體審題，提取信息.題設(shè)關(guān)鍵信息是“跳躍數(shù)列”的定義，選項中給出了不同的數(shù)列.第二步：結(jié)合信息，確定解題方向、方法.通過定義，得到如何判斷“跳躍數(shù)列”的方法，題設(shè)關(guān)鍵信息是跳躍數(shù)列的定義，通過相鄰三項的關(guān)系進行運算，判斷跳躍數(shù)列.第三步：由第二步所確定的方法，進行推理、運算.對于A，等比數(shù)列1，，，，，…的通項公式為，那么.，由跳躍數(shù)列的定義知，等比數(shù)列1，，，，，…是跳躍數(shù)列，故A正確.對于B，數(shù)列的前三項為，，，不符合跳躍數(shù)列的定義，（【點技巧】判斷不正確，只需找到反例），故B錯誤.對于C，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差時，它是遞增數(shù)列；時，它是遞減數(shù)列；時，它是常數(shù)列.所以等差數(shù)列不可能是跳躍數(shù)列，故C正確.對于D，若等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，則，整理得，即，若等比數(shù)列的公比滿足，則，可得，所以等比數(shù)列是跳躍數(shù)列，故D正確.第四步：給出結(jié)論.故選ACD.一、單選題（23-24高三下·重慶·期中）1．定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10（23-24高三上·四川綿陽·一模）2．若數(shù)列滿足則稱為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且則（

）A．是等差數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．是“平方遞推數(shù)列” D．是“平方遞推數(shù)列”（23-24高三上·上海普陀·期末）3．對于無窮數(shù)列，給出如下三個性質(zhì)：①；②對于任意正整數(shù)，都有；③對于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得定義：同時滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法正確的是（

）A．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”B．若，則為“t數(shù)列”C．若，則為“s數(shù)列”D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”則為“s數(shù)列”二、多選題（2023·江蘇蘇州·三模）4．若數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”.則下列數(shù)列是“數(shù)列”的有（

）A． B．C． D．（2024·山東煙臺·一模）5．給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（

）A．存在，使得恒成立B．存在，使得恒成立C．對任意，總存在，使得D．對任意，總存在，使得（2023·云南·模擬預(yù)測）6．在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）7．對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（

）A．等差數(shù)列是“線性數(shù)列” B．等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C．若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列” D．若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”（2023·浙江·二模）8．定義：若存在正實數(shù)M使，則稱正數(shù)列為有界正數(shù)列．已知數(shù)列滿足，為數(shù)列的前n項和．則（

