利用基本不等式求最值

第第頁(yè)利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解利用基本不等式求最值的原理

2、掌控利用基本不等式求最值的條件

3、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)約的最值問(wèn)題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式求最值

難點(diǎn)：利用基本不等式求最值滿意的條件

三、學(xué)習(xí)方法：自主探究式四、學(xué)習(xí)過(guò)程：

1、探究一：極值定理

問(wèn)題1：

ab(a,bR)，已知*y2(*0,y0)，你能求出*y2

ab(a,bR)，已知*y2(*0,y0)，你能求出*y2的最小值嗎？何時(shí)取小值？問(wèn)題2：

的最大值嗎？何時(shí)取大值？

問(wèn)題3：已知*0,y0

〔1〕假設(shè)*y是定值p，求(*y)min，等號(hào)何時(shí)成立？

〔2〕假設(shè)*y是定值s，求(*y)ma*，等號(hào)何時(shí)成立？

問(wèn)題4：你能由問(wèn)題1—3得出一般結(jié)論嗎？已知*,yR

那么：〔1〕假設(shè)積*yp〔定值〕，那么和*

y有最小值當(dāng)日僅當(dāng)*y時(shí)，取“=”號(hào)

〔2〕假設(shè)和*ys〔定值〕，那么積*y有最大值

當(dāng)日僅當(dāng)*y時(shí)，取“=”號(hào)

即：“積為常數(shù)，和有最小值；和為常數(shù)，積有最大值”。

自主練習(xí)1：①假設(shè)*0時(shí)，求y*s241的最小值.*

1②假設(shè)*1，求y*的最小值.*1

③假設(shè)0*1，求y*(1*)的最大值.

2、探究二：利用基本不等式求最值滿意的條件

問(wèn)題5：假設(shè)*0，求y*1的最大值。*

條件1：由問(wèn)題5，你能總結(jié)出利用基本不等式求最值時(shí)字母需要滿意什么條件？

*2*1自主練習(xí)2：假設(shè)*0，求y的最大值。*

1問(wèn)題6：①假設(shè)*2，求y2*5的最小值。*2

1②假設(shè)0*，求y*(12*)的最大值。2

條件2：由問(wèn)題6，你能總結(jié)出利用基本不等式求最值時(shí)需要滿意什么條件？

1(*1)的最小值。*1

1②求y*(14*)(0*)的最大值。4

1問(wèn)題7：假設(shè)*2，求y*的最小值。*自主練習(xí)3：①求y*

條件3：由問(wèn)題7，你能總結(jié)出利用基本不等式求最值時(shí)需要滿意什么條件？自主練習(xí)4：求ysin*2(0*)的最小值。sin*2

問(wèn)題8：你能由問(wèn)題5—7總結(jié)出利用基本不等式求最值需要滿意的三個(gè)前提條件嗎？

3、探究三：簡(jiǎn)約運(yùn)用

問(wèn)題9：〔1〕用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，

所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

〔2〕一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，

菜園的面積最大，最大面積是多少？

【解】〔1〕設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為*m，寬為ym，那么*y100m2，籬笆的周長(zhǎng)為2(*y)m，

*y

*y2(*y)402

*y當(dāng)日僅當(dāng)*y40時(shí)，等號(hào)成立。*y100由

所以，這個(gè)矩形的長(zhǎng)，寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆是40m.

〔2〕設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為*m，寬為ym，那么2(*y)36,

*y18，矩形菜園的面積為*ym2

*y

9即*y812

*y當(dāng)且僅當(dāng)*y9時(shí)，等號(hào)成立.*y18

所以，這個(gè)短形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m2.問(wèn)題10：你能從問(wèn)題9中舉例說(shuō)明極值定理和需要滿意的三個(gè)前提條件嗎？

4、探究四：收獲和感想

收獲：利用基本不等式求最值，主要是運(yùn)用“和為常數(shù)，積有最大值”和“積為常數(shù)，和有最小值”。且需要滿意三個(gè)前提條件，“一正二定三相等”，即“一正”——字母為正數(shù)；“二定”——積或和為定值〔有時(shí)需通過(guò)“配湊法”湊出定值〕；“三相等”——等號(hào)能否取到，三個(gè)條件缺一不可。

感想：自主探究的“假設(shè)”與“樂(lè)”；數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性與開放性。

5、探究五：自我反饋與矯正

1*(*3)的最小值.*3

〔2〕求y*(*)(0*)的最大值.

123*(*0)的最大值.〔3〕求y*〔1〕求y

6、探究六：課后練習(xí)與作業(yè)

*28(*1)的最小值.〔1〕求y*119〔2〕假設(shè)*,yR且1,求*y的最小值.y

15〔

3

〕求y*)的最大值.22

2〔4

〕求y的最小值.

利用基本不等式求最值

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解利用基本不等式求最值的原理

2、掌控利用基本不等式求最值的條件

3、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)約的最值問(wèn)題

二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式求最值

難點(diǎn)：利用基本不等式求最值滿意的條件

三、學(xué)習(xí)方法：自主探究式四、學(xué)習(xí)過(guò)程：

1、探究一：極值定理

問(wèn)題1：

ab(a,bR)，已知*y2(*0,y0)，你能求出*y2

ab(a,bR)，已知*y2(*0,y0)，你能求出*y2的最小值嗎？何時(shí)取小值？問(wèn)題2：

的最大值嗎？何時(shí)取大值？

問(wèn)題3：已知*0,y0

〔1〕假設(shè)*y是定值p，求(*y)min，等號(hào)何時(shí)成立？

〔2〕假設(shè)*y是定值s，求(*y)ma*，等號(hào)何時(shí)成立？

問(wèn)題4：你能由問(wèn)題1—3得出一般結(jié)論嗎？已知*,yR

那么：〔1〕假設(shè)積*yp〔定值〕，那么和*

y有最小值當(dāng)日僅當(dāng)*y時(shí)，取“=”號(hào)

〔2〕假設(shè)和*ys〔定值〕，那么