北京郵電大學出版社-高等數(shù)學第3版(張卓奎)第一章習題選解

北京郵電大學出版社-高等數(shù)學第3版(張卓奎)第一章習題選解北京郵電大學出版社-高等數(shù)學第3版(張卓奎)第一章習題選解第一章習題選解.習題1－11．若，求．解：因為，所以.2．下列各題中，函數(shù)與是否相同？為什么？（1），；解：因為的定義域為，而的定義域為，所以與定義域不同，因此與不相同．（2），；解：因為與定義域相同，對應法則相同，故與相同．（3），；解：由解出的定義域為，而由解出的定義域為，所以與定義域不同，因此與不相同．（4），．解：因為與定義域相同，對應法則相同，故與相同．3．設，求，，，，．解：，，，，．4．設函數(shù)是以T>0為周期的周期函數(shù)，證明是以為周期的周期函數(shù)，并求出函數(shù)的周期．證：因為，所以是以為周期的周期函數(shù)。因為sinx、cosx都是以為周期的函數(shù)，所以sin3x、cos2x分別是以、為周期的函數(shù)，它們的公約數(shù)為，所以的周期為。5．下列函數(shù)哪些是偶函數(shù)？哪些是奇函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？（1）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為奇函數(shù)．（2）；解：因為，于是，不等于或，所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（3）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為奇函數(shù)。（4）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為奇函數(shù)．（5）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為偶函數(shù)．（6）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為偶函數(shù)．（7）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為奇函數(shù)．（8）；解：因為，于是，不等于或，所以原函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．（9）；解：因為，于是，所以原函數(shù)為偶函數(shù)．（10）．解：因為，于是，所以原函數(shù)為奇函數(shù)．6．對于下列函數(shù)與，求復合函數(shù)和，并確定它們的定義域．（1）；解：；．（2）；解：；．（3）．解：．．7．設，滿足，且，求．解：因為，得，當時，，與矛盾；所以，，此時，，由知，，故．8．設，試將表示成的函數(shù)．解：．9．指出下列各復合函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復合而成的．（1）；解：由復合而成．（2）；解：由復合而成．（3）；解：由復合而成．（4）．解：由復合而成．10．以下各對函數(shù)與中，哪些可以復合成復合函數(shù)？哪些不能復合？為什么？（1）；解：因為不在的定義域內(nèi)，所以與不能復合成復合函數(shù)．（2）；解：因為在的定義域內(nèi)，所以與能復合成復合函數(shù)．（3）；解：因為不在的定義域內(nèi)，所以與不能復合成復合函數(shù)．（4）．解：因為與的定義域交集非空，所以與能復合成復合函數(shù)．11．設的定義域為，問（1）；（2），（3）；（4）的定義域各是什么？解：（1），即，所以的定義域為；（2），即，所以的定義域為，（3），即，所以的定義域為．（4）且，即且，所以的定義域為：若，則為；若，則為空集．習題1－21．設，證明：，并舉例說明反之未必成立.證因為，所以，由知，當時，有成立，由定義知．例如，所以，，但易知不存在.2．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明（1）；（2）；（3）；；（4）．證（1）由于，所以，取，當時，有成立，由定義知；（2）要使，只要即可．所以，取，當時，有成立，由定義知；（3）要使，只要即可．所以，取，當時，有成立，由定義知；（4）要使，只要即可．所以，取，當時，有成立，由定義知．3．設，問求出，使時，與其極限之差的絕對值小于0.0001．證，顯然．要使，只要，當，就有4．設數(shù)列有界，又，證明：．證因為數(shù)列有界，故，使得對一切，有，又，故當時，有，于是，當時，有，由定義知．5．對于數(shù)列，若，，證明：證因為，，所以，，使得當時，有，成立，令，則當時，有，由定義知．習題1－31．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明（1）；（2）．證（1），要使，只要即可．于是取，則當時，就有，由定義知．（2），，要使，只要即可．于是取，則當時，成立，由定義知．2．設，討論時的左、右極限．解：，．3．當時，，問應為何值，才能使時，？解：要使，只要即可．故取，當時，有．4．證明函數(shù)當時極限為零．證：因為，所以，，取，當時，有，由定義知5．證明：若及時，函數(shù)的極限都存在且都等于，則．證：因為及時，函數(shù)的極限都存在且都等于，所以，，，當時，有；又，當時，有．取，當時，就有成立，由定義知，．6．設存在，證明：存在正數(shù)及，使得當時，有．證：由于，所以對于，，當時，有，于是當時，有，取，則當時，有．習題1－42．用定義證明：（1）當時為無窮?。蛔C：由于，所以，取，當時，有，即當時為無窮?。?）當時為無窮?。C：由于，所以，取，當時，有，即當時為無窮?。?．用定義證明：函數(shù)當時為無窮大．證：由于．所以，要使，只要即可．取，則當時，就有，故．4．函數(shù)在內(nèi)是否有界？這個函數(shù)當時是否為無窮大？為什么？解：顯然，函數(shù)在內(nèi)無界，但時不是無窮大，因為對，無論多么大，小于任意的正數(shù)．習題1－51．計算下列極限．（1）；（2）；（5）；（6）；（9）；（12）；（14）（16）．解：（1）；（2）；（5）；（6）；（9）；（12）因為，所以；（14）（16）．2．計算下列極限（1）；解：；（2）；解：；(3)；解：；(4)．解：．3．已知，求與的值．解：由題意知，，得；又由知，．習題1－61．利用兩個重要極限計算下列函數(shù)的極限．（2）；（5）；（6）；（10）；（11）；（15）．解：（2）．（5）．（6）；（10）；（11）；（15）．2．利用極限存在準則證明：（1）；證：因為，且，由極限存在準則知，；（2）．證：因為，且，由極限存在準則知，．3．設，，，證明數(shù)列的極限存在，并求．證：由于，設，則，所以對一切成立，即數(shù)列有上界；又，即數(shù)列單調(diào)增加，由極限存在準則知，數(shù)列的極限存在．設，則由得，，解得，所以．習題1－71．證明：當時，是比高階的無窮?。C：因為，所以，當時，是比高階的無窮?。?．證明：當時，有（3）．證：因為，所以，當時，有．3．利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列函數(shù)的極限．（1）；解：（2）解：當時，；當時，；故當時，．（3）；解：．（4）；解：．（5）；解：．（6）．解：．習題1－83．求的連續(xù)區(qū)間，并求極限．解：因為初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)均連續(xù)，由，即，因此連續(xù)區(qū)間為4．求下列函數(shù)的間斷點，并說明該間斷點的類型，如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)定義使之連續(xù)．（1）；解：因為，所以是無窮間斷點（3）；解：，故，而在處無定義；，所以是可去間斷點，補充，則在處連續(xù)；是第二類無窮間斷點。（5）；解：因為，且，所以是一類跳躍間斷點．5．設，問為何值時，函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)？為什么？解：因為，，所以，故時函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)．6．求下列函數(shù)的極限（1）；解：因為在處是連續(xù)的，所以。（4）；解：．（5）．解：．（6）；解：習題1－91．證明：方程在內(nèi)必有實根．證：設，則在上連續(xù)，