高中數(shù)學(xué)典型例題分析與解答：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

v1.0可編輯可修改v1.0可編輯可修改v1.0可編輯可修改PAGE復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分析：當(dāng)時(shí)因?yàn)榇嬖?，所以?yīng)當(dāng)用導(dǎo)數(shù)定義求，當(dāng)時(shí)，的關(guān)系式是初等函數(shù)，可以按各種求導(dǎo)法同求它的導(dǎo)數(shù)．解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：如果一個(gè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則有，但如果我們不能斷定的導(dǎo)數(shù)是否在點(diǎn)連續(xù)，不能認(rèn)為．指出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系例指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系．1．；2．；3．；4．。分析：由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外及里，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程．解：函數(shù)的復(fù)合關(guān)系分別是1．；2．；3．；4．說(shuō)明：分不清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，忽視最外層和中間變量都是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，而最內(nèi)層可以是關(guān)于自變量x的基本函數(shù)，也可以是關(guān)于自變量的基本函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算而得到的函數(shù)，導(dǎo)致陷入解題誤區(qū)，達(dá)不到預(yù)期的效果．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．；2．；3．；4．。分析：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵．必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系．要善于把一部分量、式子暫時(shí)當(dāng)作一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體，就是中間變量．求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量，注意逐層求導(dǎo)，不遺漏，而其中特別要注意中間變量的系數(shù)．求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)．解：1．解法一：設(shè)，則解法二：2．解法一：設(shè)，則解法二：3．解法一：設(shè)，則解法二：4．解法一：設(shè)，則解法二：說(shuō)明：對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析問(wèn)題的具體特征，靈活恰當(dāng)?shù)剡x擇中間變量，不可機(jī)械照搬某種固定的模式，否則會(huì)使確定的復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，不能有效地進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算．學(xué)生易犯錯(cuò)誤是混淆變量或忘記中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（其中是可導(dǎo)函數(shù)）1．；2．分析：對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo)，一方面要從其形式上把握其結(jié)構(gòu)特征，另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則。先設(shè)出中間變量，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。一般地，假設(shè)中間變量以直接可對(duì)所設(shè)變量求導(dǎo)，不需要再次假設(shè)，如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)，就不必再選中間變量。解：1．解法一：設(shè)，則解法二：2．解法一：設(shè)，則解法二：說(shuō)明：理解概念應(yīng)準(zhǔn)確全面，對(duì)抽象函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)不足，顯示了一種思維上的惰性，導(dǎo)致判斷復(fù)合關(guān)系不準(zhǔn)確，沒(méi)有起到假設(shè)中間變量的作用