）A．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列為有界正數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為有界正數(shù)列三、解答題（23-24高三上·湖北武漢·期末）9．若數(shù)列滿足：存在等比數(shù)列，使得集合元素個數(shù)不大于，則稱數(shù)列具有性質(zhì).如數(shù)列，存在等比數(shù)列，使得集合，則數(shù)列具有性質(zhì).若數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前項和為.證明：(1)數(shù)列為等比數(shù)列；(2)數(shù)列具有性質(zhì).（2024·黑龍江·二模）10．如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的比都大于3，則稱這個數(shù)列為“型數(shù)列”．(1)若數(shù)列滿足，判斷是否為“型數(shù)列”，并說明理由；(2)已知正項數(shù)列為“型數(shù)列”，，數(shù)列滿足，，是等比數(shù)列，公比為正整數(shù)，且不是“型數(shù)列”，求數(shù)列的通項公式．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）11．如果數(shù)列對任意的，，則稱為“速增數(shù)列”.(1)請寫出一個速增數(shù)列的通項公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；(2)若數(shù)列為“速增數(shù)列”，且任意項，，，，求正整數(shù)的最大值.（2023·廣東汕頭·三模）12．設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則稱是“緊密數(shù)列”.(1)若，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列前項和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】根據(jù)數(shù)列新定義可得，利用累乘法求得的表達式，解數(shù)列不等式，即可求得答案.【詳解】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故n的最小值為8，故選：B2．C【分析】對于AB，由題意得，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義分析判斷即可，對于CD，由平方遞推數(shù)列的定義分析判斷.【詳解】對于AB，因為是“平方遞推數(shù)列”，所以.又，所以則，，所以，不是等差數(shù)列，所以AB不正確.對于C，因為，所以是“平方遞推數(shù)列”，所以C正確.對于D，因為，所以不是“平方遞推數(shù)列”，D不正確.故選：C3．C【分析】設(shè)，可判定A錯誤；對于，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，不存在，使得，可判定B錯誤；若，推得滿足①②，可判定C正確；設(shè)，取，可判定D錯誤.【詳解】設(shè)，此時滿足，也滿足，，即，，為“s數(shù)列”，因為，所以A錯誤；若，則，滿足①，，令，若為奇數(shù)，此時，存在，且為奇數(shù)時，此時滿足，若為偶數(shù)，此時，則此時不存在，使得，所以B錯誤；若，則，滿足①，，，因為，所以，，滿足②，所以C正確；不妨設(shè)，滿足，且，，當(dāng)為奇數(shù)，取，使得；當(dāng)為偶數(shù)，取，使得，所以為“數(shù)列”，但此時不滿足，，不妨取，則，而，則為“數(shù)列”，所以D錯誤.故選：C.4．AD【分析】根據(jù)“數(shù)列”定義判斷A、D；利用特殊值判斷B是否滿足要求；由的個位數(shù)上奇偶性判斷C.【詳解】A：由，要且，所以，只需，顯然對任意的，總存在，滿足“數(shù)列”.B：由，顯然，不滿足“數(shù)列”.C：對于任意，，個位數(shù)為均為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，顯然不成立，不滿足.D：由，，故對任意的，總存在，滿足“數(shù)列”.故選：AD5．BC【分析】由已知求出及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯位相減法求和求出及范圍判斷C；求出及的范圍判斷D.【詳解】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，因此不存在，使得恒成立，A錯誤；對于B，由選項A知，，則，顯然當(dāng)時，恒成立，B正確；對于C，由，得，當(dāng)時，即，于是，兩式相減得，因此，顯然滿足上式，則，由，得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，從而對任意，總存在，使得，C正確；對于D，，由選項C得，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進行合理的計算、分析、推理等方法綜合解決.6．BC【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義依次分析四個選項可得答案.【詳解】對于A，因為，，，，所以不是等方差數(shù)列，故A錯誤；對于B，因為，，，所以，，因為是等比數(shù)列，所以，所以，所以，因為，所以，所以，又，所以，故B正確；對于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則當(dāng)時，，若為常數(shù)，則必有，此時，則數(shù)列不可能是等方差數(shù)列，故C正確；對于D，假設(shè)存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，則當(dāng)時，且，若，則，則，不合題意，若，則，得，又，所以為常數(shù)，必有，與假設(shè)矛盾，故存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列.故D錯誤；故選：BC7．ABD【分析】對A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實數(shù)即可.【詳解】對A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；對B，數(shù)列為等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；對C，是等差數(shù)列，設(shè)，則，若是“線性數(shù)列”，則，則應(yīng)有，故不是“線性數(shù)列”，C錯誤；對D，是等比數(shù)列，設(shè)首項為，公比為，若時，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；若時，由，得，，累加的，則，經(jīng)驗證當(dāng)時，滿足，則，若是“線性數(shù)列”，則存在實數(shù)，使得成立，則，，，則，則，則是“線性數(shù)列”，D正確.故選：ABD8．BC【分析】對于A，設(shè)，求導(dǎo)后放縮為，從而可知當(dāng)時，單調(diào)遞減，即可判斷；對于B，由可知數(shù)列為遞增數(shù)列，即可判斷；對于C，由A分析，即可判斷；對于D，借助不等式，從而可得，即可得到，從而可判斷.【詳解】對于A，設(shè)，，當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，A錯誤；對于B，因為，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，B正確；對于C，由A分析可知，當(dāng)正實數(shù)M為前6項的最大項時，就有，所以數(shù)列為有界正數(shù)列，C正確；對于D，令，則，所以當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，由，所以，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：對于A，借助不等式進行放縮，而對于C，借助不等式進行放縮，從而可利用裂項相消法求和.9．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，求出和，求出和的關(guān)系即可證明；（2）由（1）求出，求出，設(shè)數(shù)列即可證明.【詳解】（1）設(shè)，則，.因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，且；（2）由（1），，所以，取數(shù)列，則是等比數(shù)列，并且，因此集合，所以數(shù)列具有性質(zhì).10．(1)不是“型數(shù)列”，理由見解析；(2)【分析】（1）計算得出數(shù)列前兩項驗證即可得出結(jié)論，并證明即可；（2）利用為“型數(shù)列”和是等比數(shù)列，且不是“型數(shù)列”可求得的公比為，即可求出數(shù)列的通項公式為.【詳解】（1）易知當(dāng)時，可得，即；而當(dāng)時，，可得；此時，不滿足“型數(shù)列”定義，猜想：數(shù)列不是“型數(shù)列”，證明如下：由可得，當(dāng)時，，兩式相減可得，可得，此時從第二項起，每一項與它前一項的比為，因此不是“型數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列的公比為，易知，又因為數(shù)列不是“型數(shù)列”，可得可得，即得；又數(shù)列為“型數(shù)列”，可得；易知“型數(shù)列”為遞增數(shù)列，因此當(dāng)趨近于正無窮大時，趨近于，即可得；綜上可得，即，可得；所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列；即可得，可得；所以數(shù)列的通項公式為.11．(1)（答案不唯一），證明見解析；(2)63【分析】（1）取，驗證即可；（2）當(dāng)時，，根據(jù)速增數(shù)列的定義可得，從而可得，進而可求解.【詳解】（1）取，則，，因為，所以，所以數(shù)列是“遞增數(shù)列”.（2）當(dāng)時，，因為數(shù)列為“速增數(shù)列”，所以，且，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故正整數(shù)的最大值為63.12．(1)不是“緊密數(shù)列”，理由見解析(2)數(shù)列是“緊密數(shù)列”，理由